1) O documento descreve vários tipos de paralelismo entre elementos da geometria descritiva, como retas e planos. 2) Inclui exemplos passo-a-passo de como determinar elementos paralelos através de suas projeções ou utilizando retas auxiliares. 3) Fornece instruções detalhadas sobre como identificar e desenhar elementos paralelos em diferentes situações, como entre retas em planos ou bissectores.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Paralelismo Resumo

2. recta – recta, geral:
Rectas paralelas e
complanares, sem ponto em
comum, via os paralelos das
suas projecções frontal e
horizontal.

3. Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as
projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2)
y≡ z
r2 s2
B2
A2
C2
x
A1
B1
C1
r1 s1

4. recta de perfil – recta de
perfil:
Rectas paralelas e complanares,
sem ponto em comum, via rectas
auxiliares.

5. Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as
projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M
(-2; 3; 4). y≡ z
p 1 ≡ p2 p’1 ≡ p’2
r2
A2
M2
s2
r1
B2
N2
x
s1
A1
A recta auxiliar s paralela à M1
recta r (derivada dos pontos A
B1
e M conhecidos e concorrentes
com p e p’) localiza o ponto
N, definindo a recta de perfil
N1
p’ paralela à recta de perfil p.

6. recta – plano, geral:
Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.

7. Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com
as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo,
contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo
de 60º (a.d.).
r2
s2 y≡ z
s1
fα
F2 A2
C2
B2
H2
x F1
hα A1
C1
r1
B1
H1

8. recta – bissector β1,3:
Recta não contida no bissector e
paralela a uma recta do bissector, via
recta com projecções simétricas.

9. Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua,
a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção
horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto
de intersecção da recta a com o plano ρ.
fα
a2
fρ F2
I2 P2
a 1 ≡ h α ≡ i1
F1 H2
x
i2
I1
P1
hρ H1
A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.
Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de
intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um
plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta
i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de
intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

10. recta – bissector β2,4:
Recta não contida no bissector e
paralela a uma recta do bissector, via
recta com projecções paralelas.

11. Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua,
a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção
horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto
de intersecção da recta a com o plano ρ.
fα
a2
fρ F2
I2 P2
a 1 ≡ h α ≡ i1
F1 H2
x
i2
I1
P1
hρ H1
A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.
Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de
intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um
plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta
i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de
intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

12. recta de perfil – bissector β1,3:
Recta não contida no bissector, e paralela
a uma recta de perfil do bissector, via
rectas auxiliares.

13. Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de
Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β1,3 e
concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços
do plano θ definido pelas duas rectas.
p’1 ≡ p 1 ≡ p2
Para se conseguir ver a situação de
p’2 fθ ≡ hθ
paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil
p’, contido no β1,3.
Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’ F’2 h’2
e do β1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s, s2 S2
paralelas entre si, obtendo um segundo ponto h2 F2
da recta p, o ponto S.
r2 R2
B2
A2 F1
x F’1
A1
Para determinar os traços do plano θ, r1
B1
recorre-se a uma outra recta horizontal (de s1
nível), h’, paralela a h e concorrente com a
recta p em S.
R1 Uma outra forma de resolver o
problema seria através do
A partir desse raciocínio, o exercício resultou rebatimento do plano de perfil
na determinação dos traços de um plano h1
S1 que contém a recta p, o que nos
definido por duas rectas horizontais paralelas
permitiria obter em
– fθ fica definido por F e F’ (os traços frontais h’1 rebatimento, e de forma
das rectas h e h’) e hθ é concorrente com fθ
simultânea, a recta p, paralela
no eixo X e paralelo a h e h’ (rectas ao β1 ,3, e os traços de p nos
horizontais de um plano são paralelas entre
planos de projecção.
si).
Nota que os traços de θ ficam coincidentes.

14. recta de perfil – bissector
β2,4:
Recta não contida no bissector, e
paralela a uma recta do bissector, via
rebatimento.

15. Uma recta de perfil p é paralela ao β2,4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os traços
a recta p nos planos de projecção.
p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ fπr
Fr ≡ F2
A2 Ar
pr
(e1) ≡ H2 ≡ F1 Hr
x ≡ hπr
A solução passa pela
utilização de um plano
A1 auxiliar de perfil π que
contém a recta p.
ir Depois uma recta auxiliar
de perfil passante i,
pertencente ao β2,4 ,
rebatida, permite
desenhar a recta p
rebatida, para depois
H1
obter as projecções de F e
H da recta p.

16. plano – plano, geral:
Planos com mesma orientação e
não coincidentes, com duas rectas
concorrentes de um plano
paralelas a duas rectas
concorrentes de outro plano, via
os traços dos planos (frontal e
horizontal).

17. Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com –2 de abcissa, que
fazem com o eixo x ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respectivamente em relação ao
fα e hα. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto
P (3; 2; 3).
y≡ z
fα
fδ
h2
P2 F2
x F1
P1
h1
hδ hα
A solução passa pela utilização de uma
recta auxiliar horizontal h, passando
pelo ponto P, e portanto pertencente
ao plano δ.

18. plano de rampa - plano
de rampa:
Planos com mesma orientação
e não coincidentes, com uma
recta de um plano paralela a
outra de outro plano, via rectas
auxiliares.

19. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de
cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ, têm,
respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de
rampa são paralelos entre si.
fσ F’2
s2
fρ F2
H2 H’2
x F1 F’1
r2
hρ
H1
r1
s1
hσ
H’1