1) O documento apresenta exercícios resolvidos sobre assintotas de funções racionais. 2) Aborda conceitos como assintotas verticais e horizontais e como identificá-las a partir da representação gráfica de uma função. 3) Inclui exercícios que pedem para identificar assintotas, determinar expressões de funções dadas suas assintotas e resolver inequações envolvendo funções racionais.

1. numerosnamente 1
Assintotas - Exercícios resolvidos
1- No referencial da figura está representada graficamente uma função racional do tipo
( ) . Pode concluir-se que:
A) a>0 , b<0 e c<0
B) a<0, b>0 e c<0
C) a>0, b<0 e c<0
D) a<0, b>0 e c>0
Resolução:
Pelo gráfico temos a assintota vertical positiva e a
assintota horizontal negativa.
Na função a assintota vertical obtém-se por:
 …então para estar no gráfico como positiva, logo
o valor de
A fracção é decrescente e impar, logo
Opção B)
2- Qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função definida por
( ) , sabendo que e
Resolução:
Sendo a fração …tem-se as opções A), B) e D)
A assintota vertical na função , é …se , a assintota situa-se na parte negativa
da representação gráfica….Opção A) e B)
A assintota horizontal , com …opções A), C) e D)
Resumindo todas as opções obtém-se:

2. numerosnamente 2
Opção A)
3- As retas e são assintotas do gráfico de uma função . Poe-se concluir
que o gráfico da função definida por ( ) ( ) admite como assintotas as
retas de equações:
A) e
B) e
C) e
D) e
Resolução:
A. Horizontal: ( )
A. Vertical:
Opção C)
4- Considere a função racional definida por ( ) . As assintotas do gráfico desta
função são:
A) e
B) e
C) e
D) e
Resolução:
 : = 
0 7
( )
)

3. numerosnamente 3
5- Considere a função real de variável real definida por ( ) e que se
encontra representada graficamente no referencial o. n. da figura ao lado.
ao pontos e pertencem ao gráfico de e têm de abcissas 2
e 0, respectivamente.
S coordenadas do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ são:
A) (4; -2,8)
B) (-2;-0,2)
C) (-2; 0,8)
D) (-2; -0,8)
Resolução:
( ( )) ( ) ; ( ( )) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Opção D)
6- Relativamente à função real de variável real definida por ( )
A) Tem de domínio  e o seu gráfico não admite assintotas.
B) Tem domínio 3 e as retas e são assintotas do seu gráfico.
C) Tem domínio 3 e o seu gráfico não admite assintotas.
D) Tem domínio 3 e as retas e são assintotas do seu gráfico.
Resolução:
 : =3
6
( ) ….assim não tem assintotas
Opção C)

4. numerosnamente 4
7- A representação gráfica da figura corresponde a uma função racional do tipo
( ) , sendo e números reais.
Quanto aos parâmetros e , pode concluir-se que:
A)
B)
C)
D)
Resolução:
No gráfico tem-se para a assintota vertical
, logo  e para a assintota
horizontal o que faz com que o valor de
Assim a função é: ( ) . Esta função passa no ponto ( ) e assim determina-se o
valor de ;
( )  
Opção A)
8- Considere os polinómios ( ) e ( ) com a , b 
Acerca do número de zeros de função racional definida por ( )
( )
( )
, pode-se
concluir que:
A)Não tem zeros
B)Tem dois zeros
C)Tem um único zero
D)Tem no máximo dois zeros
Resolução:
( )  ( )  ( )  (  ) 
) se (  )

5. numerosnamente 5
9- Considere a função racional definida por ( )
O domínio da função é:
A)
B) 
C)  
D) 
Resolução:
= : 

√
 
=   
)
10- Dada a equação , pode concluir-se que:
A) É impossível.
B) Tem exatamente duas soluções.
C) Tem apenas uma solução.
D) Tem três soluções.
Resolução:
   ( )  
 (   )  ( )
Temos duas soluções: Opção B)

6. numerosnamente 6
11- No referencial da figura estão representações gráficas das funções e , definidas
respetivamente, por ( ) e ( )
Em relação ao conjunto de números reais
- , 01, + pode afirmar-se que o conjunto
solução da condição:
A) ( ) ( )
B) ( ) ( )
C) ( ) ( )
D) ( ) ( )
Resolução:
( ) ( )  ( ) ( ) …aqui aplica-se o intervalo, sendo na figura a função
representada a vermelho e a função representada a preto.
)
12- No referencial da figura encontra-se representada graficamente uma função de
domínio -2. Sabe-se que as retas e são assintotas do gráfico de .
Por observação do gráfico pode afirmar-se que:
A) ( )
B) ( ) 
C) ( )
D) ( )
Resolução:
( )  ( )
Opção D)
13- O gráfico da função definida por ( ) admite como assintotas as retas de
equações:
A) e
B) e
C) , e
D) e
Resolução:

7. numerosnamente 7
( ) 
A. Vertical:
A. Horizontal:
Opção B)
14- No referencial da figura encontram-se representadas graficamente duas funções e
Sabe-se que os pontos (2 , -3) e (4, -1) são comuns aos gráficos das duas funções e que
( ) .
14.1- O conjunto-solução da condição ( ) ( ) é:
A)  - , 2    3 , 4 
B)  2 , 3    4 , +
C)  - , 
D) - , 2  4 , +
Resolução:
Função é uma reta:
Declive =   ….para calcular b basta
substituir o ponto (2, -3)….temos então b= -5
( )
( ) ( )  ( ) ( ) só acontece para a Opção A)
14.2- O ponto de interseção do gráfico de com o eixo das ordenadas é:
A) (0 , -5)
B) (0 , -2)
C) (0 , -4)
D) (0 , -6)
Resolução:
( ) …eixo das ordenadas  ( )
Opção A)

8. numerosnamente 8
15- No referencial da figura encontra-se representada uma função racional que admite
as retas e como assintotas.
As assintotas da função tal que ( ) ( ) são:
A) e
B) e
C) e
D) e
Resolução:
( ) passar a ter por A. Vertical:
A. Horizontal: ( )
Opção C)
16- No referencial da figura encontram-se representadas as assintotas de uma função
racional
Qual das seguintes expressões pode definir ( )?
A) ( )
B) ( )
C) ( )
D) ( )
Resolução:
O ponto (0 , 3) pertence ao gráfico da função. Assim substituindo nas expressões, obtém-
se a opção válida ( ) …Opção D)

9. numerosnamente 9
17- Na figura encontram-se representadas graficamente e tais que ( ) e
( ) ( ) , .
17.1 – Indica os valores de e .
17.2- Identifica as equações das assintotas do gráfico de
uma função tal que: ( ) ( )
Resolução:
17.1 - ( ) , tem A. Vertical: e A. Horizontal:
Na função ( ) ( ), a assintota vertical é e a assintota horizontal
é
17.2 – A. Horizontal: ; A. Vertical:
18- Considere a função definida por ( )
a) Descreva uma sequencia de transformações que permita obter o gráfico de a da
curva do gráfico de equação .
b) Faz um gráfico da função .
c) Resolva graficamente a inequação ( ) .
Resolução:
a) Na função ( ) , temos A. Vertical e A. Horizontal
Assim a função sofreu uma translação associada ao vetor ⃗ ( ) e posteriormente
sofreu uma nova translação associada ao vetor ( )
b)
c) ( )

10. numerosnamente 10
( )  ( )   
 
19- Na figura está representada graficamente a função , definida por uma expressão do
tipo ( ) , e a função , cujo gráfico é uma reta.
Sabe-se que o ponto (2 , 0 ) pertence ao gráfico de e as retas são
assintotas do gráfico de .
a) Indica os valores correspondentes a
b) Determine uma expressão ( ) que caracterize a função
sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos de
interseção do gráfico de com os eixos do referencial.
Resolução:
a) ( ) ; ; ;
( ) ( ) 
b) Ponto (2, 0) e (0 ,- )
Declive = m=
( )
( )
20- Seja a função definida por ( ) .
a) Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de com os eixos
coordenados.
b) Escreva ( ) n forma ( ) .
c) A partir do esboço gráfico de indica os seguintes limites:
C1) ( )
C2) ( )
C3) ( )
C4) ( )

11. numerosnamente 11
Resolução:
a) Eixo   ; Ponto ( )
Eixo  ; Ponto (0 , )
b)
0 5
( )
c)
C1) ( )
C2) ( )
C3) ( ) 
C4) ( ) 
21- Na figura está representada uma função de domínio 6, em que as retas e
são assintotas do seu gráfico.
Por observação do gráfico, responda às
seguintes alíneas:
a) Qual é o contradomínio da função ?
b) Indica pontos de descontinuidade caso
existam.
c) Completa as igualdades
C1) ( )
C2) ( )
C3)  ( )
C4)  ( )
C5) ( )

12. numerosnamente 12
C6) ( )
d) Considere as funções e definidas por ( ) | ( )| e ( ) ( )
D1) Indica as assintotas do gráfico de .
D2) Indica os zeros de .
Resolução:
) 4
b) Pontos de descontinuidade: ;
c) C1) ( )
C2) ( )
C3)  ( )
C4)  ( )
C5) ( )
C6) ( )
d) D1) A. Vertical: ; A. Horizontal:
D2) zeros: -5 e 4
22- A função representada no referencial ao lado é do tipo:
. As retas e são
assintotas do gráfico de
A) Indique os valores de e , sabendo que é zero
da função .
B) Indica, justificando, o valor lógico das preposições:
B1)  ( ) ( )
B2) ( )
B3)  ( )
B4)    ( )
B5)    ( )
Resolução:
A)  ;
B) B1) Falso pois se ( ) ( )
B2) Falso pois -2 não pertence ao contradomínio de
B3) Verdadeiro
B4) Verdadeiro
B5) Falso temos uma parte positiva e uma prate negativa.
23- Considere a família de funções definidas por ( ) .

13. numerosnamente 13
Indica o valor de para o qual se verifica a condição:
A) O contradomínio é -3;
B) A equação ( ) é impossível;
C) A reta de equação é assintota do gráfico da função.
Resolução:
A) A A. Horizontal: e o valor de ( não pertence ao contradomínio)
B)   

C)  …logo o valor de
24- Considere a função definida por f(x)= .
A) Resolva por processo analíticos a inequação ( )
Resolução:
A)   
Cálculos auxiliares:
 ;  (neste ponto a fração não tem significado,
pois para não pertence ao domínio da expressão).
- -4 -1 + 
- 0 + 3 +
- -3 - 0 +
( ) + 0 - s/s +
- , -4   -1 , + 
25- No referencial da figura apresentam-se representações gráficas de duas funções e ,
tais que:
é uma função polinomial do 3º grau definida por
( ) ;
é a restrição a  de uma função racional do tipo
( ) ; :
os pontos de interseção dos gráficos de são os
pontos e , sendo (1 , 2) as coordenadas de .
A) Mostre que o ponto tem de coordenadas (3 , 0)

14. numerosnamente 14
B) Caracterize a função , começando por determinar e
C) Determine o conjunto-solução da condição:
C1) ( )
C2) ( ) ( )
C3)
( )
( )
Resolução:
A) O ponto é comum às duas funções e é um zero (raíz) das duas funções;
( )   ( )  
=(3 , 0) ; O=(0,0)
B) ( )   ; ( ) 

 
C) C1) ( )
Note que ( )   3 , +
Para ( )   5 , +
C2) ( ) ( )  ( ) ( )   0 , 1    3 , +
C3)
( )
( )
 ( ( )  ( ) )( ( )  ( ) ) ( )
 0 , 2    3 , +
26- Considere as funções e definidas, respectivamente, por: ( ) e ( )
A) Indique o domínio de e as equações das assintotas do seu gráfico.
B) Para que valores de o gráfico de está acima do gráfico de
Resolução:
A)       
0
( ) ; A. Vertical: ; A. Horizontal:
B)

15. numerosnamente 15
Vamos determinar os pontos de interseção de com :
   
√

  
Assim entre e (A. Vertical) o gráfico de está acima do gráfico de .
 
27- Considere as funções e definidas, respectivamente, por: ( ) e
( ) .
a) Determine e de modo que ( )
b) Indique uma sequência de transformações que permita obter o gráfico da função a
partir do gráfico da função
Resolução:
a)
( )
b) Fazer uma translação associada ao vetor (0 , 4)

16. numerosnamente 16
28- Resolva, em , as seguintes inequações:
a)
b)
Resolução:
a)
 ;  (note que 3 não pertence ao domínio da
expressão)
 3 +
1 - 0 + 5 +
+ + 0 -
( ) - 0 + s/s -
 - ,    3 , + 
b)
Cálculos auxiliares:
   ( )   (nota
que 0 e 1 não pertencem ao domínio da expressão)
 0 1 +
- 0 + 1 + 0 -
+ 2 + 0 - 0 +
( ) - 0 + s/s - ind -
 -1 , 0
29- No referencial da figura está uma representação gráfica da função definida por
( ) e as retas e são assintotas do seu
gráfico.
a) Escreva equações que definam as retas e .
b) Determine as coordenadas dos pontos e ,
assinalados na figura.
c) Caracteriza:
C1) A restrição de cujo contradomínio é  2 , +
C2) O prolongamento de a , sabendo que a
equação ( ) é possível, qualquer que seja o
número real

17. numerosnamente 17
Resolução:
a)
0
( ) A. Vertical: reta …. ; A. Horizontal: reta …
b) Ponto = interseção com eixo das ordenadas ( ) ; ( )
Ponto = interseção com o eixo das abcissas ( )
   ; Ponto ( )
c) C1)  -2 , -1  
C2)  
( ) {
30- No referencial da figura está uma representação gráfica da função definida por
( ) e as assintotas representadas pelas retas e , sendo o seu ponto
de interseção.
a) Determine as coordenadas do ponto
b) Indique as equações das assintotas do gráfico
da função definida por ( ) ( )
c) Determine os zeros de .
d) Para que valores inteiros de a equação
( ) é impossível.
Resolução:
a) As retas e são as assintotas da função .
A interseção das assintotas é feita no ponto .
O   ; reta : é a A.
Vertical.
A reta é a assintota obliqua de .
0
0
( )

18. numerosnamente 18
A. Horizontal = reta =
O ponto P = {  { ; P=(-3 , 15)
b) ( ) ( )….Vamos ter translações associadas ao vetor (1 , 0) e depois nova
translação associada ao vetor (0 , 2)
A. Vertical:
Para a assintota obliqua, para fazermos a sua translação, o seu declive vai-se manter, e
apenas vai-se alterar o valor da ordenada.
A. Obliqua: ( ) 
c) ( )     
Zeros =  
d) ( ) 
( ) ( )

( ) √( ) ( )
Para ser impossivel <0  ( ) ( )
Os valores negativos acontecem para  0 , 30   