Introdução a Teoria dos Grafos

2.215 visualizações

Publicada em

Matemática Discreta.Introdução a Teoria dos Grafos

Publicada em: Educação
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.215
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
94
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Introdução a Teoria dos Grafos

  1. 1. Introdução à Teoria dos Grafos
  2. 2. Sumário • Definições e Aplicações • Terminologia • Grafos Isomorfos • Grafos Planares • Árvores
  3. 3. Definição Informal • Um grafo é um conjunto finito não-vazio de nós (ou vértices) e um conjunto finito de arcos (ou arestas) tais que cada arco conecta dois nós.
  4. 4. Exemplo • Um grafo com 5 nós e 6 arestas ‣ A aresta a1 conecta os nós 1 e 2 1 3 4 2 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6
  5. 5. Definição Formal • Um grafo é uma tripla ordenada (N, A, g), onde ‣ N é um conjunto não-vazio de nós (ou vértices) ‣ A é um conjunto de arcos (ou arestas) ‣ g é uma função que associa a cada arco um par não-ordenado x-y de nós, chamados de extremidades do arco.
  6. 6. Exemplo • Um grafo G = (N,A, g): ‣ N = {1, 2, 3, 4, 5} ‣ A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6} ‣ g(a1) = 1-2; g(a2) = 1-2; g(a3) = 2-2; g(a4) = 2-3; g(a5) = 1-3; g(a6) = 3-4; 1 3 4 2 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6
  7. 7. Exercício • Esboce o grafo G = (N,A, g), com ‣ N = {1, 2, 3, 4, 5} ‣ A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6} ‣ g(a1) = 1-2; g(a2) = 1-3; g(a3) = 3-4; g(a4) = 3-4; g(a5) = 4-5; g(a6) = 5-5;
  8. 8. Grafo Direcionado • Um grafo direcionado (dígrafo) é uma tripla ordenada (N, A, g), onde ‣ N é um conjunto não-vazio de nós ‣ A é um conjunto de arestas ‣ g é uma função que associa a cada arco um par ordenado (x, y) de nós, onde x é a extremidade inicial e y é a extremidade final do arco.
  9. 9. Exemplo • Um grafo direcionado D = (N,A, g): ‣ N = {1, 2, 3, 4} ‣ A = {a1, a2, a3, a4, a5} ‣ g(a1) = (1, 2); g(a2) = (1, 4); g(a3) = (1, 3); g(a4) = (3, 1); g(a5) = (4, 4); 1 3 4 2 a1 a2 a3 a5 a4
  10. 10. Outros Tipos de Grafos • Grafo Rotulado ‣ identificadores (rótulos) associados aos nós • Grafo com Pesos ‣ valor numérico (peso) associado às arestas
  11. 11. Aplicações • Grafos podem ser usados para modelar problemas em diversas áreas: ‣ redes de comunicação ‣ malhas viárias ‣ redes de distribuição de serviços e produtos ‣ diagramas de fluxo ‣ ...
  12. 12. BH SP 587 Vitória438 RJ 527 515 442 Brasília 1009 734 Salvador 1457 1170 1358
  13. 13. Terminologia • Dois nós são adjacentes, se ambos são as extremidades de uma aresta. • Um laço em um grafo é uma aresta com extremidades n-n (para algum nó n). • Duas arestas com as mesmas extremidades são denominadas arestas paralelas. • Um grafo simples é um grafo sem laços e sem arestas paralelas.
  14. 14. Grafo Completo • Um grafo completo é um grafo no qual quaisquer dois nós distintos são adjacentes. ‣ O grafo simples completo com n nós é denotado por kn. k5 k6
  15. 15. Subgrafo • Um subgrafo de um grafo consiste em um conjunto de nós e um conjunto de arestas que são subconjuntos do conjunto original de nós e de arestas, respectivamente. • Exemplo: H é um subgrafo do grafo G. 1 3 4 2 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 3 2 a4 a5 HG
  16. 16. Caminho em um Grafo • Um caminho do nó n0 para o nó nk é uma seqüência n0, a0, n1, a1, ... , nk-1, ak-1, nk de nós e arestas onde, para cada i, as extremidades da aresta ai são ni-ni+1. ‣ Exemplo: um caminho do nó 1 para o nó 4 em G consiste na seqüência 1, a1, 2, a4, 3, a6, 4 1 3 4 2 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6 G O comprimento de um caminho é o número de arestas que ele contém.
  17. 17. Ciclo • Um ciclo é um caminho de um nó n para ele mesmo tal que nenhum arco aparece mais de uma vez. ‣ Um grafo sem ciclos é denominado acíclico. 1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h i j G O caminho 3, g, 6, j, 5, h, 3 é um ciclo em G.
  18. 18. Terminologia • Um nó isolado é um nó que não é adjacente a nenhum outro. • O grau de um nó é o número de extremidades de arestas naquele nó. • Um grafo conexo é um grafo no qual existe um caminho de qualquer nó para qualquer outro.
  19. 19. Grafo Bipartido Completo • Um grafo é bipartido completo se seus nós podem ser divididos em dois conjuntos disjuntos não-vazios N1 e N2, tal que dois nós são adjacente se, e somente se, um deles pertence a N1 e o outro a N2. ‣ Se | N1 | = m e | N2 | = n, o tal grafo é denotado por Km,n. K2,3 1 2 3 4 5
  20. 20. Exercícios 1. Desenho o grafo k4. 2. Desenhe o grafo k3,3. 3. Desenhe um grafo conexo que não é completo. 4. Todo grafo acíclico é simples? E todo grafo símples, é acíclico?
  21. 21. Grafos Isomorfos • Dois grafos podem parecer diferentes em sua representação visual, mas ainda assim serem o mesmo grafo segundo a definição formal. ‣ O importante é saber distinguir entre dois grafos que têm estruturas fundamentais diferentes.
  22. 22. • Os grafos G e H a seguir são iguais ‣ mesmos nós e arestas ‣ mesma função que associa as extremidades a cada aresta 1 3 a1 4 2 a2 1 3 a1 4 2 a2 G H
  23. 23. • Duas estruturas que são essencialmente iguais, são denominadas isomorfas. • Para mostrar que duas estruturas são isomorfas, precisamos: ‣ obter uma bijeção entre os elementos das duas estruturas ‣ mostrar que as suas propriedades fundamentais são preservadas • No caso de grafos, os elementos são os nós e arestas e a propriedade fundamental é “quais arestas conectam quais nós” (adjacência).
  24. 24. • Os grafos G e I são, essencialmente, o mesmo grafo, considerando as bijeções: ‣ s (entre os nós) ‣ t (entre as arestas) 1 3 a1 4 2 a2 a b e1 dc e2 G I s(1) = a s(2) = c s(3) = b s(4) = d t(a1) = e2 t(a2) = e1 Ex. a1 => 1-3 → t(a1) => s(1)-s(3)
  25. 25. Definição • Dois grafos (N1,A1, g1) e (N2,A2, g2) são isomorfos, se existem bijeções f1: N1→N2 e f2:A1→A2 tais que, para cada arco a ∈ A1, g1(a) = x-y g2(f2(a)) = f1(x)-f1(y).
  26. 26. Exemplo • Os grafos G e H a seguir são isomorfos? Caso sejam, apresente as bijeções que estabelecem o isomorfismo. G H
  27. 27. Teorema • Dois grafos simples (N1,A1, g1) e (N2,A2, g2) são isomorfos, se existe uma bijeção f: N1→N2 tal que, ∀ x, y ∈ N1, x e y são adjacentes se, e somente se, f(x) e f(y) são adjacentes.
  28. 28. Exemplo • Encontre um isomorfismo entre os grafos a seguir.
  29. 29. • Condições nas quais dois grafos não são isomorfos. ‣ um grafo tem mais nós que o outro; ‣ um grafo tem mais arestas que o outro; ‣ um grafo tem arcos paralelos, um laço, ou um ciclo e o outro não; ‣ um grafo tem um nó de grau k e o outro não; ‣ um grafo é conexo e o outro não; ‣ etc.
  30. 30. Exemplo • Prove que os dois grafos a seguir não são isomorfos.
  31. 31. Exemplo • Prove que os dois grafos a seguir não são isomorfos.
  32. 32. • Grafos isomorfos são estruturalmente iguais, independentemente das diferenças na representação gráfica. • Grafos não isomorfos têm diferenças estruturais.
  33. 33. Grafos Planares • Um grafo planar é um grafo que pode ser representado em um plano de modo que suas arestas não se interceptem (exceto em extremidades). • Aplicação ‣ projeto de circuitos integrados (evitar cruzamento das conexões entre componentes em uma camada do chip)
  34. 34. Exemplos 1 3 4 2 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 3 a1 4 2 a2 G I H
  35. 35. K5 não é planar. 1 2 34 5 K3,3 não é planar. 1 2 3 4 5 6
  36. 36. Teorema • Para um grafo planar simples e conexo com n nós e a arestas: ‣ se a representação planar divide o plano em r regiões, então n - a + r = 2 (fórmula de Euler); ‣ se n ≥ 3, então a ≤ 3n - 6; ‣ se n ≥ 3 e não existem ciclos de comprimento 3, então a ≤ 2n - 4.
  37. 37. Grafos Homeomorfos • Dois grafos são ditos homeomorfos se ambos podem ser obtidos do mesmo grafo por uma seqüência de subdivisões elementares, nas quais um único arco x-y é substituído por dois novos arcos x-v e v-y.
  38. 38. G H I H e I são homeomorfos.
  39. 39. Teorema de Kuratowski • Um grafo é não planar se, e somente se, ele contém um subgrafo que é homeomorfo a K5 ou K3,3.
  40. 40. Árvores • Uma árvore é um tipo especial de grafo.
  41. 41. Definição • Uma árvore é um grafo conexo e acíclico com um nó especial denominado raiz. ‣ um grafo conexo acíclico sem uma raiz especificada é chamado de árvore livre. A1 A2 A3
  42. 42. Definição Recorrente • Um único nó é uma árvore ‣ a raiz é o próprio nó • Se A1,A2, ... ,An são árvores com raízes r1, r2, ..., rn, o grafo formando conectando-se a um nó r cada um dos nós r1, r2, ..., rn é uma nova árvore com raiz r.
  43. 43. Exemplo A1 A2 r1 r2 r
  44. 44. r a c d b e • Se r é raiz da árvore, então: ‣ o nó r é pai dos nós a e b; ‣ os nós a e b são filhos de r; ‣ os nós c e d são filhos de a.
  45. 45. Terminologia • Existe um único caminho da raiz para qualquer nó da árvore. • Uma árvore com n nós possui n-1 arestas. • A profundidade de um nó é o comprimento do caminho da raiz até esse nó. • A altura de uma árvore é a maior profundidade dos nós da árvore.
  46. 46. Terminologia • Um nó sem filhos é chamado de folha. • Floresta é um grafo acíclico (uma coleção de árvores disjuntas). • Uma árvore binária é uma árvore na qual cada nó tem, no máximo, dois filhos. • Uma árvore binária cheia é aquela na qual todos os nós internos têm dois filhos e todas as folhas estão na mesma profundidade.
  47. 47. Exemplo • Uma árvore binária cheia de altura 3.
  48. 48. Exemplo • Uma floresta.
  49. 49. Aplicações • Árvores de decisão; • Árvore genealógica; • Fluxo organizacional (hierarquia em uma empresa); • Estrutura de arquivos e diretórios em um computador; • ...
  50. 50. + - + * 2 5 3 2 4 10 *
  51. 51. + - + * 2 5 3 2 4 10 * (((2*5)+3)-2) + (4*10)
  52. 52. + - + * 2 5 3 2 4 10 * (((2*5)+3)-2) + (4*10) +(-(+(*(2,5),3)2), *(4,10))
  53. 53. Percursos em Árvores • Percorrer uma árvore significar visitar todos os seu nós • Considerando árvores binárias, temos as seguintes estratégias de percurso: ‣ Pré-ordem (raiz, esquerda, direita) ‣ Ordem simétrica (esquerda, raiz, direita) ‣ Pós-ordem (esquerda, direita, raiz)
  54. 54. Exemplo • Pré-ordem (raiz, esquerda, direita) ‣ a, b, d, e, c, f, h, i, g • Ordem simétrica (esquerda, raiz, direita) ‣ d, b, e, a, h, f, i, c, g • Pós-ordem (esquerda, direita, raiz) ‣ d, e, b, h, i, f, g, c, a a b d e h i f c g

×