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Aula 15

Integrais inde¯nidas

15.1      Antiderivadas
Sendo f (x) e F (x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

        F ¶ uma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F 0 (x) = f(x)
          e
para todo x 2 I.
     Ou seja, F ¶ antiderivada ou primitiva de f se F ¶ uma fun»~o cuja derivada ¶ f.
                e                                     e        ca                e
     Como primeiros exemplos, temos

                            f(x)        primitiva de f (x)
                            3x2         x3
                            2           2x
                            ex          ex
                            sen x       ¡ cos x

Observa»~o 15.1 Se F ¶ antiderivada de f em I, e c ¶ uma constante, ent~o F + c
       ca              e                           e                   a
tamb¶m ¶ uma antiderivada de f em I.
    e e
     De fato, se F 0 (x) = f (x), para todo x 2 I, ent~o
                                                      a
      [F (x) + c]0 = F 0 (x) = f (x), e portanto F (x) + c tamb¶m ¶ uma antiderivada de
                                                               e e
f (x) em I.
                                               p
      Assim, por exemplo x3 , x3 + 5 e x3 ¡ 2 s~o primitivas de 3x2 .
                                                    a
      Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»~o
                                                                            ca
diferem entre si por uma constante.

Proposi»~o 15.1 Se F1 e F2 s~o antiderivadas de f , em I ½ R, ent~o existe c 2 R
        ca                       a                               a
tal que F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I.

                                         125
Integrais indefinidas                                                                  126


     Para demonstrar a proposi»~o 15.1, faremos uso do seguinte resultado.
                              ca

Lema 15.1 Se f ¶ cont¶
                 e       ³nua no intervalo [a; b] e f 0 (x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~o
                                                                                        a
f ¶ constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f (x) = c para todo x 2 [a; b].
  e
     Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este
lema ¶ conseqÄ^ncia de um teorema importante sobre fun»~es deriv¶veis, conhecido
     e         ue                                          co        a
como teorema do valor m¶dio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶dio
                         e                                                       e
mais adiante, julgamos oportuno cit¶-lo agora.
                                   a

Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶dio) Suponhamos que f ¶ uma fun»~o con-
                                           e                           e           ca
 ³nua no intervalo [a; b] e deriv¶vel no intervalo ]a; b[. Ent~o existe w 2 ]a; b[ tal que
t¶                               a                            a

                                   f (b) ¡ f (a)
                                                 = f 0 (w)
                                       b¡a
      Aceitaremos este teorema sem demonstra»~o, e faremos uma interpreta»~o ge-
                                                  ca                             ca
om¶trica de seu resultado.
   e
                    f (b) ¡ f(a)                             ¢f
      O quociente                ¶ a taxa de varia»~o m¶dia,
                                 e                ca   e        , da fun»~o f , no inter-
                                                                        ca
                        b¡a                                  ¢x
valo [a; b], sendo ¢x = b ¡ a e ¢f = f (b) ¡ f (a).
      Ele ¶ o coe¯ciente angular da reta passando por A = (a; f (a)) e B = (b; f (b)).
          e
O teorema do valor m¶dio diz que essa taxa de varia»~o m¶dia ¶ tamb¶m a taxa de
                       e                              ca   e    e      e
varia»~o instant^nea de f , em rela»~o a x, df =dx, em algum ponto w no interior do
     ca         a                  ca
intervalo. Em termos geom¶tricos, a inclina»~o da reta AB coincide com a inclina»~o
                            e               ca                                    ca
de uma reta tangente ao gr¶¯co de f em um ponto (w; f(w)), para algum w 2 ]a; b[ .
                            a
A ¯gura 15.1 ilustra o teorema do valor m¶dio.
                                          e

                                   y
                                                             B
                            f(b)

                                       A
                            f(a)


                               0       a          w           b


                                           f (b) ¡ (f (a)
                          Figura 15.1.                    = f 0 (w).
                                               b¡a

      Uma interpreta»~o cinem¶tica do teorema do valor m¶dio ¶ a seguinte: a velocidade
                    ca        a                         e e
m¶dia de um ponto m¶vel, em movimento retil¶
  e                    o                        ³neo, no intervalo de tempo [t1 ; t2 ],
coincide com sua velocidade instant^nea em algum instante t0 2 ]t1 ; t2 [, isto ¶,
                                   a                                            e

          ¢s   s(t2 ) ¡ s(t1 )
             =                 = s0 (t0 ) em um instante t0 , com t1 < t0 < t2
          ¢t      t2 ¡ t1
Integrais indefinidas                                                                       127


     Por exemplo, se um carro, com velocidade vari¶vel, faz um percurso de 180 km
                                                   a
em duas horas, sua velocidade m¶dia ¶ 180km = 90 km/h. Intuitivamente, sabemos que
                               e    e 2h
em algum instante do percurso, seu veloc¶³metro acusar¶ a velocidade instant^nea de
                                                      a                     a
90 km/h.
Demonstra»~o do lema 15.1. Suponhamos f 0 (x) = 0 para todo x 2 I, sendo I ½ R um
           ca
intervalo.
       Mostraremos que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, x1 < x2 , tem-se f (x1 ) =
f (x2 ), e portanto f ¶ constante em I.
                      e
                   ³nua em [x1 ; x2 ] e deriv¶vel em ]x1 ; x2 [.
       Temos f cont¶                         a
                                       f (x2 ) ¡ f (x1 )
       Pelo teorema do valor m¶dio,
                              e                          = f 0 (w) para algum w 2 ]x1 ; x2 [ .
                                           x2 ¡ x1
       Como f 0 (w) = 0, temos f (x1 ) = f (x2 ), e nossa demonstra»~o termina aqui.
                                                                   ca
                                                  0        0
Demonstra»~o da proposi»~o 15.1. Suponhamos que, F1 (x) = F2 (x) = f (x) para todo
          ca             ca
x 2 I, I um intervalo de R.
       Consideremos a fun»~o ' = F1 ¡ F2 .
                         ca
       Ent~o, '0 (x) = F1 (x) ¡ F2 (x) = f (x) ¡ f (x) = 0, para todo x 2 I.
          a             0        0


       Pelo lema 15.1, ' ¶ constante no intervalo I.
                         e
       Assim, existe c 2 R tal que F1 (x) ¡ F2 (x) = c para todo x 2 I.
       Portanto F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I.
De¯ni»~o 15.1 (Integral inde¯nida) Sendo F uma primitiva de f no intervalo I,
       ca
chama-se integral inde¯nida de f , no intervalo I, µ primitiva gen¶rica de f em I,
                                                   a              e
F (x) + C, sendo C uma constante real gen¶rica. Denotamos tal fato por
                                           e
                             Z
                                f (x) dx = F (x) + C

Nesta nota»~o, omite-se o intervalo I.
          ca


15.2         Integrais imediatas
Coletaremos agora algumas integrais inde¯nidas cujo c¶lculo ¶ imediato.
                                                     a      e

Proposi»~o 15.2
       ca

       R             x®+1
  1.       x® dx =        + C, se ® 6¡1.
                                    =
                     ®+1
       Z
           1
  2.         dx = ln jxj + C.
           x
Integrais indefinidas                                                                             128

        R
   3.       sen x dx = ¡ cos x + C.
        R
   4.       cos x dx = sen x + C.
        R
   5.       ex dx = ex + C.
        R              ax
   6.       ax dx =        (a > 0; a 61).
                                     =
                      ln a
        R
   7.       sec2 x dx = tg x + C.
        R
   8.       cosec2 x dx = ¡ cotg x + C.
        R
   9.       sec x ¢ tg x dx = sec x + C.
        R
 10.        cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C.
        Z
               1
 11.                dx = arc tg x + C.
             1 + x2
        Z
                1
 12.         p       = arc sen x + C.
              1 ¡ x2

     Para a dedu»~o das integrais acima, basta veri¯car que a derivada do segundo
                ca
membro, em cada igualdade, ¶ a fun»~o que se encontra sob o sinal de integra»~o.
                            e       ca                                        ca
Como exemplos,
           µ ®+1 ¶0
             x                   x®+1¡1
se ® 6¡1,
     =              = (® + 1) ¢         = x® .
            ®+1                  ®+1
(ln jxj)0 = 1=x:
se x > 0, (ln jxj)0 = (ln x)0 = 1=x;
                                                1
se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 =                 ¢ (¡x)0 = 1=x.
                                               ¡x
                           µ          ¶0
                                ax             ax ln a
(ax )0 = ax ¢ ln a, logo                   =           = ax .
                               ln a             ln a


15.3          Manipula»oes elementares de integrais
                      c~
                 R                                    R
Suponhamos           f(x) dx = F (x) + C1 , e             g(x) dx = G(x) + C2 . Ent~o
                                                                                   a

   1. [F (x) + G(x)]0 = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x), logo
      R                                          R           R
        (f (x)+g(x)) dx = F (x)+G(x)+C = f(x) dx+ g(x) dx                               (C = C1 +C2 ).

   2. Sendo k uma constante real, [k ¢ F (x)]0 = k ¢ F 0 (x) = k ¢ f(x), logo
      R                            R
        kf (x) dx = kF (x) + C = k f (x) dx (kC1 = C)
Integrais indefinidas                                                           129


       Reunimos os fatos acima, com outros tamb¶m ¶teis, na seguinte proposi»~o.
                                               e u                          ca
                        R                      R
Proposi»~o 15.3 Se f (x) dx = F (x) + C e g(x) dx = G(x) + C, ent~o, sendo
          ca                                                              a
a; b 2 R, a 60,
             =
        R
    1. [f(x) + g(x)] dx = F (x) + G(x) + C
        R
    2. k ¢ f (x) dx = k ¢ F (x) + C
        R
    3. f (x + b) dx = F (x + b) + C
        R
    4. f (x ¡ b) dx = F (x ¡ b) + C
        R
    5. f (b ¡ x) dx = ¡F (b ¡ x) + C
        Z
                       1
    6.    f (ax) dx = F (ax) + C
                       a
        Z
                          1
    7.    f (ax + b) dx = F (ax + b) + C
                          a
Demonstra»~o. As duas primeiras propriedades j¶ foram deduzidas acima. Das cinco
          ca                                    a
propriedades restantes, as quatro primeiras s~o conseqÄ^ncias imediatas da ¶ltima, a
                                             a        ue                   u
unica que deduziremos.
¶
       Por hip¶tese, F 0 (x) = f(x).
              o
       Logo [F (ax + b)]0 = F 0 (ax + b) ¢ (ax + b)0 = af (ax + b), de onde
       µ             ¶0
         1                 1
           F (ax + b) = ¢ af(ax + b) = f (ax + b).
         a                 a
                 Z
                                     1
       Portanto f(ax + b) dx = F (ax + b) + C.
                                     a


15.4        Exemplos elementares
       R
  1.   cos x dx = sen x + C. Logo,
          R
      (a) cos 3x dx = 1 sen 3x + C
                           3
          R     ¡          ¢       ¡                 ¢
      (b) cos 2x ¡ 2 dx = 1 sen 2x ¡
                        3¼
                                2
                                                3¼
                                                 2
                                                         +C
     R x
  2. e dx = ex + C. Logo,
          R
      (a) ex¡5 dx = ex¡5 + C
          R
      (b) e2¡x dx = ¡e2¡x + C
          R
      (c) e5x dx = 1 e5x + C
                      5
              R 2
  3. Calcular tg x dx.
Integrais indefinidas                                                             130

     R
         sec2 x dx = tg x + C.
     Temos cos2 x + sen2 x = 1, logo 1 + tg2 x = sec2 x.
     Logo,
     R 2         R                   R         R
       tg x dx = (sec2 x ¡ 1) dx = sec2 x ¡ 1 dx = tg x ¡ x + C
             R
  4. Calcular (5 cos x + cos 5x) dx.
                  Z                          Z          Z
                    (5 cos x + cos 5x) dx = 5 cos x dx + cos 5x dx
                                                                 1
                                                  = 5 sen x +      sen 5x + C
                                                                 5
                R
  5. Calcular       sen x cos x dx.
     Temos sen 2x = 2 sen x cos x, logo sen x cos x = 1 sen 2x. Da¶
                                                      2
                                                                  ³
               Z                      Z
                                    1
                  sen x cos x dx =       sen 2x dx
                                    2
                                    1 1                       1
                                 = ¢ (¡ cos 2x) + C = ¡ cos 2x + C
                                    2 2                       4
              Z p
                  x+1
  6. Calcular         dx.
                   x
                 Z p           Z µp           ¶
                     x+1               x 1
                          dx =           +      dx
                      x               x     x
                               Z p           Z
                                     x          1
                             =         dx +       dx
                                   x            x
                               Z               Z
                                    ¡1=2          1
                             = x         dx +       dx
                                                  x
                               x1=2                   p
                             =       + ln jxj + C = 2 x + ln jxj + C
                               1=2


15.5       Integra»~o por mudan»a de vari¶vel ou
                  ca             c       a
           integra»~o por substitui»~o
                  ca               ca
Suponhamos que
                                      Z
                                          f (x) dx = F (x) + C                  (15.1)


     Suponhamos que x = '(t) ¶ uma fun»~o deriv¶vel de t, para t em um intervalo
                             e        ca       a
I ½ R.
Integrais indefinidas                                                             131


        Na aula 14 de¯nimos a diferencial de x, como sendo
                                             dx
                                      dx =      dt = '0 (t) dt
                                             dt

     No contexto daquela aula, a diferencial dx foi de¯nida como uma boa aproxima»~o
                                                                                 ca
de ¢x, quando dt = ¢t ¶ su¯cientemente pequeno.
                       e
       Neste cap¶
                ³tulo, a diferencial ter¶ um sentido simb¶lico, sendo empregada quando
                                        a                o
realizamos troca de vari¶veis no c¶lculo de integrais.
                         a          a
        Suponhamos de¯nida em I a fun»~o composta f ('(t)).
                                     ca
     Como veremos agora, podemos substituir x = '(t) na express~o 15.1, fazendo
                                                                a
      0
dx = ' (t) dt, ou seja, de 15.1 obtemos
                          Z
                             f('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C           (15.2)

De fato, aplicando deriva»~o em cadeia,
                         ca
                                  d                d             dx
                                     [F ('(t))] =      [F (x)] ¢
                                  dt              dx             dt
                                                    0        0
                                                = F (x) ¢ ' (t)
                                                = F 0 ('(t)) ¢ '0 (t)
                                                = f('(t)) ¢ '0 (t)
        R
logo,       f ('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C.
        Portanto
            Z                          Z
               f (x) dx = F (x) + C =)   f ('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C

pela mudan»a de vari¶vel x = '(t), tomando-se dx = '0 (t) dt.
           c          a
                                 R
 Na pr¶tica, quando calculamos f ('(t))'0 (t) dt, tendo-se as considera»~es acima,
      a                                                                co
 passamos pela seqÄ^ncia de igualdades:
                   ue
             Z                   Z
                        0
               f ('(t))' (t) dt = f (x) dx = F (x) + C = F ('(t)) + C

Algumas vezes, no entanto, fazendo x = '(t), passamos por uma seqÄ^ncia de igual-
                                                                   ue
dades       Z            Z
               f (x) dx = f ('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C = F (x) + C
                                            R
fazendo uso da integral mais complicada" f ('(t)'0 (t) dt para ¯nalmente calcular
R
  f (x) dx. Isto ¶ o que ocorre em substitui»~es trigonom¶tricas, assunto que ser¶
                  e                           co          e                      a
estudado adiante.
Integrais indefinidas                                                             132


     Neste caso, estamos assumindo implicitamente que
         Z                                        Z
                        0
            f ('(t)) ¢ ' (t) dt = F ('(t)) + C =)   f (x) dx = F (x) + C

o que ¶ justi¯cado desde que possamos tamb¶m expressar tamb¶m t = Ã(x), como
       e                                       e                  e
fun»~o inversa e deriv¶vel de x = '(t), para que possamos, ao ¯nal dos c¶lculos, obter
    ca                a                                                 a
a integral inde¯nida como fun»~o de x, a partir de sua express~o em fun»~o de t.
                              ca                              a        ca
                               Z
                                       1
Exemplo 15.1 Calcular               p       dx.
                                     3 ¡ 2x

Solu»~o. Come»amos fazendo a substitui»~o u = 3 ¡ 2x.
    ca       c                        ca
                 du
     Ent~o du =
        a           ¢ dx = (3 ¡ 2x)0 dx = ¡2dx.
                 dx
     Portanto dx = ¡ 1 du.
                      2

     Assim, temos
     Z               Z      µ ¶            Z
           1            1       1        1               1 u¡1=2+1
       p        dx =   p ¢ ¡      du = ¡     u¡1=2 du = ¡ ¢ 1      +C
         3 ¡ 2x          u      2        2               2 ¡2 + 1
                                  p          p
                   = ¡u1=2 + C = ¡ u + C = ¡ 3 ¡ 2x + C
                               R
Exemplo 15.2 Calcular              tg x dx.
           Z               Z
                               sen x
Solu»~o.
    ca         tg x dx =             dx.
                               cos x
     Como (cos x)0 = ¡ sen x, tomamos u = cos x, e teremos
     du = (cos x)0 dx = ¡ sen x dx.
    Assim,
    Z           Z            Z
                  sen x         ¡1
      tg x dx =         dx =       du = ¡ ln juj + C = ¡ ln j cos xj + C
                  cos x         u
                     R
Exemplo 15.3 Calcular sec x dx.

Solu»~o. Calcularemos esta integral por uma substitui»~o que requer um truque esperto.
    ca                                               ca
         Z            Z                              Z
                         sec x ¢ (sec x + tg x)         sec2 x + sec x ¢ tg x
           sec x dx =                           dx =                          dx
                              sec x + tg x                  sec x + tg x
Aplicamos a mudan»a de vari¶vel
                 c         a
                                              u = sec x + tg x
e teremos du = (sec x + tg x)0 dx = (sec x tg x + sec2 x)dx.
           Z             Z
                            1
      Logo, sec x dx =         du = ln juj + C = ln j sec x + tg xj + C.
                            u
Integrais indefinidas                                                               133

                           R
Exemplo 15.4 Calcular          cosec x dx.

Solu»~o. Imitando o truque usado no exemplo anterior, o leitor poder¶ mostrar que
    ca                                                              a
     R
       cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C.
                           Z
                                  x
Exemplo 15.5 Calcular           p       dx.
                                 x2 + 5

Solu»~o. Note que (x2 + 5)0 = 2x. Isto sugere fazermos
    ca
                                                     1
      u = x2 + 5, de onde du = 2x dx, ou seja, x dx = du.
                                                     2
      Temos ent~o
                a
      Z                Z                Z                      p
            x              1 1        1
         p        dx =    p ¢ du =        u¡1=2 du = u1=2 + C = x2 + 5 + C
          x2 + 5            u 2       2


15.6       Ampliando nossa tabela de integrais imediatas
Com a ¯nalidade de dinamizar o c¶lculo de integrais inde¯nidas, ampliaremos a lista
                                   a
de integrais imediatas da se»~o 15.2, adotando como integrais imediatas" as quatro
                            ca
seguintes, que deduziremos em seguida.

Proposi»~o 15.4 Sendo a > 0, e ¸ 60,
       ca                              =
     Z
           dx         1        x
  1.      2 + x2
                  = arc tg + C.
        a             a        a
     Z                      ¯      ¯
            dx         1 ¯a + x¯
                            ¯      ¯ + C.
  2.              =      ln
        a2 ¡ x2       2a ¯ a ¡ x ¯
     Z
             dx                 x
  3.    p            = arc sen + C.
           a 2 ¡ x2             a
     Z                         p
            dx
  4.    p           = ln jx + x2 + ¸j + C
           x2 + ¸
                Z                  Z
                       dx        1        1
Demonstra»~o.
         ca          2 + x2
                              = 2                dx
                    a            a    1 + ( x )2
                                            a

      Fazendo   x
                a
                    = y, temos dx = a dy, e ent~o
                                               a
                      Z               Z                  Z
                             dx     1       a          1      1
                           2 + x2
                                  = 2            dy =            dy
                          a        a     1+y   2       a   y 2+1

                                   1                 1       x
                                  = arc tg y + C = arc tg + C
                                   a                 a        a
Integrais indefinidas                                                                 134


     Para deduzir a segunda integral, lan»amos m~o da decomposi»~o
                                         c      a              ca
                                           1    1
                                   1
                                        = 2a + 2a
                                a2 ¡ x2  a+x a¡x

     Assim sendo,
              Z                   Z                  Z
                     1          1       1          1       1
                          dx =              dx +              dx
                  a2 ¡ x2      2a     a+x         2a    a¡x
                                1               1
                             =    ln ja + xj ¡    ln ja ¡ xj + C
                               2a              2a          ¯     ¯
                                1    ja + xj          1 ¯a + x¯
                             =    ln         +C =       ln ¯     ¯+C
                               2a ja ¡ xj            2a ¯ a ¡ x ¯

Para deduzir a terceira integral, fazemos uso da integral inde¯nida
                            Z
                                     1
                                p         dx = arc sen x + C
                                   1 ¡ x2
e procedemos a uma mudan»a de vari¶vel, tal como no c¶lculo da primeira integral
                            c         a              a
acima. O leitor poder¶ completar os detalhes.
                     a
      Para deduzir a quarta integral, apelaremos para um recurso nada honroso. Mos-
traremos que
                                    p                1
                           (ln jx + x2 + ¸j)0 = p 2
                                                    x +¸
                              p                  p        1
      De fato, sendo u = x + x2 + ¸, e sendo ( w)0 = 2pw ¢ w0 , temos

                       p                       1
            (ln jx +    x2 + ¸j)0 = (ln juj)0 = ¢ u0
                                               u
                                           1            p
                                  =      p       ¢ (x + x2 + ¸)0
                                    x + x2 + ¸
                                           1                1
                                  =      p       ¢ (1 + p        ¢ = x)
                                                                   2
                                    x + x2 + ¸          = x2 + ¸
                                                        2
                                                   p
                                           1         x2 + ¸ + x        1
                                  =      p       ¢ p 2          =p 2
                                    x + x2 + ¸         x +¸          x +¸


15.6.1     Nossa tabela de integrais imediatas

Adotaremos como integrais imediatas as integrais da tabela 15.1 dada a seguir. Esta
tabela inclui as integrais imediatas da proposi»~o 15.2, as integrais calculadas nos exem-
                                               ca
plos 15.3 e 15.4, e as integrais da proposi»~o 15.4.
                                            ca
Integrais indefinidas                                                                       135


Tabela 15.1. Tabela ampliada de integrais imediatas (nas ultimas linhas, a > 0 e ¸ 60).
                                                         ¶                         =
                                        Z
   R ®         x®+1                        1
     x dx =          + C, (® 6¡1)
                             =               dx = ln jxj + C
              ®+1                          x
   R                                        R
       sen x dx = ¡ cos x + C                   cos x dx = sen x + C

   R                                        R              ax
       ex dx = ex + C                           ax dx =        (a > 0; a 61)
                                                                         =
                                                          ln a
   R                                        R
       sec2 x dx = tg x + C                     cosec2 x dx = ¡ cotg x + C

   R                                        R
       sec x ¢ tg x dx = sec x + C              cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C

   R                                        R
       sec x dx = ln j sec x + tg xj + C        cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C

   R                                        R
       tg x dx = ¡ ln j cos xj + C              cotg x dx = ln j sen xj + C

   Z                                        Z
          1                                       1
               dx = arc tg x + C              p        dx = arc sen x + C
        1 + x2                                  1 ¡ x2
   Z                                        Z                  ¯      ¯
           dx    1      x                        dx       1 ¯a + x¯
                = arc tg + C                          =     ln ¯      ¯ + C.
        a2 + x2  a      a                     a2 ¡ x2    2a ¯ a ¡ x ¯
   Z                                        Z                    p
           dx              x                     dx
        p         = arc sen + C               p         = ln jx + x2 + ¸j + C
         a 2 ¡ x2          a                    x2 + ¸


15.7          Problemas
Calcule as seguintes integrais inde¯nidas, utilizando, quando necess¶rio, mudan»a de
                                                                     a            c
vari¶veis. Sempre que julgar conveniente, fa»a uso da tabela de integrais inde¯nidas da
    a                                       c
tabela 15.1.
       R        p                       p
                 x) dx. Resposta. x + 2x3 x + C.
                                   2
  1.    (x +                      2
       R³    3
                   p ´               ¡ p      1  p ¢
  2.        p ¡
              x
                  x x
                   4
                       dx. Resposta. 6 x ¡ 10 x2 x + C.
       R    2                     p
  3.       xpdx
              x
                .   Resposta. 2 x2 x + C.
                              5
Integrais indefinidas                                                                                       136

       R³               1
                             ´2
                                                              x5
                                                                         p      p
               2
                                                                   + 3 x2 x2 + 3 3 x + C.
                                                                         3
  4.         x +        p
                        3x        dx. Resposta.               5      4
       R
  5.       sen ax dx. Resposta. ¡ cos ax + C.
                                    a
       R   ln x                          ln2 x
  6.        x
                dx.     Resposta.          2
                                                 + C.
       R
  7.          1
           sen2 3x
                   dx.       Resposta. ¡ cotg 3x + C.
                                            3
       R                             1
  8.        dx
           3x¡7
                .     Resposta.      3
                                         ln j3x ¡ 7j + C.
       R
  9.       tg 2x dx. Resposta. ¡ 1 ln j cos 2xj + C.
                                 2
       R                                                      1
 10.       cotg(5x ¡ 7)dx. Resposta.                          5
                                                                   ln j sen(5x ¡ 7)j + C.
       R
 11.       cotg x dx. Resposta. 3 ln j sen x j + C.
                3                          3
       R                                                  1
 12.       tg ' sec2 ' d'. Resposta.                      2
                                                              tg2 ' + C. Sugest~o. Fa»a u = tg '.
                                                                               a     c
       R
 13.       ex cotg ex dx. Resposta. ln j sen ex j + C. Sugest~o. Fa»a u = ex .
                                                             a     c
       R                                                  sen3 x
 14.       sen2 x cos x dx. Resposta.                       3
                                                                           + C. Sugest~o. Fa»a u = sen x.
                                                                                      a     c
       R                                                               4
 15. cos3 x sen x dx. Resposta. ¡ cos x + C.
                                    4
    R x dx                 p
 16. p2x2 +3 . Resposta. 1 2x2 + 3 + C. Sugest~o. Fa»a u = 2x2 + 3.
                         2
                                              a     c
       R    x2                           2
                                             p
 17.       p dx .
             x3 +1
                        Resposta.        3
                                              x3 + 1 + C.
       R   sen x dx                         1
 18.        cos3 x
                    .   Resposta.        2 cos2 x
                                                      + C.
       R   cotg x                                     2
 19.            Resposta. ¡ cotg x + C.
           sen2 x
                  dx.          2
    R                           p
 20. cos2 xptg x¡1 . Resposta. 2 tg x ¡ 1 + C.
           dx

    R sen 2x dx              p
 21. p1+sen2 x . Resposta. 2 1 + sen2 x + C. Sugest~o. Fa»a u = 1 + sen2 x.
                                                   a     c
       R   arc sen x dx                       arc sen2 x
 22.         p
               1¡x2
                        .    Resposta.             2
                                                                   + C.
       R   arccos2 x dx                                        3
 23.         p
               1¡x2
                        .     Resposta. ¡ arccos
                                              3
                                                                   x
                                                                       + C.
       R                             1
 24.       x dx
           x2 +1
                 .    Resposta.      2
                                         ln(1 + x2 ) + C.
       R                                         1
 25.          x+1
           x2 +2x+3
                    dx.       Resposta.          2
                                                     ln(x2 + 2x + 3) + C.
       R      cos x                              1
 26.       2 sen x+3
                     dx.      Resposta.          2
                                                     ln(2 sen x + 3) + C.
       R
 27.        dx
           x ln x
                  .   Resposta. ln j ln xj + C. Sugest~o. Fa»a u = ln x.
                                                      a     c
       R                                                      (x2 +1)5
 28.       2x(x2 + 1)4 dx. Resposta.                              5
                                                                            + C.
Integrais indefinidas                                                                                   137

       R                             tg3 x
 29.       tg4 x dx. Resposta.         3
                                                 ¡ tg x + x + C.
    Sugest~o. Mostre que tg x = tg2 x ¢ tg2 x = sec2 x ¢ tg2 x ¡ sec2 x + 1.
           a                             4

    R
 30. cos2 x(3 tg x+1) . Resposta. 1 ln j3 tg x + 1j + C.
            dx
                                  3
       R   tg3 x                    tg4 x
 31.       cos2 x
                  dx.   Resposta.     4
                                                 + C.
       R
 32.       e2xdx. Resposta. 1 e2x + C.
                            2
       R       2                     ax
                                         2
 33.       xax dx. Resposta.        2 ln a
                                                 + C.
       R     ex                      1
 34.       3+4ex
                 dx.         ln(3 + 4ex) + C.
                        Resposta.    4
    R dx                 1
                                      p
 35. 1+2x2 . Resposta. p2 arc tg( 2x) + C.
    R dx                   1
                                        p
 36. p1¡3x2 . Resposta. p3 arc sen( 3x) + C.
    R
 37. p16¡9x2 . Resposta. 1 arc sen 3x + C.
          dx
                           3            4
    R dx
 38. 9x2 +4 . Resposta. 1 arc tg 3x + C.
                        6           2
    R dx                      ¯ 2+3x ¯
 39. 4¡9x2 . Resposta. 12 ln ¯ 2¡3x ¯ + C.
                         1

    R dx                          p
 40. px2 +9 . Resposta. ln(x + x2 + 9) + C.
    R x2 dx                    ¯ p ¯
                               ¯ 3      ¯
                        p ln ¯ x +p5 ¯ + C.
                        1
 41. 5¡x6 . Resposta. 6 5        x3 ¡ 5
    Sugest~o. Fa»a x6 = (x3 )2 , e ent~o u = x3 .
          a       c                    a
    R
 42. px dx 4 . Resposta. 1 arc sen x2 + C. Sugest~o. Fa»a u = x2 .
       1¡x               2
                                                  a    c
       R                           1                2
 43.        x dx
           x4 +a4
                  .          arc tg x2 + C.
                      Resposta.   2a2
                                    a
     R cos x dx                      ¡    ¢
 44. a2 +sen2 x . Resposta. a arc tg sen x + C.
                            1
                                       a
     R
 45.   p dx 2 . Resposta. arc sen(ln x) + C.
           x   1¡ln x
       R   arccos x ¡ x
                                                                   p
 46.         p
               1¡x2
                        dx.   Resposta. ¡ 1 (arccos x)2 +
                                          2
                                                                    1 ¡ x2 + C.
       R   x¡arc tg x                        1
 47.         1+x2
                      dx.     Resposta.      2
                                                 ln(1 + x2 ) ¡ 1 (arc tg x)2 + C.
                                                               2

       R p1+px                           4
                                             p           p 3
 48.           p
                x
                      dx. Resposta.      3
                                                  (1 +    x) + C.
       R   cos3 x            1         1
 49.       sen4 x
                 Resposta. sen x ¡ 3 sen3 x + C.
                  dx.
                      R cos3 x        R cos2 x¢cos x      R               (1¡sen2 x) cos x
       Sugest~o. Fa»a sen4 x dx =
              a    c                        sen4x    dx =                     sen4 x
                                                                                           dx,   e ent~o u =
                                                                                                      a
       sen x.

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  • 1. Aula 15 Integrais inde¯nidas 15.1 Antiderivadas Sendo f (x) e F (x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que F ¶ uma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F 0 (x) = f(x) e para todo x 2 I. Ou seja, F ¶ antiderivada ou primitiva de f se F ¶ uma fun»~o cuja derivada ¶ f. e e ca e Como primeiros exemplos, temos f(x) primitiva de f (x) 3x2 x3 2 2x ex ex sen x ¡ cos x Observa»~o 15.1 Se F ¶ antiderivada de f em I, e c ¶ uma constante, ent~o F + c ca e e a tamb¶m ¶ uma antiderivada de f em I. e e De fato, se F 0 (x) = f (x), para todo x 2 I, ent~o a [F (x) + c]0 = F 0 (x) = f (x), e portanto F (x) + c tamb¶m ¶ uma antiderivada de e e f (x) em I. p Assim, por exemplo x3 , x3 + 5 e x3 ¡ 2 s~o primitivas de 3x2 . a Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»~o ca diferem entre si por uma constante. Proposi»~o 15.1 Se F1 e F2 s~o antiderivadas de f , em I ½ R, ent~o existe c 2 R ca a a tal que F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I. 125
  • 2. Integrais indefinidas 126 Para demonstrar a proposi»~o 15.1, faremos uso do seguinte resultado. ca Lema 15.1 Se f ¶ cont¶ e ³nua no intervalo [a; b] e f 0 (x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~o a f ¶ constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f (x) = c para todo x 2 [a; b]. e Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este lema ¶ conseqÄ^ncia de um teorema importante sobre fun»~es deriv¶veis, conhecido e ue co a como teorema do valor m¶dio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶dio e e mais adiante, julgamos oportuno cit¶-lo agora. a Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶dio) Suponhamos que f ¶ uma fun»~o con- e e ca ³nua no intervalo [a; b] e deriv¶vel no intervalo ]a; b[. Ent~o existe w 2 ]a; b[ tal que t¶ a a f (b) ¡ f (a) = f 0 (w) b¡a Aceitaremos este teorema sem demonstra»~o, e faremos uma interpreta»~o ge- ca ca om¶trica de seu resultado. e f (b) ¡ f(a) ¢f O quociente ¶ a taxa de varia»~o m¶dia, e ca e , da fun»~o f , no inter- ca b¡a ¢x valo [a; b], sendo ¢x = b ¡ a e ¢f = f (b) ¡ f (a). Ele ¶ o coe¯ciente angular da reta passando por A = (a; f (a)) e B = (b; f (b)). e O teorema do valor m¶dio diz que essa taxa de varia»~o m¶dia ¶ tamb¶m a taxa de e ca e e e varia»~o instant^nea de f , em rela»~o a x, df =dx, em algum ponto w no interior do ca a ca intervalo. Em termos geom¶tricos, a inclina»~o da reta AB coincide com a inclina»~o e ca ca de uma reta tangente ao gr¶¯co de f em um ponto (w; f(w)), para algum w 2 ]a; b[ . a A ¯gura 15.1 ilustra o teorema do valor m¶dio. e y B f(b) A f(a) 0 a w b f (b) ¡ (f (a) Figura 15.1. = f 0 (w). b¡a Uma interpreta»~o cinem¶tica do teorema do valor m¶dio ¶ a seguinte: a velocidade ca a e e m¶dia de um ponto m¶vel, em movimento retil¶ e o ³neo, no intervalo de tempo [t1 ; t2 ], coincide com sua velocidade instant^nea em algum instante t0 2 ]t1 ; t2 [, isto ¶, a e ¢s s(t2 ) ¡ s(t1 ) = = s0 (t0 ) em um instante t0 , com t1 < t0 < t2 ¢t t2 ¡ t1
  • 3. Integrais indefinidas 127 Por exemplo, se um carro, com velocidade vari¶vel, faz um percurso de 180 km a em duas horas, sua velocidade m¶dia ¶ 180km = 90 km/h. Intuitivamente, sabemos que e e 2h em algum instante do percurso, seu veloc¶³metro acusar¶ a velocidade instant^nea de a a 90 km/h. Demonstra»~o do lema 15.1. Suponhamos f 0 (x) = 0 para todo x 2 I, sendo I ½ R um ca intervalo. Mostraremos que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, x1 < x2 , tem-se f (x1 ) = f (x2 ), e portanto f ¶ constante em I. e ³nua em [x1 ; x2 ] e deriv¶vel em ]x1 ; x2 [. Temos f cont¶ a f (x2 ) ¡ f (x1 ) Pelo teorema do valor m¶dio, e = f 0 (w) para algum w 2 ]x1 ; x2 [ . x2 ¡ x1 Como f 0 (w) = 0, temos f (x1 ) = f (x2 ), e nossa demonstra»~o termina aqui. ca 0 0 Demonstra»~o da proposi»~o 15.1. Suponhamos que, F1 (x) = F2 (x) = f (x) para todo ca ca x 2 I, I um intervalo de R. Consideremos a fun»~o ' = F1 ¡ F2 . ca Ent~o, '0 (x) = F1 (x) ¡ F2 (x) = f (x) ¡ f (x) = 0, para todo x 2 I. a 0 0 Pelo lema 15.1, ' ¶ constante no intervalo I. e Assim, existe c 2 R tal que F1 (x) ¡ F2 (x) = c para todo x 2 I. Portanto F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I. De¯ni»~o 15.1 (Integral inde¯nida) Sendo F uma primitiva de f no intervalo I, ca chama-se integral inde¯nida de f , no intervalo I, µ primitiva gen¶rica de f em I, a e F (x) + C, sendo C uma constante real gen¶rica. Denotamos tal fato por e Z f (x) dx = F (x) + C Nesta nota»~o, omite-se o intervalo I. ca 15.2 Integrais imediatas Coletaremos agora algumas integrais inde¯nidas cujo c¶lculo ¶ imediato. a e Proposi»~o 15.2 ca R x®+1 1. x® dx = + C, se ® 6¡1. = ®+1 Z 1 2. dx = ln jxj + C. x
  • 4. Integrais indefinidas 128 R 3. sen x dx = ¡ cos x + C. R 4. cos x dx = sen x + C. R 5. ex dx = ex + C. R ax 6. ax dx = (a > 0; a 61). = ln a R 7. sec2 x dx = tg x + C. R 8. cosec2 x dx = ¡ cotg x + C. R 9. sec x ¢ tg x dx = sec x + C. R 10. cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C. Z 1 11. dx = arc tg x + C. 1 + x2 Z 1 12. p = arc sen x + C. 1 ¡ x2 Para a dedu»~o das integrais acima, basta veri¯car que a derivada do segundo ca membro, em cada igualdade, ¶ a fun»~o que se encontra sob o sinal de integra»~o. e ca ca Como exemplos, µ ®+1 ¶0 x x®+1¡1 se ® 6¡1, = = (® + 1) ¢ = x® . ®+1 ®+1 (ln jxj)0 = 1=x: se x > 0, (ln jxj)0 = (ln x)0 = 1=x; 1 se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 = ¢ (¡x)0 = 1=x. ¡x µ ¶0 ax ax ln a (ax )0 = ax ¢ ln a, logo = = ax . ln a ln a 15.3 Manipula»oes elementares de integrais c~ R R Suponhamos f(x) dx = F (x) + C1 , e g(x) dx = G(x) + C2 . Ent~o a 1. [F (x) + G(x)]0 = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x), logo R R R (f (x)+g(x)) dx = F (x)+G(x)+C = f(x) dx+ g(x) dx (C = C1 +C2 ). 2. Sendo k uma constante real, [k ¢ F (x)]0 = k ¢ F 0 (x) = k ¢ f(x), logo R R kf (x) dx = kF (x) + C = k f (x) dx (kC1 = C)
  • 5. Integrais indefinidas 129 Reunimos os fatos acima, com outros tamb¶m ¶teis, na seguinte proposi»~o. e u ca R R Proposi»~o 15.3 Se f (x) dx = F (x) + C e g(x) dx = G(x) + C, ent~o, sendo ca a a; b 2 R, a 60, = R 1. [f(x) + g(x)] dx = F (x) + G(x) + C R 2. k ¢ f (x) dx = k ¢ F (x) + C R 3. f (x + b) dx = F (x + b) + C R 4. f (x ¡ b) dx = F (x ¡ b) + C R 5. f (b ¡ x) dx = ¡F (b ¡ x) + C Z 1 6. f (ax) dx = F (ax) + C a Z 1 7. f (ax + b) dx = F (ax + b) + C a Demonstra»~o. As duas primeiras propriedades j¶ foram deduzidas acima. Das cinco ca a propriedades restantes, as quatro primeiras s~o conseqÄ^ncias imediatas da ¶ltima, a a ue u unica que deduziremos. ¶ Por hip¶tese, F 0 (x) = f(x). o Logo [F (ax + b)]0 = F 0 (ax + b) ¢ (ax + b)0 = af (ax + b), de onde µ ¶0 1 1 F (ax + b) = ¢ af(ax + b) = f (ax + b). a a Z 1 Portanto f(ax + b) dx = F (ax + b) + C. a 15.4 Exemplos elementares R 1. cos x dx = sen x + C. Logo, R (a) cos 3x dx = 1 sen 3x + C 3 R ¡ ¢ ¡ ¢ (b) cos 2x ¡ 2 dx = 1 sen 2x ¡ 3¼ 2 3¼ 2 +C R x 2. e dx = ex + C. Logo, R (a) ex¡5 dx = ex¡5 + C R (b) e2¡x dx = ¡e2¡x + C R (c) e5x dx = 1 e5x + C 5 R 2 3. Calcular tg x dx.
  • 6. Integrais indefinidas 130 R sec2 x dx = tg x + C. Temos cos2 x + sen2 x = 1, logo 1 + tg2 x = sec2 x. Logo, R 2 R R R tg x dx = (sec2 x ¡ 1) dx = sec2 x ¡ 1 dx = tg x ¡ x + C R 4. Calcular (5 cos x + cos 5x) dx. Z Z Z (5 cos x + cos 5x) dx = 5 cos x dx + cos 5x dx 1 = 5 sen x + sen 5x + C 5 R 5. Calcular sen x cos x dx. Temos sen 2x = 2 sen x cos x, logo sen x cos x = 1 sen 2x. Da¶ 2 ³ Z Z 1 sen x cos x dx = sen 2x dx 2 1 1 1 = ¢ (¡ cos 2x) + C = ¡ cos 2x + C 2 2 4 Z p x+1 6. Calcular dx. x Z p Z µp ¶ x+1 x 1 dx = + dx x x x Z p Z x 1 = dx + dx x x Z Z ¡1=2 1 = x dx + dx x x1=2 p = + ln jxj + C = 2 x + ln jxj + C 1=2 15.5 Integra»~o por mudan»a de vari¶vel ou ca c a integra»~o por substitui»~o ca ca Suponhamos que Z f (x) dx = F (x) + C (15.1) Suponhamos que x = '(t) ¶ uma fun»~o deriv¶vel de t, para t em um intervalo e ca a I ½ R.
  • 7. Integrais indefinidas 131 Na aula 14 de¯nimos a diferencial de x, como sendo dx dx = dt = '0 (t) dt dt No contexto daquela aula, a diferencial dx foi de¯nida como uma boa aproxima»~o ca de ¢x, quando dt = ¢t ¶ su¯cientemente pequeno. e Neste cap¶ ³tulo, a diferencial ter¶ um sentido simb¶lico, sendo empregada quando a o realizamos troca de vari¶veis no c¶lculo de integrais. a a Suponhamos de¯nida em I a fun»~o composta f ('(t)). ca Como veremos agora, podemos substituir x = '(t) na express~o 15.1, fazendo a 0 dx = ' (t) dt, ou seja, de 15.1 obtemos Z f('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C (15.2) De fato, aplicando deriva»~o em cadeia, ca d d dx [F ('(t))] = [F (x)] ¢ dt dx dt 0 0 = F (x) ¢ ' (t) = F 0 ('(t)) ¢ '0 (t) = f('(t)) ¢ '0 (t) R logo, f ('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C. Portanto Z Z f (x) dx = F (x) + C =) f ('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C pela mudan»a de vari¶vel x = '(t), tomando-se dx = '0 (t) dt. c a R Na pr¶tica, quando calculamos f ('(t))'0 (t) dt, tendo-se as considera»~es acima, a co passamos pela seqÄ^ncia de igualdades: ue Z Z 0 f ('(t))' (t) dt = f (x) dx = F (x) + C = F ('(t)) + C Algumas vezes, no entanto, fazendo x = '(t), passamos por uma seqÄ^ncia de igual- ue dades Z Z f (x) dx = f ('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C = F (x) + C R fazendo uso da integral mais complicada" f ('(t)'0 (t) dt para ¯nalmente calcular R f (x) dx. Isto ¶ o que ocorre em substitui»~es trigonom¶tricas, assunto que ser¶ e co e a estudado adiante.
  • 8. Integrais indefinidas 132 Neste caso, estamos assumindo implicitamente que Z Z 0 f ('(t)) ¢ ' (t) dt = F ('(t)) + C =) f (x) dx = F (x) + C o que ¶ justi¯cado desde que possamos tamb¶m expressar tamb¶m t = Ã(x), como e e e fun»~o inversa e deriv¶vel de x = '(t), para que possamos, ao ¯nal dos c¶lculos, obter ca a a a integral inde¯nida como fun»~o de x, a partir de sua express~o em fun»~o de t. ca a ca Z 1 Exemplo 15.1 Calcular p dx. 3 ¡ 2x Solu»~o. Come»amos fazendo a substitui»~o u = 3 ¡ 2x. ca c ca du Ent~o du = a ¢ dx = (3 ¡ 2x)0 dx = ¡2dx. dx Portanto dx = ¡ 1 du. 2 Assim, temos Z Z µ ¶ Z 1 1 1 1 1 u¡1=2+1 p dx = p ¢ ¡ du = ¡ u¡1=2 du = ¡ ¢ 1 +C 3 ¡ 2x u 2 2 2 ¡2 + 1 p p = ¡u1=2 + C = ¡ u + C = ¡ 3 ¡ 2x + C R Exemplo 15.2 Calcular tg x dx. Z Z sen x Solu»~o. ca tg x dx = dx. cos x Como (cos x)0 = ¡ sen x, tomamos u = cos x, e teremos du = (cos x)0 dx = ¡ sen x dx. Assim, Z Z Z sen x ¡1 tg x dx = dx = du = ¡ ln juj + C = ¡ ln j cos xj + C cos x u R Exemplo 15.3 Calcular sec x dx. Solu»~o. Calcularemos esta integral por uma substitui»~o que requer um truque esperto. ca ca Z Z Z sec x ¢ (sec x + tg x) sec2 x + sec x ¢ tg x sec x dx = dx = dx sec x + tg x sec x + tg x Aplicamos a mudan»a de vari¶vel c a u = sec x + tg x e teremos du = (sec x + tg x)0 dx = (sec x tg x + sec2 x)dx. Z Z 1 Logo, sec x dx = du = ln juj + C = ln j sec x + tg xj + C. u
  • 9. Integrais indefinidas 133 R Exemplo 15.4 Calcular cosec x dx. Solu»~o. Imitando o truque usado no exemplo anterior, o leitor poder¶ mostrar que ca a R cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C. Z x Exemplo 15.5 Calcular p dx. x2 + 5 Solu»~o. Note que (x2 + 5)0 = 2x. Isto sugere fazermos ca 1 u = x2 + 5, de onde du = 2x dx, ou seja, x dx = du. 2 Temos ent~o a Z Z Z p x 1 1 1 p dx = p ¢ du = u¡1=2 du = u1=2 + C = x2 + 5 + C x2 + 5 u 2 2 15.6 Ampliando nossa tabela de integrais imediatas Com a ¯nalidade de dinamizar o c¶lculo de integrais inde¯nidas, ampliaremos a lista a de integrais imediatas da se»~o 15.2, adotando como integrais imediatas" as quatro ca seguintes, que deduziremos em seguida. Proposi»~o 15.4 Sendo a > 0, e ¸ 60, ca = Z dx 1 x 1. 2 + x2 = arc tg + C. a a a Z ¯ ¯ dx 1 ¯a + x¯ ¯ ¯ + C. 2. = ln a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯ Z dx x 3. p = arc sen + C. a 2 ¡ x2 a Z p dx 4. p = ln jx + x2 + ¸j + C x2 + ¸ Z Z dx 1 1 Demonstra»~o. ca 2 + x2 = 2 dx a a 1 + ( x )2 a Fazendo x a = y, temos dx = a dy, e ent~o a Z Z Z dx 1 a 1 1 2 + x2 = 2 dy = dy a a 1+y 2 a y 2+1 1 1 x = arc tg y + C = arc tg + C a a a
  • 10. Integrais indefinidas 134 Para deduzir a segunda integral, lan»amos m~o da decomposi»~o c a ca 1 1 1 = 2a + 2a a2 ¡ x2 a+x a¡x Assim sendo, Z Z Z 1 1 1 1 1 dx = dx + dx a2 ¡ x2 2a a+x 2a a¡x 1 1 = ln ja + xj ¡ ln ja ¡ xj + C 2a 2a ¯ ¯ 1 ja + xj 1 ¯a + x¯ = ln +C = ln ¯ ¯+C 2a ja ¡ xj 2a ¯ a ¡ x ¯ Para deduzir a terceira integral, fazemos uso da integral inde¯nida Z 1 p dx = arc sen x + C 1 ¡ x2 e procedemos a uma mudan»a de vari¶vel, tal como no c¶lculo da primeira integral c a a acima. O leitor poder¶ completar os detalhes. a Para deduzir a quarta integral, apelaremos para um recurso nada honroso. Mos- traremos que p 1 (ln jx + x2 + ¸j)0 = p 2 x +¸ p p 1 De fato, sendo u = x + x2 + ¸, e sendo ( w)0 = 2pw ¢ w0 , temos p 1 (ln jx + x2 + ¸j)0 = (ln juj)0 = ¢ u0 u 1 p = p ¢ (x + x2 + ¸)0 x + x2 + ¸ 1 1 = p ¢ (1 + p ¢ = x) 2 x + x2 + ¸ = x2 + ¸ 2 p 1 x2 + ¸ + x 1 = p ¢ p 2 =p 2 x + x2 + ¸ x +¸ x +¸ 15.6.1 Nossa tabela de integrais imediatas Adotaremos como integrais imediatas as integrais da tabela 15.1 dada a seguir. Esta tabela inclui as integrais imediatas da proposi»~o 15.2, as integrais calculadas nos exem- ca plos 15.3 e 15.4, e as integrais da proposi»~o 15.4. ca
  • 11. Integrais indefinidas 135 Tabela 15.1. Tabela ampliada de integrais imediatas (nas ultimas linhas, a > 0 e ¸ 60). ¶ = Z R ® x®+1 1 x dx = + C, (® 6¡1) = dx = ln jxj + C ®+1 x R R sen x dx = ¡ cos x + C cos x dx = sen x + C R R ax ex dx = ex + C ax dx = (a > 0; a 61) = ln a R R sec2 x dx = tg x + C cosec2 x dx = ¡ cotg x + C R R sec x ¢ tg x dx = sec x + C cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C R R sec x dx = ln j sec x + tg xj + C cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C R R tg x dx = ¡ ln j cos xj + C cotg x dx = ln j sen xj + C Z Z 1 1 dx = arc tg x + C p dx = arc sen x + C 1 + x2 1 ¡ x2 Z Z ¯ ¯ dx 1 x dx 1 ¯a + x¯ = arc tg + C = ln ¯ ¯ + C. a2 + x2 a a a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯ Z Z p dx x dx p = arc sen + C p = ln jx + x2 + ¸j + C a 2 ¡ x2 a x2 + ¸ 15.7 Problemas Calcule as seguintes integrais inde¯nidas, utilizando, quando necess¶rio, mudan»a de a c vari¶veis. Sempre que julgar conveniente, fa»a uso da tabela de integrais inde¯nidas da a c tabela 15.1. R p p x) dx. Resposta. x + 2x3 x + C. 2 1. (x + 2 R³ 3 p ´ ¡ p 1 p ¢ 2. p ¡ x x x 4 dx. Resposta. 6 x ¡ 10 x2 x + C. R 2 p 3. xpdx x . Resposta. 2 x2 x + C. 5
  • 12. Integrais indefinidas 136 R³ 1 ´2 x5 p p 2 + 3 x2 x2 + 3 3 x + C. 3 4. x + p 3x dx. Resposta. 5 4 R 5. sen ax dx. Resposta. ¡ cos ax + C. a R ln x ln2 x 6. x dx. Resposta. 2 + C. R 7. 1 sen2 3x dx. Resposta. ¡ cotg 3x + C. 3 R 1 8. dx 3x¡7 . Resposta. 3 ln j3x ¡ 7j + C. R 9. tg 2x dx. Resposta. ¡ 1 ln j cos 2xj + C. 2 R 1 10. cotg(5x ¡ 7)dx. Resposta. 5 ln j sen(5x ¡ 7)j + C. R 11. cotg x dx. Resposta. 3 ln j sen x j + C. 3 3 R 1 12. tg ' sec2 ' d'. Resposta. 2 tg2 ' + C. Sugest~o. Fa»a u = tg '. a c R 13. ex cotg ex dx. Resposta. ln j sen ex j + C. Sugest~o. Fa»a u = ex . a c R sen3 x 14. sen2 x cos x dx. Resposta. 3 + C. Sugest~o. Fa»a u = sen x. a c R 4 15. cos3 x sen x dx. Resposta. ¡ cos x + C. 4 R x dx p 16. p2x2 +3 . Resposta. 1 2x2 + 3 + C. Sugest~o. Fa»a u = 2x2 + 3. 2 a c R x2 2 p 17. p dx . x3 +1 Resposta. 3 x3 + 1 + C. R sen x dx 1 18. cos3 x . Resposta. 2 cos2 x + C. R cotg x 2 19. Resposta. ¡ cotg x + C. sen2 x dx. 2 R p 20. cos2 xptg x¡1 . Resposta. 2 tg x ¡ 1 + C. dx R sen 2x dx p 21. p1+sen2 x . Resposta. 2 1 + sen2 x + C. Sugest~o. Fa»a u = 1 + sen2 x. a c R arc sen x dx arc sen2 x 22. p 1¡x2 . Resposta. 2 + C. R arccos2 x dx 3 23. p 1¡x2 . Resposta. ¡ arccos 3 x + C. R 1 24. x dx x2 +1 . Resposta. 2 ln(1 + x2 ) + C. R 1 25. x+1 x2 +2x+3 dx. Resposta. 2 ln(x2 + 2x + 3) + C. R cos x 1 26. 2 sen x+3 dx. Resposta. 2 ln(2 sen x + 3) + C. R 27. dx x ln x . Resposta. ln j ln xj + C. Sugest~o. Fa»a u = ln x. a c R (x2 +1)5 28. 2x(x2 + 1)4 dx. Resposta. 5 + C.
  • 13. Integrais indefinidas 137 R tg3 x 29. tg4 x dx. Resposta. 3 ¡ tg x + x + C. Sugest~o. Mostre que tg x = tg2 x ¢ tg2 x = sec2 x ¢ tg2 x ¡ sec2 x + 1. a 4 R 30. cos2 x(3 tg x+1) . Resposta. 1 ln j3 tg x + 1j + C. dx 3 R tg3 x tg4 x 31. cos2 x dx. Resposta. 4 + C. R 32. e2xdx. Resposta. 1 e2x + C. 2 R 2 ax 2 33. xax dx. Resposta. 2 ln a + C. R ex 1 34. 3+4ex dx. ln(3 + 4ex) + C. Resposta. 4 R dx 1 p 35. 1+2x2 . Resposta. p2 arc tg( 2x) + C. R dx 1 p 36. p1¡3x2 . Resposta. p3 arc sen( 3x) + C. R 37. p16¡9x2 . Resposta. 1 arc sen 3x + C. dx 3 4 R dx 38. 9x2 +4 . Resposta. 1 arc tg 3x + C. 6 2 R dx ¯ 2+3x ¯ 39. 4¡9x2 . Resposta. 12 ln ¯ 2¡3x ¯ + C. 1 R dx p 40. px2 +9 . Resposta. ln(x + x2 + 9) + C. R x2 dx ¯ p ¯ ¯ 3 ¯ p ln ¯ x +p5 ¯ + C. 1 41. 5¡x6 . Resposta. 6 5 x3 ¡ 5 Sugest~o. Fa»a x6 = (x3 )2 , e ent~o u = x3 . a c a R 42. px dx 4 . Resposta. 1 arc sen x2 + C. Sugest~o. Fa»a u = x2 . 1¡x 2 a c R 1 2 43. x dx x4 +a4 . arc tg x2 + C. Resposta. 2a2 a R cos x dx ¡ ¢ 44. a2 +sen2 x . Resposta. a arc tg sen x + C. 1 a R 45. p dx 2 . Resposta. arc sen(ln x) + C. x 1¡ln x R arccos x ¡ x p 46. p 1¡x2 dx. Resposta. ¡ 1 (arccos x)2 + 2 1 ¡ x2 + C. R x¡arc tg x 1 47. 1+x2 dx. Resposta. 2 ln(1 + x2 ) ¡ 1 (arc tg x)2 + C. 2 R p1+px 4 p p 3 48. p x dx. Resposta. 3 (1 + x) + C. R cos3 x 1 1 49. sen4 x Resposta. sen x ¡ 3 sen3 x + C. dx. R cos3 x R cos2 x¢cos x R (1¡sen2 x) cos x Sugest~o. Fa»a sen4 x dx = a c sen4x dx = sen4 x dx, e ent~o u = a sen x.