Aula 2 do PROFMAT da UERJ: Aplicações da Indução

1. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Aritm´etica - MA14
AULA 2 - APLICA¸C˜OES DA INDU¸C˜AO
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
11 de agosto de 2017
1 / 56

2. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Sum´ario
1 Recorrˆencia
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
2 Somat´orios
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
3 Binˆomio de Newton
4 Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
2 / 56

3. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Sum´ario
1 Recorrˆencia
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
2 Somat´orios
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
3 Binˆomio de Newton
4 Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
3 / 56

4. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Recorrˆencia
Defini¸c˜ao por recorrˆencia
Para definir uma express˜ao En para todo n ∈ N com n ≥ a, basta
definirmos Ea e mostrar como obter En+1 a partir de En, ∀n ∈ N
com n ≥ a.
Algumas vezes, En ser´a definido por recorrˆencia atrav´es de uma
dada fun¸c˜ao avaliada em v´arios termos anteriores,En−1, En−2,...,
En−r . Isto definir´a, sem ambiguidade, En, desde que se conhe¸cam
as express˜oes de E1,...,Er .
De modo geral, vamos encontrar recorrˆencias do tipo:
E1 = a1(valor dado)
En = k · En−1 + r
onde k e r s˜ao n´umeros reais.
4 / 56

5. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Exemplos de recorrˆencia
Em matem´atica, muitos problemas podem ser resolvidos atrav´es de
uma redu¸c˜ao a casos mais simples do mesmo problema.
Exemplo 1)
PAs e PGs podem ser definidas atrav´es de recorrˆencias:
PA : ∀n ∈ N ⇒
a1, dado
an+1 = an + r
onde r ´e um n´umero real fixo chamado raz˜ao.
PG : ∀n ∈ N ⇒
a1, dado
an+1 = anq
onde q ´e um n´umero real fixo (diferente de 0 e 1) chamado raz˜ao.
5 / 56

6. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Exemplos de recorrˆencia
Exemplo 2)
De quantas maneiras podemos ordenar n n´umeros diferentes
a1, a2, ..., an?
6 / 56

7. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Exemplos de recorrˆencia
Exemplo 2)
De quantas maneiras podemos ordenar n n´umeros diferentes
a1, a2, ..., an?
Sendo Tn o n´umero de maneiras em que podemos ordenar n
n´umeros diferentes, temos:
·T1 = 1;
· Para n > 1, temos Tn−1 maneiras de ordenar os n´umeros
colocando a1 na primeira posi¸c˜ao. Al´em disso, temos Tn−1
maneiras com a2 na segunda posi¸c˜ao, etc. Assim:
T1 = 1
Tn = n · Tn−1, n ≥ 2
7 / 56

8. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Exemplos de recorrˆencia
Exemplo 3)
Uma sequˆencia de elementos an de um conjunto munido de
duas opera¸c˜oes sujeitas `as leis b´asicas da aritm´etica.
Para dar sentido `as somas
Sn = a1 + a2 + ... + an
basta considerar S1 e Sn definidos. Asssim, temos:
S1, = a1
Sn+1, = Sn + an+1
8 / 56

9. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Fatorial
Define-se o fatorial de um n´umero inteiro n ≥ 0, denotado por n!,
como:
0! = 1! = 1 e (n + 1)! = n! · (n + 1), se n ≥ 1.
Potˆencia
Seja a um elemento de um conjunto A munido das duas opera¸c˜oes
sujeitas `as leis b´asicas da aritm´etica. Define-se potˆencia an, com n
inteiro, n ≥ 0 por recorrˆencia:
a1 = a e a0 = 1, se a = 0. Supondo an definido, tem-se:
an+1
= an
· a
9 / 56

10. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
Propriedades da potˆencia
Sejam a, b ∈ A e m, n ∈ N. Ent˜ao:
i) am · an = am+n
ii) (am)n = amn
iii) (a · b)n = an · bn
Lema: potˆencias de um n´umero natural > 1 n˜ao formam um
conjunto limitado superiormente
Sejam a e b dois n´umeros naturais, como a>1. Ent˜ao existe um
n´umero natural n tal que an > b.
10 / 56

11. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Sum´ario
1 Recorrˆencia
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
2 Somat´orios
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
3 Binˆomio de Newton
4 Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
11 / 56

12. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Defini¸c˜ao:
Somat´orios s˜ao express˜oes comumente enontradas em v´arias
situa¸c˜oes que envolvam a matem´atica. Muitos problemas, sendo
recursivos ou n˜ao, podem ser transformados em somat´orios ou
estudados atrav´es de somat´orios.
Nota¸c˜ao usual:
n
i=1
ai = a1 + a2 + ... + an
Exemplos de somat´orios:
n
i=1 2i = 21 + 22 + ... + 2n
n
i=1 in = 1.n + 2.n + 3.n + ... + n.n
12 / 56

13. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Propriedades dos somat´orios:
Associatividade:
n
i=1 ai + n
i=1 bi = n
i=1(ai + bi )
Distributividade:
n
i=1 c · ai = c · n
i=1(ai )
Combina¸c˜ao:
n
i=1 ai + m
j=n aj = an + m
i=1 ai
Separa¸c˜ao:
n
i=0 ai = a0 + a1 + a2 + ... + an = a0 + n
i=1 ai
Reindexa¸c˜ao:
n
i=1 ai = a1 + a2 + ... + an = n+j
i=1+j ai−j
13 / 56

14. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Propriedades dos somat´orios:
Soma telesc´opica:
”Ideia: com um telesc´opio encurta-se a imensa distˆancia de
um corpo celeste aos nossos olhos; a propriedade telesc´opica
encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o
c´alculo do resultado da mesma.”
n
i=1(ai+1 − ai ) = (an+1 − a1)
OBS: Essas propriedades (em especial a ´ultima) v˜ao ajudar no
c´alculo das f´ormulas fechadas de somat´orios.
14 / 56

15. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplos de somat´orios:
Seguem alguns exemplos de somas que podem ser colocadas em
nota¸c˜ao de somat´orio. Vale ressaltar que pode haver mais de uma
forma de escrever tais somat´orios, umas mais simples que outras.
Sn = 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 + ... = n
i=
Sn = 1.2 + 5.6 + 9.10 + 13.14 + ... = n
i=
Sn = 50 + 49.51 + 48.52 + 47.53 + 46.54 + ... = n
i=
Sn = 1.2.3 + 4.5.6 + 7.8.9 + 10.11.12 + ... = n
i=
Sn = 1.3.5 + 2.4.6 + 7.9.11 + 8.10.12 + ... = n
i=
15 / 56

16. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
F´ormulas fechadas para somat´orios:
´E uma express˜ao, uma esp´ecie de f´ormula que permite o c´alculo
do somat´orio atrav´es da avalia¸c˜ao direta da express˜ao dada
pelo n´umero de termos que se quer somar.
´E importante o conhecimento pr´evio de algumas f´ormulas
fechadas, que facilitar˜ao o c´alculo de novas f´ormulas.
Existem algumas t´ecnicas para trabalhar somat´orios e encontrar
uma express˜ao fechada para algumas somas (n˜ao muito
complicadas).
Destacam-se a aplica¸c˜ao de propriedades e o m´etodo da
Perturba¸c˜ao.
16 / 56

17. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
F´ormulas fechadas: m´etodo da Perturba¸c˜ao
Escrever Sn+1 tirando o primeiro termo e igualar a Sn+1
tirando o ´ultimo termo.
Encontrar Sn dos dois lados da equa¸c˜ao.
Isolar Sn para encontrar a f´ormula fechada para o somat´orio
F´ormulas fechadas: PA e PG
Ao reconhecer uma PA ou PG, podemos naturalmente utilizar as
f´ormulas fechadas j´a conhecidas:
PA: ⇒ Sn = (a1+an)·n
2
PG: ⇒ Sn = a1·(1−qn)
1−q
17 / 56

18. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplo de f´ormula fechada: Sn = n
i=1 ci
Sn = n
i=1 ci
18 / 56

19. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplo de f´ormula fechada: Sn = n
i=1 ci
M´etodo da Perturba¸c˜ao:
Sn = n
i=1 ci
Sn+1 = Sn + cn+1
Sn+1 = c1 + n+1
i=2 ci = c + n
i=1 ci+1 = c + c n
i=1 ci = c + cSn
c + cSn = Sn + cn + 1
Sn = cn+1−c
c−1
Verificando que Sn = n
i=1 ci ´e uma PG:
Sn = c1 + c2 + c3 + ... + cn ⇒ PG de raz˜ao c, com a1 = c1 = c
Sn = c·(1−cn)
1−c = cn+1−c
c−1
19 / 56

20. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplo de f´ormula fechada: Sn = n
i=1 2i
Usaremos a propriedade da soma telesc´opica.
Temos que: n
i=1 2n = 20 + 21 + ... + 2n
Tamb´em temos que:
n
i=1(ai+1 − ai ) = (an+1 − a1)
Considerando ai = 2i , temos:
20 / 56

21. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplo de f´ormula fechada: Sn = n
i1
2i
Usaremos a propriedade da soma telesc´opica.
Temos que: n
i=1 2n = 20 + 21 + ... + 2n
Tamb´em temos que:
n
i=1(ai+1 − ai ) = (an+1 − a1)
Considerando ai = 2i , temos:
n
i=1(2i+1 − 2i ) = n
i=1 2i (2 − 1) = n
i=1 2i = Sn
Sn = 2n+1 − 21 = 2n+1 − 2
21 / 56

22. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplo de f´ormula fechada: Sn = n
i=1 i2
Usaremos propriedades do somat´orio. Uma dica para somas de
potˆencias ´e usar potˆencias de uma ordem superior e tentar
aparecer a soma telesc´opica.
n
i=1(i + 1)3 = n
i=1(i3 + 3i2 + 3i + 1) =
22 / 56

23. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplo de f´ormula fechada: Sn = n
i=1 i2
n
i=1(i + 1)3 = n
i=1(i3 + 3i2 + 3i + 1) =
= n
i=1 i3 + 3 n
i=1 i2 + n
i=1 3i + n
i=1 1
n
i=1(i + 1)3 − n
i=1 i3 = 3 n
i=1 i2 + 3 n
i=1 i + n
i=1 1
(n + 1)3 − 1 = 3 n
i=1 i2 + 3 n n+1
2 + n
n3 + 3n2 + 3n + 1 − 1 = 3Sn + 3n2
2 + 3n
2 + n
3Sn = n3 + 3n2
2 + n
2
Sn =
n
i=1
i2
=
n3
3
+
n2
2
+
n
6
23 / 56

24. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
Somat´orios
Exemplo de f´ormula fechada: Sn = n
i=1 i3
n
i=1 i3 = n2(n+1)2
4
24 / 56

25. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Sum´ario
1 Recorrˆencia
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
2 Somat´orios
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
3 Binˆomio de Newton
4 Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
25 / 56

26. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Binˆomio de Newton: (1 + X)n
Temos que:
(1 + X)n
= a0 + a1X + ... + an−1Xn−1
+ anXn
(1+X)n
⇒



Gera um polinˆomio de grau n
Os coeficientes s˜ao n´umeros naturais: a0, a1, ..., an
X = vari´avel indeterminada
n = n´umero natural
Coeficiente ai , ⇒
Denotado pelo s´ımbolo ai = n
i
Chamado de n´umero binomial
(∀i = 0, 1, ...n)
26 / 56

27. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Binˆomio de Newton: Identidades importantes
Identidade das linhas
Tomando X=1 no desenvolvimento de (1 + X)n, obtemos:
2n
=
n
0
+
n
1
+ ... +
n
n
N´umeros binomiais especiais
Os coeficientes do termo independente e do termo Xn valem 1:
n
0
=
n
n
= 1
27 / 56

28. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Binˆomio de Newton: Identidades importantes
Rela¸c˜ao de Stifel
∀n ∈ N e ∀i ∈ N ∪ {0}:
n
i
+
n
i + 1
=
n + 1
i + 1
Lema
∀n, i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n:
i!
n
i
= n(n − 1)(n − 2)...(n − i + 1)
28 / 56

29. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Binˆomio de Newton: Identidades importantes
N´umero binomial
∀n, i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n:
n
i
=
n(n − 1)(n − 2)...(n − i + 1)
i!
=
n!
i!(n − i)!
Identidade fundamental
∀n, i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n:
n
i
=
n
n − i
29 / 56

30. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Binˆomio de Newton
Binˆomio de Newton
Sejam a e b n´umeros reais. ∀n ∈ N:
(a+b)n
= an
+
n
1
an−1
b+
n
2
an−2
b2
+...+
n
n − 1
abn−1
+bn
Corol´ario do Binˆomio de Newton
Sejam a e b n´umeros reais. ∀n ∈ N:
(a − b)n = an − n
1 an−1b + n
2 an−2b2 − ... + (−1)n−1 n
n−1 abn−1+
+(−1)nbn
30 / 56

31. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Sum´ario
1 Recorrˆencia
Defini¸c˜ao
Exemplos
Defini¸c˜oes por recorrˆencia
2 Somat´orios
Defini¸c˜ao
Propriedades
Exemplos
F´ormulas fechadas
3 Binˆomio de Newton
4 Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
31 / 56

32. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
A Torre de Han´oi ´e um quebra-cabe¸ca composto por uma base
contendo trˆes hastes. Em uma das hastes s˜ao dispostos um
n´umero de discos uns sobre os outros, em ordem crescente de
diˆametro como mostra a figura abaixo.
O jogo consiste em mover os n discos que est˜ao colocados em
ordem ascendente de tamanho (de cima para baixo), da haste da
esquerda para a haste da direita,na mesma ordem, e efetuando o
menor n´umero poss´ıvel de passos. A cada passo, apenas um disco
pode ser movido, e nenhum disco pode ser colocado sobre um
disco menor.
32 / 56

33. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
33 / 56

34. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
34 / 56

35. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
35 / 56

36. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
36 / 56

37. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
37 / 56

38. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
38 / 56

39. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
39 / 56

40. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi
40 / 56

41. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi: recorrˆencia
Seja Tn o n´umero m´ınimo de movimentos necess´arios para resolver
o problema com n discos. ´E claro que T1 = 1, pois nesse caso
podemos passar o ´unico disco da haste A para a C com um ´unico
movimento.
Seja n ≥ 2. Para que o disco maior seja colocado na haste C,
precisamos passar os demais discos para a haste B. A passagem
dos n − 1 discos menores para a haste B, por defini¸c˜ao, pode ser
feita com a quantidade m´ınima de Tn−1 movimentos, depois
passamos o disco maior de A para C e finalmente, com Tn−1
movimentos passamos os n − 1 discos menores de B para C. Logo:
T1 = 1
Tn = Tn−1 + 1 + Tn−1 = 2Tn−1 + 1
41 / 56

42. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi: f´ormula fechada
Para encontrar a f´ormula fechada, pode-se encontrar alguns valores
para Tn:
T1 = 1
T2 = 2T2−1 + 1 = 2T1 + 1 = 3 = 22 − 1
T3 = 2T3−1 + 1 = 2T2 + 1 = 7 = 23 − 1
T4 = 2T4−1 + 1 = 2T3 + 1 = 15 = 24 − 1
Tn = 2n
− 1
42 / 56

43. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Torre de Han´oi: f´ormula fechada
Essa express˜ao Tn representa uma progress˜ao
aritm´etico-geom´etrica (an+1 = qan + r), onde q=2, r=1.
T1 = 1
Tn = 2Tn−1 + 1
Da´ı, podemos encontrar o termo geral Tn = an dado no exerc´ıcio
1.15:
an = a1qn−1
+ r
qn−1 − 1
q − 1
Tn = 2n
− 1
43 / 56

44. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci
Suponha que um casal de coelhos rec´em-nascidos ´e colocado em
uma ilha deserta e que um casal de coelhos comece a procriar a
partir do segundo mˆes de vida. Uma vez atingido os dois meses,
cada casal de coelhos produz exatamente mais um outro casal de
coelhos por mˆes. Qual seria a popula¸c˜ao de coelhos ap´os 6 meses,
supondo que nenhum coelho tenha morrido e que n˜ao haja
migra¸c˜ao?
44 / 56

45. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci
45 / 56

46. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci
46 / 56

47. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci
47 / 56

48. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci
48 / 56

49. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci
49 / 56

50. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci
50 / 56

51. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci: recorrˆencia
Seja Tn o n´umero de casais de coelhos no n-´esimo mˆes. Assim,
T1 = T2 = 1. Para n > 2, o n´umero de casais de coelhos no
n-´esimo mˆes (Tn) ´e igual ao n´umero de casais do mˆes anterior
(Tn−1, j´a que os coelhos n˜ao morrem) somado com o n´umero de
casais de coelhos que nascidos no mˆes corrente.
Como apenas coelhos com pelo menos 2 meses de vida procriam, o
n´umero de casais de coelhos que nascem no mˆes corrente (mˆes n)
´e exatamente igual ao n´umero de casais de coelhos no mˆes n - 2
(Tn−2).
Assim, a rela¸c˜ao de recorrˆencia de Fibonacci, cujos elementos s˜ao
chamados de n´umeros de Fibonacci:
T1 = T2 = 1
Tn = Tn−1 + Tn−2, n > 2
51 / 56

52. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Os coelhos de Fibonacci: f´ormula fechada
Para a sequˆencia de Fibonacci, existe uma f´ormula fechada
chamada de f´ormula de Binet:
Tn =
1+
√
5
2
n
− 1−
√
5
2
n
√
5
Sequˆencia de Fibonacci: (1,1,2,3,5,8,13,...)
52 / 56

53. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Recorrˆencias homogˆeneas: f´ormulas fechadas
Relembrando...
Uma rela¸c˜ao de recorrˆencia ´e dita linear de ordem k quando
tem a forma:
Tn = c1Tn−1 + c2Tn−2 + ... + ckTn−k + g(n)
, onde c1, c2, ..., ck s˜ao constantes.
Ela ´e homogˆenea quando g(n) = 0 e n˜ao-homogˆenea se g(n) = 0.
Sendo a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de recorrˆencia do tipo Tn = αn:
αn = c1αn−1 + c2αn−2 + ... + ckαn−k
Passando todos os membros para o lado esquerdo, temos:
αn
− c1αn−1
− c2αn−2
− ... − ckαn−k
= 0
que ´e chamada de equa¸c˜ao caracter´ıstica associada
`a recorrˆencia.
53 / 56

54. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Recorrˆencias homogˆeneas: f´ormulas fechadas
Assumindo α = 0, podemos dividir a equa¸c˜ao caracter´ıstica
anterior por αn−k:
αk
− c1αk−1
− c2αk−2
− ... − ck = 0
Esse polinˆomio ´e de grau k. Ent˜ao pelo teorema fundamental da
´algebra, ele possui k ra´ızes (n˜ao necessariamente distintas:
α1, α2, ..., αk).
No caso em que as ra´ızes s˜ao distintas, a cada raiz αj est´a
associada uma solu¸c˜ao Tn = αn.
Al´em disso, se por exemplo, αn
1, αn
2, αn
3 s˜ao solu¸c˜oes de uma dada
rela¸c˜ao de recorrˆencia linear homogˆena, ent˜ao Aαn
1, Bαn
2, Cαn
3
tamb´em s˜ao, al´em de Aαn
1 + Bαn
2 + Cαn
3.
Sendo Aαn
1 + Bαn
2 + Cαn
3 solu¸c˜ao da recorrˆencia dada,
´e preciso considerar as condi¸c˜oes iniciais do problema.
54 / 56

55. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Recorrˆencias homogˆeneas: f´ormulas fechadas
F´ormula fechada para os coelhos de Fibonacci:
T1 = T2 = 1
Tn = Tn−1 + Tn−2, n > 2
A equa¸c˜ao caracter´ıstica associada ´e αn − αn−1 − αn−2 = 0.
Dividindo essa equa¸c˜ao por αn−2: α2 − α − 1 = 0
que ´e a equa¸c˜ao caracter´ıstica (com duas ra´ızes) associada ao
problema de Fibonacci.
Teremos como solu¸c˜ao da recorrˆencia a equa¸c˜ao: Tn = Aαn
1 + Bαn
2
55 / 56

56. Recorrˆencia
Somat´orios
Binˆomio de Newton
Aplica¸c˜oes L´udicas
Torre de Han´oi
Os coelhos de Fibonacci
Recorrˆencias homogˆeneas: f´ormulas fechadas
Resolvendo a equa¸c˜ao caracter´ıstica, encontramos:
α1 = 1+
√
5
2 (n´umero de ouro) e α2 = 1−
√
5
2
Condi¸c˜oes iniciais: T1 = T2 = 1. Pela f´ormula da recorrˆencia,
podemos afirmar que T0 = 0. Assim podemos encontrar A e B em
Tn = Aαn
1 + Bαn
2:
Aα0
1 + Bα0
2 = 0
Aα1
1 + Bα1
2 = 1
Da´ı: A = 1√
5
e B = − 1√
5
, que gera a f´ormula de Binet:
Tn =
1+
√
5
2
n
− 1−
√
5
2
n
√
5
56 / 56