Aula 9Fun»~es exponenciais e logar¶   co                       ³tmicas.Uma revis~o e o n¶mero e         a       uNesta aul...
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  1. 1. Aula 9Fun»~es exponenciais e logar¶ co ³tmicas.Uma revis~o e o n¶mero e a uNesta aula faremos uma pequena revis~o das fun»~es f(x) = ax e g(x) = loga x, sendo a coa uma constante real, a > 0 e a 61. Faremos ainda uma apresenta»~o do n¶mero e, = ca uuma constante importante da matem¶tica universit¶ria. a a9.1 Pequena revis~o de pot^ncias a eSabemos que, sendo a um n¶mero real positivo, u p p m a1=n = n a e am=n = n ase m; n 2 Z, e n > 0. Assim de¯ne-se a pot^ncia de base a e expoente p, ap (l^-se a e eelevado a p"), para todo p 2 Q. Se ® ¶ um n¶mero irracional, existe uma seqÄ^ncia de n¶meros racionais que tende e u ue ua ® (uma seqÄ^ncia de aproxima»~es de ® por n¶meros racionais), ou seja, existe uma ue co useqÄ^ncia de n¶meros racionais ue u ®1 ; ®2 ; ®3 ; : : : ; ®n ; : : :tal que lim ®n = ®. n!+1 p p Por exemplo, se ® = 2 ¼ 1;414213562, existe uma seqÄ^ncia de aproxima»~es ue code 2, cujos cinco primeiros termos s~o dados na primeira coluna da tabela abaixo: a 80
  2. 2. Funcoes exponenciais e logar¶ »~ ~ ¶ ³tmicas. Uma revisao e o numero e 81 2 ®1 = 1;4 (®1 = 1;96) j®1 ¡ ®j ¼ 0;014213562 < 0;1 2 ®2 = 1;41 (®2 = 1;9881) j®2 ¡ ®j ¼ 0;004213562 < 0;01 2 ®3 = 1;414 (®3 = 1;999396) j®3 ¡ ®j ¼ 0;000213562 < 0;001 2 ®4 = 1;4142 (®4 = 1;99996164) j®4 ¡ ®j ¼ 0;000013562 < 0;0001 2 ®5 = 1;41421 (®5 = 1;99998992) j®5 ¡ ®j ¼ 0;000003562 < 0;00001 p pUma calculadora nos fornece uma aproxima»~o de 2 com 12 casas decimais: 2 ¼ ca p1;414213562373. A seqÄ^ncia acima, de aproxima»~es sucessivas de p 2, ¶ tal que p ue p co ej®n ¡ 2j < 10¡n , e assim lim j®n ¡ 2j = 0, e ent~o lim ®n = 2 (a segunda a n!+1 n!+1 2coluna da tabela acima sugere que lim ®n = 2). n!+1 Sendo a 2 R, a > 0, e sendo ® um n¶mero irracional, e ®1 ; ®2 ; ®3 ; : : : uma useqÄ^ncia de racionais com limite ®, a® ¶ de¯nido como o limite da seqÄ^ncia ue e ue a®1 ; a®2 ; a®3 ; a®4 ; : : : p 2Por exemplo, 2 ¶ o limite da seqÄ^ncia e ue 21 ; 21;4 ; 21;41 ; 21;414 ; : : :Uma calculadora nos fornece as aproxima»~es: co 21 = 2 p 21;4 = 214=10 = 10 214 ¼ 2; 6390 p 21;41 = 2141=100 100 = 2141 ¼ 2; 6574 21;414 = 21414=1000 ¼ 2; 6647 21;4142 = 214142=10000 ¼ 2; 6651 No que diz respeito a pot^ncias de base real positiva e expoente real, temos as eseguintes boas propriedades, que aceitaremos sem demonstra»~o: caSe a 2 R, a > 0, e x; y 2 R ax ¢ ay = ax+y (ax )y = axy 1 ax a¡x = x ; ax¡y = y ; a0 = 1 a a x x x a ¢ b = (ab) ; se tamb¶m b > 0 e
  3. 3. Funcoes exponenciais e logar¶ »~ ~ ¶ ³tmicas. Uma revisao e o numero e 829.2 A fun»~o exponencial caSendo a um n¶mero real, positivo, a 61, de¯ne-se a fun»~o exponencial de base a u = capor f (x) = ax ; para todo x 2 R Tomamos a 61 pela simples raz~o de que 1x = 1 para todo x 2 R, o que torna = aax constante no caso em que a = 1 (fun»~es constantes n~o s~o classi¯cadas como co a afun»~es exponenciais). Al¶m disso, tomamos a > 0 porque, se a < 0, ax n~o se de¯ne co e apara uma in¯nidade de valores reaisp x. Por exemplo, se a = ¡4 ent~o, para cada de an 2 N, n ¸ 1, a1=2n = (¡4)1=2n = 2n ¡4 n~o se de¯ne como n¶mero real. a uAssumiremos que, se a > 0 e a = 1, a fun»~o exponencial dada por f(x) = ax, ¶ 6 ca e ³nua em R, isto ¶,cont¶ e lim ax = ax0 ; para todo x0 2 R x!x0Assumiremos tamb¶m que se a > 1, a fun»~o f (x) = ax ¶ crescente, com lim ax = e ca e x!+1+1, e se 0 < a < 1 a fun»~o ¶ decrescente, com lim ax = 0+ (= 0). ca e x!+1 ¡ 1 ¢x Na ¯gura 9.1 temos esbo»os dos gr¶¯cos de f(x) = 2x e g(x) = c a 2 .(a) (b) y y 4 4 2 2 1 1 1/2 1/2 -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 x Figura 9.1. Gr¶¯cos de (a) y = 2x , (b) y = (1=2)x . a Temos agora as seguintes novidades na ¶lgebra de limites: a 1 1Se a > 1, a+1 = +1, a¡1 = = = 0+ (= 0) a+1 +1 1 1Se 0 < a < 1, a+1 = 0+ (= 0), a¡1 = +1 = + = +1 a 0 Por exemplo, ¡ 1 ¢x ¡ 1 ¢+1 ¡ 1 ¢x lim 2x = 2+1 = +1, lim 2x = 2¡1 = 0, lim 2 = 2 = 0, lim 2 =x!+1 x!¡1 x!+1 x!¡1
  4. 4. Funcoes exponenciais e logar¶ »~ ~ ¶ ³tmicas. Uma revisao e o numero e 83¡ 1 ¢¡1 2 = 2+1 = +1.9.3 Logaritmos e fun»~es logar¶ co ³tmicas Se a > 0, a = 1, e x > 0, o logaritmo de x na base a, denotado por loga x, ¶ o 6 e expoente ao qual devemos elevar a para obtermos x, ou seja loga x = y se e somente se ay = x Assim sendo, aloga x = x Por exemplo, log2 8 = 3, pois 23 = 8; p log9 27 = 3 , pois 93=2 = 2 93 = 33 = 27; 1 log2 = ¡2, pois 2¡2 = 1=4; 4 ¡ ¢¡4 log1=2 16 = ¡4, pois 12 = 16; log2 5 ¼ 2; 3219, pois 22;3219 ¼ 4; 9999. log2 5 n~o ¶ um n¶mero racional, pois se log2 5 = m , com m e n inteiros positivos, a e u nent~o 2m=n = 5. Da¶ 2m = (2m=n )n = 5n , o que ¶ imposs¶ pois 2m ¶ par e 5n ¶ a ³, e ³vel e e¶³mpar. Listamos aqui, sem dedu»~o, algumas propriedades elementares dos logaritmos: ca Sendo x e y reais positivos, z real, e a > 0; a 61, = loga (xy) = loga x + loga y x loga = loga x ¡ loga y y loga xz = z ¢ loga x loga x loga x1=z = (se z 60) = z logb x loga x = ; (se b > 0; b 61) = (mudan»a de base) c logb a Assim, por exemplo, a passagem dos logaritmos decimais (base 10) para os logar-itmos de base 2 ¶ dada por e log10 x log x log2 x = = log10 2 log 2 Sendo a fun»~o f (x) = ax cont¶ ca ³nua e crescente quando a > 0, e decrescentequando 0 < a < 1, temos que loga x ¶ de¯nida para todo x > 0. e
  5. 5. Funcoes exponenciais e logar¶ »~ ~ ¶ ³tmicas. Uma revisao e o numero e 84 Por exemplo, f (x) = 2x ¶ crescente, 22 = 4 e 23 = 8. Pela continuidade de f, a eimagem do intervalo [2; 3], pela fun»~o f , ¶ o intervalo [4; 8]. Existe ent~o x0 2 [2; 3] ca e a x0tal que 2 = 5. Assim, log2 5 = x0 . Portanto, realmente existe o n¶mero real log2 5. uAl¶m disso, se a > 0, loga ¶ crescente, e se 0 < a < 1, loga ¶ decrescente. e e e Na ¯gura 9.2, temos esbo»os dos gr¶¯cos de f(x) = log2 x e g(x) = log1=2 x. c a Admitiremos que f (x) = loga x ¶ cont¶ e ³nua no seu dom¶ ]0; +1[, ou seja, ³nio se x0 > 0 ent~o lim loga x = loga x0 a x!x0 Al¶m disso, temos ainda (con¯ra isto observando os gr¶¯cos da ¯gura 9.2). e a ( + ¡1 se a > 0 lim loga x = loga (0 ) = x!0+ +1 se 0 < a < 1bem como tamb¶m (con¯ra observando os gr¶¯cos da ¯gura 9.2) e a ( +1 se a > 0 lim loga x = loga (+1) = x!+1 ¡1 se 0 < a < 1(a) (b) y y 2 2 1 1 1/2 1 2 4 0 0 1 2 4 x 1/2 x -1 -1 -2 -2 Figura 9.2. Gr¶¯cos de (a) y = log2 x, (b) y = log1=2 x. a9.4 O n¶mero e uNa matem¶tica universit¶ria, h¶ duas constantes num¶ricas muito importantes. S~o elas a a a e ao n¶mero pi, ¼ ¼ 3; 14159 , e o n¶mero e, e ¼ 2; 71828 . u u
  6. 6. Funcoes exponenciais e logar¶ »~ ~ ¶ ³tmicas. Uma revisao e o numero e 85 O n¶mero e ¶ de¯nido como sendo o limite u e µ ¶n 1 e = lim 1 + n!+1 n2N nPode ser demonstrado que o n¶mero e ¶ irracional. u e ¡ ¢ 1 n Observe a tabela de valores (aproximados) de 1 + n , para n = 1, 10, 100,1000, 10000, 100000, dada abaixo. Tabela 9.1. 1 ¡ ¢ 1 n n 1=n 1+ n 1+ n 1 1 2 21 = 2 10 0; 1 1; 1 (1; 1)10 ¼ 2; 59374 100 0; 01 1; 01 (1; 01)100 ¼ 2; 70481 1000 0; 001 1; 001 (1; 001)1000 ¼ 2; 71692 10000 0; 0001 1; 0001 (1; 0001)10000 ¼ 2; 71815 100000 0; 00001 1; 00001 (1; 00001)100000 ¼ 2; 71828 ¡ 1 ¢ 1 Note que lim 1+ n =1+ +1 = 1. n!+1 ¡ ¢ 1 n Assim, podemos enganosamente intuir que, quando n ¶ muito grande, 1 + n ¼ e1n = 1 (mesmo calculadoras de boa qualidade podem nos induzir a este erro). Neste ¡ ¢ 1 ncaso, nossa intui»~o ¶ falha, pois pode ser demonstrado que o n¶mero an = 1 + n ca e ucresce µ medida em que n cresce, sendo a1 = 2, e 2 < an < 3 para cada n ¸ 2. Na atabela 9.1, ilustramos o fato de que µ ¶n 1 quando n ¶ muito grande, 1 + e ¼ 2; 71828 n ³mbolo de indetermina»~o: 1§1 . Assim sendo, temos um novo s¶ ca Vamos admitir, sem demonstra»~o, que tamb¶m, para x real ca e ¡ ¢ 1 x lim 1 + x = e x!+1 Neste caso, podemos deduzir:Proposi»~o 9.1 ca µ ¶x 1 lim 1 + =e x!¡1 x
  7. 7. Funcoes exponenciais e logar¶ »~ ~ ¶ ³tmicas. Uma revisao e o numero e 86Demonstra»~o. De fato, fazendo a mudan»a de vari¶vel ca c a x = ¡(y + 1)temos y = ¡x ¡ 1, e portanto x ! ¡1 se e somente se y ! +1. Assim, sendo µ ¶x µ ¶¡(y+1) 1 1 lim 1+ = lim 1 ¡ x!¡1 x y!+1 y+1 µ ¶¡(y+1) y = lim y!+1 y + 1 µ ¶y+1 y+1 = lim y!+1 y µ ¶y+1 1 = lim 1 + y!+1 y µ ¶y µ ¶ 1 1 = lim 1 + ¢ lim 1 + y!+1 y y!+1 y =e¢1=e Como conseqÄ^ncia, temos tamb¶m ue eProposi»~o 9.2 ca 1 lim (1 + x) x = e x!0Demonstra»~o. Mostraremos que ca 1 1 lim (1 + x) x = e, e lim (1 + x) x = e. + ¡ x!0 x!0 Pondo ® = 1=x, temos que x ! 0+ se e somente se ® ! +1. Da¶ ³ µ ¶® 1 1 lim (1 + x) x = lim 1 + =e x!0+ ®!+1 ®Al¶m disso, x ! 0¡ se e somente se ® ! ¡1. Da¶ pela proposi»~o 9.1, e ³, ca µ ¶® 1 1 lim (1 + x) x = lim 1 + =e x!0¡ ®!¡1 ®Se x > 0, chama-se logaritmo natural ou logaritmo neperiano de x ao logaritmo ln x = loge x Como e ¼ 2; 71828 > 1, a fun»~o f(x) = ln x ¶ crescente e seu gr¶¯co tem, ca e aqualitativamente, a forma do gr¶¯co de g(x) = log2 x, ¯gura 9.2 a. a
  8. 8. Funcoes exponenciais e logar¶ »~ ~ ¶ ³tmicas. Uma revisao e o numero e 87 A passagem dos logaritmos naturais para os logaritmos decimais (base 10) ¶ dada epor loge x ln x log10 x = = loge 10 ln 109.5 Problemas 1. Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 1§1 ¶ um s¶ e ³mbolo de indetermina»~o. ca ¡ ¢ 2 x (a) lim 1 + x x!+1 2 1 Sugest~o. Para contornar a indetermina»~o 1+1 , fa»a 1 + a ca c x =1+ y ¡ x ¢x (b) lim 1+x x!+1 x 1 Sugest~o. Para contornar a indetermina»~o 1+1 , fa»a a ca c 1+x = 1+ y ¡ 2x+3 ¢x+1 ¡ 3x+1 ¢x (c) lim 2x+1 (d) lim 2x+3 x!¡1 x!+1 ¡ 3x+1 ¢x ¡ ¢ 1 2x (e) lim 2x+3 (f) lim 1 ¡ 3x x!¡1 x!¡1 p Respostas. (a) e2 3 (b) 1=e (c) e (d) +1 (e) 0 (f) 1= e2 ah ¡1 2. Mostre que, sendo a > 0, lim = ln a. h!0 h Sugest~o: Trate o caso a = 1 em separado. Para a 61, fa»a a mudan»a de a = c c vari¶vel ah ¡ 1 = z, e ent~o h = ln(z + 1)= ln a. a a 3. Usando o resultado do problema anterior, calcule ¡ ¢ (a) lim n ¢ a1=n ¡ 1 (sendo a > 0, a 61) = n!+1 eax ¡1 (b) lim x x!0 eax ¡1 eax ¡1 eax ¡1 Sugest~o. lim a x = lim (a ¢ ax ) = a ¢ lim ax x!0 x!0 x!0 eax ¡ebx (c) lim x x!0 eax ¡ebx (eax ¡1)¡(ebx ¡1) Sugest~o. lim a x = lim x x!0 x!0 eax ¡1 (d) lim bx x!0 e ¡1 Respostas. (a) ln a (b) a (c) a ¡ b (d) a=b 1 4. Sendo f (x) = 2 x , calcule os limites laterais lim f(x) e lim f (x). + ¡ x!0 x!0 Resposta. +1 e 0, respectivamente. 1 5. Sendo g(x) = 1 , calcule os limites laterais lim g(x) e lim g(x). 1 + 2 x¡a x!a+ x!a¡ Resposta. 0 e 1, respectivamente.

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