polígrafo

1. SOLUC¸ ˜AO DE EQUAC¸ ˜OES POLINOMIAIS
Para a solu¸c˜ao de equa¸c˜oes polinomiais de grau n:
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0 = 0 an = 0
Devemos considerar:
• Para n = 1, ax + b = 0, com a = 0, e a solu¸c˜ao ´e −b
a
• Para n = 2, ax2
+ bx + c = 0, com a = 0, e podemos usar a f´ormula
de Bhaskara para determinar uma, duas ou nenhuma raiz real, depen-
dendo do valor do discriminante ou determinante (∆ = b2
− 4ac):
1. ∆ > 0: duas ra´ızes reais;
2. ∆ = 0: uma raiz real;
3. ∆ < 0: nenhuma raiz real.
• Para n > 2 a situa¸c˜ao ´e bem mais complicada. O teorema fundamen-
tal da ´algebra afirma que qualquer equa¸c˜ao polinomial de grau n tem
exatamente n raizes complexas (incluindo as repetidas), mas o n´umero
das raizes reais depende da forma espec´ıfica da equa¸c˜ao. Quanto a
resolu¸c˜ao pr´atica de equa¸c˜oes de grau superior, no caso de n = 3 e
n = 4, ainda existem as f´ormulas gerais de obten¸c˜ao das ra´ızes, mas
a sua forma ´e bastante complicada e usualmente n˜ao ´e considerada no
ensino de C´alculo. No caso n ≥ 5 a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao, em geral,
n˜ao existe em radicais, ou seja, n˜ao existe um algoritmo ´algebrico que
possibilita resolver qualquer equa¸c˜ao do grau n ≥ 5.
• No entanto, podemos, por tentativa e erro, tentar encontrar uma raiz
k, ou seja, um fator x−k, em rela¸c˜ao ao qual o polinˆomio seja divis´ıvel,
de forma a reduzir o grau do polinˆomio. Neste caso, j´a sabemos que k ´e
uma raiz da equa¸c˜ao, e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao resultante ´e mais simples
pois o polinˆomio ser´a um polinˆomio de grau n − 1.
1

2. EXEMPLO
Solucione a equa¸c˜ao 2x3
+ x2
− 7x − 6 = 0.
Verificando uma raiz k por tentativa e erro:
1. k = 1: 2.(1)3
+(1)2
−7.(1)−6 = −10. Portanto 1 n˜ao ´e raiz da equa¸c˜ao.
2. k = 3: 2.(3)3
+(3)2
− 7.(3) − 6 = 36. Portanto 3 n˜ao ´e raiz da equa¸c˜ao.
3. k = −1: 2.(−1)3
+ (−1)2
− 7.(−1) − 6 = 0. Portanto −1 ´e uma das
ra´ızes da equa¸c˜ao.
Usando divis˜ao horizontal para efetuar a divis˜ao do polinˆomio por x+1:
2x3
+ x2
− 7x − 6 x + 1
−2x3
− 2x2
2x2
0 − x2
−x2
− 7x −x
+x2
+ x
0 − 6x
−6x − 6 −6
6x + 6
0
Logo, resto ´e 0 e (2x3
+ x2
− 7x − 6) ÷ (x + 1) = 2x2
− x − 6
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para efetuar a divis˜ao do po-
linˆomio por x + 1:
-1 2 1 -7 -6
2 -2+1=-1 1-7=-6 6-6=0
-1.2=-2 -1 -6 0
(-1)(-1)=1 (-1)(-6)=6
Logo, resto ´e 0 e (2x3
+ x2
− 7x − 6) ÷ (x + 1) = 2x2
− x − 6
Solucionando e obtendo as outras duas ra´ızes:
2x2
− x − 6 = 0
∆ = 1 − 4.2.(−6) = 49
x =
1 ± 7
2.2
= 2 e −
3
2
Portanto, S = {−3/2, −1, 2}
2