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Mat funcao exponencial logaritmica

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                         Disciplina: Matemática – Professor: Adriano Mariano




FUNÇÃO EXPONENCIAL

Revisão sobre potenciação

Potência de expoente natural

Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos a n-ésima (enésima) potência de a
como sendo:   = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙ ( vezes) onde o fator é repetido vezes, ou seja, o produto possui
  fatores.

Denominamos o fator         de base e   de expoente;      é a n-ésima potência de . Portanto, potência é um produto
de fatores iguais.

A operação através da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.

Nota: A potência 10 é igual a 1 seguido de       zeros.

Convenções:

a) Potência de expoente zero.       =1

b)Potência de expoente unitário.        =1

Propriedades das potências

São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais, facilmente demonstráveis:

         (1)    ∙   =                                            (4)       ∙       =   ∙

         (2)    ÷       =                                        (5)       ÷       =       ÷
                             ∙
         (3)        =                                            (6)           =

Nota: estas propriedades também são válidas para expoentes reais.

Revisão sobre radicais

A forma mais genérica de um radical é           , onde    = coeficiente,       =índice e       = radicando. O radical acima é
lido como: raiz n-ésima (enésima) de .

Potência de expoente fracionário        =

A propriedade acima decorre de: Seja        =    .
Função Exponencial

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f: IR → IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a ≠ 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio
dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

Gráfico cartesiano da função exponencial

Temos 2 casos a considerar:

• quando    > 1;

• quando 0 <       < 1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1)   = 2 (nesse caso,      = 2, logo   > 1)

Atribuindo alguns valores a    e calculando os correspondentes valores de , obtemos a tabela e o gráfico abaixo:


                                           −2            −1   0       1         2
                                              1          1
                                                              1       2         4
                                              4          2




2)   =      (nesse caso,    = , logo 0 <          < 1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:


                                           −2            −1   0       1         2
                                                                      1         1
                                              4          2    1
                                                                      2         4
Nos dois exemplos, podemos observar que:

a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;

b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);

c) Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é
Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

Se 0 <    < 1, então f será decrescente

Se   > 1, então f será decrescente



Inequação Exponencial

Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente. Para resolver
inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

1.° redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

2.° aplicação da propriedade:




FUNÇÃO LOGARÍTMICA

O Conceito de Logaritmo

Sejam ,    ∈ ℝ∗ e     ≠ 1. O número      que satisfaz a igualdade        =   é chamado logaritmo na base   de .




O símbolo para representar a sentença “O logaritmo na base          de   é igual a ” é: log   = .

Portanto, log    =    ⟺       =
Propriedades dos logaritmos

Sejam , , ∈ ℝ∗ e , ≠ 1.

• O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja, log 1 = 0 porque                     = 1.

• O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja, log                = 1, porque     =    .

• log         = , porque         =     .

•         =       , ou seja,    elevado ao logaritmo de           na base é igual a    .

• log     ∙       = log    + log

• log     ÷       = log        − log

• colog        = − log

• Logaritmo da potência: log               =    ∙ log

• log         =    log

• log     =         , com log        ≠0

• log     =

• log     ∙ log      =1


Função Logarítmica

A função logarítmica é então: : ℝ∗ → ℝ;                 = log     ,0 <    ≠ 1.

• Para    > 0, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES;

• Para 0 <        ≠ 1, elas são DECRESCENTES.

• O domínio da função y = log              é o conjunto ℝ∗ .

• O conjunto imagem da função y = log                   é o conjunto R dos números reais.

• O domínio da função           =      é o conjunto R dos números reais.

• O conjunto imagem da função              =      é o conjunto ℝ∗ .


Equações Logarítmicas

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no
logaritmando, na base ou em ambos.

Para resolver equações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:

1. Redução dos dois membros da equação a logaritmos de mesma base;

2. Aplicação da propriedade: log               = log     ⇒      = , satisfeitas as condições de existência.
Inequações Logarítmicas

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no
logaritmando, na base ou em ambos.

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:

1. Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;

2. Aplicação da propriedade:

Se   > 1, então log     >          ⇒   >   >0

Se 0 <   < 1, então log        >       ⇒0<      <



Referências Bibliográficas

BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA, Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo: Moderna, 1996.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2000.

GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática. São Paulo: FTD, 1995.

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Mat funcao exponencial logaritmica

  • 1. Maia Vest Disciplina: Matemática – Professor: Adriano Mariano FUNÇÃO EXPONENCIAL Revisão sobre potenciação Potência de expoente natural Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos a n-ésima (enésima) potência de a como sendo: = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙ ( vezes) onde o fator é repetido vezes, ou seja, o produto possui fatores. Denominamos o fator de base e de expoente; é a n-ésima potência de . Portanto, potência é um produto de fatores iguais. A operação através da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação. Nota: A potência 10 é igual a 1 seguido de zeros. Convenções: a) Potência de expoente zero. =1 b)Potência de expoente unitário. =1 Propriedades das potências São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais, facilmente demonstráveis: (1) ∙ = (4) ∙ = ∙ (2) ÷ = (5) ÷ = ÷ ∙ (3) = (6) = Nota: estas propriedades também são válidas para expoentes reais. Revisão sobre radicais A forma mais genérica de um radical é , onde = coeficiente, =índice e = radicando. O radical acima é lido como: raiz n-ésima (enésima) de . Potência de expoente fracionário = A propriedade acima decorre de: Seja = .
  • 2. Função Exponencial Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f: IR → IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a ≠ 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: • quando > 1; • quando 0 < < 1. Acompanhe os exemplos seguintes: 1) = 2 (nesse caso, = 2, logo > 1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de , obtemos a tabela e o gráfico abaixo: −2 −1 0 1 2 1 1 1 2 4 4 2 2) = (nesse caso, = , logo 0 < < 1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: −2 −1 0 1 2 1 1 4 2 1 2 4
  • 3. Nos dois exemplos, podemos observar que: a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Se 0 < < 1, então f será decrescente Se > 1, então f será decrescente Inequação Exponencial Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente. Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1.° redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2.° aplicação da propriedade: FUNÇÃO LOGARÍTMICA O Conceito de Logaritmo Sejam , ∈ ℝ∗ e ≠ 1. O número que satisfaz a igualdade = é chamado logaritmo na base de . O símbolo para representar a sentença “O logaritmo na base de é igual a ” é: log = . Portanto, log = ⟺ =
  • 4. Propriedades dos logaritmos Sejam , , ∈ ℝ∗ e , ≠ 1. • O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja, log 1 = 0 porque = 1. • O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja, log = 1, porque = . • log = , porque = . • = , ou seja, elevado ao logaritmo de na base é igual a . • log ∙ = log + log • log ÷ = log − log • colog = − log • Logaritmo da potência: log = ∙ log • log = log • log = , com log ≠0 • log = • log ∙ log =1 Função Logarítmica A função logarítmica é então: : ℝ∗ → ℝ; = log ,0 < ≠ 1. • Para > 0, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES; • Para 0 < ≠ 1, elas são DECRESCENTES. • O domínio da função y = log é o conjunto ℝ∗ . • O conjunto imagem da função y = log é o conjunto R dos números reais. • O domínio da função = é o conjunto R dos números reais. • O conjunto imagem da função = é o conjunto ℝ∗ . Equações Logarítmicas Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Para resolver equações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 1. Redução dos dois membros da equação a logaritmos de mesma base; 2. Aplicação da propriedade: log = log ⇒ = , satisfeitas as condições de existência.
  • 5. Inequações Logarítmicas Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 1. Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2. Aplicação da propriedade: Se > 1, então log > ⇒ > >0 Se 0 < < 1, então log > ⇒0< < Referências Bibliográficas BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA, Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo: Moderna, 1996. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2000. GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática. São Paulo: FTD, 1995.