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1. n0 2 S pois, por hip¶otese, A(n0) ¶e verdadeira;
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Como 0 · r < d, temos r +1 < d+1, ou seja, r +1 · d. ...
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Uma segunda forma de demonstra»c~ao ...
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Seja k ¸ 1 um inteiro e suponhamos que o resultado do teorema seja verdadeiro
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(a) 1 ¡ 2 + 22
¡ 23
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(b) 3 + 3 ¢ 52
+ 3 ¢ 54
+ 3 ¢ 56
+ ¢ ¢ ¢ + 3 ¢ ...
Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 17
(a) Suponha que em 1o
de janeiro, um casal de coelhos ¶e deixado numa ilha.
Este c...
Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 18
(a + b)n
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k
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=
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1
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b +
¡n
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b2
+ ¢ ¢ ¢ +
¡...
Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 19
(a) Mostre que, sendo a0; : : : ; an uma seqÄu^encia de n¶umeros reais,
nX
k=1
(ak...
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Intro teoria dos números cap2

  1. 1. 2 Indu»c~ao ¯nita e suas aplica»c~oes 2.1 Indu»c~ao ¯nita Muitos teoremas que se referem a n¶umeros inteiros tem um formato do tipo Para cada inteiro n, a partir de um certo inteiro n0, vale a propriedade...". Um m¶etodo freqÄuentemente usado para demonstrar esses teoremas ¶e o da demons- tra»c~ao por indu»c~ao sobre n. Tal m¶etodo ¶e validado pelos princ¶³pios de indu»c~ao matem¶a- tica, ou de indu»c~ao ¯nita. O primeiro princ¶³pio de indu»c~ao matem¶atica ¶e baseado no seguinte teorema, que ¶e uma propriedade bastante intuitiva, quase um axioma. Como veremos, este teorema ¶e uma conseqÄu^encia do princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos. Teorema 2.1 Seja S um conjunto de inteiros positivos, satisfazendo as seguintes pro- priedades: 1. 1 2 S 2. Para cada inteiro positivo k, se k 2 S, tem-se tamb¶em k + 1 2 S (ou seja, k 2 S ) k + 1 2 S). Ent~ao S ¶e o conjunto Z¤ + de todos os inteiros positivos. Demonstra»c~ao. Suponhamos que o conjunto S satisfaz as hip¶oteses 1 e 2, mas n~ao cont¶em todos os inteiros positivos. Pelo princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos, como existem inteiros posi- tivos que n~ao pertencem a S, existe ent~ao o menor inteiro positivo s tal que s 62 S. Temos ent~ao s > 1, pois 1 2 S. Da¶³, s ¡ 1 ¸ 1 e s ¡ 1 2 S, visto que s ¶e o menor dos inteiros positivos n satisfazendo n 62 S. 8
  2. 2. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 9 Agora, s ¡ 1 2 S ) s = (s ¡ 1) + 1 2 S, pela hip¶otese 2 sobre S. Temos ent~ao uma contradi»c~ao: s 62 S e s 2 S. Assim, se existe um inteiro positivo n, n 62 S, deduzimos uma contradi»c~ao. Logo, S cont¶em todos os inteiros positivos. Podemos adaptar a demonstra»c~ao acima e demonstrar o seguinte teorema, mais geral. Teorema 2.2 Sejam n0 um inteiro (positivo ou n~ao) e S um conjunto de inteiros, satisfazendo as seguintes propriedades: 1. n0 2 S; 2. Cada elemento x de S satisfaz x ¸ n0; 3. Para cada inteiro k, se k 2 S ent~ao k + 1 2 S. Ent~ao, S ¶e o conjunto de todos os inteiros n satisfazendo n ¸ n0. Demonstra»c~ao. Esta demonstra»c~ao ¶e deixada como exerc¶³cio. Considere A = fm 2 Z j m = n ¡ n0 + 1; n 2 Sg. Mostre que A ½ Z¤ +. Mostre ent~ao que 1 2 A, e que se k 2 A, ent~ao k + 1 2 A. Aplique o teorema 2.1 e conclua sua demonstra»c~ao. Os resultados acima nos prov^eem um teorema utilizado para demonstrar teoremas sobre n¶umeros inteiros, quando eles enunciam propriedades que se aplicam a todos os inteiros a partir de um certo inteiro n0. Esse teorema ¶e o primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita e consiste no seguinte: Teorema 2.3 (Primeiro Princ¶³pio de Indu»c~ao Finita) Seja n0 um n¶umero inteiro e suponhamos que a cada inteiro n, n ¸ n0, est¶a associada uma a¯rma»c~ao A(n), a qual, dependendo de n, pode ser verdadeira ou falsa. Suponhamos que as condi»c~oes 1 e 2 abaixo sejam veri¯cadas: 1. A a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira quando n = n0; 2. Para cada k ¸ n0, quando A(k) ¶e verdadeira, A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira (ou seja, A(k) verdadeira ) A(k + 1) verdadeira). Ent~ao a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para todo n ¸ n0. Demonstra»c~ao. Considere o conjunto de inteiros, S = fn 2 Z j n ¸ n0 e A(n) ¶e verdadeirag Ent~ao temos:
  3. 3. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 10 1. n0 2 S pois, por hip¶otese, A(n0) ¶e verdadeira; 2. n ¸ n0 para cada n 2 S; 3. Para cada inteiro positivo k, se k 2 S, ent~ao A(k) ¶e verdadeira, e ent~ao, pelo item 2 da hip¶otese, A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira. Portanto, k 2 S ) k + 1 2 S. Pelo teorema 2.2, S ¶e o conjunto de todos os inteiros satisfazendo n ¸ n0. Assim, a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para todo n ¸ n0. Damos a seguir alguns exemplos de resultados (teoremas) que podem ser demons- trados mediante aplica»c~ao do primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita. Exemplo 2.1 Muitas vezes, ap¶os um pouco de experimenta»c~ao com n¶umeros, notamos um padr~ao de comportamento, tal como no seguinte exemplo. 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 Feitas as contas acima, podemos naturalmente suspeitar que a soma dos n primeiros n¶umeros¶³mpares positivos ¶e igual a n2 . A con¯rma»c~ao disto vir¶a na forma de um teorema que podemos demonstrar usando o primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita. Pequeno teorema. nX j=1 (2j ¡ 1) = 1 + 3 + 5 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) = n2 . Demonstra»c~ao. Faremos a demonstra»c~ao disto, por indu»c~ao sobre n. Aqui, a a¯rma»c~ao A(n), do enunciado do teorema 2.3, que queremos demonstrar ser verdadeira para todo inteiro n ¸ 1, ¶e a seguinte: nX j=1 (2j ¡ 1) = 1 + 3 + 5 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) = n2 Veri¯camos (facilmente) que a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira quando n = 1: 1X j=1 (2j ¡ 1) = 1 = 12 . Supomos ent~ao que a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para n = k, isto ¶e, supomos que kX j=1 (2j ¡ 1) = 1 + 3 + ¢ ¢ ¢ (2k ¡ 1) = k2 . Esta ¶e a nossa hip¶otese de indu»c~ao.
  4. 4. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 11 Assumindo a hip¶otese de indu»c~ao, demonstramos que ent~ao a mesma propriedade ¶e v¶alida para n = k + 1: Vejamos: k+1X j=1 (2j ¡ 1) = 1 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (2k ¡ 1) + (2(k + 1) ¡ 1) = 1 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (2k ¡ 1) | {z } =k2 +(2k + 1) (hip¶otese de indu»c~ao) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 e portanto, assumindo a hip¶otese de indu»c~ao, deduzimos que k+1X j=1 (2j ¡ 1) = (k + 1)2 . Assim, pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, temos que 1 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) = n2 , para todo inteiro positivo n. Exemplo 2.2 (2o Pequeno teorema) Para cada inteiro n, n ¸ 0, o inteiro 9n ¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8, ou seja (9n ¡ 1)=8 ¶e um n¶umero inteiro. Demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre n". Agora a a¯rma»c~ao A(n) do enunciado do teorema 2.3, que queremos demonstrar ser verdadeira para todo inteiro n ¸ 0, ¶e a seguinte: A(n) : 9n ¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8" A demonstra»c~ao de que vale a propriedade A(n) para cada n ¸ 0, por indu»c~ao sobre n, consiste em veri¯car a validade de A(n) em apenas duas inst^ancias, realizando duas veri¯ca»c~oes" (da¶³ o nome indu»c~ao ¯nita"), a saber, ² veri¯camos a validade da a¯rma»c~ao A(n) para n = 0; ² considerando um inteiro k qualquer, k ¸ 0, supomos que a a¯rma»c~ao A(n) j¶a esteja valendo para n = k (esta suposi»c~ao ¶e chamada hip¶otese de indu»c~ao) e, a partir disto, deduzimos (demonstramos) que a¯rma»c~ao A(n) tamb¶em vale para n = k + 1. Se n = 0, A(n) ou A(0) ¶e a a¯rma»c~ao 90 ¡1 ¶e divis¶³vel por 8", que ¶e verdadeira, pois 90 ¡ 1 = 0. Seja ent~ao k um inteiro, k ¸ 0, e admitamos a hip¶otese de indu»c~ao, de que A(k) ¶e verdadeira, ou seja, de que 9k ¡1 ¶e divis¶³vel por 8. Demonstraremos que ent~ao 9k+1 ¡ 1 tamb¶em ¶e divis¶³vel por 8.
  5. 5. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 12 Por hip¶otese de indu»c~ao, 9k¡1 8 = a, para algum inteiro a. Da¶³ 9k = 8a + 1. Como conseqÄu^encia temos ent~ao 9k+1 ¡ 1 = 9k ¢ 9 ¡ 1 = (8a + 1) ¢ 9 ¡ 1 (hip¶otese de indu»c~ao) = 72a + 9 ¡ 1 = 72a + 8 = 8(9a + 1) e portanto 9k+1¡1 8 = 9a+1, ou seja, 9k+1 ¡1 ¶e um m¶ultiplo inteiro de 8, isto ¶e, tamb¶em ¶e divis¶³vel por 8. Demonstramos portanto que a hip¶otese de indu»c~ao, isto ¶e, a validade da a¯rma»c~ao A(k), implica na validade da a¯rma»c~ao A(k + 1). Sendo assim, demonstramos, pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, que A(n) ¶e v¶alida para cada n ¸ 0, ou seja, que 9n ¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8 para cada n ¸ 0. 2.1.1 Divis~ao euclidiana em N Um n¶umero natural ¶e um inteiro n~ao negativo. O conjunto dos n¶umeros naturais ¶e denotado por N. Assim, N = fn 2 Z j n ¸ 0g Um importante resultado da aritm¶etica dos inteiros, e que pode ser demonstrado por indu»c~ao ¯nita, ¶e o seguinte teorema. Teorema 2.4 (Teorema do algoritmo da divis~ao euclidiana em N) Para cada n¶umero natural n, e cada inteiro positivo d, existem n¶umeros naturais q (quociente) e r (resto) satisfazendo: n = d ¢ q + r e 0 · r < d: Al¶em disso, os naturais q e r, satisfazendo as condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos. Demonstra»c~ao da exist^encia dos naturais q e r, por indu»c~ao sobre n. Mostraremos que, ¯xado um inteiro positivo d, para cada n¶umero natural n, exis- tem q e r nas condi»c~oes enunciadas. Se n = 0, basta tomar q = r = 0. Seja k um n¶umero natural e suponhamos que existem q e r satisfazendo k = dq + r e 0 · r < d:
  6. 6. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 13 Ent~ao k + 1 = dq + (r + 1). Como 0 · r < d, temos r +1 < d+1, ou seja, r +1 · d. Se r+1 < d, tomamos q0 = q e r0 = r + 1 e teremos k + 1 = dq0 + r0 , com 0 · r0 < d. Se r + 1 = d, ent~ao k + 1 = dq + d = d(q + 1) = dq00 + r00 , onde q00 = q + 1 e r00 = 0. Portanto, pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, para cada n 2 N , existem q e r satifazendo n = dq + r, com 0 · r < d. Demonstra»c~ao da unicidade de q e r: Suponhamos que existem naturais q1; q2; r1 e r2 tais que n = q1d + r1 = q2d + r2 e 0 · r1 < d, 0 · r2 < d. Ent~ao (q1 ¡ q2)d = r2 ¡ r1. Da¶³, jq1 ¡ q2jjdj = jr2 ¡ r1j. Agora, como 0 · r1 < d e 0 · r2 < d, temos ent~ao 0 · jr2 ¡ r1j < d (justi¯que esta passagem). Logo, jq1 ¡q2jjdj < jdj, e ent~ao jq1 ¡q2j < 1. Sendo 0 · jq1 ¡q2j < 1, como n~ao existem inteiros x com 0 < x < 1, temos necessariamente jq1 ¡ q2j = 0, ou seja, q1 = q2 e, por conseguinte, r1 = r2. Logo, o quociente e o resto, em uma divis~ao euclidiana, s~ao determinados de maneira ¶unica. Observa»c~ao 2.1 (Uma nota»c~ao para o algoritmo da divis~ao.) Se n e d s~ao n¶ume- ros naturais, com d 6= 0, e se q e r s~ao n¶umeros naturais como no teorema 2.4, denotamos simbolicamente: n d r q Neste caso, nessa divis~ao euclidiana de n por d, n ¶e o dividendo, d ¶e o divisor, q ¶e o quociente e r ¶e o resto. Assim, por exemplo, escrevemos 59 7 3 8 para indicar que, na divis~ao euclidiana de 59 por 7, o quociente ¶e 8 e o resto ¶e 3. O leitor poder¶a veri¯car facilmente, atrav¶es de alguns poucos exemplos, que o teorema 2.4 n~ao ¶e v¶alido se d = 0. Um pouco mais adiante, enunciaremos e demonstraremos um teorema do algoritmo da divis~ao na sua vers~ao mais geral para inteiros, n~ao necessariamente naturais.
  7. 7. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 14 2.1.2 O segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita Uma segunda forma de demonstra»c~ao por indu»c~ao, algumas vezes utilizada, ¶e estabele- cida pelo seguinte teorema: Teorema 2.5 (Segundo Princ¶³pio de Indu»c~ao Finita.) Seja n0 um n¶umero inteiro e suponhamos que a cada inteiro n, n ¸ n0, est¶a associada uma a¯rma»c~ao A(n), a qual, dependendo de n, pode ser verdadeira ou falsa. Suponhamos que as condi»c~oes 1 e 2 abaixo sejam veri¯cadas: 1. A a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para n = n0; 2. Para cada inteiro k ¸ n0, se A(n) ¶e verdadeira para cada inteiro n tal que n0 · n · k, ent~ao A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira (ou seja, A(n) verdadeira para n = n0; n0 + 1; : : : ; k ) A(k + 1) verdadeira) Ent~ao a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para cada n ¸ n0. Observa»c~ao 2.2 O que difere o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita do primeiro ¶e a forma como ¶e formulada a hip¶otese de indu»c~ao. Na hip¶otese de indu»c~ao do primeiro princ¶³pio, supomos que a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para n = k somente, enquanto que, na hip¶otese do segundo, supomos A(n) v¶alida para cada n desde n0 at¶e k, ou seja, para n0 · n · k. Em ambos os princ¶³pios, devemos demonstrar que a hip¶otese de indu»c~ao acarreta a validade de A(n) para n = k + 1. Um teorema cuja demonstra»c~ao pode ser feita pelo segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¶e o seguinte Teorema 2.6 (Representa»c~ao decimal de n¶umeros naturais) Para cada inteiro n ¸ 1, existem n¶umeros naturais a0; : : : ; as, (s ¸ 0), com os algarismos" a0, : : : , as, tomados no conjunto f0; 1; 2; : : : ; 9g, e as 6= 0, tais que n = sX i=0 ai ¢ 10i = as10s + ¢ ¢ ¢ + a0100 Observa»c~ao 2.3 Ilustrando o teorema acima com um exemplo, quando escrevemos, por exemplo, 50 237, queremos dizer 5 ¢ 104 + 0 ¢ 103 + 2 ¢ 102 + 3 ¢ 101 + 7 ¢ 100 . Demonstra»c~ao do teorema 2.6. Se n = 1, podemos tomar n = a0 = 1.
  8. 8. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 15 Seja k ¸ 1 um inteiro e suponhamos que o resultado do teorema seja verdadeiro para cada inteiro n, com 1 · n · k. Mostraremos que isto acarreta a validade da mesma propriedade para n = k + 1. Com efeito, realizando a divis~ao euclidiana de k + 1 por 10, k + 1 10 r q obtemos um quociente q 2 N e um resto r 2 N, satisfazendo k + 1 = 10q + r, com 0 · r < 10, conforme o teorema 2.4. Se q = 0, ent~ao k + 1 = r = a0, com a0 2 f0; 1; 2; : : : ; 9g. Se q > 0, ent~ao q · k, pois se q > k, ent~ao k + 1 = 10q + r > 10k + r ¸ 10k, e assim k + 1 > 10k e ent~ao 1 > 9k ¸ 9, o que ¶e imposs¶³vel. Sendo ent~ao 1 · q · k, pela hip¶otese de indu»c~ao, q = bt ¢ 10t + ¢ ¢ ¢ + b0 ¢ 100 para certos algarismos bt; : : : ; b0, todos em f0; 1; 2; : : : ; 9g. Ent~ao, k + 1 = 10q + r = 10(bt ¢ 10t + ¢ ¢ ¢ + b0 ¢ 100 ) + r = bt ¢ 10t+1 + ¢ ¢ ¢ + b0 ¢ 101 + r com bt; : : : ; b0 e r todos em f0; 1; 2; : : : ; 9g. Logo, pelo segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, a representa»c~ao decimal de n ¶e poss¶³vel para cada inteiro n ¸ 1. 2.1.3 Exerc¶³cios 1. Sendo a1, a2, : : : , an uma sequ^encia de n n¶umeros reais, de¯ne-se nX k=1 ak = a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an como sendo o somat¶orio (ou soma) dos ak, para k de 1 at¶e n. Se m · n, nX k=m ak = am + am+1 + ¢ ¢ ¢ + an. Demonstre que, sendo a um n¶umero real, com a 6= 1, nX j=0 aj = an+1 ¡ 1 a ¡ 1 Usando esta f¶ormula, calcule as seguintes somas.
  9. 9. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 16 (a) 1 ¡ 2 + 22 ¡ 23 + ¢ ¢ ¢ + 2100 (b) 3 + 3 ¢ 52 + 3 ¢ 54 + 3 ¢ 56 + ¢ ¢ ¢ + 3 ¢ 51000 (c) 73 ¢ 112 + 75 ¢ 116 + 77 ¢ 1110 + ¢ ¢ ¢ + 799 ¢ 11194 (d) 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + ¢ ¢ ¢ + 1 2100 Sugest~ao. Em todas as somas, coloque o primeiro termo em evid^encia. 2. Use indu»c~ao ¯nita para demonstrar que (a) nP j=1 j = 1 + 2 + ¢ ¢ ¢ + n = n(n+1) 2 , para todo inteiro n ¸ 1. (b) nP j=1 j2 = 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 = n(n+1)(2n+1) 6 , para todo inteiro n ¸ 1. (c) nP j=1 j3 = 13 + 23 + ¢ ¢ ¢ + n3 = h n(n+1) 2 i2 , para todo inteiro n ¸ 1. (d) nP k=1 1 k2 = 1 12 + 1 22 + ¢ ¢ ¢ + 1 n2 < 2 ¡ 1 n , para todo inteiro n ¸ 2. (e) Um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos. Sugest~ao. Considere An = fx1; x2; : : : ; xng. Mostre, por indu»c~ao sobre n, que o n¶umero de subconjuntos de An ¶e 2n . Ao fazer uso da hip¶otese de indu»c~ao, use o fato de que An+1 = An [ fxn+1g. Ao contar os subconjuntos de An+1, subdivida-os em subconjuntos que cont¶em xn+1 e subconjuntos que n~ao cont¶em xn+1. (f) nP j=1 j ¢ j! = 1 ¢ 1! + 2 ¢ 2! + ¢ ¢ ¢ + n ¢ n! = (n + 1)! ¡ 1 (g) Sendo Hn = nP j=1 1 j = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ¢ ¢ ¢ + 1 n , tem-se H2n ¸ 1 + n 2 , para cada inteiro n ¸ 1. 3. Conjeture uma f¶ormula para An , sendo A = ¡1 1 0 1 ¢ . Demonstre sua conjetura usando indu»c~ao sobre n. 4. (a) Uma fun»c~ao f, de¯nida no conjunto N, satisfaz f(1) = 2 e f(n+1) = 2f(n), para n ¸ 1. Que f¶ormula de¯ne f(n)? Demonstre sua a¯rma»c~ao usando indu»c~ao ¯nita. (b) De¯ne-se uma fun»c~ao f, recursivamente, pelas regras: f(1) = 1, f(2) = 5 e, para n ¸ 3, f(n) = f(n¡1)+2f(n¡2). Mostre que f(n) = 2n +(¡1)n , para todo inteiro positivo n. 5. Nos itens abaixo, fn denota o n-¶esimo termo da seqÄu^encia de Fibonacci, de¯nida recursivamente por f1 = f2 = 1, e fn = fn¡1 + fn¡2 para cada inteiro n ¸ 3. Assim, os termos iniciais da seqÄu^encia de Fibonacci s~ao (con¯ra) 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; : : :
  10. 10. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 17 (a) Suponha que em 1o de janeiro, um casal de coelhos ¶e deixado numa ilha. Este casal leva dois meses para procriar, e em 1o de mar»co d¶a µa luz um novo casal de coelhos. Eles produzem continuadamente um novo par de coelhos no primeiro dia de cada m^es subseqÄuente. Cada novo casal gerado leva dois meses para tornar-se adulto e produz um novo casal no primeiro dia do terceiro m^es de sua vida, bem como no primeiro dia de cada m^es subseqÄuente. Mostre que o n¶umero de casais de coelhos presentes na ilha no n-¶esimo m^es ¶e fn, o n-¶esimo termo da seqÄu^encia de Fibonacci. (b) Veri¯que que fk = fk+2 ¡ fk+1 (isto n~ao requer mais que duas linhas), e ent~ao calcule Pn j=1 fj = f1 + f2 + ¢ ¢ ¢ + fn. (c) Mostre que sendo ® = 1 + p 5 2 e ¯ = 1 ¡ p 5 2 , tem-se fn = ®n ¡ ¯n p 5 , para cada inteiro positivo n. Sugest~ao. Chame an = (®n ¡ ¯n )= p 5. Mostre que a1 = a2 = 1, e que an = an¡1 + an¡2, para cada inteiro n ¸ 3. (d) De¯ne-se a seqÄu^encia generalizada de Fibonacci por g1 = a, g2 = b e, para cada inteiro n ¸ 3, gn = gn¡1 + gn¡2. Mostre que, para n ¸ 3, gn = afn¡2 + bfn¡1. 6. Sendo n e k inteiros positivos, com n ¸ k, denotamos por ¡n k ¢ o n¶umero de subconjuntos com k elementos, de um conjunto de n elementos. ¡n k ¢ ¶e tamb¶em chamado o n¶umero de combina»c~oes de n objetos, tomados k a k, e tamb¶em recebe o nome de n¶umero binomial n sobre k. (a) Explique porque ¡n 0 ¢ = 1. (b) Demonstre a rela»c~ao de Stifel: para n ¸ k + 1 e k ¸ 0, µ n k ¶ + µ n k + 1 ¶ = µ n + 1 k + 1 ¶ Sugest~ao. Considere An+1 = fx1; x2; : : : ; xn; xn+1g, um conjunto de n + 1 elementos. Temos An+1 = An [ fxn+1g. Considere que os subconjuntos de An+1, com k elementos, subdividem-se em dois tipos. Aqueles que n~ao cont¶em xn+1 e aqueles que cont¶em xn+1. (c) Demonstre, por indu»c~ao sobre n, que µ n k ¶ = n! k!(n ¡ k)! (O fatorial de um inteiro positivo n, ¶e o produto n! = Qn k=1 k = 1¢2¢¢ ¢ ¢ ¢n. De¯ne-se tamb¶em 0! = 1. Assim, por exemplo, 1! = 1, 2! = 1 ¢ 2 = 2, 3! = 1 ¢ 2 ¢ 3 = 6, 4! = 24, 5! = 120.) Sugest~ao. Use a rela»c~ao de Stifel, exerc¶³cio 6b acima. (d) Demonstre, por indu»c~ao sobre n, que sendo a e b n¶umeros reais,
  11. 11. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 18 (a + b)n = nP k=0 ¡n k ¢ an¡k bk = an + ¡n 1 ¢ an¡1 b + ¡n 2 ¢ an¡2 b2 + ¢ ¢ ¢ + ¡ n n¡2 ¢ a2 bn¡2 + ¡ n n¡1 ¢ abn¡1 + bn Sugest~ao. Ao utilizar a hip¶otese de indu»c~ao, voc^e se deparar¶a com os seguintes c¶alculos: (a + b)n+1 = (a + b)n ¢ (a + b) = à nX k=0 µ n k ¶ an¡k bk ! ¢ (a + b) = an+1 + nX k=1 µ n k ¶ an+1¡k bk + n¡1X k=0 µ n k ¶ an¡k bk+1 + bn+1 Fa»ca ent~ao k = j + 1 no primeiro somat¶orio, obtendo, em seu lugar, n¡1P j=0 ¡ n j+1 ¢ an¡j bj+1 , e ent~ao (a + b)n+1 = an+1 + n¡1X k=0 µ n k + 1 ¶ an¡k bk+1 + n¡1X k=0 µ n k ¶ an¡k bk+1 + bn+1 Agora, agrupe os dois somat¶orios centrais e use a rela»c~ao de Stifel, exerc¶³cio 6b acima. 7. Mostre que, sendo n um inteiro positivo, (a) ¡n 0 ¢ + ¡n 1 ¢ + ¡n 2 ¢ + ¢ ¢ ¢ + ¡n n ¢ = 2n . (b) ¡n 0 ¢ ¡ ¡n 1 ¢ + ¡n 2 ¢ ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n ¡n n ¢ = 0. Sugest~ao. Expanda (1 + (¡1))n . (c) Um conjunto ¯nito de n elementos tem 2n subconjuntos (agora fa»ca uma demonstra»c~ao direta, usando n¶umeros binomiais, sem usar indu»c~ao). 8. Sendo n um inteiro positivo, use os resultados do exerc¶³cio 7 para calcular (a) ¡n 0 ¢ + ¡n 2 ¢ + ¡n 4 ¢ + ¢ ¢ ¢ (b) ¡n 1 ¢ + ¡n 3 ¢ + ¡n 5 ¢ + ¢ ¢ ¢ 9. Sendo n e r inteiros, n ¸ r ¸ 1, mostre que ¡r r ¢ + ¡r+1 r ¢ + ¢ ¢ ¢ + ¡n r ¢ = ¡n+1 r+1 ¢ . Sugest~ao. Indu»c~ao sobre n. 10. Utilizando o princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos, ou o teorema 2.1, demonstre o teorema 2.2. Sugest~ao. Desenvolva em detalhes o resumo da demonstra»c~ao, dado ap¶os o enun- ciado do teorema. 11. Demonstre o teorema 2.5. Sugest~ao. Considere o conjunto S de todos os inteiros k ¸ n0 tais que A(n) ¶e verdadeira para todo n satisfazendo n0 · n · k. Use ent~ao o teorema 2.2 para demonstrar que todo inteiro n ¸ n0 est¶a em S. 12. O prop¶osito deste exerc¶³cio ¶e explorar como podem ser deduzidas as f¶ormulas para somat¶orios do tipo nP k=1 kr = 1r + 2r + ¢ ¢ ¢ + nr , com r inteiro positivo.
  12. 12. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 19 (a) Mostre que, sendo a0; : : : ; an uma seqÄu^encia de n¶umeros reais, nX k=1 (ak ¡ ak¡1) = an ¡ a0 (b) Somando membro a membro as igualdades (k + 1)2 ¡ k2 = 2k + 1; de k = 1 at¶e k = n, e usando o resultado do item (a), deduza uma f¶ormula para nP k=1 k. (c) Somando membro a membro as igualdades (k + 1)3 ¡ k3 = 3k2 + 3k + 1; de k = 1 at¶e k = n, e usando o resultado do item (a) e a f¶ormula para nP k=1 k, deduza uma f¶ormula para nP k=1 k2 . (d) Deduza uma f¶ormula para nP k=1 k3 .

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