1. O documento discute relações e identidades trigonométricas, definindo funções como secante, cossecante e cotangente em termos de seno, cosseno e tangente. 2. Inclui exemplos resolvidos de problemas envolvendo estas relações e identidades. 3. Fornece as definições fundamentais da trigonometria e relações auxiliares utilizadas para resolver os exemplos.

1. NOSSOSITE:www.portalimpacto.com.br
KL 120410
PROT: 3412
Relações Trigonométricas (Identidades
Trigonométricas)
PROF: EQUIPE MATEMÁTICA
CONTEÚDO-2011
05
2
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
IMPACTO: A Certeza de Vencer!!!
1. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
A secante de um arco x (sec x) é o inverso do
cosseno deste mesmo arco e vice-versa.
A cossecante de um arco x (cossec x) é o
inverso do seno deste mesmo arco e vice-versa.
A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso
da tangente deste mesmo arco e vice-versa.
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA
TRIGONOMETRIA:
A soma dos quadrados do seno e cosseno de um
arco qualquer é igual a 1 (um).
RELAÇÃO AUXILIAR 1: A soma entre o quadrado da
tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado
da secante do mesmo arco.
.
RELAÇÃO AUXILIAR 2: A soma entre o
quadrado da cotangente de um arco x e a unidade é igual
ao quadrado da cossecante do mesmo arco.
.
A tangente de um arco x é igual a quociente
entre o seno e o cosseno deste mesmo arco.
A cotangente de um arco x é igual ao quociente
entre o cosseno e o seno deste mesmo arco.
Exemplos:
01. (UNEB) Se x pertence ao intervalo 0,
2
 
 
 
e
tg x 2 , então cos x vale:
a)
3
2
b)
2
2
c)
1
2
d)
5
5
e)
3
5
x
A
P
cosx
x
O
senx
1
1
– 1
– 1
cosx
senx
1
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
2 2 2
2 2 2
2 2
a b c
1 sen x cos x
sen x cos x 1
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO
Dividindo Ambos os membros da RELAÇÃO
FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 2 2
sen x cos x 1  por
2
cos x , temos:
 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
sen x cos x 1 cos x
sen x cos x 1
cos x cos x cos x
sen x 1
1
cos x cos x
tg x 1 sec x
  
 
   
    
   
 
Dividindo Ambos os membros da RELAÇÃO
FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 2 2
sen x cos x 1  por
2
sen x , temos:
 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
sen x cos x 1 sen x
sen x cos x 1
sen x sen x sen x
cos x 1
1
sen x sen x
1 cotg x cossec x
cotg x 1 cossec x
  
 
   
    
   
 
 
OBSERVAÇÕES
a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno;
b) A cossecante possui o mesmo sinal do seno;
c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente.
Grave a Frase: USA SEMPRE A TUA CABEÇA
U: todos são positivos;
S: o seno e a cossecante são positivos;
T: a tangente e a cotangente são positivas;
C: o cosseno e a secante são positivos.
US
CT
1
sec x
cos x
 , com cos x 0
1
cos x
sec x
 , com sec x 0
2 2
sen x cos x 1 
2 2
tg x 1 sec x 
2 2
cotg x 1 cossec x 
1
cossec x
s en x
 , com sen x 0
1
sen x
cossec x
 , com cossec x 0
1
cotg x
tg x
 , com tg x 0
1
tg x
cot g x
 , com cot g x 0
sen x
tg x
cos x
 , com cos x 0
cos x
cotg x
sen x
 , com sen x 0

2. NOSSOSITE:www.portalimpacto.com.br
CONTEÚDO-2011
REVISÃO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
Resolução:
Como x é um arco do primeiro quadrante todas as
razões trigonométricas são positivas.
Calculamos a secante de x pela Relação Auxiliar
1:
 
2 2
2 2
2
tg x 1 sec x
2 1 sec x
sec x 5
sec x 5 sec x 5 1º quadrante
 
 

   
Calculamos o cosseno de x pela relação:
1
cos x
sec x
. 51 5
cos x cos x
55 . 5

  
ALTERNATIVA (D)
2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Identidades Trigonométricas são igualdades
envolvendo as razões trigonométricas, que são
verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a
tais razões.
Exemplos:
02. (UCDB) Para todo x R tal que x k.
2

   ,
k Z , expressão    2 2
cos x . tg x 1 é igual a:
a)
sen x
cos x
c) 1
e) sen x cos x
b) 1 cos x d) 2sen x
Resolução:
Como 2 2
tg x 1 sec x  , temos:
   2 2 2 2 2
2
1
cos x . tg x 1 cos x.sec x cos x. 1
cos x
   
ALTERNATIVA (C)
EXERCÍCIOS
01. (CEFET) Assinale a alternativa falsa:
a)
1
sec x
3
 c)
3
cos x
4
 e)
cos x 0,5
b) tg x 50000 d) sen x 1
02. (UCDB – MT) Simplificando-se a expressão
sen x 1 cos x
y
1 cos x sen x

 

obtém-se:
a) y 2cotg x c) y 2cos x e)
y 2cossec x
b) y 2sen x d) y 2tg x
03. (UCDB) Sabe-se que 2
4tg x 9 e
5
x 3
2

   .
Então a expressão E 4sen x 6cos x cot g x    vale:
a)
3
2
b)
3
2
 c)
2
3
d)
2
3
 e)
9
4
04. (UNIFOR) Para todo k.
2

  , k Z , a expressão
cossec cos
sec sen
  
  
é equivalente é:
a) tg  c) cotg 
e) sec .tg 
b) tg  d) cotg 
05. (PUC) O arco que tem medida x em radianos é tal
que x
2

   e tg x 2  . O valor do seno de x é:
a) 3 b) 2 c)
3
3
d)
6
3
e)
2
2
06. (UAAM) Sabendo que
2
sen x
3
 e que x está no
1º quadrante, o valor de cotg x é:
a)
5
2
b)
1
3
c)
5
3
d)
5
3
e)
5
2
07.
(CEFET-PR) Simplificando a expressão 1+sen x,
encontramos: sec+tgx
a-) cos x
b-)1-cos x
c-) 1+cos x
d-) 1___
cos x
e-) 1___
1-cos x
08. (FGV-SP) Se x é um arco do segundo quadrante e
sen x =
2
3
então:
a) tg x = 
7
2
b) cotg x = 
2
7
c) sec x =
53
5
d) cossec x =
1
2
e) cos x =
5

3