1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
EXTRA

2. TRIGONOMETRIA - EXTRA
1
01. (Ime 2019) Os ângulos 1 2 3 100
, , , ,
θ θ θ θ
 são os termos de uma progressão aritmética na qual
11 26 75 90 .
4
π
θ θ θ θ
+ + + =O valor de
100
i
i 1
sen θ
=
 
 
 
∑ é
a) 1
−
b)
2
2
−
c) 0
d)
2
2
e) 1
02. (Acafe 2019) Analise as afirmações a seguir.
I. Considere o feixe de retas paralelas r : 3x 4y c 0
− + = e a circunferência 2 2
x 4x y 6y 9 0.
− + + + =Se r é secante à
circunferência, então c (a, b)
∈ e a b 36.
+ =
−
II. Se tg 2
θ = e
3
, ,
2
π
θ π
 
∈  
 
então cossec sec
θ θ
− é um número irracional.
III. Se a e b são números reais positivos e diferentes de 1 então a 1
a
1
log (a b) log 1.
b
 
⋅ − =
−
 
 
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
b) Apenas a afirmativa II está correta.
c) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
d) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
03. (Ime 2019) Seja z um número complexo tal que 12
z ,
∈  Re(z) 1
= e arg(z) 0, .
2
π
 
∈  
 
A soma dos inversos dos
possíveis valores de | z | está no intervalo
a)
1 3
,
2 2
 
 
 
b)
3 5
,
2 2
 
 
 
c)
5 7
,
2 2
 
 
 
d)
7 9
,
2 2
 
 
 
e)
9 11
,
2 2
 
 
 
04. (Acafe 2018) Analise as alternativas a seguir e assinale a correta.
a) Sabendo que x R; x
2
π
π
∈ < < e que sen (x) 0,8,
= o valor de 2 2
y sec (x) tg (x)
= + é
41
y .
9
=
b) Se sen (x) cos (x) k,
⋅ =
então, o valor de y para que 4 4
y sen (2x) cos (2x)
= − é 2
y 8k 1.
= +
c) O maior valor possível para y, sabendo que y 2 sen (2x) cos (2x) 3
=
⋅ ⋅ − é y 2.
=
d) sen sen (2)
2
π
 
<
 
 

3. TRIGONOMETRIA - EXTRA
2
05. (Espcex 2018) Seja a igualdade
4
a b
i cos isen ,
3 5 6 6
π π
 
−= +
 
 
onde i é a unidade imaginária. Se a e b são números
reais, então o quociente
a
b
é igual a
a)
3
.
5
b)
3 3
.
5
c)
3 3
.
5
−
d)
3
.
5
−
e)
15 3
.
4
06. (Acafe 2018) Se
3
x , 2
2
π
π
 
∈  
 
e 1
sen x cos x 5 ,
−
+ =
então o valor da expressão
75
(sec x cossec x sen x)
11
⋅ + − é:
a)
4
5
b)
3
5
−
c)
5
4
d)
11
60
07. (Ime 2017) No desenvolvimento de
10
1
x sen 2 cos 2
x
β β
 
⋅ +
 
 
o valor do termo independente de x é igual a 63 256.
Considerando que β é um número real, com 0 8
β π
< < e x 0,
≠ o valor de β é
a) 9
π
b) 12
π
c) 16
π
d) 18
π
e) 24
π
08. (Ime 2017) Calcule o valor de
4 4
6 6
sen cos
,
sen cos
α α
α α
+
+
sabendo-se que
1
sen cos .
5
α α =
a)
22
21
b)
23
22
c)
25
23
d)
13
12
e)
26
25

4. TRIGONOMETRIA - EXTRA
3
09. (Ime 2016) O valor do somatório
15
2k 1
k 1
Img(cis )
36
π
−
=
∑ é
Observação: Img(w) é a parte imaginária de w.
a)
2 3
4 sen
36
π
+
b)
2 3
4 sen
36
π
−
c)
1
4 sen
36
π
d) sen
36
π
e)
1
4
10. (Esc. Naval 2016) A equação
2 2
2
sen x 1 sec x
31
1 cos x 0 ,
16
1 0 1
= − com x 0, ,
2
π
 
∈  
 
possui como solução o volume de
uma pirâmide com base hexagonal de lado  e altura h 3.
= Sendo assim, é correto afirmar que o valor de  é igual
a
a)
2
2
9
π
b)
18
π
c)
8
9
π
d)
32
9
π
e)
4
π
11. (Efomm 2016) Determine o comprimento do menor arco AB na circunferência de centro O, representada na
figura a seguir, sabendo que o segmento OD mede 12 cm, os ângulos 𝐶𝐶𝑂𝑂
�𝐷𝐷 = 30° e 𝑂𝑂𝐴𝐴
̂𝐵𝐵 = 15° e que a área do
triângulo CDO é igual a 2
18 cm .
a) 5 cm
π b) 12 cm c) 5 cm d) 12 cm
π e) 10 cm
π

5. TRIGONOMETRIA - EXTRA
4
12. (Esc. Naval 2016) Seja q (cos 5 ) (cos 20 ) (cos 40 ) (cos 85 )
= ° ⋅ ° ⋅ ° ⋅ ° a razão de uma progressão geométrica infinita
com termo inicial 0
1
a .
4
= Sendo assim, é correto afirmar que a soma dos termos dessa progressão vale
a)
1
15
b)
2
15
c)
3
15
d)
4
15
e)
7
15
13. (Espcex (Aman) 2015) O valor de ( )
cos 165 sen 155 cos 145 sen 25 cos 35 cos 15
° + ° + ° − ° + ° + ° é
a) 2.
b) 1.
−
c) 0.
d) 1.
e)
1
.
2
14. (Epcar 2015) Nas expressões x, y e z, considere a simbologia:
- log é o logaritmo decimal;
- i é a unidade imaginária dos números complexos;
- sen é o seno de um arco; e
- n! é o fatorial de n.
Se 3
3log(100!)
x ,
log1 log8 log27 ... log100
=
+ + + +
2 3 100
2 3 100
i i i ... i
y
i i i ... i
+ + + +
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
z sen sen( ) sen( 2 ) ... sen( 99 ),
α α π α π α π
= + + + + + + + então o valor de y
x z
+ é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
15. (Esc. Naval 2014) O valor do produto cos40 cos80 cos160
°⋅ °⋅ ° é
a)
1
8
−
b)
1
4
−
c) 1
−
d)
3
2
−
e)
2
2
−

6. TRIGONOMETRIA - EXTRA
5
16. (Epcar 2014) No ciclo trigonométrico da figura abaixo acrescentou-se as retas r, s, t e z.
Nestas condições, a soma das medidas dos três segmentos em destaque, AT, TP e PB, pode ser calculado, como
função de ,
α por
a) secα
b) cossecα
c) tg cotg
α α
+
d) cossec sec
α α
+
17. (Esc. Naval 2014) Um observador, de altura desprezível, situado a 25 m de um prédio, observa-o sob um certo
ângulo de elevação. Afastando- se mais 50 m em linha reta, nota que o ângulo de visualização passa a ser a metade
do anterior. Podemos afirmar que a altura, em metros, do prédio é
a) 15 2
b) 15 3
c) 15 5
d) 25 3
e) 25 5
18. (Ita 2014) Sabendo que 2 2
2ab
sen x a 0
a b ,
= ≠
+
e b 0,
≠ um possível valor para
1
cossec 2x tg x
2
− é
a)
a b
.
ab
−
b)
a b
.
2ab
+
c)
2 2
a b
.
ab
−
d)
2 2
a b
.
4ab
+
e)
2 2
a b
.
4ab
−

7. TRIGONOMETRIA - EXTRA
6
19. (Esc. Naval 2013) Sabendo que 3
b sec ...
3 6 12
π π π
 
= + + +
 
 
então, o valor de 2
log b é
a) 8
b) 4
c) 3
d) 1
e) 0
20. (Epcar 2013) “NASCIDOS PARA VOAR: 60 ANOS DE FUMAÇA JÁ”
Em maio de 2012, o esquadrão EDA (Esquadrilha da Fumaça) comemorou 60 anos de apresentações. Para homenagear
esse esquadrão foi realizado na EPCAR um concurso em que os alunos teriam que criar um desenho. Uma das regras
desse concurso foi: elaborar um desenho usando conhecimentos de matemática. O aluno vencedor apresentou o
desenho em circunferências conforme esquema abaixo.
Com base nas informações do desenho, julgue verdadeira ou falsa cada afirmativa.
02. A menor soma das medidas dos comprimentos dos arcos PS, GH, FK, e LM é igual a 6 .
π
04. A razão entre PS e ST, nessa ordem, é
2 3
.
3
08. PS e GH são congruentes.
16.
1
AQ EJ.
2
=
32.
3 3
ST .
4
=
A soma das alternativas verdadeiras é igual a
a) 20
b) 22
c) 36
d) 44
21. (Ita 2013) Se
1
cos 2x ,
2
= então um possível valor de
cotg x 1
cossec(x ) sec( x)
π π
−
− − −
é
a)
3
.
2
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 2.

8. TRIGONOMETRIA - EXTRA
7
22. (Espcex 2013) Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de
dois arcos, ambos com origem em (1,0), denominados respectivamente α e ,
β medidos no sentido positivo.
O valor de ( )
tg α β
+ é
a)
3 3
3
+
b)
3 – 3
3
c) 2 3
+
d) 2 3
−
e) 1 3
− +
23. (Espcex 2012) O valor numérico da expressão ( )2
sec 1320 53
2 cos tg 2220
2 3
π
°  
− ⋅ + °
 
 
é
a) −1
b) 0
c)
1
2
d) 1
e) −
3
2
24. (Ita 2012) A soma
n
k 0
cos( k )
α π
=
+
∑ , para todo [ ]
0,2
α π
∈ , vale
a) - cos (α ) quando n é par.
b) - sen (α ) quando n é ímpar.
c) cos (α ) quando n é ímpar.
d) sen (α ) quando n é par.
e) zero quando n é ímpar.

9. TRIGONOMETRIA - EXTRA
8
25. (Ita 2011) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro
dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a
a)
23
.
11
π
b)
16
.
6
π
c)
24
.
11
π
d)
25
.
11
π
e)
7
.
3
π
GABARITO
1 - D 2 - C 3 - C 4 - A 5 - A
6 - C 7 - E 8 - B 9 - A 10 - B
11 - A 12 - D 13 - C 14 - B 15 - A
16 - A 17 - D 18 - E 19 - C 20 - D
21 - A 22 - D 23 - D 24 - E 25 - C