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Faculdade de Tecnologia – FATEC
                    Mogi-Mirim




Vetores
           Prof. Amauri Amorim
Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim



       Vetores
       Grandeza física
        No estudo da Natureza, precisamos utilizar constantemente uma linguagem matemática
para descrever, entender e prever os fenômenos que nos cercam. Este estudo quantitativo é
fundamental para o desenvolvimento da Ciência, confirmando, ou não, teorias e modelos
científicos que estejam em teste. Para trabalharmos a Ciência de modo quantitativo, utilizamos
um ou mais processos de medição aplicados àquilo que se quer estudar. Esse objeto de estudo,
sujeito a um processo de medição, quer direto ou indireto, chamamos de grandeza física.

       Grandeza física escalar.
        Ao se determinar uma grandeza física, pode ser necessária a associação de uma unidade a
um valor numérico. Estas grandezas físicas, que são determinadas somente pela intensidade
(intensidade = valor numérico + unidade), são chamadas de grandezas físicas escalares. Por
exemplo: temperatura, massa, pressão e tempo.

       Grandeza física vetorial
       Quando for necessário acrescentar uma orientação espacial à intensidade de uma
grandeza física, temos o que chamamos de grandeza física vetorial. Por exemplo: deslocamento,
velocidade, aceleração e força.
       A orientação espacial será fornecida através de uma direção e de um sentido. Assim sendo,
uma grandeza física vetorial será determinada pela associação de uma intensidade (valor
numérico + unidade) e uma orientação espacial (direção e sentido) e será representada por um
novo artifício teórico (matemático) denominado vetor.

       Vetor
       A representação do vetor é dada por um segmento de reta orientado.




       Para se definir uma direção é necessário construir uma reta.




                                 Uma reta apresenta uma direção
        A direção de uma grandeza física vetorial é dada pela direção da reta suporte do segmento
de reta orientado.


       Para se determinar um sentido é necessário definir um segmento de reta orientado.




                        É possível escolher entre dois sentidos numa reta.
       O sentido da grandeza física vetorial é indicado pelo segmento de reta orientado.
       A intensidade da grandeza física vetorial é dada pelo tamanho do segmento de reta
orientado que constitui o vetor.
       No caso de um vetor ser citado num texto, sobre seu nome deverá ser colocada a seguinte
                           r
notação: →. Por exemplo: V (Leia-se: o vetor “vê”).
       Já a representação do valor numérico de um vetor é chamada de módulo de um vetor.
       Sua notação matemática pode ser dada de duas maneiras:
                     r
       Por exemplo: D = 5 km ou D = 5 km.

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       A adição de vetores
       Muitas vezes se têm o interesse em substituir, na análise de um problema, dois ou mais
vetores por um único que efetue os mesmos efeitos, ou que represente corretamente determinada
situação física. Esse vetor substituto é chamado vetor resultante.
       Exemplo: deslocamento resultante.
       Vamos imaginar que um naufrago resolve nadar 3 km numa direção e depois nada mais
4 km noutra direção, perpendicular à primeira. Qual seria o módulo do seu deslocamento total?




       O Teorema de Pitágoras nos permite encontrar o módulo do deslocamento total.
              r            r
       Como D1 = 3 km e D2 = 4 km, então:

                                r 2 r 2 r 2    r 2
                                DT = D1 + D2 ⇒ DT = 32 + 42

                              r 2           r 2       r
                              DT = 9 + 16 ⇒ DT = 25 ⇒ DT = 5 km

       Note que o vetor representa o deslocamento total em relação à posição inicial, mostrando
sua direção, sentido e intensidade.
       Como podemos perceber, é interessante definirmos uma operação entre dois vetores, cujo
módulo do vetor resultante não é, a princípio, o módulo do primeiro vetor adicionado ao módulo
do segundo vetor. Vamos definir agora a adição de vetores.

       Adição de vetores pela regra da linha poligonal
        Este novo elemento matemático, vetor, que está sendo apresentado, possui regras próprias
para operações elementares. Você deve estar acostumado a adicionar, subtrair, multiplicar e
dividir números; agora teremos que aprender a adicionar e subtrair vetores.
        Ao definirmos a adição de dois vetores levaremos em consideração o exemplo anterior.

       Para somar dois, ou mais vetores, construímos uma linha poligonal emendando a origem de
um vetor à extremidade de outro vetor e assim sucessivamente, até o último vetor. Então, liga-se a
origem do primeiro à extremidade do último vetor para se obter o vetor resultante.


      Exemplo
                                                         r r r r r
      Dados os vetores representados na figura seguinte, A, B, C, D e E , pede-se determinar o
                r           r r r r r r
módulo do vetor S , em que: S = A + B + C + D + E .




       Resolução
       Vamos começar a resolução utilizando a regra da linha poligonal. Devemos colocar a
                     r                    r                          r                    r
extremidade do vetor A na origem do vetor B , a extremidade do vetor B na origem do vetor C , a
                     r                      r                          r                    r
extremidade do vetor C na origem do vetor D , a extremidade do vetor D na origem do vetor E .

                                                                                                 3
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                                         r                        r
E, finalmente, ligamos a origem do vetor A à extremidade do vetor E para obtermos o vetor . Veja
a figura seguinte:




        Neste caso, é só contar as laterais dos quadrinhos, ou seja, compararmos a intensidade do
      r                                           r
vetor S com a unidade (1u). O módulo do vetor S é 8 u.
        Exemplo
                           r r                                                  r
        Dados os vetores x e y encontre, em cada caso abaixo, o módulo do vetor s , em que
r r r                    r         r
s = x + y . Sabe-se que: x = 4 u e y = 3 u.
       a) Os vetores têm mesma direção e sentido.




       b) Os vetores têm mesma direção e sentidos opostos.




       c) Os vetores têm mesma direções perpendiculares.




       Resolução
       a) Somam-se os módulos dos dois vetores:




       b) Subtrai-se o módulo do menor vetor do módulo do maior vetor:




       c) Aplica-se o Teorema de Pitágoras:




       Exemplo
       Podemos utilizar uma regra para a adição de vetores, que permite calcular a intensidade
do módulo do vetor resultante de qualquer soma de dois vetores: a regra do paralelogramo.
       Vamos imaginar a situação onde dois grupos de formigas carregam uma lacraia. Note que
se os dois grupos aplicam forças de mesma intensidade.

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      O vetor resultante estará entre essas forças aplicadas.




      Adição de vetores pela regra do paralelogramo
      Colocamos os dois vetores com as origens juntas, e desenhamos um paralelogramo, cuja
diagonal, que passa entre os vetores, dá a direção do vetor resultante.




      Demonstra-se que:
                                  r2  r2 r2      r r
                                  S = A + B + 2. A . B . cos θ

      (veja a demonstração do teorema no Apêndice)

      Multiplicação de um vetor por um escalar
      Iremos definir a multiplicação de um vetor por um escalar real a fim de simplificar a
                                      r     r        r r r
notação, pois é mais simples escrever B = 2.A do que B = A + A .
      Regra da multiplicação de um vetor por um escalar real.
                      r          r     r
      Dado um vetor A e o vetor B = n.A em que n é um número real, temos:
      Quanto à orientação espacial:
                  r r
      Se n > 0 ⇔ A e B têm mesma direção e sentido.
                  r r
      Se n < 0 ⇔ A e B têm mesma direção e sentidos opostos.
                            r      r
      Quanto à intensidade B = n . A :



                                                                                          5
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       Exemplo




       Subtração de vetores
                          r        r                                r                         r
       Subtrair o vetor B do vetor A é equivalente a somar ao vetor A o vetor oposto ao vetor B ,
         r r r
                   ( ) r
ou seja, A − B = A + − B .




       Demonstra-se que:
                                    r2 r2 r2       r r
                                    D = A + B − 2. A . B . cos θ

       Ou, em outra notação:

                                     D2 = A 2 + B2 − 2.A.B. cos θ
       (veja a demonstração do teorema no Apêndice)

       Decomposição de vetores.
       Na adição de dois vetores substituem-se dois ou mais vetores por um único que o
represente. Aprenderemos, agora, o processo inverso, ou seja, partindo de um único vetor, iremos
substituí-lo por dois vetores que o represente. Esse processo é chamado decomposição de vetores.
       Exemplo
       Um homem quer descansar numa rede velha, mas não forçar muito a mesma. Então, como
deveria amarrá-la? De modo que ficasse o mais esticada possível ou menos esticada?




       Quanto maior forem as intensidades das forças1 exercidas pelas palmeiras sobre a rede
                                                                                            r
maior será a probabilidade dela se partir. As forças que as palmeiras exercem sobre a rede, F1 e
r
F2 equilibram2 a força exercida pelo homem sobre a rede.




       1 Força é um “empurrão” ou um “puxão” aplicado por um corpo noutro corpo. Com uma
particularidade: este empurrão ou este puxão pode, ou não, ser dado à distância.
       2 Significa que o vetor força resultante é nulo.
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       Compare as figuras acima com a figura seguinte. Note que quanto maior for o ângulo entre
as forças exercidas pelas palmeiras, maior terá que ser a intensidade da força aplicada por cada
palmeira sobre a rede, a fim de equilibrar a força exercida pelo homem sobre a rede, que tem
mesma intensidade da força peso do homem.
       Logo, para se ter as forças que seguram a rede com intensidade mínima, deve-se mantê-la
o menos esticada possível.




       Decomposição de vetores em componentes quaisquer.
                        r
      Note que o vetor S pode ser a resultante da soma de infinitos vetores. A figura seguinte
mostra alguns desses vetores:



                                                                                               7
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                       r r      r r                             r
         Esses vetores A e B ou C e D , que somados dão o vetor S , são chamados componentes
   r
de S .

         Decomposição de vetores em componentes ortogonais.
        Quando as componentes de um vetor fazem, entre si, 90o, são chamadas componentes
                      r
ortogonais do vetor S . Contudo, mais uma vez, temos um caso de infinitas respostas. Existem
                                                              r
infinitos pares de vetores ortogonais que somados dão o vetor S .




      Contudo, pode ser interessante encontrar um par de vetores em particular.
                                                                                 r r
      Quando se fornece duas direções perpendiculares e pede-se o par de vetores A e B , que
                    r
somados dão o vetor S , encontra-se somente um par de vetores.
        Exemplo
                             r r
        Quais são os vetores A e B , nas direções dadas pelos eixos y e x, que somados dão o
      r
vetor S ?




                             r
       Note que esse vetor S faz com o eixo x um ângulo θ. Podemos decompô-lo utilizando a
trigonometria do triângulo retângulo.




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      Adição de vetores utilizando decomposição de vetores
                       r r r                             r          r r r r
      Dados os vetores A, B e C , qual o módulo do vetor S , em que S = A + B + C . Sabe-se que:
r      r       r
A =4u, B =5u, C =13u, senθ=5/13, cosθ=12/13, senφ=3/5 e cosφ=4/5.




      Resolução
      Decompomos todos os vetores nos eixos x e y:




                                           r     r           r
                                    vetor A :   A x = 0 u e A y = 4 u;
                                    
                                          r     r           r
                                    vetor B :   B x = 4 u e B y = 3 u;
                                          r     r             r
                                    vetor C :   C x = 12 u e C y = 5 u;
                                    
      Encontramos a resultante no eixo x:
                                      r     r     r    r
                                      R x = A x + Bx + C x




       r     r     r     r
       R x = A x − B x + C x ou R x = A x − B x + C x
      ou seja:
      Rx = 0 – 4 + 12 ⇒ Rx = 8 u.
      Agora, encontraremos a resultante no eixo y:
                                      r     r     r    r
                                      R y = A y + By + C y




                                                                                               9
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r     r     r     r
R y = A y − B y + C y ou R y = A y − B y + C y
ou seja:
Ry = 4 – 3 + 5 ⇒ Ry = 6 u
                   r         r r       r
A resultante será S , em que S = R x + R y ;
                  r     r                             r2  r            2     r 2
Como os vetores R x e R y são perpendiculares, então: S = R x              + R y , ou seja:




                             r2             r2
                             S = 8 2 + 62 ⇒ S = 64 + 36 ⇒

                                  r2        r
                                  S = 100 ⇒ S = 10 u




10
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      Apêndice
     Demonstração da regra do paralelogramo para a adição de dois
vetores.
      Colocamos os dois vetores com as origens juntas e desenhamos um paralelogramo, cuja
diagonal, que passa entre os vetores, dá a direção do vetor resultante.




                                               r r r
                                               S= A+B
       Completamos a figura, desenhando um triângulo retângulo (marcado em cinza), cujos
                                        r
catetos medem x e y e a hipotenusa mede A .




      Assim:
          r               r
      x = A . cos θ e y = A .senθ
                                                   r
       Nesta construção, podemos notar que o vetor S é a hipotenusa de outro triângulo
                                         r
retângulo, cujos catetos que medem y e ( B + x ) .




      Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos:
                                          r2          r
                                          S = y 2 + ( B + x )2

                                      r2        r2     r
                                      S = y 2 + B + 2. B .x + x 2

                          r2    r           r2     r r               r
                          S = ( A .senθ)2 + B + 2. B . A . cos θ + ( A . cos θ)2

                            r2  r2                      r2     r r
                            S = A .(sen 2θ + cos 2 θ) + B + 2. B . A . cos θ

                                    r2  r2 r2      r r
                                    S = A + B + 2. B . A . cos θ




                                                                                       11
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     Demonstração da regra do paralelogramo para a subtração de
dois vetores.
                           r       r                                r                         r
       Subtrair o vetor B do vetor A é equivalente a somar ao vetor A o vetor oposto ao vetor B ,
         r r r         r
ou seja, A − B = A + (−B) .




                                        r   r r     r     r
                                        D = A − B = A + (−B)

       Construindo nesta representação gráfica da diferença entre os vetores um triângulo
                                                              r
retângulo de catetos que medem z e w e de hipotenusa que mede A , temos:




                                         r             r
                                     z = A .senθ e w = A . cos θ

       Aplicando no triângulo branco, ao lado do triângulo cinza, o teorema de Pitágoras, temos:
                                         r2          r
                                         D = z 2 + ( B − w )2

                                    r2        r2     r
                                    D = z 2 + B − 2. B .w + w 2

                         r2  r2          r2     r r               r2
                         D = A .sen 2θ + B − 2. B .( A . cos θ) + A . cos 2 θ

                          r2  r2                      r2     r r
                          D = A .(sen 2θ + cos 2 θ) + B − 2. B .( A . cos θ)

                                   r2  r2 r2      r r
                                   D = A + B − 2. A . B . cos θ

       Relações trigonométricas no triângulo retângulo.
       Definições elementares: Seno, co-seno e tangente de um ângulo




       12
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Relação Fundamental
No triângulo da figura anterior, temos aplicando o Teorema de Pitágoras:

                                                 a 2 + b2 = c 2

Dividindo os dois membros da equação por c 2 , obtém-se:
                                                             2    2
                               a2       b2       c2    a   b
                                    +        =       ⇒   +   =1
                               c2       c2       c 2
                                                       c   c

             a          b
Mas senθ =     e cos θ = , logo: (senθ)2 + (cos θ)2 = 1 , ou
             c          c

                                         sen 2θ + cos 2 θ = 1
Relações trigonométricas entre um ângulo e seu complemento




                                      θ + φ = 90 o ⇒ θ = 90 o − φ

                                      a
                           senθ =       = cos φ ⇒ sen(90 o − φ) = cos φ
                                      c
                                      b
                           cos θ =      = senφ ⇒ cos(90 o − φ) = senφ
                                      c
                                        a   1                   1
                              tgθ =       =   ⇒ tg(90 o − φ) =
                                        b tgθ                  tgφ

Relação entre a tangente de um ângulo e seu seno e co-seno.
                                            a
                                   a                  senθ
                              tgθ = ⇔ tgθ = c ⇒ tgθ =
                                   b        b         cos θ
                                            c
Relações trigonométricas entre um ângulo e seu complemento.
Seno, co-seno e tangente de ângulos notáveis.
a) 45o




                                                      a=b

                   c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c 2 = a 2 + a 2 ⇒ c 2 = 2.a 2 ⇒ c = a. 2
logo:

                         a               a                1              2
             sen45 o =     ⇒ sen45 o =      ⇒ sen45 o =      ⇒ sen45 o =
                         c             a. 2             1. 2             2

como a = b, então:

                                      b             a             2
                         cos 45 o =     ⇒ cos 45 o = ⇒ cos 45 o =
                                      c             c             2



                                                                                13
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                                                             2
                                          sen45 o
                              tg 45 o =          ⇒ tg 45 o = 2 ⇒ tg 45 o = 1
                                        cos 45 o             2
                                                             2
      b) 30o e 60º




       O triângulo acima é eqüilátero; e a linha tracejada é bissetriz do ângulo pelo qual ela
passa. Logo, a = c/2.
                                            2
                                      c                   c2        3.c 2          3
               c 2 = a 2 + b2 ⇒ c 2 =   + b2 ⇒ b2 = c 2 −    ⇒ b2 =       ⇒ b = c.
                                       2                  4          4             2

                                          c
                              oa       o  2 ⇒ sen30 o = 1 ⇒ cos 60 o = 1
                        sen30 = ⇒ sen30 =
                               c          c             2              2
                                          1

                                                      c. 3
                             b                          2 ⇒ sen30 o = 3 ⇒ cos 60 o = 3
                     cos 30 = ⇒ cos 30 o =
                          o
                             c                          c             2              2
                                                        1
                                                1
                              sen30 o                         1             3
                         o
                     tg 30 =        o
                                      ⇒ tg 30 = 2 ⇒ tg 30 o =
                                                      o
                                                                ⇒ tg 30 o =
                             cos 30             3             3             3
                                                2
                                            1                      1
                              tg 60 o =           o
                                                      ⇒ tg60 o =       ⇒ tg60 o = 3
                                          tg 30                    3
                                                                   3
      Resumindo




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        Testes
1) Assinalar certo ( C ) ou errado ( E ) nas afirmativas abaixo:
a) Temperatura é uma grandeza vetorial.
b) Uma grandeza vetorial só fica caracterizada quando se conhece sua medida, direção e
    sentido.
c) Todas as retas de um feixe de retas paralelas têm mesma direção.
                  r                            r
d) Se um vetor A tem módulo 5u, então A = 5u.
                    r    r                                    r   r
e) Se os vetores A e B têm módulos iguais a 5u, então A = B .
                    r    r                                    r   r
f) Se os vetores A e B têm módulos iguais a 5u, então A + B = 10u.
                r                            r
g) Se o vetor A tem módulo 5u, então - A = - 5 u .
                    r    r                                    r     r
h) Se os vetores A e B têm módulos iguais a 5u, então A = B .
                    r    r                                  r   r
i) Se os vetores A e B têm módulos iguais 5u, então A + B = 10 u.
                  r     r                                                r   r
j) Dois vetores A e B têm módulos respectivamente iguais a 5u e 4u, logo A > B .
        r            r                     r r
k) Se A = 3 u e B = 4 u, então 1 u ≤ A − B ≤ 7 u .
                    r    r                                 r r      r r
l) Se os vetores A e B são vetores ortogonais, então A − B = A + B .

2)   Analisando a figura a seguir, pode-se afirmar:




     r r r
a)   A+C=E
     r r r
b)   C+E=A
     r r r
c)   C+D=B
     r r      r
d)   E + B = −D
     r r r r
e)   C+D=A+B

3)   Suponha dois vetores de mesmo módulo de valor igual a a. A respeito da soma desses vetores
     é incorreto afirmar:
a)   pode ter módulo   a. 12
b)   pode ter módulo   a.
c)   pode ter módulo   2.a.
d)   pode ter módulo   nulo.
e)   tem módulo .
                            r r r r r                                                    r   r
4)   Considere os vetores A, B, C, D e E definidos de acordo com o gráfico abaixo. Sejam i e j
     vetores unitários na direção dos eixos X e Y, respectivamente.




                                                                                             15
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Então:
    r   r     r   r
a) D - E = 2. i - j
    r   r     r      r
b) B - C = 4. i - 4. j
    r   r     r       r
c) A + E = 3. i + 2. j
    r r
d) A - C = 6 u
e)   n.d.a.

5)   Assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as afirmações falsas.
a)   O módulo da soma de dois vetores pode ser maior do que o módulo de cada um dos vetores.
                           r                       r    r
b)   O módulo do vetor S , soma de dois vetores v1 e v 2 , aumenta à medida que cresce o ângulo
     entre os dois vetores.
c)   Um vetor localizado no eixo x (eixo das abcissas) não apresenta componente paralela ao eixo y
     (eixo das ordenadas).
d)   Um vetor localizado no eixo y (eixo das ordenadas) não apresenta componente na direção do
     eixo x (eixo das abcissas).
           r                                  r    r         r    r                             r
e)   Seja S o vetor soma de dois vetores v1 e v 2 , com v1 < v 2 . Neste caso, o módulo de S
                          r   r    r   r    r
     obedece a relação: v1 − v 2 ≤ S ≤ v1 + v 2

6)   Três forças se equilibram quando aplicadas em um objeto. Qual das alternativas abaixo nos
     fornece um possível conjunto de valores para as intensidades dessas forças?
a)   20 N, 30 N e 60 N.
b)   10 N, 20 N e 50 N.
c)   15 N, 15 N e 15 N.
d)   5 N, 10 N e 20 N.
e)   8 N, 8 N e 20 N.
7)   Quatro vetores, iguais em módulo e representando uma certa grandeza física, estão dispostos
     no plano (x, y), como mostra a figura (α = 30o e β = 60o). Classifique as afirmações em
     verdadeiras (V) ou falsas (F):
      r    r    r   r
a)    A + B + C + D =0
      r r r r
b)    A+B−C=0
      r r r r
c)    A+B=C+D
      r r        r r
d)   B + C = −(D − A )
e)   ( r r
              ) (
                r r
      A−C − B+D ≠0
      r r r r r
                    )
                        r

f)    A+B+C+D=0
      r r        r r
g)    A + C = −(D + A )

8)   Dados os vetores a seguir:




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O módulo do vetor , em que:
                                       r r r  r
                                     r A B C D
                                     R= − − +
                                       6 6 6 12
É igual a:
a)   12. 2 u
b)   12 u
c)   1u
d)       2 u
e)   6. 2 u

          Respostas dos testes:
1)
a)   E
b)   C
c)   C
d)   E
e)   E
f)   E
g)   E
h)   C
i)   C
j)   E
k)   C
l)   C

2)   E

3)   A

4)   B

5)
a)   V
b)   F
c)   V
d)   V
e)   V

6)   C

7)
a)   F
b)   F
c)   F
d)   F
e)   F
f)   V
g)   F

8)   D




                                                                  17
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        Questões analítico-expositivas
                                                                 r           r r r r
1)   Dados os vetores a seguir, determine o módulo do vetor soma S , tal que S = A + B + C .




                      r r r r
2)   Dados os vetores A, B, C e D encontre os módulos dos vetores:




     r r r
a)   E=A+B
     r r r r
b)   F = A+B+C
     r r r
c)   G=A+A
     r r r r r
d)   H= A+B+C+D

3)   Um dromedário parte de um oásis, percorre 5 km em linha reta, pára, e depois percorre mais
     12 km em linha reta. Qual a máxima e a mínima intensidade possível para o deslocamento
     resultante do dromedário?
                                  r r r
4)   Dados os módulos dos vetores A, B e C , calcular os valores possíveis para o módulo do vetor
      r          r r r r
     S , em que: S = A + B + C
       r        r        r
Dados: A = 5 u; B = 7 u; C = 3 u.

                              r     r
5)   Considere duas forças F1 e F2 , de intensidades respectivamente iguais a 120 N e 90 N
     aplicadas num ponto material.
                                                                                    r    r
a)   Determine o intervalo de valores possíveis para a intensidade da resultante de F1 e F2 ;
                                                         r   r
b)   Calcule a intensidade da resultante, supondo que F1 e F2 sejam perpendiculares entre si.

6)   Qual a intensidade da resultante das duas forças representadas aplicadas na caixa?




7)   Três forças coplanares, de mesma intensidade x, são aplicadas num ponto material formando
     120o; duas a duas, como mostra o esquema a seguir:




        18
Vetores – Prof. Amauri Amorim




Qual a intensidade da resultante das três forças?

8) Três vetores de mesmo módulo, possuem direção e sentido de modo que:
          r   r   r
1o) caso: A + B = C
          r   r   r     r
2o) caso: A + B + C = 0
Pede-se responder os itens abaixo, para cada um dos casos:
a) Faça um desenho que representa a operação vetorial descrita em cada caso.
                                      r    r
b) Forneça o ângulo entre os vetores A e B ;
                                      r    r
c) Forneça o ângulo entre os vetores A e C ;
                                      r    r
d) Forneça o ângulo entre os vetores B e C .
                       r           r r r r r
9) Calcule o módulo de R , em que R = A + B + C + D .
         r           r           r                 r
Dados: A = 20 u; B = 10 u; C = 10. 2 u; D = 10. 2 u; sen 37o = 0,6; cos 37o = 0,8;

                 2
     sen45 o =
                 2




10) Uma pessoa deve pendurar um quadro utilizando um fio muito fino e que, portanto, não deve
    suportar grandes tensões.




     De que forma ela deve pendurar o quadro? Opte pela sugestão A ou B e justifique a sua
     resposta. Sabe-se que α < β.

       Respostas questões analítico-expositivas:
   r
1) S = 0
2)


                                                                                           19
Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim

     r
a)   E    = 65 u
     r
b)   F    = 85 u
     r
c)   G    = 2. 17 u
     r
d)   H    =5u
             r
3)   7 km ≤ DR ≤ 17 km
           r
4)   0 u ≤ S ≤ 15 u
5)
              r
a)   30   N ≤ R ≤ 210 N
      r
b)   R    = 150 N
      r
6)   R    = 60 N
      r
7)   R    =0
8)   1o) caso




     2o) caso




     r
9)   R = 10 u
10) Opção B




          20
Vetores – Prof. Amauri Amorim




        Tarefa Complementar
1)   Dados os vetores a seguir, determine o módulo do vetor soma:




2)   “Tudo certo, como dois e dois são cinco.”
                                            Caetano Veloso.
     Esse verso, como já sabemos, não corresponde ao que a aritmética, nossa velha conhecida,
     diz. Comente a possibilidade dessa frase possuir algum sentido, no caso de adição de dois
     vetores, ambos de intensidade igual a duas unidades. Espera-se com seu comentário, que
     você confirme ou não a possibilidade do verso acima ser verdadeiro no caso da adição de dois
     vetores. Justifique.
                                                                          r        r
3)   Possuo 1000 vetores, sendo os 999 primeiros de módulo 1 unidade ( a1 = ... = a 999 = 1 u) ; e o
                                              r
     1000° vetor de módulo 998 unidades ( a1000 = 998 u ). Qual o intervalo de soluções possíveis
                      r          r r            r       r
     para o módulo de S , em que S = a1 + ... + a 999 + a1000 .

4)   Nas figuras seguintes temos algumas representações gráficas de operações vetoriais
     envolvendo sempre 4 vetores. Dê a expressão vetorial correspondente a cada uma das
     representações gráficas apresentadas.




                                                                                     r
5)   Dados os vetores na figura abaixo, encontre em função de a intensidade do vetor R , em que
     r r      r    r    r    r
     R = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 :




6)   A soma de dois vetores perpendiculares entre si tem módulo igual a    2 u. Se o módulo de um
     deles é o dobro do módulo do outro, qual o módulo do maior?


                                                                                                  21
Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim


7)   Seis vetores fecham um hexágono regular, dando uma resultante nula. Se trocarmos o
     sentido de três deles alternadamente, a resultante terá módulo igual a:
a)   2 vezes o módulo de um vetor componente.
b)   2. 3 vezes o módulo de um vetor componente.
       6
c)       vezes o módulo de um vetor componente.
      2
d)   nenhuma das respostas anteriores.

8)   Os esquemas seguintes mostram um barco sendo retirado de um rio por dois homens. Na
     figura 1, são usadas cordas que transmitem ao barco forças paralelas de intensidade F1 e F2 .
     Na figura 2, são usadas cordas inclinadas de 90o que transmitem ao barco forças de
     intensidades iguais às anteriores.




     Sabe-se que, no caso da figura 1, a força resultante transmitida ao barco tem valor 700 N e,
     no caso a figura 2, 500 N. Nessas condições, podemos afirmar que os esforços desenvolvidos
     pelos dois homens têm valor:
a)   250 N e 250 N
b)   350 N e 350 N
c)   200 N e 500 N
d)   100 N e 600 N
e)   300 N e 400 N
                                                                              r
                                                                              v1  3
9)   Os módulos de dois vetores, perpendiculares entre si, obedecem à relação r = .
                                                                              v2  4
                                                                                  r    r
     Se o vetor soma desses dois vetores tem módulo 15 u, determine os módulos de v1 e v 2 .

10) A soma das intensidades de duas forças ortogonais vale 23 kgf. Qual o módulo de cada uma
    sabendo que a resultante tem módulo igual a 17 kgf?

11) A diferença dos módulos de duas forças ortogonais é 49 kgf. A resultante tem intensidade
    igual a 61kgf . Qual o módulo de cada força?

12) As arestas e diagonais do paralelepípedo abaixo podem representar vetores.




     Assim sendo, efetue as operações vetoriais abaixo, fornecendo o módulo, a direção e o sentido
     dos vetores que representam os resultados destas operações:



     Dados :
     altura do paralelepípedo: AC = 5,0 cm.
     profundidade do paralelepípedo: DF = 9,0 cm.
     espessura do paralelepípedo: CD = 3,0 cm.

13) Forneça um exemplo de :
        22
Vetores – Prof. Amauri Amorim


a)   dois vetores cuja subtração é nula.
b)   três vetores cuja adição é nula.
c)   quatro vetores cuja adição é nula.
                                                                   r      r
                     r r r       r           r           r      r b r d
14) Dados os vetores a , b , c e d , calcule T , em que: T = −2.a + − c −
                                                                   2      3




               r     r                          r    r
15) Os vetores V 1 e V 2 possuem mesmo módulo ( V1 = V2 = 10 cm/s ) e representam os vetores
     velocidade de um corpo que executa um movimento circular uniforme. Calcule a intensidade
               r           r r      r
     do vetor ∆V , em que ∆V = V1 − V2 .

16) Um helicóptero é um aparelho complexo devido à sua geometria assimétrica. As pás do rotor
    principal (hélices) possuem velocidades de intensidades, em relação ao ar quando em
    movimento, para diferentes posições ocupadas. Como a sustentação do helicóptero depende
    dessas velocidades, isso poderia causar uma rotação do aparelho que o deixaria de cabeça
    para baixo, se essas pás tivessem inclinações fixas. Além disso, ao girar o rotor (hélices) para
    um lado o aparelho seria girado para o outro lado. Para resolver esses problemas a maioria
    dos helicópteros adota um rotor secundário na cauda e todos os helicópteros têm inclinações
    das pás do rotor principal variáveis, que dependem das posições ocupadas pelas pás. Mas
    tratemos de assuntos mais simples.
    Para calcular a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao ar, devemos fazer a
                     r r     r
    adição vetorial V = V1 + V2 , em que:
     r
    V : é a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao ar;
     r
    V1 : é a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao helicóptero;
     r
    V2 : é a velocidade do helicóptero em relação ao ar.




     Pede-se para cada uma das posições A, B, C e D indicadas na figura calcular o módulo do
           r                      r               r
     vetor V . Considere os dados V1 = 150 km/h , V2 = 200 km/h , que a reta é perpendicular à
     reta e que a reta é a reta que dá a direção do movimento do helicóptero.




                                                                                                 23

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Fisica vetores

  • 1. Faculdade de Tecnologia – FATEC Mogi-Mirim Vetores Prof. Amauri Amorim
  • 2. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim Vetores Grandeza física No estudo da Natureza, precisamos utilizar constantemente uma linguagem matemática para descrever, entender e prever os fenômenos que nos cercam. Este estudo quantitativo é fundamental para o desenvolvimento da Ciência, confirmando, ou não, teorias e modelos científicos que estejam em teste. Para trabalharmos a Ciência de modo quantitativo, utilizamos um ou mais processos de medição aplicados àquilo que se quer estudar. Esse objeto de estudo, sujeito a um processo de medição, quer direto ou indireto, chamamos de grandeza física. Grandeza física escalar. Ao se determinar uma grandeza física, pode ser necessária a associação de uma unidade a um valor numérico. Estas grandezas físicas, que são determinadas somente pela intensidade (intensidade = valor numérico + unidade), são chamadas de grandezas físicas escalares. Por exemplo: temperatura, massa, pressão e tempo. Grandeza física vetorial Quando for necessário acrescentar uma orientação espacial à intensidade de uma grandeza física, temos o que chamamos de grandeza física vetorial. Por exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração e força. A orientação espacial será fornecida através de uma direção e de um sentido. Assim sendo, uma grandeza física vetorial será determinada pela associação de uma intensidade (valor numérico + unidade) e uma orientação espacial (direção e sentido) e será representada por um novo artifício teórico (matemático) denominado vetor. Vetor A representação do vetor é dada por um segmento de reta orientado. Para se definir uma direção é necessário construir uma reta. Uma reta apresenta uma direção A direção de uma grandeza física vetorial é dada pela direção da reta suporte do segmento de reta orientado. Para se determinar um sentido é necessário definir um segmento de reta orientado. É possível escolher entre dois sentidos numa reta. O sentido da grandeza física vetorial é indicado pelo segmento de reta orientado. A intensidade da grandeza física vetorial é dada pelo tamanho do segmento de reta orientado que constitui o vetor. No caso de um vetor ser citado num texto, sobre seu nome deverá ser colocada a seguinte r notação: →. Por exemplo: V (Leia-se: o vetor “vê”). Já a representação do valor numérico de um vetor é chamada de módulo de um vetor. Sua notação matemática pode ser dada de duas maneiras: r Por exemplo: D = 5 km ou D = 5 km. 2
  • 3. Vetores – Prof. Amauri Amorim A adição de vetores Muitas vezes se têm o interesse em substituir, na análise de um problema, dois ou mais vetores por um único que efetue os mesmos efeitos, ou que represente corretamente determinada situação física. Esse vetor substituto é chamado vetor resultante. Exemplo: deslocamento resultante. Vamos imaginar que um naufrago resolve nadar 3 km numa direção e depois nada mais 4 km noutra direção, perpendicular à primeira. Qual seria o módulo do seu deslocamento total? O Teorema de Pitágoras nos permite encontrar o módulo do deslocamento total. r r Como D1 = 3 km e D2 = 4 km, então: r 2 r 2 r 2 r 2 DT = D1 + D2 ⇒ DT = 32 + 42 r 2 r 2 r DT = 9 + 16 ⇒ DT = 25 ⇒ DT = 5 km Note que o vetor representa o deslocamento total em relação à posição inicial, mostrando sua direção, sentido e intensidade. Como podemos perceber, é interessante definirmos uma operação entre dois vetores, cujo módulo do vetor resultante não é, a princípio, o módulo do primeiro vetor adicionado ao módulo do segundo vetor. Vamos definir agora a adição de vetores. Adição de vetores pela regra da linha poligonal Este novo elemento matemático, vetor, que está sendo apresentado, possui regras próprias para operações elementares. Você deve estar acostumado a adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números; agora teremos que aprender a adicionar e subtrair vetores. Ao definirmos a adição de dois vetores levaremos em consideração o exemplo anterior. Para somar dois, ou mais vetores, construímos uma linha poligonal emendando a origem de um vetor à extremidade de outro vetor e assim sucessivamente, até o último vetor. Então, liga-se a origem do primeiro à extremidade do último vetor para se obter o vetor resultante. Exemplo r r r r r Dados os vetores representados na figura seguinte, A, B, C, D e E , pede-se determinar o r r r r r r r módulo do vetor S , em que: S = A + B + C + D + E . Resolução Vamos começar a resolução utilizando a regra da linha poligonal. Devemos colocar a r r r r extremidade do vetor A na origem do vetor B , a extremidade do vetor B na origem do vetor C , a r r r r extremidade do vetor C na origem do vetor D , a extremidade do vetor D na origem do vetor E . 3
  • 4. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim r r E, finalmente, ligamos a origem do vetor A à extremidade do vetor E para obtermos o vetor . Veja a figura seguinte: Neste caso, é só contar as laterais dos quadrinhos, ou seja, compararmos a intensidade do r r vetor S com a unidade (1u). O módulo do vetor S é 8 u. Exemplo r r r Dados os vetores x e y encontre, em cada caso abaixo, o módulo do vetor s , em que r r r r r s = x + y . Sabe-se que: x = 4 u e y = 3 u. a) Os vetores têm mesma direção e sentido. b) Os vetores têm mesma direção e sentidos opostos. c) Os vetores têm mesma direções perpendiculares. Resolução a) Somam-se os módulos dos dois vetores: b) Subtrai-se o módulo do menor vetor do módulo do maior vetor: c) Aplica-se o Teorema de Pitágoras: Exemplo Podemos utilizar uma regra para a adição de vetores, que permite calcular a intensidade do módulo do vetor resultante de qualquer soma de dois vetores: a regra do paralelogramo. Vamos imaginar a situação onde dois grupos de formigas carregam uma lacraia. Note que se os dois grupos aplicam forças de mesma intensidade. 4
  • 5. Vetores – Prof. Amauri Amorim O vetor resultante estará entre essas forças aplicadas. Adição de vetores pela regra do paralelogramo Colocamos os dois vetores com as origens juntas, e desenhamos um paralelogramo, cuja diagonal, que passa entre os vetores, dá a direção do vetor resultante. Demonstra-se que: r2 r2 r2 r r S = A + B + 2. A . B . cos θ (veja a demonstração do teorema no Apêndice) Multiplicação de um vetor por um escalar Iremos definir a multiplicação de um vetor por um escalar real a fim de simplificar a r r r r r notação, pois é mais simples escrever B = 2.A do que B = A + A . Regra da multiplicação de um vetor por um escalar real. r r r Dado um vetor A e o vetor B = n.A em que n é um número real, temos: Quanto à orientação espacial: r r Se n > 0 ⇔ A e B têm mesma direção e sentido. r r Se n < 0 ⇔ A e B têm mesma direção e sentidos opostos. r r Quanto à intensidade B = n . A : 5
  • 6. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim Exemplo Subtração de vetores r r r r Subtrair o vetor B do vetor A é equivalente a somar ao vetor A o vetor oposto ao vetor B , r r r ( ) r ou seja, A − B = A + − B . Demonstra-se que: r2 r2 r2 r r D = A + B − 2. A . B . cos θ Ou, em outra notação: D2 = A 2 + B2 − 2.A.B. cos θ (veja a demonstração do teorema no Apêndice) Decomposição de vetores. Na adição de dois vetores substituem-se dois ou mais vetores por um único que o represente. Aprenderemos, agora, o processo inverso, ou seja, partindo de um único vetor, iremos substituí-lo por dois vetores que o represente. Esse processo é chamado decomposição de vetores. Exemplo Um homem quer descansar numa rede velha, mas não forçar muito a mesma. Então, como deveria amarrá-la? De modo que ficasse o mais esticada possível ou menos esticada? Quanto maior forem as intensidades das forças1 exercidas pelas palmeiras sobre a rede r maior será a probabilidade dela se partir. As forças que as palmeiras exercem sobre a rede, F1 e r F2 equilibram2 a força exercida pelo homem sobre a rede. 1 Força é um “empurrão” ou um “puxão” aplicado por um corpo noutro corpo. Com uma particularidade: este empurrão ou este puxão pode, ou não, ser dado à distância. 2 Significa que o vetor força resultante é nulo. 6
  • 7. Vetores – Prof. Amauri Amorim Compare as figuras acima com a figura seguinte. Note que quanto maior for o ângulo entre as forças exercidas pelas palmeiras, maior terá que ser a intensidade da força aplicada por cada palmeira sobre a rede, a fim de equilibrar a força exercida pelo homem sobre a rede, que tem mesma intensidade da força peso do homem. Logo, para se ter as forças que seguram a rede com intensidade mínima, deve-se mantê-la o menos esticada possível. Decomposição de vetores em componentes quaisquer. r Note que o vetor S pode ser a resultante da soma de infinitos vetores. A figura seguinte mostra alguns desses vetores: 7
  • 8. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim r r r r r Esses vetores A e B ou C e D , que somados dão o vetor S , são chamados componentes r de S . Decomposição de vetores em componentes ortogonais. Quando as componentes de um vetor fazem, entre si, 90o, são chamadas componentes r ortogonais do vetor S . Contudo, mais uma vez, temos um caso de infinitas respostas. Existem r infinitos pares de vetores ortogonais que somados dão o vetor S . Contudo, pode ser interessante encontrar um par de vetores em particular. r r Quando se fornece duas direções perpendiculares e pede-se o par de vetores A e B , que r somados dão o vetor S , encontra-se somente um par de vetores. Exemplo r r Quais são os vetores A e B , nas direções dadas pelos eixos y e x, que somados dão o r vetor S ? r Note que esse vetor S faz com o eixo x um ângulo θ. Podemos decompô-lo utilizando a trigonometria do triângulo retângulo. 8
  • 9. Vetores – Prof. Amauri Amorim Adição de vetores utilizando decomposição de vetores r r r r r r r r Dados os vetores A, B e C , qual o módulo do vetor S , em que S = A + B + C . Sabe-se que: r r r A =4u, B =5u, C =13u, senθ=5/13, cosθ=12/13, senφ=3/5 e cosφ=4/5. Resolução Decompomos todos os vetores nos eixos x e y: r r r vetor A : A x = 0 u e A y = 4 u;   r r r vetor B : B x = 4 u e B y = 3 u;  r r r vetor C : C x = 12 u e C y = 5 u;  Encontramos a resultante no eixo x: r r r r R x = A x + Bx + C x r r r r R x = A x − B x + C x ou R x = A x − B x + C x ou seja: Rx = 0 – 4 + 12 ⇒ Rx = 8 u. Agora, encontraremos a resultante no eixo y: r r r r R y = A y + By + C y 9
  • 10. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim r r r r R y = A y − B y + C y ou R y = A y − B y + C y ou seja: Ry = 4 – 3 + 5 ⇒ Ry = 6 u r r r r A resultante será S , em que S = R x + R y ; r r r2 r 2 r 2 Como os vetores R x e R y são perpendiculares, então: S = R x + R y , ou seja: r2 r2 S = 8 2 + 62 ⇒ S = 64 + 36 ⇒ r2 r S = 100 ⇒ S = 10 u 10
  • 11. Vetores – Prof. Amauri Amorim Apêndice Demonstração da regra do paralelogramo para a adição de dois vetores. Colocamos os dois vetores com as origens juntas e desenhamos um paralelogramo, cuja diagonal, que passa entre os vetores, dá a direção do vetor resultante. r r r S= A+B Completamos a figura, desenhando um triângulo retângulo (marcado em cinza), cujos r catetos medem x e y e a hipotenusa mede A . Assim: r r x = A . cos θ e y = A .senθ r Nesta construção, podemos notar que o vetor S é a hipotenusa de outro triângulo r retângulo, cujos catetos que medem y e ( B + x ) . Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos: r2 r S = y 2 + ( B + x )2 r2 r2 r S = y 2 + B + 2. B .x + x 2 r2 r r2 r r r S = ( A .senθ)2 + B + 2. B . A . cos θ + ( A . cos θ)2 r2 r2 r2 r r S = A .(sen 2θ + cos 2 θ) + B + 2. B . A . cos θ r2 r2 r2 r r S = A + B + 2. B . A . cos θ 11
  • 12. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim Demonstração da regra do paralelogramo para a subtração de dois vetores. r r r r Subtrair o vetor B do vetor A é equivalente a somar ao vetor A o vetor oposto ao vetor B , r r r r ou seja, A − B = A + (−B) . r r r r r D = A − B = A + (−B) Construindo nesta representação gráfica da diferença entre os vetores um triângulo r retângulo de catetos que medem z e w e de hipotenusa que mede A , temos: r r z = A .senθ e w = A . cos θ Aplicando no triângulo branco, ao lado do triângulo cinza, o teorema de Pitágoras, temos: r2 r D = z 2 + ( B − w )2 r2 r2 r D = z 2 + B − 2. B .w + w 2 r2 r2 r2 r r r2 D = A .sen 2θ + B − 2. B .( A . cos θ) + A . cos 2 θ r2 r2 r2 r r D = A .(sen 2θ + cos 2 θ) + B − 2. B .( A . cos θ) r2 r2 r2 r r D = A + B − 2. A . B . cos θ Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Definições elementares: Seno, co-seno e tangente de um ângulo 12
  • 13. Vetores – Prof. Amauri Amorim Relação Fundamental No triângulo da figura anterior, temos aplicando o Teorema de Pitágoras: a 2 + b2 = c 2 Dividindo os dois membros da equação por c 2 , obtém-se: 2 2 a2 b2 c2 a b + = ⇒   +   =1 c2 c2 c 2 c c a b Mas senθ = e cos θ = , logo: (senθ)2 + (cos θ)2 = 1 , ou c c sen 2θ + cos 2 θ = 1 Relações trigonométricas entre um ângulo e seu complemento θ + φ = 90 o ⇒ θ = 90 o − φ a senθ = = cos φ ⇒ sen(90 o − φ) = cos φ c b cos θ = = senφ ⇒ cos(90 o − φ) = senφ c a 1 1 tgθ = = ⇒ tg(90 o − φ) = b tgθ tgφ Relação entre a tangente de um ângulo e seu seno e co-seno. a a senθ tgθ = ⇔ tgθ = c ⇒ tgθ = b b cos θ c Relações trigonométricas entre um ângulo e seu complemento. Seno, co-seno e tangente de ângulos notáveis. a) 45o a=b c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c 2 = a 2 + a 2 ⇒ c 2 = 2.a 2 ⇒ c = a. 2 logo: a a 1 2 sen45 o = ⇒ sen45 o = ⇒ sen45 o = ⇒ sen45 o = c a. 2 1. 2 2 como a = b, então: b a 2 cos 45 o = ⇒ cos 45 o = ⇒ cos 45 o = c c 2 13
  • 14. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim 2 sen45 o tg 45 o = ⇒ tg 45 o = 2 ⇒ tg 45 o = 1 cos 45 o 2 2 b) 30o e 60º O triângulo acima é eqüilátero; e a linha tracejada é bissetriz do ângulo pelo qual ela passa. Logo, a = c/2. 2 c c2 3.c 2 3 c 2 = a 2 + b2 ⇒ c 2 =   + b2 ⇒ b2 = c 2 − ⇒ b2 = ⇒ b = c.  2 4 4 2 c oa o 2 ⇒ sen30 o = 1 ⇒ cos 60 o = 1 sen30 = ⇒ sen30 = c c 2 2 1 c. 3 b 2 ⇒ sen30 o = 3 ⇒ cos 60 o = 3 cos 30 = ⇒ cos 30 o = o c c 2 2 1 1 sen30 o 1 3 o tg 30 = o ⇒ tg 30 = 2 ⇒ tg 30 o = o ⇒ tg 30 o = cos 30 3 3 3 2 1 1 tg 60 o = o ⇒ tg60 o = ⇒ tg60 o = 3 tg 30 3 3 Resumindo 14
  • 15. Vetores – Prof. Amauri Amorim Testes 1) Assinalar certo ( C ) ou errado ( E ) nas afirmativas abaixo: a) Temperatura é uma grandeza vetorial. b) Uma grandeza vetorial só fica caracterizada quando se conhece sua medida, direção e sentido. c) Todas as retas de um feixe de retas paralelas têm mesma direção. r r d) Se um vetor A tem módulo 5u, então A = 5u. r r r r e) Se os vetores A e B têm módulos iguais a 5u, então A = B . r r r r f) Se os vetores A e B têm módulos iguais a 5u, então A + B = 10u. r r g) Se o vetor A tem módulo 5u, então - A = - 5 u . r r r r h) Se os vetores A e B têm módulos iguais a 5u, então A = B . r r r r i) Se os vetores A e B têm módulos iguais 5u, então A + B = 10 u. r r r r j) Dois vetores A e B têm módulos respectivamente iguais a 5u e 4u, logo A > B . r r r r k) Se A = 3 u e B = 4 u, então 1 u ≤ A − B ≤ 7 u . r r r r r r l) Se os vetores A e B são vetores ortogonais, então A − B = A + B . 2) Analisando a figura a seguir, pode-se afirmar: r r r a) A+C=E r r r b) C+E=A r r r c) C+D=B r r r d) E + B = −D r r r r e) C+D=A+B 3) Suponha dois vetores de mesmo módulo de valor igual a a. A respeito da soma desses vetores é incorreto afirmar: a) pode ter módulo a. 12 b) pode ter módulo a. c) pode ter módulo 2.a. d) pode ter módulo nulo. e) tem módulo . r r r r r r r 4) Considere os vetores A, B, C, D e E definidos de acordo com o gráfico abaixo. Sejam i e j vetores unitários na direção dos eixos X e Y, respectivamente. 15
  • 16. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim Então: r r r r a) D - E = 2. i - j r r r r b) B - C = 4. i - 4. j r r r r c) A + E = 3. i + 2. j r r d) A - C = 6 u e) n.d.a. 5) Assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as afirmações falsas. a) O módulo da soma de dois vetores pode ser maior do que o módulo de cada um dos vetores. r r r b) O módulo do vetor S , soma de dois vetores v1 e v 2 , aumenta à medida que cresce o ângulo entre os dois vetores. c) Um vetor localizado no eixo x (eixo das abcissas) não apresenta componente paralela ao eixo y (eixo das ordenadas). d) Um vetor localizado no eixo y (eixo das ordenadas) não apresenta componente na direção do eixo x (eixo das abcissas). r r r r r r e) Seja S o vetor soma de dois vetores v1 e v 2 , com v1 < v 2 . Neste caso, o módulo de S r r r r r obedece a relação: v1 − v 2 ≤ S ≤ v1 + v 2 6) Três forças se equilibram quando aplicadas em um objeto. Qual das alternativas abaixo nos fornece um possível conjunto de valores para as intensidades dessas forças? a) 20 N, 30 N e 60 N. b) 10 N, 20 N e 50 N. c) 15 N, 15 N e 15 N. d) 5 N, 10 N e 20 N. e) 8 N, 8 N e 20 N. 7) Quatro vetores, iguais em módulo e representando uma certa grandeza física, estão dispostos no plano (x, y), como mostra a figura (α = 30o e β = 60o). Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F): r r r r a) A + B + C + D =0 r r r r b) A+B−C=0 r r r r c) A+B=C+D r r r r d) B + C = −(D − A ) e) ( r r ) ( r r A−C − B+D ≠0 r r r r r ) r f) A+B+C+D=0 r r r r g) A + C = −(D + A ) 8) Dados os vetores a seguir: 16
  • 17. Vetores – Prof. Amauri Amorim O módulo do vetor , em que: r r r r r A B C D R= − − + 6 6 6 12 É igual a: a) 12. 2 u b) 12 u c) 1u d) 2 u e) 6. 2 u Respostas dos testes: 1) a) E b) C c) C d) E e) E f) E g) E h) C i) C j) E k) C l) C 2) E 3) A 4) B 5) a) V b) F c) V d) V e) V 6) C 7) a) F b) F c) F d) F e) F f) V g) F 8) D 17
  • 18. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim Questões analítico-expositivas r r r r r 1) Dados os vetores a seguir, determine o módulo do vetor soma S , tal que S = A + B + C . r r r r 2) Dados os vetores A, B, C e D encontre os módulos dos vetores: r r r a) E=A+B r r r r b) F = A+B+C r r r c) G=A+A r r r r r d) H= A+B+C+D 3) Um dromedário parte de um oásis, percorre 5 km em linha reta, pára, e depois percorre mais 12 km em linha reta. Qual a máxima e a mínima intensidade possível para o deslocamento resultante do dromedário? r r r 4) Dados os módulos dos vetores A, B e C , calcular os valores possíveis para o módulo do vetor r r r r r S , em que: S = A + B + C r r r Dados: A = 5 u; B = 7 u; C = 3 u. r r 5) Considere duas forças F1 e F2 , de intensidades respectivamente iguais a 120 N e 90 N aplicadas num ponto material. r r a) Determine o intervalo de valores possíveis para a intensidade da resultante de F1 e F2 ; r r b) Calcule a intensidade da resultante, supondo que F1 e F2 sejam perpendiculares entre si. 6) Qual a intensidade da resultante das duas forças representadas aplicadas na caixa? 7) Três forças coplanares, de mesma intensidade x, são aplicadas num ponto material formando 120o; duas a duas, como mostra o esquema a seguir: 18
  • 19. Vetores – Prof. Amauri Amorim Qual a intensidade da resultante das três forças? 8) Três vetores de mesmo módulo, possuem direção e sentido de modo que: r r r 1o) caso: A + B = C r r r r 2o) caso: A + B + C = 0 Pede-se responder os itens abaixo, para cada um dos casos: a) Faça um desenho que representa a operação vetorial descrita em cada caso. r r b) Forneça o ângulo entre os vetores A e B ; r r c) Forneça o ângulo entre os vetores A e C ; r r d) Forneça o ângulo entre os vetores B e C . r r r r r r 9) Calcule o módulo de R , em que R = A + B + C + D . r r r r Dados: A = 20 u; B = 10 u; C = 10. 2 u; D = 10. 2 u; sen 37o = 0,6; cos 37o = 0,8; 2 sen45 o = 2 10) Uma pessoa deve pendurar um quadro utilizando um fio muito fino e que, portanto, não deve suportar grandes tensões. De que forma ela deve pendurar o quadro? Opte pela sugestão A ou B e justifique a sua resposta. Sabe-se que α < β. Respostas questões analítico-expositivas: r 1) S = 0 2) 19
  • 20. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim r a) E = 65 u r b) F = 85 u r c) G = 2. 17 u r d) H =5u r 3) 7 km ≤ DR ≤ 17 km r 4) 0 u ≤ S ≤ 15 u 5) r a) 30 N ≤ R ≤ 210 N r b) R = 150 N r 6) R = 60 N r 7) R =0 8) 1o) caso 2o) caso r 9) R = 10 u 10) Opção B 20
  • 21. Vetores – Prof. Amauri Amorim Tarefa Complementar 1) Dados os vetores a seguir, determine o módulo do vetor soma: 2) “Tudo certo, como dois e dois são cinco.” Caetano Veloso. Esse verso, como já sabemos, não corresponde ao que a aritmética, nossa velha conhecida, diz. Comente a possibilidade dessa frase possuir algum sentido, no caso de adição de dois vetores, ambos de intensidade igual a duas unidades. Espera-se com seu comentário, que você confirme ou não a possibilidade do verso acima ser verdadeiro no caso da adição de dois vetores. Justifique. r r 3) Possuo 1000 vetores, sendo os 999 primeiros de módulo 1 unidade ( a1 = ... = a 999 = 1 u) ; e o r 1000° vetor de módulo 998 unidades ( a1000 = 998 u ). Qual o intervalo de soluções possíveis r r r r r para o módulo de S , em que S = a1 + ... + a 999 + a1000 . 4) Nas figuras seguintes temos algumas representações gráficas de operações vetoriais envolvendo sempre 4 vetores. Dê a expressão vetorial correspondente a cada uma das representações gráficas apresentadas. r 5) Dados os vetores na figura abaixo, encontre em função de a intensidade do vetor R , em que r r r r r r R = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 : 6) A soma de dois vetores perpendiculares entre si tem módulo igual a 2 u. Se o módulo de um deles é o dobro do módulo do outro, qual o módulo do maior? 21
  • 22. Faculdade de Tecnologia – FATEC de Mogi-Mirim 7) Seis vetores fecham um hexágono regular, dando uma resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles alternadamente, a resultante terá módulo igual a: a) 2 vezes o módulo de um vetor componente. b) 2. 3 vezes o módulo de um vetor componente. 6 c) vezes o módulo de um vetor componente. 2 d) nenhuma das respostas anteriores. 8) Os esquemas seguintes mostram um barco sendo retirado de um rio por dois homens. Na figura 1, são usadas cordas que transmitem ao barco forças paralelas de intensidade F1 e F2 . Na figura 2, são usadas cordas inclinadas de 90o que transmitem ao barco forças de intensidades iguais às anteriores. Sabe-se que, no caso da figura 1, a força resultante transmitida ao barco tem valor 700 N e, no caso a figura 2, 500 N. Nessas condições, podemos afirmar que os esforços desenvolvidos pelos dois homens têm valor: a) 250 N e 250 N b) 350 N e 350 N c) 200 N e 500 N d) 100 N e 600 N e) 300 N e 400 N r v1 3 9) Os módulos de dois vetores, perpendiculares entre si, obedecem à relação r = . v2 4 r r Se o vetor soma desses dois vetores tem módulo 15 u, determine os módulos de v1 e v 2 . 10) A soma das intensidades de duas forças ortogonais vale 23 kgf. Qual o módulo de cada uma sabendo que a resultante tem módulo igual a 17 kgf? 11) A diferença dos módulos de duas forças ortogonais é 49 kgf. A resultante tem intensidade igual a 61kgf . Qual o módulo de cada força? 12) As arestas e diagonais do paralelepípedo abaixo podem representar vetores. Assim sendo, efetue as operações vetoriais abaixo, fornecendo o módulo, a direção e o sentido dos vetores que representam os resultados destas operações: Dados : altura do paralelepípedo: AC = 5,0 cm. profundidade do paralelepípedo: DF = 9,0 cm. espessura do paralelepípedo: CD = 3,0 cm. 13) Forneça um exemplo de : 22
  • 23. Vetores – Prof. Amauri Amorim a) dois vetores cuja subtração é nula. b) três vetores cuja adição é nula. c) quatro vetores cuja adição é nula. r r r r r r r r r b r d 14) Dados os vetores a , b , c e d , calcule T , em que: T = −2.a + − c − 2 3 r r r r 15) Os vetores V 1 e V 2 possuem mesmo módulo ( V1 = V2 = 10 cm/s ) e representam os vetores velocidade de um corpo que executa um movimento circular uniforme. Calcule a intensidade r r r r do vetor ∆V , em que ∆V = V1 − V2 . 16) Um helicóptero é um aparelho complexo devido à sua geometria assimétrica. As pás do rotor principal (hélices) possuem velocidades de intensidades, em relação ao ar quando em movimento, para diferentes posições ocupadas. Como a sustentação do helicóptero depende dessas velocidades, isso poderia causar uma rotação do aparelho que o deixaria de cabeça para baixo, se essas pás tivessem inclinações fixas. Além disso, ao girar o rotor (hélices) para um lado o aparelho seria girado para o outro lado. Para resolver esses problemas a maioria dos helicópteros adota um rotor secundário na cauda e todos os helicópteros têm inclinações das pás do rotor principal variáveis, que dependem das posições ocupadas pelas pás. Mas tratemos de assuntos mais simples. Para calcular a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao ar, devemos fazer a r r r adição vetorial V = V1 + V2 , em que: r V : é a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao ar; r V1 : é a velocidade da ponta da pá do rotor principal em relação ao helicóptero; r V2 : é a velocidade do helicóptero em relação ao ar. Pede-se para cada uma das posições A, B, C e D indicadas na figura calcular o módulo do r r r vetor V . Considere os dados V1 = 150 km/h , V2 = 200 km/h , que a reta é perpendicular à reta e que a reta é a reta que dá a direção do movimento do helicóptero. 23