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FUNC¸ ˜AO INVERSA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
DEFINIC¸ ˜AO
Um processo inverso ´e aquele que desfaz o que o processo original fez.
Assim, por exemplo, o processo de desempacotar ´e o processo inverso ao de
empacotar. Essa ideia pode ser estendida para fun¸c˜oes.
Seja f : A → B tal que y = f(x). Se para cada y ∈ B existir exatamente
um valor x ∈ A, tal que y = f(x), ent˜ao podemos definir uma fun¸c˜ao f−1
:
B → A tal que f−1
(y) = x, chamada de fun¸c˜ao inversa de f.
DOM´INIOS E IMAGENS
Devemos observar o seguinte em rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao e sua inversa:
dom(f−1
) = img(f)
img(f−1
) = dom(f)
1
EXEMPLOS
1. f(x) = 2x − 5, f : R → R.
y = 2x − 5
Trocando x e y:
x = 2y − 5
Colocando na forma canˆonica:
y =
1
2
(x + 5)
Ou seja, f−1
(x) = 1
2
(x + 5)
2. f(x) = x−1
3−x
, dom(f) = R − {3}
y =
x − 1
3 − x
Trocando x e y:
x =
y − 1
3 − y
Colocando na forma canˆonica:
x(3 − y) = y − 1
3x − xy = y − 1
y + xy = 3x + 1
y(1 + x) = 3x + 1
y =
3x + 1
x + 1
Logo,
f−1
(x) =
3x + 1
x + 1
2
O dom´ınio da f−1
´e R − {−1} e o dom´ınio da f ´e R − {3}. Assim:
img(f−1
) = dom(f) = R − {3}
img(f) = dom(f−1
) = R − {−1}
Obtendo a fun¸c˜ao inversa, podemos determinar indiretamente a ima-
gem da fun¸c˜ao via o dom´ınio da fun¸c˜ao inversa, o que pode ser mais
f´acil e interessante.
Uma outra forma de obter a imagem da fun¸c˜ao, sem usar a fun¸c˜ao
inversa, ´e perceber que esta fun¸c˜ao possui uma ass´ıntota horizontal em
y = −1,
lim
x→±∞
x − 1
3 − x
≈ lim
x→±∞
x
−x
= −1
que ´e o valor que n˜ao tem proje¸c˜ao no eixo y, portanto ´e o n´umero que
deve ser retirado do conjunto R para a determina¸c˜ao da imagem.
3. f(x) =
√
10 − x
10 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 10
dom(f) = (−∞, 10]
f ´e uma fun¸c˜ao decrescente. Determinamos os valores da fun¸c˜ao (ima-
gem) nos extremos do dom´ınio:
f(10) =
√
10 − 10 = 0
lim
x→−∞
√
10 − x = +∞
Porque limx→−∞(−x) = +∞ e limu→+∞
√
10 + u = +∞, com u = −x.
Logo, img(f) = [0, +∞).
A curva do gr´afico da fun¸c˜ao intercepta o eixo y em (0,
√
10):
f(0) =
√
10 − 0 =
√
10 ≈ 3, 162
3
Gr´afico da fun¸c˜ao:
Determina¸c˜ao da fun¸c˜ao inversa:
x = 10 − y
y = 10 − x2
Ou seja,
f−1
(x) = 10 − x2
Onde:
dom(f−1
) = img(f) = [0, +∞)
img(f−1
) = dom(f) = (−∞, 10]
Gr´afico da fun¸c˜ao inversa:
4
SIMETRIA NO GR´AFICO DA FUNC¸ ˜AO E SUA INVERSA
O gr´afico da fun¸c˜ao e sua inversa apresenta simetria em rela¸c˜ao `a reta bisse-
triz do 1o
e 3o
quadrantes. No gr´afico a seguir apresentamos esta propriedade
para as fun¸c˜oes mostradas acima: f(x) =
√
10 − x e f−1
(x) = 10 − x2
.
EXIGˆENCIA PARA A FUNC¸ ˜AO ADMITIR INVERSA
Seja f(x) = x2
, dom(f) = R. Tentemos determinar a fun¸c˜ao inversa:
y = x2
x = y2
y = ±
√
x
que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, pois um elemento do dom´ınio, digamos a, relaciona-se
com dois elementos do codom´ınio, +
√
a e −
√
a.
Vamos formalizar isso melhor.
Uma fun¸c˜ao ´e chamada de bijetora se ela nunca assume o mesmo valor
mais de uma vez, isso ´e,
∀x1, x2 ∈ dom(f)(x1 = x2 → f(x1) = f(x2))
5
Fica evidente que a fun¸c˜ao f(x) = x2
n˜ao ´e injetora, pois existem dois
valores diferentes do dom´ınio, digamos a e −a, cuja imagem ´e idˆentica, f(a) =
a2
e f(−a) = a2
.
Se uma fun¸c˜ao f qualquer n˜ao ´e bijetora, ent˜ao ter´ıamos,
x1 = x2 ∧ f(x1) = f(x2)
com f(x1) = y1 e f(x2) = y2, e a inversa seria f−1
(y1) = x1 e f−1
(y2) = x2,
mas y1 = y2 para x1 = x2 e a f−1
n˜ao poderia ser uma fun¸c˜ao.
A propriedade da bije¸c˜ao ´e a exigˆencia para a existˆencia da fun¸c˜ao inversa
de uma fun¸c˜ao qualquer.
Para determinar se isso ´e verdadeiro, podemos usar o teste da reta hori-
zontal, que significa que nenhuma reta horizontal pode interceptar a curva
do gr´afico da fun¸c˜ao em mais de um ponto. No caso desta fun¸c˜ao f(x) = x2
,
o teste falha:
Uma vez que f(x) = x2
n˜ao satisfaz o teste da reta horizontal, a fun¸c˜ao
n˜ao admite inversa.
Vamos ver outro exemplo.
6
Seja a fun¸c˜ao f(x) = x3
, f : R → R.
Observe que esta fun¸c˜ao satisfaz o teste da reta horizontal:
Determinando a express˜ao da fun¸c˜ao inversa:
y = x3
x = y3
y = 3
√
x
f−1
(x) = 3
√
x
Sobrepondo os gr´aficos da f e da f−1
, observamos a caracter´ıstica sime-
tria, em rela¸c˜ao `a reta bissetriz do 1o
e 3o
quadrantes, entre a fun¸c˜ao e sua
inversa:
7
RESTRIC¸ ˜AO DE DOM´INIO
Para que a fun¸c˜ao f(x) = x2
, dom(f) = R, que n˜ao ´e bijetora, como
j´a vimos, admita inversa, devemos fazer uma restri¸c˜ao de dom´ınio. Se no
dom´ınio R ela n˜ao ´e bijetora, em qual dom´ınio seria?
Basta ver que o problema ´e a existˆencia dos valores a e −a no dom´ınio,
com a2
= (−a)2
. Ent˜ao, exigiremos que apenas o valor positivo perten¸ca ao
dom´ınio. Assim, a restri¸c˜ao de dom´ınio ´e:
f(x) = x2
dom(f) = [0, +∞)
e a fun¸c˜ao satisfaz o teste da reta horizontal. Sua inversa ´e f−1
(x) =
√
x,
dom(f−1
) = [0, +∞). O gr´afico de ambas, evidenciando a simetria ´e o que
se segue.
8
COMPOSIC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO E SUA INVERSA
A composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa resulta na fun¸c˜ao identidade:
(f−1
◦ f)(x) = x
Por exemplo, usando as fun¸c˜oes que j´a apareceram anteriormente:
f(x) =
x − 1
3 − x
dom(f) = R − {3} img(f) = R − {−1}
e
f−1
(x) =
3x + 1
x + 1
dom(f−1
) = R − {−1} img(f−1
) = R − {3}
ent˜ao
(f−1
◦ f)(x) = f−1
(f(x)) = f−1 x − 1
3 − x
=
3x−1
3−x
+ 1
x−1
3−x
+ 1
= x
Determinando o dom´ınio da composta:
• dom(f) = R − {3}
• img(f) = R − {−1}
• dom(f−1
) = R − {−1}
img(f) ⊆ dom(f−1
)
Logo, dom(f−1
◦ f) = dom(f) = R − {3}.
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Função Inversa

  • 1. FUNC¸ ˜AO INVERSA Prof. Dr. Carlos A. P. Campani DEFINIC¸ ˜AO Um processo inverso ´e aquele que desfaz o que o processo original fez. Assim, por exemplo, o processo de desempacotar ´e o processo inverso ao de empacotar. Essa ideia pode ser estendida para fun¸c˜oes. Seja f : A → B tal que y = f(x). Se para cada y ∈ B existir exatamente um valor x ∈ A, tal que y = f(x), ent˜ao podemos definir uma fun¸c˜ao f−1 : B → A tal que f−1 (y) = x, chamada de fun¸c˜ao inversa de f. DOM´INIOS E IMAGENS Devemos observar o seguinte em rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao e sua inversa: dom(f−1 ) = img(f) img(f−1 ) = dom(f) 1
  • 2. EXEMPLOS 1. f(x) = 2x − 5, f : R → R. y = 2x − 5 Trocando x e y: x = 2y − 5 Colocando na forma canˆonica: y = 1 2 (x + 5) Ou seja, f−1 (x) = 1 2 (x + 5) 2. f(x) = x−1 3−x , dom(f) = R − {3} y = x − 1 3 − x Trocando x e y: x = y − 1 3 − y Colocando na forma canˆonica: x(3 − y) = y − 1 3x − xy = y − 1 y + xy = 3x + 1 y(1 + x) = 3x + 1 y = 3x + 1 x + 1 Logo, f−1 (x) = 3x + 1 x + 1 2
  • 3. O dom´ınio da f−1 ´e R − {−1} e o dom´ınio da f ´e R − {3}. Assim: img(f−1 ) = dom(f) = R − {3} img(f) = dom(f−1 ) = R − {−1} Obtendo a fun¸c˜ao inversa, podemos determinar indiretamente a ima- gem da fun¸c˜ao via o dom´ınio da fun¸c˜ao inversa, o que pode ser mais f´acil e interessante. Uma outra forma de obter a imagem da fun¸c˜ao, sem usar a fun¸c˜ao inversa, ´e perceber que esta fun¸c˜ao possui uma ass´ıntota horizontal em y = −1, lim x→±∞ x − 1 3 − x ≈ lim x→±∞ x −x = −1 que ´e o valor que n˜ao tem proje¸c˜ao no eixo y, portanto ´e o n´umero que deve ser retirado do conjunto R para a determina¸c˜ao da imagem. 3. f(x) = √ 10 − x 10 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 10 dom(f) = (−∞, 10] f ´e uma fun¸c˜ao decrescente. Determinamos os valores da fun¸c˜ao (ima- gem) nos extremos do dom´ınio: f(10) = √ 10 − 10 = 0 lim x→−∞ √ 10 − x = +∞ Porque limx→−∞(−x) = +∞ e limu→+∞ √ 10 + u = +∞, com u = −x. Logo, img(f) = [0, +∞). A curva do gr´afico da fun¸c˜ao intercepta o eixo y em (0, √ 10): f(0) = √ 10 − 0 = √ 10 ≈ 3, 162 3
  • 4. Gr´afico da fun¸c˜ao: Determina¸c˜ao da fun¸c˜ao inversa: x = 10 − y y = 10 − x2 Ou seja, f−1 (x) = 10 − x2 Onde: dom(f−1 ) = img(f) = [0, +∞) img(f−1 ) = dom(f) = (−∞, 10] Gr´afico da fun¸c˜ao inversa: 4
  • 5. SIMETRIA NO GR´AFICO DA FUNC¸ ˜AO E SUA INVERSA O gr´afico da fun¸c˜ao e sua inversa apresenta simetria em rela¸c˜ao `a reta bisse- triz do 1o e 3o quadrantes. No gr´afico a seguir apresentamos esta propriedade para as fun¸c˜oes mostradas acima: f(x) = √ 10 − x e f−1 (x) = 10 − x2 . EXIGˆENCIA PARA A FUNC¸ ˜AO ADMITIR INVERSA Seja f(x) = x2 , dom(f) = R. Tentemos determinar a fun¸c˜ao inversa: y = x2 x = y2 y = ± √ x que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, pois um elemento do dom´ınio, digamos a, relaciona-se com dois elementos do codom´ınio, + √ a e − √ a. Vamos formalizar isso melhor. Uma fun¸c˜ao ´e chamada de bijetora se ela nunca assume o mesmo valor mais de uma vez, isso ´e, ∀x1, x2 ∈ dom(f)(x1 = x2 → f(x1) = f(x2)) 5
  • 6. Fica evidente que a fun¸c˜ao f(x) = x2 n˜ao ´e injetora, pois existem dois valores diferentes do dom´ınio, digamos a e −a, cuja imagem ´e idˆentica, f(a) = a2 e f(−a) = a2 . Se uma fun¸c˜ao f qualquer n˜ao ´e bijetora, ent˜ao ter´ıamos, x1 = x2 ∧ f(x1) = f(x2) com f(x1) = y1 e f(x2) = y2, e a inversa seria f−1 (y1) = x1 e f−1 (y2) = x2, mas y1 = y2 para x1 = x2 e a f−1 n˜ao poderia ser uma fun¸c˜ao. A propriedade da bije¸c˜ao ´e a exigˆencia para a existˆencia da fun¸c˜ao inversa de uma fun¸c˜ao qualquer. Para determinar se isso ´e verdadeiro, podemos usar o teste da reta hori- zontal, que significa que nenhuma reta horizontal pode interceptar a curva do gr´afico da fun¸c˜ao em mais de um ponto. No caso desta fun¸c˜ao f(x) = x2 , o teste falha: Uma vez que f(x) = x2 n˜ao satisfaz o teste da reta horizontal, a fun¸c˜ao n˜ao admite inversa. Vamos ver outro exemplo. 6
  • 7. Seja a fun¸c˜ao f(x) = x3 , f : R → R. Observe que esta fun¸c˜ao satisfaz o teste da reta horizontal: Determinando a express˜ao da fun¸c˜ao inversa: y = x3 x = y3 y = 3 √ x f−1 (x) = 3 √ x Sobrepondo os gr´aficos da f e da f−1 , observamos a caracter´ıstica sime- tria, em rela¸c˜ao `a reta bissetriz do 1o e 3o quadrantes, entre a fun¸c˜ao e sua inversa: 7
  • 8. RESTRIC¸ ˜AO DE DOM´INIO Para que a fun¸c˜ao f(x) = x2 , dom(f) = R, que n˜ao ´e bijetora, como j´a vimos, admita inversa, devemos fazer uma restri¸c˜ao de dom´ınio. Se no dom´ınio R ela n˜ao ´e bijetora, em qual dom´ınio seria? Basta ver que o problema ´e a existˆencia dos valores a e −a no dom´ınio, com a2 = (−a)2 . Ent˜ao, exigiremos que apenas o valor positivo perten¸ca ao dom´ınio. Assim, a restri¸c˜ao de dom´ınio ´e: f(x) = x2 dom(f) = [0, +∞) e a fun¸c˜ao satisfaz o teste da reta horizontal. Sua inversa ´e f−1 (x) = √ x, dom(f−1 ) = [0, +∞). O gr´afico de ambas, evidenciando a simetria ´e o que se segue. 8
  • 9. COMPOSIC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO E SUA INVERSA A composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa resulta na fun¸c˜ao identidade: (f−1 ◦ f)(x) = x Por exemplo, usando as fun¸c˜oes que j´a apareceram anteriormente: f(x) = x − 1 3 − x dom(f) = R − {3} img(f) = R − {−1} e f−1 (x) = 3x + 1 x + 1 dom(f−1 ) = R − {−1} img(f−1 ) = R − {3} ent˜ao (f−1 ◦ f)(x) = f−1 (f(x)) = f−1 x − 1 3 − x = 3x−1 3−x + 1 x−1 3−x + 1 = x Determinando o dom´ınio da composta: • dom(f) = R − {3} • img(f) = R − {−1} • dom(f−1 ) = R − {−1} img(f) ⊆ dom(f−1 ) Logo, dom(f−1 ◦ f) = dom(f) = R − {3}. 9