Relação entre funções

1. FUNÇÕES: Inversa,
bijetora, composta
AULA 04

2. Dada uma função f, dizemos que ela é invertível
quando podemos determinar outra função g que
"desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a
função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g.
Normalmente, a função inversa de f é representada por
f-1.
Pergunta: Dada uma função f, como fazemos, na prática,
para determinar sua inversa?
Vejamos: se temos a função f, significa que para cada
valor da variável independente x obtemos, em
correspondência, um valor para a variável dependente y.
Dom f
f
Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a
função g que, a cada y na imagem de f associa o x
inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x
vira y e o y vira x”.
Im g = Dom f Dom g = Im f
Em matemática, o termo inversa é usado para
descrever funções que são reversas uma da outra,
no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.
FUNÇÃO INVERSA

3. Vejamos a função representada no diagrama abaixo:
1
2
4
3
3
5
9
7
Observe o domínio da função:
A = {1,2,3,4}
Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9}
Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis
x e y:
Y =
A B
s4
FUNÇÃO INVERSA
Resp 1
y = 2x+1

4. FUNÇÃO INVERSA
Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y
pelo x e vice-versa:
3
5
9
7
1
2
4
3
Agora o domínio da função é:
B = {3,5,7,9} e o conjunto imagem A = {1,2,3,4}.
O contradomínio da função: A
Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis
x e y:
Y =
A
B
1) f = 2x+1
2
1
-
x
1
-
f 

5. OBSERVE QUE:
Tudo isso sugere as seguintes relações:
a imagem de f é o domínio
de f -1
O domínio de f é a imagem
de f -1
Para encontrarmos a função inversa de f(x), a
f-1 (x) devemos realizar as seguintes etapas:
1
fica : x = 2y + 1
2
ou seja f-1 (x) =
Considerando a função y = 2x+1,
Clique no
ícone e
assista
domínio de f -1
= domínio de f
= imagem de f
Imagem de f -1
trocar x por y e y por x;
isolar novamente o y, deixando-
o em função de x.

6. Considerando a função:
f(x) = x+2, encontre f-1(x).
Observe que os gráficos dessas funções são
simétricos em relação à reta y = x (função
identidade).
Clique aqui para
baixar o winplot.
EXEMPLO:

7. Com a ajuda do winplot construa o gráfico de
cada uma das funções abaixo e das suas
respectivas inversas.
Construa também o gráfico da função identidade
para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).
1) y = 2x+3
s7
EXEMPLO:
1) f = 2x+3
2
3
-
x
1
-
f 

8. Com a ajuda do winplot construa o gráfico de
cada uma das funções abaixo e das suas
respectivas inversas.
Construa também o gráfico da função
identidade para observar a simetria entre f(x) e
f-1(x).
2) y = x+4
EXEMPLO:
Resp
2) f = x+4
f-1 = x+4

9. Com a ajuda do winplot construa o gráfico de
cada uma das funções abaixo e das suas
respectivas inversas.
Construa também o gráfico da função
identidade para observar a simetria entre f(x) e
f-1(x).
3) y = x³
EXEMPLO:
Resp3aa
3 x
1
f 

3) y = x³

10. Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa:
Vejamos a função representada no diagrama abaixo:
O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o
conjunto imagem {2,4,6}.
Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x
pelo y, teríamos:
condiçõ
s
1
2
3
2
4
8
6
Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio
da função.
1
2
3
2
4
8
6
Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não
tem correspondente no conjunto B.
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A
em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x
pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente
ao conjunto B.
RECORDE
A
DEFINIÇÃO
DE
FUNÇÃO
Cont f : {2,4,6,8}.

11. Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas:
A função precisa ser sobrejetora:
Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo:
condiçõs1
-1
1
-2
1
4
-1
1
-2
1
4
Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao
contradomínio da função.
1
2
Na tentativa de encontrar a inversa, troca-se o x pelo y.
2
Observe que este conjunto de pares ordenados não
representa uma função.
{(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)}
Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a
definição de função.
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f
de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para
todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y
pertencente ao conjunto B.
RECORDE
A
DEFINIÇÃO
DE
FUNÇÃO

12. Desta forma temos outra condição a ser cumprida:
A função precisa ser injetora:
Conclusão: Para que uma função admita inversa ela precisa
ser bijetora.
condiç
õs2
Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de
x, apresentar diferentes imagens.
2
Sobrejetora
+ injetora.
Vejamos o seguinte exemplo:
Considere-se a função f(x) = x²
Esta função, f: R→R
com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas
se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)?
Desta forma a função f: [0, +∞) → [0, +∞)
com y = x² terá como inversa a função y = +
x
É preciso ficar claro que se uma função não for
invertível, é possível estabelecer uma restrição,
ou seja, restringir o domínio de tal modo que a
função definida nesse novo domínio o seja.
Clique no
ícone e assista

13. FUNÇÃO PAR
f(x) = f(-x)
Domínios opostos
Imagens iguais
FUNÇÃO ÍMPAR
f(x) = - f(-x)
Domínios opostos
Imagens opostas
PARIDADE DAS FUNÇÕES

15. 1. O produto de duas funções ímpares é uma função par.
Sejam f e g funções ímpares e h = f.g.
Como f e g são funções ímpares, f(-x) = - f(x) e g (-x) = - g(x).
h(x) = f(x) . g(x)
H(-x) = f(-x) . g(-x)
H(-x) = [- f(x)] . [- g(x)]
H(-x) = f(x) . g(x)
H(-x) = h(x)
Portanto, h é função par.
EXEMPLOS

16. 2. A soma de duas funções pares é uma função par.
Sejam f e g funções pares e h = f + g.
h(x) = f(x) + g(x)
h(-x) = f(-x) + g(-x)
h(-x) = f(x) + g(x)
h(x) = h(x)
Outra maneira:
(par) + (par), por exemplo, x2 + x4 .
A soma das funções pares é uma função polinomial com expoentes pares. Portanto é
uma função par.
EXEMPLOS

17. f: A  B e g: B  C
g o f: A  C, tal que (g o f)(x) = g(f(x)) com x  A
A função composta, também chamada de função de função, é um tipo de função matemática
que combina duas ou mais variáveis.
FUNÇÃO COMPOSTA

18. Dadas:
(g o f)(x) = g(f(x))
(g o f)(x) = (f(x))2 + 4
(g o f)(x) = (2x + 3)2 + 4
(g o f)(x) =4x2 + 12x + 13
obtenha g o f.
FUNÇÃO COMPOSTA
f(x) = 2x + 3 e g(x) = x2 + 4

19. Observe os gráficos de f(x)= x² , da sua
inversa f-1(x) e de y = x.
condic3
AGORA VAMOS
FAZER ALGUNS
EXERCÍCIOS
        








x
y

20. a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções
abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição.
b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x).
c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x
para observar a simetria.
Exerc.1
1 y = x² + 1
EXEMPLOS
Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [1, +∞)
Im f: [1, +∞) Im f-1: [0,+∞)

21. Encontre as funções inversas de cada uma das
funções abaixo estabelecendo, quando necessário
uma restrição.
Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x).
Construa o gráfico das funções e da função
identidade y = x para observar a simetria.
Exerc.2
2 y = x² - 3
EXEMPLOS
Resp 5
Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [-3, +∞)
Im f: [-3, +∞) Im f-1: [0,+∞)

22. REFERÊNCIAS
DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações / Luiz Roberto Dante. – 2. ed. –
São Paulo: Ática, 2013. Obra em 3 v.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini, Herval Paccola. 2.
ed. Ver. E ampl. – São Paulo: Moderna 1995.