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Algebra Linear cap 06

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46
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 6
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função WV:T → é
uma transformação linear se:
a) Vv,v,)v(T)v(T)vv(T 212121 ∈∀+=+
b) KeVv,)v(T)v(T ∈α∀∈∀α=α
Exemplo (1): Seja
23
:T ℜ→ℜ definida por )zy2,zx()z,y,x(T −+= . Mostre que T é
uma transformação linear.
Solução: a) Sejam
3
22221111 )z,y,x(ve)z,y,x(v ℜ∈== . Então:
)zz,yy,xx(T)]z,y,x()z,y,x[(T)vv(T 21212122211121 +++=+=+ ⇒
))zz()yy(2,zzxx()vv(T 2121212121 +−++++=+ ⇒
)zzy2y2,zzxx()vv(T 2121212121 −−++++=+ ⇒
)zy2,zx()zy2,zx()vv(T 2222111121 −++−+=+ ⇒
)v(T)v(T)z,y,x(T)z,y,x(T)vv(T 2122211121 +=+=+
b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)z,y,x(v 3
. Então:
)zy2,zx()z,y,x(T)]z,y,x([T)v(T α−αα+α=ααα=α=α ⇒
)v(T)z,y,x(T)zy2,zx()v(T α=α=−+α=α
OBS: 1) Sejam WV:0 → a aplicação nula definida por O(v)=0, ∀v∈V e WV:Id → a
aplicação identidade definida por v)v(Id = , ∀v∈V. A aplicação nula e a aplicação
identidade são transformações lineares. Deixamos a cargo do leitor a demonstração
dessas afirmações.
2) Seja WV:T → uma transformação linear. Se V = W, ou seja, VV:T → , então T é
chamada de um operador linear.
3) Seja WV:T → uma transformação linear. Então V é chamado de espaço de saída e W
é chamado de espaço de chegada da transformação.
47
Exemplo (2): Seja
32
:T ℜ→ℜ definida por )2,y,x()y,x(T = . Mostre que T não é uma
transformação linear.
Solução: Sejam
2
222111 )y,x(ve)y,x(v ℜ∈== . Então:
)yy,xx(T)]y,x()y,x[(T)vv(T 2121221121 ++=+=+ ⇒
)v(T)v(T)0,y,x()2,y,x()2,yy,xx()vv(T 212211212121 +≠+=++=+
Portanto T não é transformação linear.
1 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Qualquer que seja a transformação linear WV:T → , são válidas as seguintes propriedades:
P1) 0)0(T =
P2) )v(T)v(T)vv(T 2121 −=−
P3) ∑∑
==
α=





α
n
1i
ii
n
1i
ii )v(TvT
OBS: É interessante notar que podemos definir uma transformação linear entre quaisquer dois
espaços vetoriais, inclusive com dimensões diferentes. Assim, por exemplo, podemos
transformar matrizes em vetores do
3
ℜ , vetores do
4
ℜ em polinômios, etc. (exemplo 3).
Um fato muito importante é conseguirmos construir uma transformação linear a partir de
algumas condições iniciais (exemplo 4).
Exemplo (3): Seja 





−
+
=++
211
21o2
21o
aaa
aaa
)tataa(T . Mostre que a aplicação
)(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ é uma transformação linear.
Solução: a) Sejam )(Ptbtbb)t(petataa)t(p 2
2
21o2
2
21o1 ℜ∈++=++= . Então:
( ) )tbtbbtataa(T)t(p)t(pT 2
21o
2
21o21 +++++=+ ⇒
( ) )]t)ba(t)ba()ba[(T)t(p)t(pT 2
2211oo21 +++++=+ ⇒
( ) 





−−++
++++
=+
221111
221o1o
21
bababa
babbaa
)t(p)t(pT ⇒
48
( ) 





−
+
+





−
+
=+
211
21o
211
21o
21
bbb
bbb
aaa
aaa
)t(p)t(pT ⇒
( ) ( ) ( ))t(pT)t(pT)t(p)t(pT 2121 +=+
b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈++=∀ e)(Ptataa)t(p 2
2
21o . Então:
( ) 





α−αα
αα+α
=α+α+α=α
211
21o2
21o
aaa
aaa
)tataa(T)t(pT ⇒
( ) ( ))t(pT
aaa
aaa
)t(pT
211
21o
α=





−
+
α=α
Exemplo (4): Seja uma transformação linear )(P:T 2
3
ℜ→ℜ tal que t32)1,1,1(T −= ,
2
tt1)0,1,1(T −+= e
2
t2t)0,0,1(T += . Determine a expressão da T.
Solução: Como )(P:T 2
3
ℜ→ℜ , então a T é aplicada em vetores do ℜ3
e transforma-os em
polinômios de grau menor ou igual a 2. Para construirmos a expressão da )z,y,x(T
temos que conhecê-la aplicada nos vetores de uma base do seu espaço de saída. Como o
conjunto )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B = é uma base do ℜ3
e, pelas informações do
enunciado, T aplicada nos vetores da base B são valores conhecidos . Vamos escrever um
vetor genérico do ℜ3
como combinação linear da base B:





=
+=
++=
⇒++=
az
bay
cbax
)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ⇒





−=
−=
=
yxc
zyb
za
⇒
)0,0,1)(yx()0,1,1)(zy()1,1,1(z)z,y,x( −+−+= . Vamos aplicar a transformação
em ambos os lados da igualdade. Então:
)0,0,1(T)yx()0,1,1(T)zy()1,1,1(zT)z,y,x(T −+−+= ⇒
)t2t)(yx()tt1)(zy()t32(z)z,y,x(T 22
+−+−+−+−= ⇒
2
t)y2x2zy(t)yxzyz3()zyz2()z,y,x(T −++−+−+−+−+−+= ⇒
2
t)zy3x2(t)z4x()zy()z,y,x(T +−+−++= . Esta é a transformação
procurada.
49
2 NÚCLEO E IMAGEM
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Conjunto Imagem da T, denotado por
Im(T), é definido como sendo }w)v(TcomVv/Ww{)TIm( =∈∃∈= .
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Núcleo da T, denotado por Ker(T), é
definido como sendo }0)v(T/Vv{)T(Ker =∈= .
OBS: Do inglês: kernel = núcleo. Daí a notação Ker(T).
Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então:
a) )T(Ker é subespaço de V.
b) )TIm( é subespaço de W.
Exemplo (5): Seja )db,ca,c3b5a2(
dc
ba
T ++−−=





. Determine )T(Kere)TIm( .
Qual a dimensão da imagem e do núcleo?
Solução: Temos uma transformação
3
2x2 )(M:T ℜ→ℜ . Isso significa que
3
)TIm( ℜ⊂ e
)(M)T(Ker 2x2 ℜ⊂ . Seja )T(Ker
dc
ba
∈





. Por definição, )0,0,0(
dc
ba
T =





⇒





=+
=+
=−−
⇒=++−−
0db
0ca
0c3b5a2
)0,0,0()db,ca,c3b5a2( ⇒





=
−=
−=
dc
db
da
. Assim:
T
V
Ker(T)
v
v
W
Im(T)
0
T(v)=w
50






ℜ∈∀=−==ℜ∈





= d,dcedba/)(M
dc
ba
)T(Ker 2x2 . Vamos achar uma
base para o núcleo.
Temos que )T(Ker
dd
dd
∈




 −−
⇒ 




 −−
⋅=




 −−
11
11
d
dd
dd
. Então











 −−
=
11
11
B é base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Seja )TIm()z,y,x( ∈ .
Como T leva toda matriz de )(M 2x2 ℜ em um vetor da imagem, a própria definição da
T já mostra como são os vetores da imagem. Então:
)TIm()db,ca,c3b5a2( ∈++−− . Vamos achar uma base para a imagem. Temos
que: )1,0,0(d)0,1,3(c)1,0,5(b)0,1,2(a)db,ca,c3b5a2( +−+−+=++−− ⇒
)}1,0,0(),0,1,3(),1,0,5(),0,1,2{(S −−= é um sistema de geradores para Im(T).
Escalonando:












→












−
−
000
100
250
012
100
013
105
012
. Então )}1,0,0(),2,5,0(),0,1,2{('B = é
base da Im(T) ⇒ 3)TIm(dim =
3 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1) Adição
Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços
vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como soma da F mais a G a aplicação
WV:GF →+ tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀+=+ .
Proposição (1): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF + é
uma transformação linear.
Propriedades:
Sejam WV:HeWV:G,WV:F →→→ transformações lineares. Então:
P1) Comutativa: FGGF +=+
51
P2) Associativa: H)GF()HG(F ++=++
P3) Elemento Neutro: Existe a transformação nula WV:N → tal que Vv,0)v(N ∈∀= que é
o elemento neutro da adição pois FFNNF =+=+ .
P4) Elemento Oposto: Existe a transformação oposta WV:)F( →− que é o elemento oposto da
adição tal que NF)F()F(F =+−=−+ .
2) Subtração
Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços
vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como subtração da F menos a G a aplicação
WV:GF →− tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀−=− .
Proposição (2): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF − é
uma transformação linear.
OBS: A operação de subtração não possui propriedade alguma. No entanto, a subtração é
interpretada da seguinte forma: )G(FGF −+=− , ou seja, a subtração de F com a G é
igual a adição de F com a oposta da G.
3) Produto por Escalar
Sejam WV:F → uma transformação linear, com V e W espaços vetoriais sobre o
mesmo corpo K e K∈α∀ . Definimos com sendo o produto do escalar de α pela transformação F
a aplicação WV:)F( →α tal que Vv),v(F)v)(F( ∈∀α=α .
Proposição (3): Sejam WV:F → duas transformações lineares e K∈α∀ . Então )F(α é uma
transformação linear.
Propriedades:
Sejam WV:GeWV:F →→ transformações lineares e K, ∈βα∀ . Então:
P1) F)()F()F( αβ=αβ=βα
P2) GF)GF( α+α=+α
P3) FFF)( β+α=β+α
P4) FF1 =⋅

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  • 1. 46 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função WV:T → é uma transformação linear se: a) Vv,v,)v(T)v(T)vv(T 212121 ∈∀+=+ b) KeVv,)v(T)v(T ∈α∀∈∀α=α Exemplo (1): Seja 23 :T ℜ→ℜ definida por )zy2,zx()z,y,x(T −+= . Mostre que T é uma transformação linear. Solução: a) Sejam 3 22221111 )z,y,x(ve)z,y,x(v ℜ∈== . Então: )zz,yy,xx(T)]z,y,x()z,y,x[(T)vv(T 21212122211121 +++=+=+ ⇒ ))zz()yy(2,zzxx()vv(T 2121212121 +−++++=+ ⇒ )zzy2y2,zzxx()vv(T 2121212121 −−++++=+ ⇒ )zy2,zx()zy2,zx()vv(T 2222111121 −++−+=+ ⇒ )v(T)v(T)z,y,x(T)z,y,x(T)vv(T 2122211121 +=+=+ b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)z,y,x(v 3 . Então: )zy2,zx()z,y,x(T)]z,y,x([T)v(T α−αα+α=ααα=α=α ⇒ )v(T)z,y,x(T)zy2,zx()v(T α=α=−+α=α OBS: 1) Sejam WV:0 → a aplicação nula definida por O(v)=0, ∀v∈V e WV:Id → a aplicação identidade definida por v)v(Id = , ∀v∈V. A aplicação nula e a aplicação identidade são transformações lineares. Deixamos a cargo do leitor a demonstração dessas afirmações. 2) Seja WV:T → uma transformação linear. Se V = W, ou seja, VV:T → , então T é chamada de um operador linear. 3) Seja WV:T → uma transformação linear. Então V é chamado de espaço de saída e W é chamado de espaço de chegada da transformação.
  • 2. 47 Exemplo (2): Seja 32 :T ℜ→ℜ definida por )2,y,x()y,x(T = . Mostre que T não é uma transformação linear. Solução: Sejam 2 222111 )y,x(ve)y,x(v ℜ∈== . Então: )yy,xx(T)]y,x()y,x[(T)vv(T 2121221121 ++=+=+ ⇒ )v(T)v(T)0,y,x()2,y,x()2,yy,xx()vv(T 212211212121 +≠+=++=+ Portanto T não é transformação linear. 1 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES Qualquer que seja a transformação linear WV:T → , são válidas as seguintes propriedades: P1) 0)0(T = P2) )v(T)v(T)vv(T 2121 −=− P3) ∑∑ == α=      α n 1i ii n 1i ii )v(TvT OBS: É interessante notar que podemos definir uma transformação linear entre quaisquer dois espaços vetoriais, inclusive com dimensões diferentes. Assim, por exemplo, podemos transformar matrizes em vetores do 3 ℜ , vetores do 4 ℜ em polinômios, etc. (exemplo 3). Um fato muito importante é conseguirmos construir uma transformação linear a partir de algumas condições iniciais (exemplo 4). Exemplo (3): Seja       − + =++ 211 21o2 21o aaa aaa )tataa(T . Mostre que a aplicação )(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ é uma transformação linear. Solução: a) Sejam )(Ptbtbb)t(petataa)t(p 2 2 21o2 2 21o1 ℜ∈++=++= . Então: ( ) )tbtbbtataa(T)t(p)t(pT 2 21o 2 21o21 +++++=+ ⇒ ( ) )]t)ba(t)ba()ba[(T)t(p)t(pT 2 2211oo21 +++++=+ ⇒ ( )       −−++ ++++ =+ 221111 221o1o 21 bababa babbaa )t(p)t(pT ⇒
  • 3. 48 ( )       − + +      − + =+ 211 21o 211 21o 21 bbb bbb aaa aaa )t(p)t(pT ⇒ ( ) ( ) ( ))t(pT)t(pT)t(p)t(pT 2121 +=+ b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈++=∀ e)(Ptataa)t(p 2 2 21o . Então: ( )       α−αα αα+α =α+α+α=α 211 21o2 21o aaa aaa )tataa(T)t(pT ⇒ ( ) ( ))t(pT aaa aaa )t(pT 211 21o α=      − + α=α Exemplo (4): Seja uma transformação linear )(P:T 2 3 ℜ→ℜ tal que t32)1,1,1(T −= , 2 tt1)0,1,1(T −+= e 2 t2t)0,0,1(T += . Determine a expressão da T. Solução: Como )(P:T 2 3 ℜ→ℜ , então a T é aplicada em vetores do ℜ3 e transforma-os em polinômios de grau menor ou igual a 2. Para construirmos a expressão da )z,y,x(T temos que conhecê-la aplicada nos vetores de uma base do seu espaço de saída. Como o conjunto )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B = é uma base do ℜ3 e, pelas informações do enunciado, T aplicada nos vetores da base B são valores conhecidos . Vamos escrever um vetor genérico do ℜ3 como combinação linear da base B:      = += ++= ⇒++= az bay cbax )0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ⇒      −= −= = yxc zyb za ⇒ )0,0,1)(yx()0,1,1)(zy()1,1,1(z)z,y,x( −+−+= . Vamos aplicar a transformação em ambos os lados da igualdade. Então: )0,0,1(T)yx()0,1,1(T)zy()1,1,1(zT)z,y,x(T −+−+= ⇒ )t2t)(yx()tt1)(zy()t32(z)z,y,x(T 22 +−+−+−+−= ⇒ 2 t)y2x2zy(t)yxzyz3()zyz2()z,y,x(T −++−+−+−+−+−+= ⇒ 2 t)zy3x2(t)z4x()zy()z,y,x(T +−+−++= . Esta é a transformação procurada.
  • 4. 49 2 NÚCLEO E IMAGEM Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Conjunto Imagem da T, denotado por Im(T), é definido como sendo }w)v(TcomVv/Ww{)TIm( =∈∃∈= . Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Núcleo da T, denotado por Ker(T), é definido como sendo }0)v(T/Vv{)T(Ker =∈= . OBS: Do inglês: kernel = núcleo. Daí a notação Ker(T). Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: a) )T(Ker é subespaço de V. b) )TIm( é subespaço de W. Exemplo (5): Seja )db,ca,c3b5a2( dc ba T ++−−=      . Determine )T(Kere)TIm( . Qual a dimensão da imagem e do núcleo? Solução: Temos uma transformação 3 2x2 )(M:T ℜ→ℜ . Isso significa que 3 )TIm( ℜ⊂ e )(M)T(Ker 2x2 ℜ⊂ . Seja )T(Ker dc ba ∈      . Por definição, )0,0,0( dc ba T =      ⇒      =+ =+ =−− ⇒=++−− 0db 0ca 0c3b5a2 )0,0,0()db,ca,c3b5a2( ⇒      = −= −= dc db da . Assim: T V Ker(T) v v W Im(T) 0 T(v)=w
  • 5. 50       ℜ∈∀=−==ℜ∈      = d,dcedba/)(M dc ba )T(Ker 2x2 . Vamos achar uma base para o núcleo. Temos que )T(Ker dd dd ∈      −− ⇒       −− ⋅=      −− 11 11 d dd dd . Então             −− = 11 11 B é base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Seja )TIm()z,y,x( ∈ . Como T leva toda matriz de )(M 2x2 ℜ em um vetor da imagem, a própria definição da T já mostra como são os vetores da imagem. Então: )TIm()db,ca,c3b5a2( ∈++−− . Vamos achar uma base para a imagem. Temos que: )1,0,0(d)0,1,3(c)1,0,5(b)0,1,2(a)db,ca,c3b5a2( +−+−+=++−− ⇒ )}1,0,0(),0,1,3(),1,0,5(),0,1,2{(S −−= é um sistema de geradores para Im(T). Escalonando:             →             − − 000 100 250 012 100 013 105 012 . Então )}1,0,0(),2,5,0(),0,1,2{('B = é base da Im(T) ⇒ 3)TIm(dim = 3 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES 1) Adição Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como soma da F mais a G a aplicação WV:GF →+ tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀+=+ . Proposição (1): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF + é uma transformação linear. Propriedades: Sejam WV:HeWV:G,WV:F →→→ transformações lineares. Então: P1) Comutativa: FGGF +=+
  • 6. 51 P2) Associativa: H)GF()HG(F ++=++ P3) Elemento Neutro: Existe a transformação nula WV:N → tal que Vv,0)v(N ∈∀= que é o elemento neutro da adição pois FFNNF =+=+ . P4) Elemento Oposto: Existe a transformação oposta WV:)F( →− que é o elemento oposto da adição tal que NF)F()F(F =+−=−+ . 2) Subtração Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como subtração da F menos a G a aplicação WV:GF →− tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀−=− . Proposição (2): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF − é uma transformação linear. OBS: A operação de subtração não possui propriedade alguma. No entanto, a subtração é interpretada da seguinte forma: )G(FGF −+=− , ou seja, a subtração de F com a G é igual a adição de F com a oposta da G. 3) Produto por Escalar Sejam WV:F → uma transformação linear, com V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K e K∈α∀ . Definimos com sendo o produto do escalar de α pela transformação F a aplicação WV:)F( →α tal que Vv),v(F)v)(F( ∈∀α=α . Proposição (3): Sejam WV:F → duas transformações lineares e K∈α∀ . Então )F(α é uma transformação linear. Propriedades: Sejam WV:GeWV:F →→ transformações lineares e K, ∈βα∀ . Então: P1) F)()F()F( αβ=αβ=βα P2) GF)GF( α+α=+α P3) FFF)( β+α=β+α P4) FF1 =⋅
  • 7. 52 4) Composição de Transformações Lineares Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares onde V, U e W são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos com sendo a composição de G com F, denotado por FG , a aplicação WV:FG → tal que ))v(F(G)v)(FG( = , Vv ∈∀ . Proposição (4): Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares. Então FG é uma transformação linear. Propriedades: P1) Não vale a comutativa: GFFG ≠ Sejam VV:HeVV:G,VV:F →→→ operadores lineares do mesmo espaço V. Então: P2) Associativa: H)GF()HG(F = P3) Elemento Neutro: Existe o operador identidade VV:Id → tal que v)v(Id = que é o elemento neutro para a composição de operadores lineares com FFIdIdF == . P4) Distributiva: • a esquerda: HFGF)HG(F +=+ • a direita: FHFGF)HG( +=+ P5) Elemento Inverso: Caso o operador F seja inversível( *) , então existe o operador linear VV:F 1 →− tal que IdFFFF 11 == −− . (*) As transformações lineares inversíveis serão estudadas no capítulo (7). FG GF U WV v F(v) G(F(v))=(G°F)(v)
  • 8. 53 Exemplo (6): Dadas as transformações lineares: )x,yx,yx()y,x(F −+= , )zx,yx()z,y,x(G +−= e )y2x,y,yx2()y,x(H +−= . Determine: a) H2F3R += b) FG c) FFF2 = Solução: a) )y2x,y,yx2(2)x,yx,yx(3)y,x(H2)y,x(F3)y,x(R +−+−+=+= ⇒ )y4x2,y2,y2x4()x3,y3x3,y3x3()y,x(R +−+−+= ⇒ )y4x2x3,y2y3x3,y2x4y3x3()y,x(R +++−−++= ⇒ )y4x5,yx3,yx7()y,x(R +−−= b) )xyx,yxyx()x,yx,yx(G))y,x(F(G)y,x)(FG( +++−+=−+== ⇒ )yx2,y2()y,x)(FG( += c) Como 32 :F ℜ→ℜ não é possível determinar FFF2 = . Exercícios Propostos 1) Seja )(Mnxn ℜ o espaço vetorial da matrizes quadradas de ordem nxn e B uma matriz fixa deste espaço. Mostre que a aplicação )(M)(M:F nxnnxn ℜ→ℜ tal que )(MX,BX)X(F nxn ℜ∈∀= é um operador linear. 2) Sabendo que T é um operador linear do ℜ2 e que )2,1()1,0(Te)1,3()2,1(T =−= , determine a expressão de T(x,y). Resp: )y2x5,yx()y,x(T +−+= 3) Seja a transformação linear )tzx3,tz2yx2,zyx()t,z,y,x(T −+−+−−+= . Determine uma base e a dimensão para Im(T) e Ker(T). Resp: Base da Im(T) é 2)TIm(dim)}1,1,0(),3,2,1{( =⇒ ; Base do Ker(T) é 2)T(Kerdim)}4,1,0,1(),3,0,1,1{( =⇒−− 4) Determine um operador do ℜ3 cujo núcleo é a reta    = = 0z x2y e a imagem é o plano 0zy2x =++ . Resp: )z,yx2,zy2x4()z,y,x(T +−−−= 5) Sendo )zx2,zyx()z,y,x(Ge)yx,yx,y2x3()y,x(T −+−=−+−= duas transformações lineares, determine a dimensão do )TG(Ker e da )TGIm( . Resp: 2)TGIm(dime0)TG(Kerdim ==