Exame matematica

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Exame matematica

  1. 1. INSTITUTO SUPERIOR DE GESTÃO BANCÁRIA CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MATEMÁTICA Ano lectivo 2008/2009 Exame Época Normal 30 de Janeiro de 2009 Duração: 2 horas e 30 minutos Resolução1 - Considere o sistema de equações lineares: ⎧ x − y + 2z = 1 ⎪ ⎨ x − y + az = 2 ⎪x + 4 y + 2z = b − 2 ⎩ a) Classifique o sistema em função de a e b. (25)Podemos utilizar o método de eliminação de Gauss para obter um sistema reduzido.Assim, podemos começar por eliminar a incógnita x da segunda e da terceira equações: − x + y − 2 z = −1− E1 + E 2 : x − y + a z = 2 (a − 2) z = 1 − x + y − 2 z = −1− E1 + E3 : x + 4 y + 2 z = b−2 5 y = b−3
  2. 2. O sistema vem agora equivalente a⎧ −⎪⎨ ( a − 2) z = 1⎪ = b−3⎩ 5 yEstamos agora em condições de classificar o sistema:• Para α − 2 ≠ 0 ⇔ α ≠ 2 , ∀ b , o sistema é possível e determinado;• Para α − 2 = 0 ⇔ α = 2 , ∀ b , o sistema é impossível;• O sistema nunca é possível e indeterminado. b) Resolva o sistema para a = 0 e b = 1. (15)O determinante da matriz dos coeficientes vem1 −1 21 − 1 0 = −2 + 0 + 8 − (−2 − 2 + 0) = 6 + 4 = 10 .1 4 2 1Por substituição ordenada no sistema reduzido, vem − 2 z = 1 ⇔ z = − . Substituindo 2 2na segunda equação temos 5 y = −2 ⇔ y = − . Finalmente, substituindo na primeira 5 ⎡ 8 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ x⎤ ⎢ 5 ⎥equação vem x − y + 2 z = 1 ⇔ x = 1 − + 2 = . Assim, vem ⎢ y ⎥ = ⎢− ⎥ . 2 1 8 2 5 2 5 ⎢ ⎥ ⎢ 5⎥ ⎢z⎥ ⎢ 1⎥ ⎣ ⎦ ⎢− 2 ⎥ ⎣ ⎦2 - Considere a função f, real de variável real, definida por: ⎧− x − 1 , x < −1 ⎪ f ( x ) = ⎨− 2( x + 1) 2 ,−1 ≤ x < 1 ⎪log( x − 1) ,x >1 ⎩ a) Indique o domínio e os zeros da função. (15) 2
  3. 3. Para x < −1, f(x) é definida por uma função afim com domínio IR.. Para −1 ≤ x < 1 f(x) édefinida por uma parábola cujo domínio é IR e para x > 1 f(x) é definida por uma funçãologarítmica que neste intervalo de valores de x se encontra definida. A função f(x) sónão está definida no ponto x=1, conclui-se assim que o seu domínio é IR {1}.Zeros: − x − 1 = 0 ∧ x < −1 ⇔ x = −1 ∧ x < −1 impossível− 2( x + 1) = 0 ∧ − 1 ≤ x < 1 ⇔ x = −1 2log( x − 1) = 0 ∧ x > 1 ⇔ x = 2Zeros: {−1, 2}. b) Obtenha a função derivada f ( x) e mostre que não é diferenciável no ponto x=1. (15)A função derivada obtém-se por aplicação das regras de derivação aos vários ramos def(x). Uma vez que f(x) não está definida no ponto x=1, não admite derivada finita nesseponto e portanto não será diferenciável.Derivadas laterais em x = −1 f (−1 + h) − f (−1) − (− 1 + h ) − 1 − 0 −hf (−1− ) = lim− = lim− = lim− = −1 h →0 h h →0 h h →0 h f (−1 + h) − f (−1) − 2(− 1 + h + 1) − 0 − 2h 2 2 +f (−1 ) = lim+ = lim = lim+ = lim (−2h) = 0 h→0 h h →0 + h h→0 h h →0 +como as derivadas laterais são diferentes não existe derivada em x = −1.A função derivada vem: ⎧ ⎪− 1 , x < −1 ⎪ f ´( x ) = ⎨− 4 x − 4 , − 1 < x < 1 ⎪ 1 ⎪ , x >1 ⎩ x −1 3
  4. 4. c) Indique os intervalos de monotonia e extremos relativos da função. (15)O quadro de sinais vem x −∞ −1 1 +∞ f(x) − NE − ND + f(x) 0 NDNE-Não Existe; ND-Não DefinidaIntervalos de monotonia:A função é monótona decrescente para x∈ ]− ∞, 1[ .A função é monótona crescente para x∈ ]1, + ∞[ .Não há extremos relativos. d) Represente graficamente a função. (15) y -1 1 2 x -83- 4
  5. 5. a) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: x 3 y= ey= . (15) x 3x − 2 1 1 x x x1 1−Primitivação da função y = : y= = 1 = x 2 = x2 x x x 2 1 3 3 +1 x2 2⋅ x2 2⋅ x x 1 x2Assim, Y = P ( x ) = 2 = = = +k. 1 3 3 3 +1 2 2 3 3 −1Primitivação da função y = : y= = 3 ⋅ (3 ⋅ x − 2) 2 3⋅ x − 2 3⋅ x − 2 1 −1 (3 ⋅ x − 2) 2 1 Y = P3 ⋅ (3 ⋅ x − 2) 2 = = 2 ⋅ (3 ⋅ x − 2) 2 =Assim, 12 = 2 3⋅ x − 2 + k b) Calcule a área do domínio plano definido pelas funções y = − x 2 + 1 e y = 0 . (15) 1 1 ⎛ x3 ⎞ ⎛ (1)3 ⎞ ⎛ (−1)3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 4∫−1 (− x + 1)dx = ⎜ − + x ⎟ = ⎜ − ⎜ 3 + 1⎟ − ⎜ − 3 + (−1) ⎟ = ⎜ − 3 + 1⎟ − ⎜ 3 + (−1) ⎟ = 3 2 ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Graficamente temos: 5
  6. 6. ∞ ⎛ n 3 ⎞4- a) Calcule a soma da série ∑ ⎜ n + n-1 ⎟ . (20) n =1 ⎝ 2 4 ⎠ ∞ ⎛ n 3 ⎞ ∞⎛ n ⎞ ∞⎛ 3 ⎞∑ ⎜ 2 n 4 n −1 ⎟ = ∑ ⎜ 2 n ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ + ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ n = 1⎝ 4 n − 1 ⎠n = 1⎝ ⎠ n = 1⎝Série Aritmético-Geométrica de razão r = 1/2 < 1 logo a série é convergente e a somada série é ∞ n ⎛ 3 ⎞ ∞⎛ 3 1 ⎞ ∞ ⎛1⎞∑ ⎜ 4 n −1 ⎟ ⎜ ⎟ = ∑⎜ ⎜ −1 × ⎟ = ∑ 12 ⎜ ⎟ ⎟ 4n ⎠ n =1 ⎝ ⎠n = 1⎝ ⎠ n = 1⎝ 4 4Série Geométrica de razão r = 1/4 < 1 logo a série é convergente e a soma da série é 1 12 × u1 4 = 3 = 3× 4 = 4S= = 1− r 1− 1 3 3 4 4Logo a soma da série dada éS = 2+4 =6 6
  7. 7. b) Estude a natureza das séries: ∞ n i) ∑ n + 5 ; (10) n =1 Condição Necessária de Convergência Logo a série é divergente. ∞ 5 2n ii) ∑ n . (10) n =1 Critério de Alembert   Logo a série é divergente.5 – O Banco Central de um país tem uma equipa de 10 técnicos afectos aoDepartamento de Supervisão Bancária (DSB). Foi seleccionada uma amostra de 5bancos para serem analisados pela referida equipa ao longo do mês de Fevereiro.a) Quantas equipas de 3 técnicos pode o responsável do DSB constituir para efectuar aanálise pretendida? (20) C 3 = 120 equipas diferentes. 10b) De quantas formas pode o responsável do DSB distribuir essas equipas pelos bancosque constituem a amostra admitindo que cada equipa só analisará um banco? (10) 120 A5 = 120 × 119 × 118 × 117 × 116 = 22869362880 formas diferentes. 7

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