1. Aula 9
Outros modelos para variável
aleatória contínua
Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
MAT013 Departamento de Matemática e
Computação UNIFEI
2. Distribuição Gama
• O modelo gama é uma extensão do modelo
exponencial.
• A v.a. contínua X, assumindo valores positivos,
tem uma distribuição gama com parâmetros
>=1 e >0, se sua f.d.p. for dada por:
1
x 1e x / , x0
f ( x; , ) ( )
0,
x0
• Se =1 obtém-se a distribuição exponencial.
3. E(X)= e Var(X) = 2
• Em que () é a função gama, importante em muitas
áreas da matemática, dada por:
( ) e x x 1dx, 0
0
(n) (n 1)!,
(1) 1,
(1 / 2) .
Sendo n um inteiro positivo.
5. Distribuição Qui-Quadrado
• Fazendo no modelo gama =/2 e =2, com
>0 inteiro, tem-se uma distribuição qui-
quadrado, com graus de liberdade e f.d.p.
dada por:
1
x / 21e x / 2 , x0
f ( x; ) ( / 2)2 / 2
0,
x0
• E(X)= , Var(X)=2
6. • Grau de liberdade é, em estatística, o
número de determinações independentes
(dimensão da amostra) menos o número
de parâmetros estatísticos a serem
avaliados na população.
• Os graus de liberdade, , podem ser
qualquer número real maior que zero.
• Geralmente considera-se =n-1
7. Função de densidade Qui-
quadrado
=1 =2 =3
E(X)= 1 Var(X)=2 E(X)= 2 Var(X)=4 E(X)= 3 Var(X)=6
8. • A distribuição Qui-quadrado tem muitas aplicações em
Estatística, e como no caso da normal, existem tabelas
para obter probabilidades.
• Por exemplo, considere =10 graus de liberdade.
• P(X>2,56) = 0,99 e P(X>18,31) = 0,05
• Exemplo tabela.
9. • Se >30 utilizar a distribuição Normal.
• Ou seja, se X tiver distribuição Qui-quadrado
com >30 graus de liberdade, então a v.a.
Z 2 X 2 1 ~ N (0,1)
• Exemplo, consultando a tabela Qui-quadrado,
com =30 graus e liberdade tem-se
P(X>40,27)=0,10.
10. Z 2 X 2 1 ~ N (0,1)
Usando a aproximação da normal tem-se:
Z 2 * 40,256 2 * 30 1 1,292
P(Z>1,292)=0,5-0,4015 = 0,099 0,10.
11. Distribuição t-Student
• A distribuição t-Student é importante no que se
refere a inferências sobre médias populacionais,
que veremos adiante.
• A distribuição t-Student é uma distribuição de
probabilidade para dados contínuos, sua curva
é simétrica, semelhante à curva normal padrão
(N(0,1)).
• Difere da curva normal padrão pois tem apenas
um parâmetro chamado de grau de liberdade
que alteram a forma da curva.
13. Função densidade de probabilidade t-Student
A função densidade de probabilidade da distribuição t-
Student é dada por:
1
1
2 1 x 2
2
f ( x; )
2
Sendo -<x<+,
são os graus de liberdade da distribuição e =n-1,
(.) represente a função gama
14. Função densidade de probabilidade t-Student
Os principais momentos da distribuição são:
E[ X ] 0 para 1
Var [ X ] para 2
2
Essa distribuição é utilizada para dados contínuos,
simétricos, que a amostra é pequena, ou seja, n<30.
15. Exemplo
• Para calcular as probabilidades, também utiliza-
se tabelas que fornecem a probabilidade de:
P(-xc<X<xc)=1-p,
para alguns valores de p e de .
• Se =6,
• P(-1,943<X<1,943)=0,90
• P(X>2,447)=0,025.
• Para n>120 utilizar a distribuição Normal.
16.
17. Distribuição F de Snedecor
• Uma v.a. W tem distribuição F de Snedecor, com 1 e 2
graus de liberdade, se possui a f.d.p. dada por:
1 / 2
((1 2 ) / 2) 1 w(1 2) / 2
f ( w,1 ,2 ) ,w 0
(1 / 2)(2 / 2) 2
(1 1w / 2 ) (1 2 ) / 2
2 22 (1 2 2)
2
E (W ) , Var (W )
2 2 1 (2 2) 2 (2 4)
• Para obter as probabilidades também utiliza-se uma
Tabela.
