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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02

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16
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 2
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1 Vetores no plano
O plano, também chamado de ℜ2
, simbolicamente escrevemos:
}yex),y,x{(x2
ℜ∈∀=ℜℜ=ℜ , é o conjunto de todos os pares ordenados de números
reais. Ele é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é
constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é o par ordenado
O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das
abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos coordenados,
orientados como mostra a figura abaixo.
Todo ponto P do plano é representado como na figura acima, onde x e y são as
suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Na representação
de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x é sempre a primeira e
y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos coordenados dividem o
plano em 4 regiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas chamadas de quadrante. O
que distingue um quadrante do outro são os sinais das coordenadas (x,y) de um
ponto qualquer do 2
ℜ . Assim:
- Se (x,y) pertence ao I quadrante, então x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+);
- Se (x,y) pertence ao II quadrante, então x<0 e y>0. Simbolicamente: (-,+);
- Se (x,y) pertence ao III quadrante, então x<0 e y<0. Simbolicamente: (-,-);
- Se (x,y) pertence ao e IV quadrante, então x>0 e y<0. Simbolicamente (+,-).
y
x
P(x,y)
(0,0)
(–)
(–)
Oy (+)
(+)
Ox
I
II
IVIII
17
Qualquer vetor do ℜ2
pode ser escrito em função de dois versores jei , com
1|j||i| == , cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox e Oy,
respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos versores
{ }j,i será chamado de uma base do ℜ2
.
Pela figura acima, podemos ver que jyixv += , ou seja, o vetor v é escrito em
função da base { }j,i . A expressão jyixv += é chamada de expressão cartesiana
de um vetor do ℜ2
e seu módulo é determinado por 22
yx|v| += .
Todo vetor do plano será representado a partir da origem do sistema, ou seja, a
origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com
algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor com um
ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v = .
Por exemplo: Para o vetor ji3v −= podemos escrever )1,3(v −= e representá-
lo no ℜ2
, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto à origem do sistema, sempre
fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do
vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo:
1.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ2
na forma cartesiana
Sejam jyixvejyixv 222111 +=+= dois vetores quaisquer do ℜ2
e um escalar
qualquer ℜ∈α . Então:
- Adição: j)yy(i)xx(vv 212121 +++=+
- Subtração: j)yy(i)xx(vv 212121 −+−=−
- Multiplicação por escalar: j)y(i)x(v 111 α+α=⋅α
v
-1
3
P(3,-1)
y
x
O
j
jy
i ix
v
y
x
P(x,y)
Oy
Ox
18
Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2u =+−=+= . Determine o módulo do vetor
w2v3u
2
1
R +−= .
Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação vem:
)0,1(we)1,3(v,)4,2(u =−== . Vamos primeiro determinar o vetor R .
)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(
2
1
R −=+−++=+−−=+−−=
Logo, ji12R −= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22
=+=−+=
1.2 Cossenos diretores de um vetor
Seja jyixv += um vetor qualquer do ℜ2
. Então v forma um ângulo com cada
eixo coordenado. Sejam α e β os ângulos que o vetor v forma com os eixos Ox e Oy,
respectivamente. Pela figura abaixo temos:
|v|
x
)cos( =α e
|v|
y
)cos( =β , chamados
cossenos diretores do vetor .v Note que: 1)(cos)(cos 22
=β+α , pois:
1
|v|
y
|v|
x
22
=





+





e 222
yx|v| += , então 22
yx|v| += .
Definição: Considere o vetor jyixv += . Então o versor do vetor v , denotado por
ov , é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v e unitário, ou seja, 1vo = , definido
por
|v|
v
vo = .
Como jyixv += ⇒ )y,x(v = ⇒ 





=⋅=
|v|
y
,
|v|
x
)y,x(
|v|
1
vo ⇒ )cos,(cosvo βα= .
Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine:
a) Os cossenos diretores do vetor AB .
b) Um vetor w de módulo 40 e paralelo ao vetor AB .
Solução: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB −−=−−=−= , 10)1()3(|AB| 22
=−+−= . Então:
10
1
|AB|
y
)cos(e
10
3
|AB|
x
)cos(
−
==β
−
==α
α
β
O
v
y
x
P(x,y)
Oy
Ox
19
b) Seja )y,x(w = . Se w é paralelo ao vetor AB , então existe um escalar ℜ∈m tal
que: ABmw ⋅= . Então:



−=
−=
=−−⋅=
my
m3x
)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| = ,
então: 40yx 22
=+ ⇒ ( )22
22
40yx =





+ ⇒ 40yx 22
=+ ⇒
40)m()m3( 22
=−+− ⇒ 2m40m10 2
±=⇒= . Assim, há duas soluções: para m = 2 ⇒
)2,6(w −−= ou para m = -2 ⇒ )2,6(w = o seu oposto. Logo, )2,6(w −−= ou )2,6(w = .
Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v −−=+= . Determine os valores de m
para que o vetor wv − tenha módulo igual a 6.
Solução: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv +−+=−−−+=−
626m8m2)1m()5m(|wv| 222
=++=+−++=−
05m4m626m8m2 22
2
2
=−+⇒=





++ ⇒



−=
=
5m
1m
2
1
Logo para



−−=−−=⇒−=
−==⇒=
)11,2(we)5,2(v5m
)1,2(we)1,4(v1m
2
1
Exemplo (4): Seja )4,3(v = . Ao projetarmos o vetor v sobre o eixo Ox, obtemos um
vetor u . Determine o vetor w que é a projeção do vetor u na direção do vetor v .
Solução: Temos que )0,3(u = e w é paralelo ao vetor v . Então vw α= . Seja
)y,x(w = . Então:



α=
α=
⇒α==
4y
3x
)4,3()y,x(w . Por construção temos:
5
9
|w|
|v|
|u|
|u|
|w|
cos =⇒==θ . Mas ⇒α+α=+= 2222
)4()3(yx|w|
25
9
5
9
25
5
9
)4()3(|w| 222
=α⇒=α⇒=α+α=
Portanto: 





=⇒==
25
36
,
25
27
w)4,3(
25
9
)y,x(w
y
θ
x
4
3u
w
v
20
Exercícios Propostos:
1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v −== , determine os vetores bea sabendo que
bav += e que b é o triplo do versor do vetor u .
Resp: 





=





−=
5
11
,
5
22
ae
5
9
,
5
12
b
2) Determine t para que )t2,t(u = tenha módulo igual a 53 . Resp: t = ± 3
3) O vetor )8,2(v = é a soma de um vetor a que está sobre o eixo Ox com um vetor
b , cujo módulo é 73 . Determine as possibilidades para os vetores a e b .
Resp:




−==
=−=
)8,3(be)0,5(a
ou)8,3(be)0,1(a
4) Três pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um triângulo ABC.
a) Mostre que 0BACBAC =++ .
b) Determine o perímetro do triângulo ABC. Resp: 5517p2 +=
5) Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e
)4,3(BDe)4,7(AC −== suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D.
Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0)
2 Vetores no espaço
O espaço, também chamado de 3
ℜ , onde ℜ×ℜ×ℜ=ℜ3
, é o conjunto de todas
as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }ℜ∈=ℜ z,y,x/)z,y,x(3
. Logo,
todo ponto P do 3
ℜ é representado por uma terna de números reais P(x,y,z). O 3
ℜ é
representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é constituído por
três eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é a terna O(0,0,0), chamada de
origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das abscissas), Oy (eixo
das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de eixos coordenados,
orientados como mostra a figura abaixo.
(–)
(–)
(–)
(+)
(+)
(+)
Oy
Oz
Ox
21
Note que os eixos coordenados dividem o espaço e 8 regiões iguais, cada uma
delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro são os sinais das
coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3
ℜ . Assim:
- Se (x,y,z) pertence ao 1º octante, então x>0, y>0 e z>0. Em símbolos: (+,+,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 2º octante, então x<0, y>0 e z>0. Em símbolos: (–,+,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 3º octante, então x<0, y<0 e z>0. Em símbolos: (–,–,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 4º octante, então x>0, y<0 e z>0. Em símbolos: (+,–,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 5º octante, então x>0, y>0 e z<0. Em símbolos: (+,+,–);
- Se (x,y,z) pertence ao 6º octante, então x<0, y>0 e z<0. Em símbolos: (–,+,–);
- Se (x,y,z) pertence ao 7º octante, então x<0, y<0 e z<0. Em símbolos: (–,–,–);
- Se (x,y,z) pertence ao 8º octante, então x>0, y<0 e z<0. Em símbolos: (+,–,–).
Apesar do 3
ℜ ter a representação como acima, para fins de simplificar a
representação ou a construção geométrica de algo, por convenção, adota-se uma
representação simplificada do 3
ℜ , representando apenas um ou o octante desejado.
Todo ponto P(x,y,z) do espaço é representado como na figura abaixo, onde x, y e z
são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox, Oy e Oz e esta
ordem esta fixada.
Suponhamos que desejamos representar os pontos P(3,5,6) e Q(-3,5,6). Note
que P pertence ao 1º octante e Q pertence ao 2º octante.
A representação do ponto P(3,5,6) é relativamente simples quando trabalhamos
com o 1º octante, o que não ocorre com a representação do ponto Q(-3,5,6). As
representações no 2º ao 8º octantes são complicadas, exigem técnicas do desenho
Oz
3
Ox
6
5
P(3,5,6)
1º octante
Oy
Oy
x
Ox
z
y
P(x,y,z)
Oz
Oz
–3
Ox
6
5
Q(-3,5,6)
Oy
1º octante
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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02

  • 1. 16 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 2 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 1 Vetores no plano O plano, também chamado de ℜ2 , simbolicamente escrevemos: }yex),y,x{(x2 ℜ∈∀=ℜℜ=ℜ , é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Ele é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é o par ordenado O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos coordenados, orientados como mostra a figura abaixo. Todo ponto P do plano é representado como na figura acima, onde x e y são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Na representação de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x é sempre a primeira e y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos coordenados dividem o plano em 4 regiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas chamadas de quadrante. O que distingue um quadrante do outro são os sinais das coordenadas (x,y) de um ponto qualquer do 2 ℜ . Assim: - Se (x,y) pertence ao I quadrante, então x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+); - Se (x,y) pertence ao II quadrante, então x<0 e y>0. Simbolicamente: (-,+); - Se (x,y) pertence ao III quadrante, então x<0 e y<0. Simbolicamente: (-,-); - Se (x,y) pertence ao e IV quadrante, então x>0 e y<0. Simbolicamente (+,-). y x P(x,y) (0,0) (–) (–) Oy (+) (+) Ox I II IVIII
  • 2. 17 Qualquer vetor do ℜ2 pode ser escrito em função de dois versores jei , com 1|j||i| == , cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox e Oy, respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos versores { }j,i será chamado de uma base do ℜ2 . Pela figura acima, podemos ver que jyixv += , ou seja, o vetor v é escrito em função da base { }j,i . A expressão jyixv += é chamada de expressão cartesiana de um vetor do ℜ2 e seu módulo é determinado por 22 yx|v| += . Todo vetor do plano será representado a partir da origem do sistema, ou seja, a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor com um ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v = . Por exemplo: Para o vetor ji3v −= podemos escrever )1,3(v −= e representá- lo no ℜ2 , marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto à origem do sistema, sempre fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo: 1.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ2 na forma cartesiana Sejam jyixvejyixv 222111 +=+= dois vetores quaisquer do ℜ2 e um escalar qualquer ℜ∈α . Então: - Adição: j)yy(i)xx(vv 212121 +++=+ - Subtração: j)yy(i)xx(vv 212121 −+−=− - Multiplicação por escalar: j)y(i)x(v 111 α+α=⋅α v -1 3 P(3,-1) y x O j jy i ix v y x P(x,y) Oy Ox
  • 3. 18 Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2u =+−=+= . Determine o módulo do vetor w2v3u 2 1 R +−= . Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação vem: )0,1(we)1,3(v,)4,2(u =−== . Vamos primeiro determinar o vetor R . )1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2( 2 1 R −=+−++=+−−=+−−= Logo, ji12R −= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22 =+=−+= 1.2 Cossenos diretores de um vetor Seja jyixv += um vetor qualquer do ℜ2 . Então v forma um ângulo com cada eixo coordenado. Sejam α e β os ângulos que o vetor v forma com os eixos Ox e Oy, respectivamente. Pela figura abaixo temos: |v| x )cos( =α e |v| y )cos( =β , chamados cossenos diretores do vetor .v Note que: 1)(cos)(cos 22 =β+α , pois: 1 |v| y |v| x 22 =      +      e 222 yx|v| += , então 22 yx|v| += . Definição: Considere o vetor jyixv += . Então o versor do vetor v , denotado por ov , é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v e unitário, ou seja, 1vo = , definido por |v| v vo = . Como jyixv += ⇒ )y,x(v = ⇒       =⋅= |v| y , |v| x )y,x( |v| 1 vo ⇒ )cos,(cosvo βα= . Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine: a) Os cossenos diretores do vetor AB . b) Um vetor w de módulo 40 e paralelo ao vetor AB . Solução: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB −−=−−=−= , 10)1()3(|AB| 22 =−+−= . Então: 10 1 |AB| y )cos(e 10 3 |AB| x )cos( − ==β − ==α α β O v y x P(x,y) Oy Ox
  • 4. 19 b) Seja )y,x(w = . Se w é paralelo ao vetor AB , então existe um escalar ℜ∈m tal que: ABmw ⋅= . Então:    −= −= =−−⋅= my m3x )1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| = , então: 40yx 22 =+ ⇒ ( )22 22 40yx =      + ⇒ 40yx 22 =+ ⇒ 40)m()m3( 22 =−+− ⇒ 2m40m10 2 ±=⇒= . Assim, há duas soluções: para m = 2 ⇒ )2,6(w −−= ou para m = -2 ⇒ )2,6(w = o seu oposto. Logo, )2,6(w −−= ou )2,6(w = . Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v −−=+= . Determine os valores de m para que o vetor wv − tenha módulo igual a 6. Solução: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv +−+=−−−+=− 626m8m2)1m()5m(|wv| 222 =++=+−++=− 05m4m626m8m2 22 2 2 =−+⇒=      ++ ⇒    −= = 5m 1m 2 1 Logo para    −−=−−=⇒−= −==⇒= )11,2(we)5,2(v5m )1,2(we)1,4(v1m 2 1 Exemplo (4): Seja )4,3(v = . Ao projetarmos o vetor v sobre o eixo Ox, obtemos um vetor u . Determine o vetor w que é a projeção do vetor u na direção do vetor v . Solução: Temos que )0,3(u = e w é paralelo ao vetor v . Então vw α= . Seja )y,x(w = . Então:    α= α= ⇒α== 4y 3x )4,3()y,x(w . Por construção temos: 5 9 |w| |v| |u| |u| |w| cos =⇒==θ . Mas ⇒α+α=+= 2222 )4()3(yx|w| 25 9 5 9 25 5 9 )4()3(|w| 222 =α⇒=α⇒=α+α= Portanto:       =⇒== 25 36 , 25 27 w)4,3( 25 9 )y,x(w y θ x 4 3u w v
  • 5. 20 Exercícios Propostos: 1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v −== , determine os vetores bea sabendo que bav += e que b é o triplo do versor do vetor u . Resp:       =      −= 5 11 , 5 22 ae 5 9 , 5 12 b 2) Determine t para que )t2,t(u = tenha módulo igual a 53 . Resp: t = ± 3 3) O vetor )8,2(v = é a soma de um vetor a que está sobre o eixo Ox com um vetor b , cujo módulo é 73 . Determine as possibilidades para os vetores a e b . Resp:     −== =−= )8,3(be)0,5(a ou)8,3(be)0,1(a 4) Três pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um triângulo ABC. a) Mostre que 0BACBAC =++ . b) Determine o perímetro do triângulo ABC. Resp: 5517p2 += 5) Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e )4,3(BDe)4,7(AC −== suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D. Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0) 2 Vetores no espaço O espaço, também chamado de 3 ℜ , onde ℜ×ℜ×ℜ=ℜ3 , é o conjunto de todas as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }ℜ∈=ℜ z,y,x/)z,y,x(3 . Logo, todo ponto P do 3 ℜ é representado por uma terna de números reais P(x,y,z). O 3 ℜ é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é constituído por três eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é a terna O(0,0,0), chamada de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das abscissas), Oy (eixo das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de eixos coordenados, orientados como mostra a figura abaixo. (–) (–) (–) (+) (+) (+) Oy Oz Ox
  • 6. 21 Note que os eixos coordenados dividem o espaço e 8 regiões iguais, cada uma delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro são os sinais das coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3 ℜ . Assim: - Se (x,y,z) pertence ao 1º octante, então x>0, y>0 e z>0. Em símbolos: (+,+,+); - Se (x,y,z) pertence ao 2º octante, então x<0, y>0 e z>0. Em símbolos: (–,+,+); - Se (x,y,z) pertence ao 3º octante, então x<0, y<0 e z>0. Em símbolos: (–,–,+); - Se (x,y,z) pertence ao 4º octante, então x>0, y<0 e z>0. Em símbolos: (+,–,+); - Se (x,y,z) pertence ao 5º octante, então x>0, y>0 e z<0. Em símbolos: (+,+,–); - Se (x,y,z) pertence ao 6º octante, então x<0, y>0 e z<0. Em símbolos: (–,+,–); - Se (x,y,z) pertence ao 7º octante, então x<0, y<0 e z<0. Em símbolos: (–,–,–); - Se (x,y,z) pertence ao 8º octante, então x>0, y<0 e z<0. Em símbolos: (+,–,–). Apesar do 3 ℜ ter a representação como acima, para fins de simplificar a representação ou a construção geométrica de algo, por convenção, adota-se uma representação simplificada do 3 ℜ , representando apenas um ou o octante desejado. Todo ponto P(x,y,z) do espaço é representado como na figura abaixo, onde x, y e z são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox, Oy e Oz e esta ordem esta fixada. Suponhamos que desejamos representar os pontos P(3,5,6) e Q(-3,5,6). Note que P pertence ao 1º octante e Q pertence ao 2º octante. A representação do ponto P(3,5,6) é relativamente simples quando trabalhamos com o 1º octante, o que não ocorre com a representação do ponto Q(-3,5,6). As representações no 2º ao 8º octantes são complicadas, exigem técnicas do desenho Oz 3 Ox 6 5 P(3,5,6) 1º octante Oy Oy x Ox z y P(x,y,z) Oz Oz –3 Ox 6 5 Q(-3,5,6) Oy 1º octante 2º octante
  • 7. 22 geométrico como noção de profundidade e perspectiva e, nem sempre a visualização do que se pretende representar é evidente aos nossos olhos. Como estamos interessados em fazer as representações no ℜ3 através de um esboço, ou seja, algo simples e não pretendemos realizar construções difíceis e nem representações elaboras, o que se adota como convenção é representar o octante desejado como se fosse sempre o 1º octante. Por exemplo, poderíamos representar o ponto Q(-3,5,6) da seguinte forma: Qualquer vetor do ℜ3 pode ser escrito em função três versores kej,i , cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente. Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i será chamado de uma base do ℜ3 . Pela figura acima podemos ver que kzjyixv ++= , ou seja, o vetor v é escrito em função da base { }k,j,i . A expressão kzjyixv ++= é chamada de expressão cartesiana. Note também que, o módulo de um vetor é dado por 222 zyx|v| ++= pois: Do triângulo OQR vem: 222 yxw += Do triângulo POR vem: 222 zw|v| += Então: 2222 zyx|v| ++= Portanto: 222 zyx|v| ++= Oz -3 Ox6 5 Q(-3,5,6) 2º octante Oy Oy x kz k Ox j jy i ix v z y P(x,y,z) Oz jyix + w v R Q P O z z y y x
  • 8. 23 Todo vetor do espaço será representado a partir da origem do sistema, ou seja, a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com algum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um ponto do espaço e simplesmente escrever que )z,y,x(v = . Por exemplo: O vetor k6j5i3v ++= é escrito como )6,5,3(v = e representá-lo no ℜ3 , marcando o ponto P e unindo este ponto à origem do sistema, sempre fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do vetor com o ponto P. Veja a figura abaixo: 2.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ3 na forma cartesiana Sejam kzjyixvekzjyixv 22221111 ++=++= dois vetores quaisquer do ℜ3 e um escalar qualquer ℜ∈α . Então: - Adição: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121 +++++=+ - Subtração: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121 −+−+−=− - Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111 α+α+α=⋅α Exemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2u −=++−=+= , três vetores do espaço. Determine o módulo do vetor w2v3u 2 1 R +−= . Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação, escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u −=−== . Determinando o vetor R vem: )0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2( 2 1 R −+−−=−+−−= ⇒ )6,3,10()060,232,091(R −−=+−−−++= . Logo, k6j3i10R −−= Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222 =++=−+−+= . Oz 3 Ox v 6 5 P(3,5,6) Oy
  • 9. 24 2.2 Cossenos diretores de um vetor Seja kzjyixv ++= um vetor qualquer do ℜ3 . Então v forma um ângulo com cada eixo coordenado. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor forma com os eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos: |v| x )cos( =α , |v| y )cos( =β , |v| z )cos( =γ chamados de co-senos diretores do vetor .v Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 =γ+β+α Definição: Considere o vetor kzjyixv ++= . Então o versor do vetor v , denotado por ov , é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v e unitário, ou seja, 1vo = , definido por |v| v vo = . Como kzjyixv ++= ⇒ )z,y,x(v = ⇒       =⋅= |v| z , |v| y , |v| x )z,y,x( |v| 1 vo ⇒ )cos,cos,(cosvo γβα= . 2.3 Condição de paralelismo entre dois vetores. Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 == dois vetores paralelos, ou seja, eles têm a mesma direção, então existe um escalar m∈ℜ tal que vmu ⋅= . Logo:          =⇒= =⇒= =⇒= ⇒⋅= 2 1 21 2 1 21 2 1 21 222111 z z mmzz y y mmyy x x mmxx )z,y,x(m)z,y,x( ⇒ 2 1 2 1 2 1 z z y y x x m === , 0ze0y,0xcom 222 ≠≠≠ . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos é necessário que haja uma proporção entre suas coordenadas, isto é, eles são múltiplos escalares. y γ β Ox x α |v| z P(x,y,z)Oz Oy
  • 10. 25 Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u = , )4,8,2(v = e )4,6,2(w = . Temos que u e v são paralelos, pois u2v ⋅= e 2 2 4 4 8 1 2 === . Note que u e w não são paralelos, pois 2 4 4 6 1 2 ≠≠ , ou seja, não existe nenhum escalar m∈ℜ tal umw ⋅= . 2.4 Condição de coplanaridade entre três vetores Sejam )z,y,x(u 111= , )z,y,x(v 222= e )z,y,x(w 333= vetores coplanares, ou seja, vetores que estão no mesmo plano, então existem escalares m, n ∈ℜ tais que wnvmu += . Então: ⇒⋅+⋅= )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111      =+ =+ =+ 132 132 132 znzmz ynymy xnxmx Podemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujo determinante é igual a zero, pois existe uma combinação linear entre suas linhas, ou seja, a primeira linha é m vezes a segunda mais n vezes a terceira. Portanto, a condição para que três vetores sejam coplanares é verificada quando 0 zyx zyx zyx 333 222 111 = . Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor w paralelo ao vetor PQ e que tenha módulo igual a 6. Solução: Sejam )z,y,x(w = . Como w é paralelo a PQ , então PQw α= ⇒ )2,2,1()z,y,x( −−−α= . Então:      α−= α−= α−= 2z 2y x . O módulo de )z,y,x(w = é igual 6zyx 222 =++ ⇒ 2696)2()2()( 2222 ±=α⇒=α⇒=α−+α−+α− . Portanto, )4,4,2(wou)4,4,2(w −−−== . vm v w wn u
  • 11. 26 Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 =−= estão aplicados no mesmo ponto A. Determine um vetor AB de módulo 32 , cuja direção é a direção da bissetriz do ângulo formado pelos vetores 21 vev . Solução: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ângulo entre 21 vev , é necessário que |v||v| 2211 α=α ⇒ 2 2 222 1 12)1(2 ⋅α=+−+⋅α ⇒ 12 3α±=α . Pela figura acima podemos ver que 2211 vvAB α+α= . Daí segue que: Para 12 3α=α ⇒ 2111 v3vAB α+α= ⇒ )v3v(AB 211 +α= ⇒ [ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +−⋅α= ⇒      α= α= α= 1 1 1 2z 2y 2x . Como 32)2()2()2(32zyx32|AB| 2 1 2 1 2 1 222 =α+α+α⇒=++⇒= ⇒ 132323212 11 2 1 ±=α⇒±=α⇒=α . Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB −−−== Para 12 3α−=α ⇒ 2111 v3vAB α−α= ⇒ )v3v(AB 211 −α= ⇒ [ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 −−⋅α= ⇒      α= α−= α= 1 1 1 2z 4y 2x . Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 2 1 2 1 2 1 222 =α+α−+α⇒=++⇒= ⇒ 2 2 12243224 1 2 1 2 1 ±=α⇒=α⇒=α . Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB −+−=−= Exemplo (8): Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 . Solução: Seja M(x,y,z) o ponto médio do segmento AB . O ponto M é tal que MBAM = ou M-A = B-M. Então:           += += += ⇒ −=− −=− −=− ⇒−−−=−−− 21 21 21 21 21 21 222111 zzz2 yyy2 xxx2 zzzz yyyy xxxx )zz,yy,xx()zz,yy,xx( Portanto: Ponto médio       +++ 2 zz , 2 yy , 2 xx M 212121 B A AB 1v 2v 11vα 22vα α α
  • 12. 27 Exercícios Propostos: 1) Encontrar os valores a e b tais que ubvaw += , sendo )14,4,4(w −−= , )1,2,1(v −= e )4,0,2(u −= . Resp: a =2 e b = -3 2) Determine o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). Resp: Q(-5,-1,-4) 3) Um vetor w do ℜ3 forma com os eixos Ox e Oy, ângulos de 60o e 1200 , respectivamente. Determine w para que ele tenha módulo igual a 2. Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w −−=−= 4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a == . O ângulo entre eles é 45o . Calcule o ângulo entre os vetores baeba −+ . Resp:         −=θ 5 5 arccos 5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? Resp: (9,7,11) COMENTÁRIOS IMPORTANTES 1) Como podemos identificar um vetor kzjyixv ++= com um ponto do ℜ3 e, a fim de simplificar a notação, escrevermos )z,y,x(v = , é muito comum o aluno confundir as notações de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v = . Às vezes até, fazer operações que são permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos pontos. Portanto, cuidado com as notações. 2) A linguagem matemática é uma linguagem como outra qualquer, com suas regras e conectivos lógicos. As próprias línguas (português, inglês, alemão,...) possuem suas regras de construção (concordâncias, ortografia, conjugação verbal,...) as quais devem ser empregadas corretamente para que as frases e os parágrafos tenham sentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem computacional você esquecer-se de digitar um ponto ou uma vírgula, seu programa não “roda” e enviará uma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos esquecemos de digitar um ponto ou uma letra em um site da internet ou um e-mail, não vamos conseguir navegar ou enviar uma mensagem. Assim também é linguagem matemática. Se você não escreve corretamente, seu desenvolvimento matemático ficará sem sentido e o professor, provavelmente, vai lhe enviar uma mensagem de erro que é a sua nota. Portanto, procure usar os símbolos de maneira correta e ordenada, para aqueles que lerem seu desenvolvimento matemático possa entender o seu raciocínio.