Anexo ma aula_fd_unidade1

Zeros de funções reais

1
0011 0010
452

Sumário: 1 – Introdução
1.1 – Isolamento das raízes
1.2 – Refinamento
2 – Método da Bisseção
2.1 – Interpretação Geométrica
2.2 – Algoritmo
2.3 – Estimativa do Número de Iterações
2.4 – Estudo da Convergência
3 – Método do Ponto Fixo
3.2 – Estudo da convergência do MPF
3.3 – Algoritmo
3.4 – Ordem de convergência do MPF
4 – Método de Newton - Raphson
1
452
4.2 – Estudo da convergência do MNR
4.3 – Algoritmo
4.4 – Ordem de convergência do MNR
0011 0010

1 – Introdução

1
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452

 Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de
se determinar um número r para o qual uma função f (x) seja zero,
ou seja, f (r)=0.
 Este número é chamado zero ou raiz da função f (x) e pode ser real
ou complexo. Em nossos estudos r representará uma raiz real.
 Graficamente, os zeros reais são representados pelos pontos de
interseção da curva com o eixo Ox, conforme figura abaixo:
f(x)

r1 r2 r3
1
452
x

0011 0010

 O objetivo desta unidade é o estudo de métodos numéricos
para a resolução de equações não-lineares, as quais não possuem
solução analítica.
Exemplo: f ( x ) = e − sen( x )
x

 A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação
inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através
de um processo iterativo do tipo:

dado x0

 xi = F ( xi −1 ), i = 1,..., n

1
 F(x) é chamada função de iteração.

0011 0010
452

 Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas
fases:

Fase I - Localização ou isolamento das raízes:
Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém uma única raiz;

Fase II - Refinamento:
Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo
[a,b], melhorá-las sucessivamente até se obter uma
aproximação para a raiz dentro de uma precisão ε prefixada.

1
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1.1 – Fase I: Isolamento das raízes
Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função.
A precisão desta análise é o pré-requisito para o sucesso da fase
II.
1.1.1 - Análise Gráfica
Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos:
i) Esboçar o gráfico da função f (x) e localizar as abscissas

dos pontos de interseção da curva com o eixo ;ox
Exemplo: f ( x) = x − 9 x + 3
3 40

30

20

r1 ∈ [−4,−3] 10

r1 r2 r3

1
r2 ∈ [0,1] 0

452
r3 ∈ [2,3] -10

-20

-30
0011 0010 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ii) A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente

g(x) = h(x), esboçar os gráficos g(x) e h(x) no mesmo eixo
cartesiano 0 ⇔ g (r ) = h(os pontos x de interseção das duas curvas,
f (r ) = e localizar r ).
pois
Exemplo: f ( x) = e − x − x = 0
8

Resolução: 7

6

x = e− x 5

4 h(x)
g ( x) = e − x 3

h( x ) = x 2

1

1
g(x)
∴r ∈ [0,1]
0

r

452
-1

-2
-2 -1 0 1 2 3 4

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1.1.2 – Análise Teórica
Nesta análise usamos freqüentemente o teorema de Bolzano:
“Seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) < 0,
então existe pelo menos um ponto x = r entre a e b que é zero de f (x)”
f(x)
Graficamente:

a r2
r1 r3 b x

f(x)

r2
1
452
b
a r1 x

0011 0010

 Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar
o sinal em [a, b], então existe uma única raiz neste intervalo.
Graficamente:
f(x)
f(x)

a b
b x a x

f ' ( x) > 0, ∀ x ∈ [a, b] f ' ( x) < 0, ∀ x ∈[a, b]
1
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452

 Podemos aplicar este teorema atribuindo valores para x e analisar
o sinal de f (x).

Exemplo: f(x) = x − 9 x + 3
3

x -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4
f(x) - - + + + - - + +

- Analisando a mudança de sinal podemos concluir que existe pelo
menos uma raiz dentro dos intervalos indicados.
- Derivando a função descobrimos que
1
f ' ( x) = 3 x 2 − 9 conserva o sinal

452
em cada um dos intervalos, portanto cada raiz é única no intervalo.

0011 0010

 Observação
Se f (a) f (b) > 0 então pode existir ou não raízes no intervalo [a,b].
f(x)
Graficamente:

a b x

f(x)
f(x)

1
452
r1 r2
a b x a
r1
b x

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1.2 – Fase II: Refinamento
 Esta fase consiste em aproximarmos uma raiz r dentro do
intervalo [a, b] através de um método iterativo.
 Um método iterativo é uma seqüência de instruções que são
executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em
ciclos, cada ciclo recebe o nome de iteração.
 Estas iteração utilizam valores obtidos em iterações anteriores
para encontrar uma nova aproximação para a raiz.
Estes métodos fornecem uma aproximação para a raiz exata.
1.2.1 – Critérios de parada

1
 Durante a aplicação de uma método para determinar-se uma raiz,

452
necessitamos que uma certa condição seja satisfeita para
estabelecer se o valor de xi está suficientemente próximo de r.
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 O valor de xi é raiz aproximada com precisão ε se:
i) | xi − r |< ε
ii) | f ( xi ) |< ε
 Nem sempre é possível ter as duas exigências satisfeitas
simultaneamente, analisemos os casos abaixo:

| f ( xi ) |< ε | xi − r |< ε
f(x) f(x)

| xi − r |>> ε | f ( xi ) |>> ε

r r
xi x xi x

1
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 Como não conhecemos o valor da raiz r para aplicar o teste
i) |xi – r| < ε, usamos freqüentemente os conceitos de erro
absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada.

a) Erro absoluto:

| xi − xi −1 |< ε

b) Erro relativo:

xi − xi −1
<ε
xi
1
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2 – Método da Bisseção

1
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 Condições para aplicação:

-A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde
contém pelo menos uma raiz, ou seja, f (a) f (b) < 0.

-Caso o intervalo contenha duas ou mais raízes, o método
encontrará uma delas.

 O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo
inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja
menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas
divisões de [a, b] ao meio.
1
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f(x)

a0
1 a2
x1 a3
x2
r b3
x0 b0 x
2
1

Iteração 1:
3:
2:

1
x0 = (a0 + b0)
1
2 1
2 1
2 a3 = x2
2
1 a0
1

⇒
452
2 b1 = x0
b1
3
2 2
ff (x10) < 0
(x2 ) > 0 r ∈ [a1 , b1 ]
3
2 3
2
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2.2 – Algoritmo
Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) f (b) < 0.
1) Dados iniciais:
a) intervalo inicial [a, b];
b) precisão ε
2) Se (b – a) < ε, então escolha para r ∀ x ∈ [a, b]. FIM.
3) k = 1
a+b
4) xk =
2
5) Se f (a) f ( xk ) > 0 , faça a = xk . Vá para o passo 7
6) b = xk .
7) Se (a – b) < ε, escolha para r ∀ x ∈ [a, b]. FIM.
1
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8) k = k +1. Volte ao passo 4.
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2.3 - Estimativa do número de iterações
Dada uma precisão ε e um intervalo [a, b], vamos determinar quantas
iterações k serão efetuadas pelo método da Bisseção até que
bk – ak < ε. Sendo k um número inteiro.
a0 b0

a1 b1 b0 − a0
⇒
2

a2 b2 b1 − a1 b0 − a0
⇒ =
2 22

a3 b3 b2 − a2 b0 − a0

1
⇒ =
2 23

0011 0010
 ⇒
b0 − a0
2k 452

Deve-se obter o valor de k tal que bk − ak < ε , ou seja:

b0 − a0 b0 − a0
<ε ⇒ 2 > k
⇒
2 k
ε

 b0 − a0 
k log 2 > log 
 ε 

log(b0 − a0 ) − log ε
k> , k ∈Ζ
log 2
1
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2.4 - Estudo da convergência da Bisseção:
Seja f (x) uma função contínua em [a, b], onde f (a) f (b) < 0.
 O método da bisseção gera três seqüências:
{ak } : não-decrescente e limitada superiormente por b0 ⇒ ∃ t ∈ IR
tal que: lim ak = t
k →∞

{bk } : não-crescente e limitada inferiormente por a0 ⇒∃s ∈ IR
tal que: lim bk = s
k →∞
ak + bk
{xk } : por construção temos que xk = ⇒ ak < xk < bk , ∀ k
2

1
 A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do
anterior, assim temos:

0011 0010
bk − ak =
b0 − a0
2k 452

Aplicando o limite temos:
b0 − a0
lim (bk − ak ) = lim k
=0
k →∞ k →∞ 2
lim bk − lim ak = 0 ⇒ lim bk = lim ak Então t = s
k →∞ k →∞ k →∞ k →∞

 Seja  = t = s o limite das duas seqüências, aplicando o limite
na seqüência xk temos que:
ak + bk  + 
lim xk = lim = =
k→∞ k→∞ 2 2
 Resta provarmos que  é zero da função, ou seja, f ( ) = 0.
Em cada iteração k temos que f (ak ) f (bk ) < 0 , então:
0 ≥ lim f (ak ) f (bk ) = lim f (ak ) lim f (bk )

1
k →∞ k →∞ k →∞

452
0 ≥ f ( lim ak ) f ( lim bk ) = f (t ) f ( s ) = [ f ()]2
k →∞ k →∞

0 ≥ [ f ()]2 ≥ 0 ⇒ f () = 0
0011 0010

3 – Método da Iteração Linear
(Método do Ponto Fixo)

1
0011 0010
452

 Seja f (x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém
uma raiz r da equação f (x) = 0.

 O Método da Iteração Linear (MIL ou MPF) consiste em
transformar f (x) = 0 em uma equação equivalente x = ϕ(x), onde
ϕ(x) é uma função de iteração.

 A partir de uma aproximação inicial x0 gerar uma seqüência
{ xk } . de aproximações sucessivas através do processo
iterativo dado por:

xi = ϕ( xi −1 ), i = 1, 2, 
1
0011 0010
452

3.1 - Interpretação Geométrica
Graficamente, uma raiz da equação x = ϕ(x) é a abcissa do ponto
de intersecção da reta y = x e da curva y = ϕ(x)
f(x)
y= x
y = ϕ (x)

1
452
r x2 x1 x0 x

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Exemplo: Encontre uma função de iteração ϕ(x) para a seguinte
equação x 3 + x − 6 = 0.
Existem várias funções de iteração para esta equação, por
exemplo:
dado x0 = 1.5
a) ϕ1 6x− =36 − x 3
ϕ1 = ( ) x ϕ =3 6 −x
2

x1 =3 6 − .5 = .651
1 1
b) =2 − 6 =
3
x1 ϕ 6= 1.5− x 2.625
3

x2 = 6 − 266253 = −12.088
. x2 =3 6 − .651 = .632
1 1
x3 ϕ36 − (2−12.088) 3 =1772.3
c) = =
x +1
x3 =3 6 − .632 = .635
1 1
 
6 1
d) ϕconverge
= 2−
não 4 x converge
x
e) 
1
0011 0010
452

 Analisemos alguns casos de função de iteração:
f(x) ϕ( x ) f(x) ϕ(x)

x0 x1 x2 x x2 x1 x0 x

Converge Converge

ϕ (x )
f(x)
f(x)

1
ϕ (x)

452
x2 x0
x2 x1 x0 x x1 x

Não Converge Não Converge
0011 0010

3.2 – Estudo da Convergência do MIL
 Para que o MIL forneça uma solução da equação f (x) = 0 é
necessário que a seqüência gerada {xk }, dada por xk +1 = ϕ ( xk ) ,
seja convergente.
 A convergência será dada pelo seguinte teorema:

Teorema 2:
Seja r uma raiz da equação f (x) = 0, isolada num intervalo I
centrado em r. Seja ϕ(x) uma função de iteração para a equação
f (x) = 0. Se:

i) ϕ (x) e ϕ ' ( x) são contínuas em I
ii) | ϕ ' ( x) |≤ M < 1, ∀ x ∈ I
1
452
iii) x0 ∈ I
então a seqüência {xk } gerada converge para a raiz r.
0011 0010

 Demonstração
1) Provemos que se x0 ∈ I , então xk ∈ I , ∀ k :
r é uma raiz exata da equação f (x) = 0.
Assim, f (r ) = 0 ⇔ r = ϕ (r ) e,
para qualquer k, temos: xk +1 = ϕ ( xk )

⇒ xk +1 − r = ϕ ( xk ) − ϕ (r ) (1)
ϕ(x) é contínua e diferenciável em I, então, pelo Teorema do Valor
Médio, se xk ∈ I , existe ck entre xk e r tal que:

ϕ ' (ck )( xk − r ) = ϕ ( xk ) − ϕ (r ) (2)

1
452
Portanto, comparando (1) e (2), resulta
( xk +1 − r ) = ϕ ' (ck ) ( xk − r )
0011 0010

Então, ∀ k ,
| xk +1 − r |= | ϕ' (ck ) | | xk − r | < | xk − r |
 
 
<1

ou seja, a distância entre xk +1 e r é estritamente menor que a
distância entre xk e r e, como I está centrado em r, temos que se
xk ∈ I , . xk +1 ∈ I .
então

Por hipótese, x0 ∈I , então xk ∈I , ∀ k .

2) Provemos que lim xk = r :
k →∞

De (1) , segue que:

| x1 − r |= | ϕ ' (c0 ) | | x0 − r | ≤ M | x0 − r | 1
452

 
≤M
( c0 está entre x0 e r )
0011 0010

| x2 − r |= | ϕ ' (c1 ) | | x1 − r | ≤ M | x1 − r | ≤ M 2 | x0 − r |

≤M
( c1 está entre x1 e r )

| xk − r | = | ϕ ' (ck −1 ) | | xk −1 − r | ≤ M | xk −1 − r | ≤  ≤ M k | x0 − r |
 
 
≤M
( ck está entre xk e r )

Então, lim | xk − r | ≤ lim M k | x0 − r |= 0 pois 0 < M < 1.
k →∞ k →∞

Assim,

lim | xk − r |= 0 ⇒ lim xk = r.
1
452
k →∞ k →∞

0011 0010

3.3 – Algoritmo do MIL
Considere a equação f (x) = 0 e a equação equivalente x = ϕ(x)
1) Dados iniciais:
a) x0 : aproximação inicial;
b) ε1 e ε 2 : precisões.
2) Se | f ( x0 ) |< ε1 , faça r = x0 . FIM.
3) i = 1
4) x1 = ϕ ( x0 )
5) Se | f ( x1 ) |< ε 1 
 faça r = x1. FIM.
então
ou se | x1 − x0 |< ε 2 
1
452
6) x0 = x1
7) i = i +1. Volte ao passo 4.
0011 0010

3.4 – Ordem de convergência do MIL
Definição: Seja {xk } uma seqüência que converge para um número
r e seja ek = xk − r o erro na iteração k.
Se existir um número p > 1 e uma constante C > 0, tais que
| ek +1 |
lim p
=C (2)
k→ | e |
∞
k

então p é chamada de ordem de convergência da seqüência {xk } e
C é a constante assintótica de erro.
Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método
iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de

1
convergência do processo.

452
De (2) podemos escrever:
| ek +1 | ≈ C | ek | p para k → ∞
0011 0010

 Provaremos que o MIL tem convergência apenas linear.
Conforme foi demonstrado, temos que:
xk +1 − r = ϕ ' (ck )( xk − r )
xk +1 − r
⇒ = ϕ' (ck )
xk − r
Tomando o limite quando k → ∞
xk +1 − r
lim = lim ϕ ' (ck ) = ϕ ' ( lim (ck )) = ϕ ' (r )
k →∞ x − r k →∞ k →∞
k

Portanto, ek +1
lim = ϕ' (r ) = C e | C | < 1
k →∞ e
k

Então para grandes valores de k o erro em qualquer iteração é
1
452
proporcional ao erro na iteração anterior, sendo ϕ’(r ) o fator de
proporcionalidade.
0011 0010

4 – Método de
Newton - Raphson

1
0011 0010
452

 No estudo do método do ponto fixo, vimos que:
i) uma das condições de convergência é que | ϕ ' ( x) |≤ M < 1, ∀ x ∈ I ,
onde I contém a raiz r;
ii) a convergência do método será mais rápida quanto menor for
|ϕ’(r)|.
 Com a finalidade de acelerar e garantir a convergência, o MNR
procura uma função de iteração ϕ(x) tal que ϕ’(r) = 0.
 Partindo da forma geral para ϕ(x), iremos obter a função A(x)
tal que ϕ’(r) = 0.

ϕ ( x) = x + A( x) f ( x)
⇒ ϕ ' ( x) = 1 + A' ( x) f ( x) + A( x) f ' ( x)
1
⇒ ϕ ' (r ) = 1 + A' (r ) f (r ) + A(r ) f ' (r )
0011 0010 ⇒ ϕ ' (r ) = 1 + A(r ) f ' (r ) 452

−1
Assim, ϕ ' (r ) = 0 ⇔ 1 + A(r ) f ' (r ) = 0 ⇒ A(r ) = f ' (r )
1
A( x ) = − (desde que f ' (r ) ≠ 0).
f ' ( x)
donde tomamos
 Então, dada f (x), a função de iteração representada por

f ( x)
ϕ ( x) = x −
f ' ( x)

será tal que ϕ’(r) = 0, pois como podemos verificar:

[ f ' ( x)]2 − f ( x) f ' ' ( x) f ( x) f ' ' ( x)
ϕ ' ( x) = 1 − 2
=
[ f ' ( x)] [ f ' ( x)]2

f (r ) f ' ' (r )
1
452
ϕ ' (r ) = 2
=0
[ f ' (r )]

0011 0010

 Dado o ponto ( xi , f ( xi )) traçamos a reta Li (x) tangente à curva
neste ponto, dado por Li ( x) = f ( xi ) + f ' ( xi )( x − xi )
f(x) f (x)

L1

L0
x0 r
x2 x1
x

1
0011 0010
452

4.2 – Estudo da Convergência do MNR
Teorema 3:
Sejam f (x), f’(x), f’’(x) contínuas num intervalo I que contém
a raiz x = r de f (x) = 0. Suponha que f’(r) ≠ 0.
Então, existe um intervalo I ⊂ I , contendo a raiz r, tal que se
x0 ∈ I., a função de iteração
f ( xk )
xk +1 = xk − convergirá para a raiz.
f ' ( xk )

 Demonstração
Devemos provar que as hipóteses do Teorema 2 estão satisfeitas

1
para
f ( x)

452
ϕ ( x) = x −
f ' ( x)

0011 0010

i) Afirmação: ϕ(x) e ϕ’(x) são contínuas em I1.
f ( x) f ( x) f ' ' ( x)
Temos: ϕ( x) = x − e ϕ' ( x ) =
f ' ( x) [ f ' ( x)]2
Por hipótese, f ’(r) ≠ 0 e, como f ’(x) é contínua em I, é possível
obter I1 ⊂ I tal que f ’(x) ≠ 0, ∀ x ∈ I1.
Assim, no intervalo I1 ⊂ I, tem-se que f (x), f ’(x) e f ’’(x) são
contínuas e f ’(x) ≠ 0. Então ϕ(x) e ϕ’(x) são contínuas em I1.
ii) Afirmação: |ϕ’(x)| < 1,∀ x ∈ I 2

Como ϕ’(x) é contínua em I1 e ϕ’(r) = 0, é possível escolher
I 2 ⊂ I tal que |ϕ’(x)| < 1,∀ x ∈ I 2 de forma que r seja seu centro.
Concluindo, conseguimos obter um intervalo I 2 ⊂ I ,
1
452
centrado em r, tal que ϕ(x) e ϕ’(x) sejam contínuas em I 2
e |ϕ’(x)| < 1, ∀ x ∈ I 2 .
0011 0010

4.3 – Algoritmo do MNR
Seja f (x) = 0.
1) Dados iniciais:
a) x0 : aproximação inicial;
b) ε 1 e ε 2 : precisões
2) Se | f ( x0 ) |< ε1 , faça r = x0 .FIM
3) k = 1
f ( x0 )
4) x1 = x0 −
f ' ( x0 )
5) Se | f ( x1 ) |< ε 1 
 faça r = x1. FIM
ou se | x1 − x0 |< ε 2 

1
6) x0 = x1

0011 0010
7) k = k + 1
Volte ao passo 4.
452

4.4 – Ordem de Convergência do MNR
Seja a função de iteração ϕ(x) desenvolvida em série de Taylor,
em torno de x = r:
ϕ ' ( r ) ( x − r ) ϕ " (λ ) ( x − r ) 2
ϕ ( x) = ϕ (r ) + + , λ ∈ [ x,r ]
1! 2!
 ϕ ' (r ) = 0

mas,  ϕ (r ) = r
x = ϕ ( x )
 i i −1

Generalizando para xi −1 , resulta:
ϕ " (λi −1 ) ( xi −1 − r ) 2
ϕ ( xi −1 ) = r + , λi −1 ∈ [ xi −1 , r ]
2!
ϕ " (λi −1 ) ϕ " (λi −1 )
ou, xi − r = ( xi −1 − r )
2
⇒ ei = ei −1
2
⇒
2 2
1
452
ei ϕ " (λi −1 )
lim 2
= lim
i →∞ ei −1 i →∞ 2

0011 0010

ϕ " (λi −1 ) ϕ " (r )
se, xi −1 → r ⇒ λi −1 → r ⇒ → =C
2 2
ei
portanto lim 2
=C
i →∞ ei −1

Assim para i suficientemente grande pode-se escrever:

ei ≅ C ei2−1

ou seja, o erro da iteração do MNR é proporcional ao
quadrado do erro da iteração anterior. Por isso, diz-se que a
convergência é quadrática, ou seja, p = 2.

1
0011 0010
452

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