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Algebra Linear cap 05

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42
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 5
MATRIZ MUDANÇA DE BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e
}u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear
da base B. Então existem escalares Kaij ∈ , tais que:







+++=
+++=
+++=
nnn2n21n1n
n2n222112
n1n2211111
va...vavau
..................................
va...vavau
va...vavau
:S 2
. A matriz












=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P é
chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por
B
C]M[P = .
OBS: Na matriz mudança de base












=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , as colunas representam as
coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,












=












=












=
nn
n2
n1
Bn
2n
22
12
B2
1n
21
11
B1
a
...
a
a
]u[,...,
a
...
a
a
]u[,
a
...
a
a
]u[ . A matriz mudança de base é sempre
inversível.
Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2
. Determine a
matriz de mudança da base B para a base C.
Solução: Para determinar
B
C]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação
linear da base B. Então:



+=−−
+=
)0,1(d)1,1(c)3,4(
)0,1(b)1,1(a)2,1(
:S . Vamos obter dois sistemas
43
lineares:



=
+=
a2
ba1
e



=−
+=−
c3
dc4
. Resolvendo os sistemas vamos obter






−−
−
=





==
11
32
db
ca
]M[P B
C . Note que, na combinação linear S os escalares
estão em linha e na matriz P eles estão em colunas.
Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz
de mudança da base B para C. Então:
a) BPC t
⋅=
b) C]P[B 1t
⋅= −
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja
B
C]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e
C
D]M[Q = a matriz de mudança da base C para D.
Então, a matriz de mudança de B para D é
C
D
B
C ]M[]M[QP ⋅=⋅ .
Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja
B
C]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então:
a) B
1
C ]v[P]v[ ⋅= −
b) CB ]v[P]v[ ⋅=
Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e 





=
10
22
P a matriz mudança da
base B para a base C. Determine a base B.
Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t
⋅= −
. Então, 





−
=−
11
0
)P( 2
1
1t
e escrevemos
os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como
linhas de uma matriz. Assim: 





=





⋅





−
=
10
01
12
02
11
0
B 2
1
, ou seja, a base B é a
base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .
44
É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema
usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos
escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores
da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:



+++=+
+++=
)tbb(1)taa(2t2
)tbb(0)taa(22
1o1o
1o1o
⇒



+++=+
+=+
t)bta2()ba2(t12
ta2a2t02
11oo
1o
⇒



=⇒=
=⇒=
0aa20
1aa22
11
o0
e



=⇒+=
=⇒+=
1bba21
0bba22
111
oo0
. Portanto, a base }t,1{B = .
Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do
2
ℜ e 





=
3
5
3
1
3
2
3
1
P a matriz de mudança
da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a
base C.
Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B
1
C ]v[P]v[ ⋅= −
. Primeiro determinamos as
coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒



+=
−=
ba23
ba2
⇒ 





−
=





=
3
1
3
5
B
b
a
]v[ e 





−
−
=−
11
25
P 1
. Assim:






−
⋅





−
−
=
3
1
3
5
C
11
25
]v[ ⇒ 





−
=
2
9
]v[ C
Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da
matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a
base )}d,c(),b,a{(C = . Então:



−=−+=
=−+=
)3,1()1,1()2,1()d,c(
)1,0()1,1()2,1()b,a(
3
5
3
2
3
1
3
1
. Assim,
)}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base
C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒



β+α=
β−=
33
2
⇒ 





−
=
2
9
]v[ C
45
Exercícios Propostos
1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2
. Seja 





−
=
31
02
Q a
matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a
base D. Quem é a base D?
Resp: 





−
=
64
35
]M[ B
D e )}6,9(),4,1{(D −=
2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2
+−+−= para a base
}t3,tt2,t1{C 22
++−+= . Resp:










−
−−
==
2
1
2
1
4
7
4
13
B
C
0
021
1
]M[P
3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e 




−
=
85
32
A . Sabendo que a matriz de
mudança da B para a base C é












−
−
=
1100
0110
0012
0001
P , determine as coordenadas de A em
relação a base C. Quem é a base C?
Resp:












−
−
=
4
12
7
2
]A[ C e












−










 −






=
10
00
,
11
00
,
01
10
,
00
21
C
4) No
3
ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte
forma:





++=
++=
+=
3213
3212
311
ee2eg
eee2g
eeg
. Sabendo que










−
−
=
1
5
2
]v[ B são as coordenadas do vetor v em
relação a base B, determine C]v[ . Resp:










−
−
=
3
1
3
]v[ c
5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz
de mudança da base B para a base C pode ser determinada por
t1B
C ]BC[]M[P −
⋅== .

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  • 1. 42 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 5 MATRIZ MUDANÇA DE BASE Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e }u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear da base B. Então existem escalares Kaij ∈ , tais que:        +++= +++= +++= nnn2n21n1n n2n222112 n1n2211111 va...vavau .................................. va...vavau va...vavau :S 2 . A matriz             = nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa P é chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por B C]M[P = . OBS: Na matriz mudança de base             = nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa P , as colunas representam as coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,             =             =             = nn n2 n1 Bn 2n 22 12 B2 1n 21 11 B1 a ... a a ]u[,..., a ... a a ]u[, a ... a a ]u[ . A matriz mudança de base é sempre inversível. Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2 . Determine a matriz de mudança da base B para a base C. Solução: Para determinar B C]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação linear da base B. Então:    +=−− += )0,1(d)1,1(c)3,4( )0,1(b)1,1(a)2,1( :S . Vamos obter dois sistemas
  • 2. 43 lineares:    = += a2 ba1 e    =− +=− c3 dc4 . Resolvendo os sistemas vamos obter       −− − =      == 11 32 db ca ]M[P B C . Note que, na combinação linear S os escalares estão em linha e na matriz P eles estão em colunas. Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz de mudança da base B para C. Então: a) BPC t ⋅= b) C]P[B 1t ⋅= − Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja B C]M[P = a matriz de mudança da base B para C e C D]M[Q = a matriz de mudança da base C para D. Então, a matriz de mudança de B para D é C D B C ]M[]M[QP ⋅=⋅ . Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja B C]M[P = a matriz de mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então: a) B 1 C ]v[P]v[ ⋅= − b) CB ]v[P]v[ ⋅= Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e       = 10 22 P a matriz mudança da base B para a base C. Determine a base B. Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t ⋅= − . Então,       − =− 11 0 )P( 2 1 1t e escrevemos os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como linhas de uma matriz. Assim:       =      ⋅      − = 10 01 12 02 11 0 B 2 1 , ou seja, a base B é a base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .
  • 3. 44 É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:    +++=+ +++= )tbb(1)taa(2t2 )tbb(0)taa(22 1o1o 1o1o ⇒    +++=+ +=+ t)bta2()ba2(t12 ta2a2t02 11oo 1o ⇒    =⇒= =⇒= 0aa20 1aa22 11 o0 e    =⇒+= =⇒+= 1bba21 0bba22 111 oo0 . Portanto, a base }t,1{B = . Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do 2 ℜ e       = 3 5 3 1 3 2 3 1 P a matriz de mudança da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base C. Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B 1 C ]v[P]v[ ⋅= − . Primeiro determinamos as coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒    += −= ba23 ba2 ⇒       − =      = 3 1 3 5 B b a ]v[ e       − − =− 11 25 P 1 . Assim:       − ⋅      − − = 3 1 3 5 C 11 25 ]v[ ⇒       − = 2 9 ]v[ C Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a base )}d,c(),b,a{(C = . Então:    −=−+= =−+= )3,1()1,1()2,1()d,c( )1,0()1,1()2,1()b,a( 3 5 3 2 3 1 3 1 . Assim, )}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒    β+α= β−= 33 2 ⇒       − = 2 9 ]v[ C
  • 4. 45 Exercícios Propostos 1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2 . Seja       − = 31 02 Q a matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a base D. Quem é a base D? Resp:       − = 64 35 ]M[ B D e )}6,9(),4,1{(D −= 2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2 +−+−= para a base }t3,tt2,t1{C 22 ++−+= . Resp:           − −− == 2 1 2 1 4 7 4 13 B C 0 021 1 ]M[P 3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e      − = 85 32 A . Sabendo que a matriz de mudança da B para a base C é             − − = 1100 0110 0012 0001 P , determine as coordenadas de A em relação a base C. Quem é a base C? Resp:             − − = 4 12 7 2 ]A[ C e             −            −       = 10 00 , 11 00 , 01 10 , 00 21 C 4) No 3 ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte forma:      ++= ++= += 3213 3212 311 ee2eg eee2g eeg . Sabendo que           − − = 1 5 2 ]v[ B são as coordenadas do vetor v em relação a base B, determine C]v[ . Resp:           − − = 3 1 3 ]v[ c 5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz de mudança da base B para a base C pode ser determinada por t1B C ]BC[]M[P − ⋅== .