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Algebra Linear cap 08

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60
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 8
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , definir uma
matriz que represente a transformação linear. Assim, ao invés de trabalharmos com a expressão da
transformação, passaremos a trabalhar com sua representação matricial.
Sejam U e V dois espaços vetoriais, sobre o mesmo corpo dos ℜ, de dimensão n e m,
respectivamente. Consideremos uma transformação linear VU:T → . Dadas as bases
}u,...,u,u{B n21= de U e }v,...,v,v{C m21= de V, então, os vetores )u(T),...,u(T),u(T n21
estão em V. Logo, se escrevem como combinação linear da base C. Assim:







+++=
+++=
+++=
mmn2n21n1n
m2m2221122
m1m2211111
va...vava)u(T
....................................................
va...vava)u(T
va...vava)u(T
Definição: A matriz mxn sobre ℜ, formada pelos escalares das combinações lineares acima, ou
seja,














=
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , é chamada matriz da transformação linear T em
relação às bases B e C, cuja notação será B
C]T[P = .
OBS: Note que, cada coluna da matriz P são as coordenadas dos vetores )u(T),...,u(T),u(T n21
em relação a base C, ou seja:














=
1m
21
11
1
a
...
a
a
)]u(T[ ,














=
2m
22
12
2
a
...
a
a
)]u(T[ ,...,














=
mn
n2
n1
n
a
...
a
a
)]u(T[
Exemplo (1): Seja )z2x,yx()z,y,x(T +−= uma transformação linear. Determine a matriz de T
em relação a base canônica do ℜ3
e a base )}1,1(),1,1{(C −= do ℜ2
.
61
Solução: Seja )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B = a base canônica do ℜ3
. Aplicando a transformação nos
vetores da base B teremos:





=
−=
=
)2,0()1,0,0(T
)0,1()0,1,0(T
)1,1()0,0,1(T
. Escrevendo cada vetor como combinação linear da base C teremos:





−+=
−+=−
−+=
)1,1(f)1,1(e)2,0(
)1,1(d)1,1(c)0,1(
)1,1(b)1,1(a)1,1(
⇒





−−=
−−−=−
−+=
)1,1(1)1,1(1)2,0(
)1,1(
2
1
)1,1(
2
1
)0,1(
)1,1(0)1,1(1)1,1(
. Portanto, a matriz da
transformação é 







−−
−
=





==
10
11
fdb
eca
]T[P
2
1
2
1
B
C .
Definição: Seja U um espaço vetorial sobre ℜ e B1 e B2 duas de suas bases. Seja Id o operador
identidade de U. As coordenadas de um vetor Uu ∈ , em relação as bases B1 e B2, estão
relacionadas por: 2
1
21 B
B
BB ]u[]Id[]u[ ⋅= . Onde, 1
2
B
B
]Id[ é a matriz de mudança da base B1
para a base B2.
Teorema (1): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C, bases de U e V,
respectivamente. Então: B
B
CC ]u[]T[)]u(T[ ⋅= .
Exemplo (2): Seja 2
t)yx(t)yx2()yx()y,x(T ++++−= . Sejam as bases )}0,2(),2,1{(B = do ℜ2
e }t2,t1,2{C 2
−+−= do P2(ℜ). Verificar o teorema (2) para )1,1(u −= .
Solução: Vamos determinar B]u[ que são as coordenadas do vetor um em relação a base B.
Fazendo: )0,2(b)2,1(a)1,1( +=− ⇒



=−
+=
a21
b2a1
⇒ 






−
=
4
3
2
1
B]u[ .
Determinando C)]u(T[ que são as coordenadas do vetor )u(T em relação a base C.
Então: 22
tt)22()t2()t1()2(t2)1,1(T γ−β+γ+β+α−=−γ++β+−α=+=− ⇒





=γ
=β
=γ+β+α−
0
1
222
⇒









−
=
0
1)]u(T[
2
1
C .
Determinando B
C]T[ que é a matriz de T em relação as bases B e C, teremos:
62




−+++−=++=
−+++−=++−=
)t2(f)t1(e)2(dt2t42)0,2(T
)t2(c)t1(b)2(at3t41)2,1(T
22
22
⇒










−−
−−
=
23
44
1
]T[
2
1
B
C .
Verificando o teorema (2), fazemos:









−
=






−
⋅










−−
−−
=
0
1
23
44
1
)]u(T[
2
1
4
3
2
12
1
C
Teorema (3): Sejam VU:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B e C bases de U
e V, respectivamente. Então B
C
B
C
B
C ]S[]T[]ST[ +=+ .
Teorema (4): Sejam WV:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B, C e D, bases
de U, V e W, respectivamente. Então: B
C
C
D
B
D ]T[]S[]TS[ ⋅=o .
Exemplo (3): Sejam )y2,yx()y,x(Se)zx,yx()z,y,x(T +=−+= duas transformações lineares.
Sejam )}1,1,1(),1,2,2(),1,0,1{(B −= , )}2,0(),1,1{(C = e )}2,1(),1,0{(D −= . Verificar
o teorema (4).
Solução: Determinando )z2x2,zyx2()zx,yx(S))z,y,x(T(S)z,y,x)(TS( −−+=−+==o .
Vamos calcular a matriz B
D]TS[ o .





−+==−
−+==
−+==
)2,1(f)1,0(e)0,0()1,1,1)(TS(
)2,1(d)1,0(c)2,5()1,2,2)(TS(
)2,1(b)1,0(a)0,1()1,0,1)(TS(
o
o
o
⇒ 





−−
=
051
0122
]TS[ B
Do
Calculando a matriz B
C]T[ :





+==−
+==
+==
)2,0(f)1,1(e)0,0()1,1,1(T
)2,0(d)1,1(c)1,4()1,2,2(T
)2,0(b)1,1(a)0,1()1,0,1(T
⇒ 





−−
=
0
041
]T[
2
3
2
1
B
C
Calculando a matriz C
D]S[ :



−+==
−+==
)2,1(d)1,0(c)4,2()2,0(S
)2,1(b)1,0(a)2,2()1,1(S
⇒ 





−−
=
22
86
]S[ C
D
Verificando o teorema (4), temos:






−−
=





−−
⋅





−−
=
051
0122
0
041
22
86
]TS[
2
3
2
1
B
Do
63
Proposição (1): Se VU:T → é um isomorfismo e B e C são bases de U e V, respectivamente,
então ( ) 1B
C
C
B
1
]T[]T[
−−
= .
Proposição (2): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e V,
respectivamente. Então T é um isomorfismo (ou seja, T é inversível) se, e somente
se, ( ) 0]T[det B
C ≠ .
Proposição (3): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e D e E bases
de V. Então: B
C
C
E
E
D
B
D ]Id[]T[]Id[]T[ ⋅⋅= .
Teorema (5): Seja VV:T → um operador linear. Sejam B e C bases de V. Seja, ainda, B
C]M[P =
a matriz de mudança da base B para a base C. Então: P]T[P]T[ B
1
C ⋅⋅= −
.
OBS: A matriz B
BB ]T[]T[ = .
Exemplo (4): Determine o operador linear do ℜ2
cuja matriz em relação a base )}5,0(),2,1{(B = é






−12
13
.
Solução: Temos que 





−
==
12
13
]T[]T[ B
BB . Esta matriz é formada pelos escalares da combinação
linear dos vetores, ou seja, T foi aplicada nos vetores da base B e esses vetores foram
escritos como combinação linear da própria base B. Então:



−=−=
=+=
)3,1()5,0(1)2,1(1)5,0(T
)16,3()5,0(2)2,1(3)2,1(T
. Determinando a expressão da T, fazemos:
)5,0(b)2,1(a)y,x( += ⇒




+−
=
=
5
yx2
b
xa
⇒ )5,0(T
5
yx2
)2,1(Tx)y,x(T ⋅




 +−
+⋅= ⇒
)3,1(
5
yx2
)16,3(x)y,x(T −⋅




 +−
+⋅= ⇒ 




 −+
=
5
y3x86
,
5
yx13
)y,x(T
64
Exercícios Propostos
1) Consideremos as transformações lineares 3232
:Ge:F ℜ→ℜℜ→ℜ , tais que a matriz de
F+G em relação as bases canônicas do ℜ2
e do ℜ3
seja










33
10
12
e que )y2,yx,x()y,x(F −= .
Determine a matriz de G em relação as bases canônicas do ℜ2
e do ℜ3
. Quem é )y,x(G ?
Resp:










−=
13
21
11
]G[ e )yx3,y2x,yx()y,x(G ++−+=
2) Seja ℜ→ℜ)(P:F 2 a transformação linear definida por ( ) ∫
−
=
1
1
dt)t(p)t(pF . Determine a matriz
de F em relação as bases )(Pde}t1,t1,1{B 2
2
ℜ+−+= de ℜ−= de}2{C . Resp:










−
−
−
=
3
1
B
C 1
1
]F[
3) Seja )(M:T 2x2
3
ℜ→ℜ a transformação linear, cuja matriz em relação as bases canônicas do
ℜ3
e do )(M 2x2 ℜ é














100
110
011
001
. Determine as coordenadas do vetor )u(T em relação a base
canônica do )(M 2x2 ℜ , onde )3,1,2(u −= . Quem é )z,y,x(T ?
Resp:














=
3
2
1
2
)]u(T[ e 





+
+
=
zzy
yxx
)z,y,x(T
4) Seja F o operador linear do ℜ2
, cuja matriz em relação a base )}4,1(),0,1{(B = é 





=
15
11
]F[ B
B .
Determine a matriz de F em relação a base canônica do ℜ2
. Resp: 





−
−
=
420
16
]F[ C
C
5) Seja










−
−
−−
=
0031
0112
1211
]T[ B
C a matriz de uma transformação linear )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ .
Sejam B e C as bases canônicas de )(Pe)(M 22x2 ℜℜ , respectivamente. Sabendo que as
65
coordenadas do vetor )(Mu 2x2 ℜ∈ em relação a base B é














−
3
1
1
2
, determine as coordenadas do
vetor )u(T em relação a base C. Que é )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ ?
Resp:










=
5
2
2
)]u(T[ C e 2
t)b3a(t)cba2()dc2ba(
dc
ba
T −+−++−+−=






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  • 1. 60 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 8 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , definir uma matriz que represente a transformação linear. Assim, ao invés de trabalharmos com a expressão da transformação, passaremos a trabalhar com sua representação matricial. Sejam U e V dois espaços vetoriais, sobre o mesmo corpo dos ℜ, de dimensão n e m, respectivamente. Consideremos uma transformação linear VU:T → . Dadas as bases }u,...,u,u{B n21= de U e }v,...,v,v{C m21= de V, então, os vetores )u(T),...,u(T),u(T n21 estão em V. Logo, se escrevem como combinação linear da base C. Assim:        +++= +++= +++= mmn2n21n1n m2m2221122 m1m2211111 va...vava)u(T .................................................... va...vava)u(T va...vava)u(T Definição: A matriz mxn sobre ℜ, formada pelos escalares das combinações lineares acima, ou seja,               = mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa P , é chamada matriz da transformação linear T em relação às bases B e C, cuja notação será B C]T[P = . OBS: Note que, cada coluna da matriz P são as coordenadas dos vetores )u(T),...,u(T),u(T n21 em relação a base C, ou seja:               = 1m 21 11 1 a ... a a )]u(T[ ,               = 2m 22 12 2 a ... a a )]u(T[ ,...,               = mn n2 n1 n a ... a a )]u(T[ Exemplo (1): Seja )z2x,yx()z,y,x(T +−= uma transformação linear. Determine a matriz de T em relação a base canônica do ℜ3 e a base )}1,1(),1,1{(C −= do ℜ2 .
  • 2. 61 Solução: Seja )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B = a base canônica do ℜ3 . Aplicando a transformação nos vetores da base B teremos:      = −= = )2,0()1,0,0(T )0,1()0,1,0(T )1,1()0,0,1(T . Escrevendo cada vetor como combinação linear da base C teremos:      −+= −+=− −+= )1,1(f)1,1(e)2,0( )1,1(d)1,1(c)0,1( )1,1(b)1,1(a)1,1( ⇒      −−= −−−=− −+= )1,1(1)1,1(1)2,0( )1,1( 2 1 )1,1( 2 1 )0,1( )1,1(0)1,1(1)1,1( . Portanto, a matriz da transformação é         −− − =      == 10 11 fdb eca ]T[P 2 1 2 1 B C . Definição: Seja U um espaço vetorial sobre ℜ e B1 e B2 duas de suas bases. Seja Id o operador identidade de U. As coordenadas de um vetor Uu ∈ , em relação as bases B1 e B2, estão relacionadas por: 2 1 21 B B BB ]u[]Id[]u[ ⋅= . Onde, 1 2 B B ]Id[ é a matriz de mudança da base B1 para a base B2. Teorema (1): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C, bases de U e V, respectivamente. Então: B B CC ]u[]T[)]u(T[ ⋅= . Exemplo (2): Seja 2 t)yx(t)yx2()yx()y,x(T ++++−= . Sejam as bases )}0,2(),2,1{(B = do ℜ2 e }t2,t1,2{C 2 −+−= do P2(ℜ). Verificar o teorema (2) para )1,1(u −= . Solução: Vamos determinar B]u[ que são as coordenadas do vetor um em relação a base B. Fazendo: )0,2(b)2,1(a)1,1( +=− ⇒    =− += a21 b2a1 ⇒        − = 4 3 2 1 B]u[ . Determinando C)]u(T[ que são as coordenadas do vetor )u(T em relação a base C. Então: 22 tt)22()t2()t1()2(t2)1,1(T γ−β+γ+β+α−=−γ++β+−α=+=− ⇒      =γ =β =γ+β+α− 0 1 222 ⇒          − = 0 1)]u(T[ 2 1 C . Determinando B C]T[ que é a matriz de T em relação as bases B e C, teremos:
  • 3. 62     −+++−=++= −+++−=++−= )t2(f)t1(e)2(dt2t42)0,2(T )t2(c)t1(b)2(at3t41)2,1(T 22 22 ⇒           −− −− = 23 44 1 ]T[ 2 1 B C . Verificando o teorema (2), fazemos:          − =       − ⋅           −− −− = 0 1 23 44 1 )]u(T[ 2 1 4 3 2 12 1 C Teorema (3): Sejam VU:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B e C bases de U e V, respectivamente. Então B C B C B C ]S[]T[]ST[ +=+ . Teorema (4): Sejam WV:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B, C e D, bases de U, V e W, respectivamente. Então: B C C D B D ]T[]S[]TS[ ⋅=o . Exemplo (3): Sejam )y2,yx()y,x(Se)zx,yx()z,y,x(T +=−+= duas transformações lineares. Sejam )}1,1,1(),1,2,2(),1,0,1{(B −= , )}2,0(),1,1{(C = e )}2,1(),1,0{(D −= . Verificar o teorema (4). Solução: Determinando )z2x2,zyx2()zx,yx(S))z,y,x(T(S)z,y,x)(TS( −−+=−+==o . Vamos calcular a matriz B D]TS[ o .      −+==− −+== −+== )2,1(f)1,0(e)0,0()1,1,1)(TS( )2,1(d)1,0(c)2,5()1,2,2)(TS( )2,1(b)1,0(a)0,1()1,0,1)(TS( o o o ⇒       −− = 051 0122 ]TS[ B Do Calculando a matriz B C]T[ :      +==− +== +== )2,0(f)1,1(e)0,0()1,1,1(T )2,0(d)1,1(c)1,4()1,2,2(T )2,0(b)1,1(a)0,1()1,0,1(T ⇒       −− = 0 041 ]T[ 2 3 2 1 B C Calculando a matriz C D]S[ :    −+== −+== )2,1(d)1,0(c)4,2()2,0(S )2,1(b)1,0(a)2,2()1,1(S ⇒       −− = 22 86 ]S[ C D Verificando o teorema (4), temos:       −− =      −− ⋅      −− = 051 0122 0 041 22 86 ]TS[ 2 3 2 1 B Do
  • 4. 63 Proposição (1): Se VU:T → é um isomorfismo e B e C são bases de U e V, respectivamente, então ( ) 1B C C B 1 ]T[]T[ −− = . Proposição (2): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e V, respectivamente. Então T é um isomorfismo (ou seja, T é inversível) se, e somente se, ( ) 0]T[det B C ≠ . Proposição (3): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e D e E bases de V. Então: B C C E E D B D ]Id[]T[]Id[]T[ ⋅⋅= . Teorema (5): Seja VV:T → um operador linear. Sejam B e C bases de V. Seja, ainda, B C]M[P = a matriz de mudança da base B para a base C. Então: P]T[P]T[ B 1 C ⋅⋅= − . OBS: A matriz B BB ]T[]T[ = . Exemplo (4): Determine o operador linear do ℜ2 cuja matriz em relação a base )}5,0(),2,1{(B = é       −12 13 . Solução: Temos que       − == 12 13 ]T[]T[ B BB . Esta matriz é formada pelos escalares da combinação linear dos vetores, ou seja, T foi aplicada nos vetores da base B e esses vetores foram escritos como combinação linear da própria base B. Então:    −=−= =+= )3,1()5,0(1)2,1(1)5,0(T )16,3()5,0(2)2,1(3)2,1(T . Determinando a expressão da T, fazemos: )5,0(b)2,1(a)y,x( += ⇒     +− = = 5 yx2 b xa ⇒ )5,0(T 5 yx2 )2,1(Tx)y,x(T ⋅      +− +⋅= ⇒ )3,1( 5 yx2 )16,3(x)y,x(T −⋅      +− +⋅= ⇒       −+ = 5 y3x86 , 5 yx13 )y,x(T
  • 5. 64 Exercícios Propostos 1) Consideremos as transformações lineares 3232 :Ge:F ℜ→ℜℜ→ℜ , tais que a matriz de F+G em relação as bases canônicas do ℜ2 e do ℜ3 seja           33 10 12 e que )y2,yx,x()y,x(F −= . Determine a matriz de G em relação as bases canônicas do ℜ2 e do ℜ3 . Quem é )y,x(G ? Resp:           −= 13 21 11 ]G[ e )yx3,y2x,yx()y,x(G ++−+= 2) Seja ℜ→ℜ)(P:F 2 a transformação linear definida por ( ) ∫ − = 1 1 dt)t(p)t(pF . Determine a matriz de F em relação as bases )(Pde}t1,t1,1{B 2 2 ℜ+−+= de ℜ−= de}2{C . Resp:           − − − = 3 1 B C 1 1 ]F[ 3) Seja )(M:T 2x2 3 ℜ→ℜ a transformação linear, cuja matriz em relação as bases canônicas do ℜ3 e do )(M 2x2 ℜ é               100 110 011 001 . Determine as coordenadas do vetor )u(T em relação a base canônica do )(M 2x2 ℜ , onde )3,1,2(u −= . Quem é )z,y,x(T ? Resp:               = 3 2 1 2 )]u(T[ e       + + = zzy yxx )z,y,x(T 4) Seja F o operador linear do ℜ2 , cuja matriz em relação a base )}4,1(),0,1{(B = é       = 15 11 ]F[ B B . Determine a matriz de F em relação a base canônica do ℜ2 . Resp:       − − = 420 16 ]F[ C C 5) Seja           − − −− = 0031 0112 1211 ]T[ B C a matriz de uma transformação linear )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ . Sejam B e C as bases canônicas de )(Pe)(M 22x2 ℜℜ , respectivamente. Sabendo que as
  • 6. 65 coordenadas do vetor )(Mu 2x2 ℜ∈ em relação a base B é               − 3 1 1 2 , determine as coordenadas do vetor )u(T em relação a base C. Que é )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ ? Resp:           = 5 2 2 )]u(T[ C e 2 t)b3a(t)cba2()dc2ba( dc ba T −+−++−+−=     