Equações literais

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Equações literais

  1. 1. Equações literais
  2. 2. Observa as equações seguintes: 3x  7 y  1 3x  7 z  y 3x  7  0As equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não éuma equação literal.Então, qual será a definição de equação literal? Equações literais – são equações que têm mais do que uma variável, isto é, pelo menos 2 incógnitas.
  3. 3. Exemplos de equações literais:•A equação y  6 x  2 que representa uma reta não vertical (função afim).•A equação y  6x que representa uma reta que passa na origem do referencial (função linear). (equações do 1.º grau com duas incógnitas) Geogebra Quantas soluções têm? •As fórmulas: bh B  b   h A  l2 A A 2 2 que representam, respetivamente, as áreas do quadrado, do triângulo e do trapézio. • A equação da relatividade E = mc2. •A fórmula do teorema de Pitágoras a 2  b2  c 2
  4. 4. Como resolver equações literais? As regras para resolver equações, também se aplicam à resolução de uma equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram.Exemplo I:Observa a figura: Perímetro 12 cm y A figura sugere a seguinte equação, 2 x  2 y  12 xComo a equação tem duas variáveis x e y, podemos resolvê-la em ordem ax ou em ordem a y, isto é: Nota: Quando uma letra é 2 x  2 y  12  a incógnita, as outras letras  2 x  12  2 y  funcionam como se fossem números. 12  2 y x  2  x  6 y Resolvida em ordem a x
  5. 5. Nota: Diz-se que a equação está resolvida em ordem a x porque a variável x está isoladanum dos membros da equação, neste caso no 1.º membro. y 2 x  2 y  12  Perímetro 12 cm  2 y  12  2 x  x 12  2 x  y  2 Resolvida em ordem a y.  y  6 x Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis? Sabendo que a largura, y, do rectângulo é 2, qual é o comprimento? Ora, aqui interessa resolver equação em ordem a x (é a incógnita, o valor desconhecido) Assim, é muito fácil dar a resposta. x  6 y O comprimento é 4. x  62  x  4
  6. 6. Mas, se a pergunta fosse: Sabendo que o comprimento, x , do rectângulo é 3, qual é a largura? Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y. y  6 x y  63  y  3Se se pretende determinar o comprimento do rectângulo, então, interessaresolver a equação em ordem a x. Por outro lado, se se quisesse saber asua largura, neste caso, já interessava resolver a equação em ordem a y.Conclusão:Uma equação literal resolve-se em ordem a uma das letras (variável)que se considera a incógnita (valor desconhecido). As outras letrasfuncionam como números (valores dados).As regras já conhecidas para resolver equações são também aplicáveisna resolução de equações literais.
  7. 7. Assim, a equação tem uma A=100 m2 l infinidade de soluções. cc  100  l  1 c  l  100 mas,c  50  l  2 c  l  100 mas, c  25  l  4 c  l  100 mas,c  20  l  5 c  l  100 mas, c  12,5  l  8 c  l  100 …
  8. 8. Equações do 1.º grau com duas incógnitas. ax+by=c; a, b e c As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de números. x+2y=9 S=(1,4) Uma solução S=(0, 9/2) Outra solução Quantas soluções têm? Estas equações têm uma infinidade de soluções ou nenhuma (no caso de a=0, b=0 e c ). Cuidado: No contexto deRelacionar com as funções afins, reta, problemas nem sempretodos os pontos que estão sobre a todas as soluçõesreta são soluções da equação. servem. Dar ex.
  9. 9. Exemplo II A equação E=mc2 em que: E- energia m- quantidade de matéria c- velocidade da luzDescoberta de Einstein apontava para a possibilidade de se obterem grandesquantidades de energia a partir de pequenas quantidades de matéria. A bombaatómica é um dos frutos desta equação.Resolve a equação em ordem a m e depois em ordem a c. EE  mc  2 E  mc  c   2 2 m E mc 2 E 2  2 m 2 E c c c c m Resolvida em ordem a m. Resolvida em ordem a c.
  10. 10. Exemplo IIIA fórmula V=c.l.h serve para determinar o volume de uma caixa de cereais.Resolve a equação em ordem a c.Neste caso, c é a incógnita.Para isolar c divide-se ambos os membros por lh e depois simplifica-se. V c.l.h   lh lh  c V lh
  11. 11. Exemplo IVResolve a equação em ordem a h.Neste caso, a incógnita é a letra h, as outras letras funcionam como se fossemnúmeros. A B  b   hA área de um trapézio é dada pela fórmula 2 Bb  h  2 A  B  b h  h  2A A 2 Bb Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B (base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo: Determina h, sabendo que A=10 cm2, B=4 cm e b=1 cm. 2 10 h  4 cm 4 1
  12. 12. Exercícios: 1. Resolve em ordem a x, a equação 5  y  1   x y 3 2 Neste caso a incógnita é x. A letra y “funciona” como um número. 5  y  1   x  y 1.º Tiram-se os parênteses 3 2 2.º Tiram-se os denominadores 5 5 y  y   x  3.º Isolam-se os termos com a incógnita 3 3 2 6  (pretendida) num dos membros 2  2  3  4.º Reduzem-se os termos semelhantes  10 y  10  3 y  6 x  5.º Determina-se o valor da incógnita,  6 x  7 y  10  quando são dados os valores das outras variáveis. 7 y  10 x A equação está resolvida em ordem a x. 6
  13. 13. 2. Resolver a mesma equação em ordem a y. 5  y  1   x y 3 2 5 y  y  1   x  3 2 5 5 y  y   x  3 3 2  6   2   2   3   10 y  10  3 y  6 x   10 y  3 y  10  6 x   7 y  10  6 x  10  6 x  y 7
  14. 14. 3. C F  32Em Física, a fórmula  estabelece a correspondência entre C (graus 5 9Celsius) e F (graus Fahrenheirt). A Isabel está doente. A sua temperatura é102,2ºF. Qual é a sua temperatura em ºC?Processo 1: Substitui-se F por 102,2 e resolve-se a equação em ordem a C. C 102,2  32 C 70,2     9C  351  C  39 5 9 5 9 9  5 Processo 2: Começa-se por resolver a equação em ordem a C. C F  32 5F  160   9C  5F  160  C  5 9 9 Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas: 5 102,2  160C  39 R.: A Isabel tem de temperatura 39 ºC. 9
  15. 15. Tarefa 3 página137 139 exercício 9 10 e 11

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