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Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
    1. Rectas Paralelas
           r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ
           s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ


                                                      Se as rectas são paralelas
                r
                v ( v1 , v2 , v3 )                    os vectores directores são
                                                              colineares
                                                       r    r
                                 r                     v = ku
           r                     u ( u1 , u2 , u3 )     ou seja:
                 s
                                                            v1 v2 v3
                                                              = =
                                                            u1 u2 u3
Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo 1
                r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
                s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( −6, −4, 2 ) , k ∈ℜ
                 • São paralelas porque os vectores
                    r               r
                    v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 )
                    são colineares
                   r     r    3   2 −1
                   u = −2v ⇔    =  =
                             −6 −4 2


Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo 2
                r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
                     x −3 y + 2 z −3
                s →          =         =
                      −6          −4         2
                 • São paralelas porque os vectores
                    r               r
                    v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 )
                    são colineares
                    r     r    3   2 −1
                    u = −2v ⇔    =  =
                              −6 −4 2


Jorge Freitas
 ESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
   2. Rectas Perpendiculares
           r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ
          s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ


                                                 Se as rectas são perpendiculares
                                                    os vectores directores são
        r
        v ( v1 , v2 , v3 )      r                        perpendiculares
                                u ( u1 , u2 , u3 )    r r
                                                      v× =0
                                                        u
                                                        ou seja:
         r                                             v1u1 + v2u2 + v3u3 = 0
                                         s
Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo 1
                r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
                s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( 1, 0,3) , k ∈ℜ

                 • São perpendiculares porque os vectores
                       r               r
                       v ( 3, 2, −1) e u ( 1, 0,3)
                   são perpendiculares
                   r r
                   u ×v = 0 ⇔ 3 × 1 + 2 × 0 + ( −1) × 3 = 0




Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo 2
            r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
                  x −3 z −3
                            =
             s → 2               6
                   y = −3
                  
                • São perpendiculares porque os vectores
                 r               r
                 v ( 3, 2, −1) e u ( 2, 0, −6 )
                  são perpendiculares
                  r r
                  u ×v = 0 ⇔ 3 × 2 + 2 × 0 + ( −1) × 6 = 0




Jorge Freitas
 ESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
    1. Planos Paralelos
          α → ax + by + cz + d = 0
          β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
                r
                v (a, b, c)
                                                 Se os planos são paralelos
           α                                    os vectores perpendiculares
                                                 aos planos são colineares
                              r                      r    r
                              u (a′, b′, c′ )        v = ku
                                                  ou seja:
            β
                                                         a b c
                                                            = =
                                                         a ′ b′ c ′
Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo

            α → x − 3y + 2z − 7 = 0
            β → −2 x + 6 y − 4 z + 5 = 0
                • São paralelos porque os vectores
                   r                r
                   v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, 6, −4 )
                  são colineares
                 r     r   1 −3 2
                 u = −2v ⇔   = =
                           −2 6 −4


Jorge Freitas
 ESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
  2. Planos Perpendiculares
          α → ax + by + cz + d = 0
          β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0

                    r                        Se os planos são perpendiculares
                    u (a′, b′, c′ )           os vectores perpendiculares aos
                                            planos são perpendiculares entre si
                                      r
                                      v (a, b, c)
                                                         rr
                                                         v .u = 0
                                                         ou seja:
                                           α
                                                          aa′ + bb′ + cc′ = 0
Jorge Freitas
                β
 ESAS 2006
Exemplo

            α → x − 3y + 2z − 7 = 0
            β → −2 x − 2 y − z + 5 = 0
                • Os planos são perpendiculares porque os vectores
                  r                r
                  v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, −2, −1)
                  são perpendiculares
                r r
                u ×v = 0 ⇔ 2 × ( −2 ) + ( −3) × ( −2 ) + 2 × ( −1) = 0 ⇔
                r r
                u ×v = 0 ⇔ −4 + 6 − 2 = 0


Jorge Freitas
 ESAS 2006
Perpendicularidade de Rectas e Planos
   α → ax + by + cz + d = 0
        x − x1 y − y1 z − z1
    r →       =      =
          v1     v2     v3
                                                     Se a recta é perpendicular ao
                                                      plano, é paralela ao vector
                r                                       perpendicular ao plano
                v (v1 , v2 , v3 )   r                     r r       r    r
                                    u ( a , b, c )        v // u ou v = ku
                                                           ou seja:
                                                             v1 v2 v3
                                          α                    = =
                                                             a b c
Jorge Freitas
                               r
 ESAS 2006
Exemplo

            α → x − 3y + 2z − 7 = 0
                r → ( x, y, z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, −6, 4 ) , λ ∈ℜ

                 • A recta é perpendicular ao plano porque os vectores
                      r                r
                      v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, −6, 4 )
                    são colineares (ou paralelos)
                      r    r  1 −3 2
                      u = 2v ⇔ =  =
                              2 −6 4


Jorge Freitas
 ESAS 2006
Paralelismo de Rectas e Planos
           α → ax + by + cz + d = 0
                x − x1 y − y1 z − z1
            r →       =      =
                  v1     v2     v3
                                                                    Se a recta é paralela ao plano,
                                                                      é perpendicular ao vector
                               r                                        perpendicular ao plano
                               v (v1 , v2 , v3 )   r                     r r      r r
                                                   u ( a , b, c )        v ⊥ u ou v × = 0
                                                                                     u
                                                                           ou seja:

                                                         α                aa′ + bb′ + cc′ = 0

EscolaJorge Freitas
       Secundária Alberto Sampaio
 Jorge Manuel 2006
       ESAS Carneiro de Freitas
           Março 2006
Exemplo

            α → x − 3y + 2z − 7 = 0
                r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, 2, 2 ) , λ ∈ℜ

                • A recta é paralela ao plano porque os vectores
                     r                r
                     v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, 2, 2 )
                   são perpendiculares
                 r r
                 u ×v = 0 ⇔ 1× 2 + ( −3) × 2 + 2 × 2 = 0 ⇔
                 r r
                 u ×v = 0 ⇔ 2 − 6 + 4 = 0


Jorge Freitas
 ESAS 2006
Intersecção de planos



Jorge Freitas
 ESAS 2006
Posição relativa de 3 planos

           α → ax + by + cz + d = 0
           β → a′x + b′y + c′z + d ′ = 0
           γ → a′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0          r
                                                      w (a′ , b′ , c′ )

                   r
                   v (a, b, c)                  γ
                                        r
                                        u (a′ , b′ , c′ )
                                 α
Jorge Freitas
                                          β
 ESAS 2006
A intersecção de três planos obtém-se
          resolvendo o sistema:


                ax + by + cz + d = 0
                
                a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
                a ′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0
                

Jorge Freitas
 ESAS 2006
r r r
                                                        v, u e w
                                             não são colineares
   Sistema possível
   e determinado.                       r
                                        w (a′ , b′ , c′ )
                                                        γ
                                                A

  A solução é                                                   r
                      r                                         v ( a , b, c )
   (x0,y0,z0)         u (a′, b′, c′ )
(coordenadas
 do ponto A)
                                              β             α
Jorge Freitas
 ESAS 2006
Os 3 planos intersectam-se
num ponto. O sistema
é possível e determinado.         r
                                  w ( a ′ , b′ , c ′ )

  A solução é                          γ
   (x0,y0,z0)                    A
                                         r
(coordenadas      r                      u (a′, b′, c′ )
                  v (a, b, c)
 do ponto A)
                                      α
                          β
                                       r r r
                                       v, u e w
                                não são colineares
Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo

                 x + 2 y − z + 6 = 0
                 
                 3 x + y + z = 4
                 x − 3y − 2z = 1
                 
                • Os três planos intersectam-se num ponto.
                • O sistema tem solução
                 x = 1        Resolver o sistema:
                 
                  y = −2      • na calculadora
                               • método da substituição
                 z = 3
                              • método da redução



Jorge Freitas
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r r r
                                                      v, u e w
   Os três planos                        não são colineares
   intersectam-se segundo
   uma recta.                                     r
   O sistema
   é possível e                             γ      r
                          r                        u ( a ′ , b′ , c ′ )
   indeterminado.         v ( a , b, c )
                                                 r
                                                 w ( a ′ , b′ , c ′ )
                                                                  β
As soluções são
todos os pontos da recta r
                                                    α
Jorge Freitas
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Exemplo

                   x + 2 y − 3z = −6
                  
                  2 x − y − z = 3
                   x + y − 2 z = −3
                  
                • Os três planos intersectam-se numa recta.
                • O sistema é indeterminado

                z = x                    x−0 y +3 z −0
                          ⇔ x = y+3= z ⇔    =    =
                z = y + 3                 1    1    1




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Dois dos planos são                                       r r
coincidentes.                                             u // w
O sistema
é possível e
indeterminado.      r                      γ
                    w ( a ′ , b′ , c ′ )
                                                                     r
As soluções                                    r
                                               u (a′, b′, c′ )   β
são as coordenadasr
                  v (a, b, c)
de cada um dos
pontos da recta r
                                 α
Jorge Freitas
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Exemplo

                 x + 2 y − 3z = −6
                
                2 x + 4 y − 6 z = −12
                 x + y − 2 z = −3
                
                • Dois dos planos são coincidentes
                • Os três planos intersectam-se numa recta.
                • O sistema é indeterminado
                z = x                     x−0 y +3 z −0
                          ⇔ x = y +3= z ⇔    =    =
                z = y + 3                  1    1    1




Jorge Freitas
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Os 3 planos são                                          r r r
coincidentes                                             v // u // w
O sistema é
indeterminado
                                      r
Qualquer ponto destes                 u (a′, b′, c′ )
planos é solução r
                 v ( a , b, c )
do sistema.                       β     r
                                        w ( a ′ , b′ , c ′ )
                                          γ
                 α
Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo

                 x + 2 y − 3z = −6
                
                2 x + 4 y − 6 z = −12
                − x − 2 y + 3 z = 6
                
                • Os três planos são coincidentes
                • Qualquer ponto de um dos planos pertence também
                  aos outros planos
                • O sistema é indeterminado




Jorge Freitas
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r r r
                                           v // u // w

Os 3 planos são
estritamente                          r
                                      w (a′ , b′ , c′ )
paralelos
                                            γ
                                                     r
Os planos                                            u (a′, b′, c′ )
não se intersectam
                                          β
 O sistema é
 impossível          r
Jorge Freitas
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                     v ( a , b, c )        α
Exemplo

                  x + 2 y − 3 z = −6
                 
                  x + 2 y − 3z = 0
                  x + 2 y − 3z = 5
                 
                • Os três planos estritamente paralelos
                • Os três planos nunca se interceptam
                • O sistema é impossível




Jorge Freitas
 ESAS 2006
r r
                                                         v // u
Dois dos planos são
estritamente                     γ
                 r                                       r
paralelos        w ( a ′ , b′ , c ′ )                    u (a′, b′, c′ )

                                                                 β
Os 3 planos
não se
intersectam                             r                          α
                                        v ( a , b, c )


   O sistema é
   impossível
Jorge Freitas
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Exemplo

                 x + 2 y − 3 z = −6
                
                − x − 2 y + 3 z = 0
                2 x + y − 3 z = 2
                
                • Dois dos planos são estritamente paralelos
                • O terceiro plano intersecta-os segundo rectas
                  paralelas entre si
                 − x + y = −8  y = x −8
                              ⇔
                x − y = 2      y = x − 2
                • O sistema é impossível


Jorge Freitas
 ESAS 2006
r r r
                                                         v, u e w
 Os 3 planos                                  não são colineares
 intersectam-se
 2 a 2 segundo
 rectas
 estritamente
 paralelas
                                            r                 r
                                            u (a′, b′, c′ )   v ( a , b, c )
   O sistema é
                     r
   impossível        w ( a ′ , b′ , c ′ )
                                                                 α

                 γ                                  β
Jorge Freitas
 ESAS 2006
Exemplo

                    x + y + z = 6
                    
                    2 x − y = −1
                    3 x + z = 2
                    
                • Os três planos não são paralelos
                • Os planos interceptam-se dois a dois segundo
                  rectas paralelas
                   3 y + 2 z = −11
                   
                   3 y + 2 z = 16     • O sistema é impossível
                   3 y + 2 z = 7
                   

Jorge Freitas
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F i m

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Interseção planos

  • 1. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas 1. Rectas Paralelas r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ Se as rectas são paralelas r v ( v1 , v2 , v3 ) os vectores directores são colineares r r r v = ku r u ( u1 , u2 , u3 ) ou seja: s v1 v2 v3 = = u1 u2 u3 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 2. Exemplo 1 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( −6, −4, 2 ) , k ∈ℜ • São paralelas porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 ) são colineares r r 3 2 −1 u = −2v ⇔ = = −6 −4 2 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 3. Exemplo 2 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ x −3 y + 2 z −3 s → = = −6 −4 2 • São paralelas porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 ) são colineares r r 3 2 −1 u = −2v ⇔ = = −6 −4 2 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 4. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas 2. Rectas Perpendiculares r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ Se as rectas são perpendiculares os vectores directores são r v ( v1 , v2 , v3 ) r perpendiculares u ( u1 , u2 , u3 ) r r v× =0 u ou seja: r v1u1 + v2u2 + v3u3 = 0 s Jorge Freitas ESAS 2006
  • 5. Exemplo 1 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( 1, 0,3) , k ∈ℜ • São perpendiculares porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( 1, 0,3) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 3 × 1 + 2 × 0 + ( −1) × 3 = 0 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 6. Exemplo 2 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ x −3 z −3  = s → 2 6  y = −3  • São perpendiculares porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( 2, 0, −6 ) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 3 × 2 + 2 × 0 + ( −1) × 6 = 0 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 7. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos 1. Planos Paralelos α → ax + by + cz + d = 0 β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0 r v (a, b, c) Se os planos são paralelos α os vectores perpendiculares aos planos são colineares r r r u (a′, b′, c′ ) v = ku ou seja: β a b c = = a ′ b′ c ′ Jorge Freitas ESAS 2006
  • 8. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 β → −2 x + 6 y − 4 z + 5 = 0 • São paralelos porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, 6, −4 ) são colineares r r 1 −3 2 u = −2v ⇔ = = −2 6 −4 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 9. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos 2. Planos Perpendiculares α → ax + by + cz + d = 0 β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0 r Se os planos são perpendiculares u (a′, b′, c′ ) os vectores perpendiculares aos planos são perpendiculares entre si r v (a, b, c) rr v .u = 0 ou seja: α aa′ + bb′ + cc′ = 0 Jorge Freitas β ESAS 2006
  • 10. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 β → −2 x − 2 y − z + 5 = 0 • Os planos são perpendiculares porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, −2, −1) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 2 × ( −2 ) + ( −3) × ( −2 ) + 2 × ( −1) = 0 ⇔ r r u ×v = 0 ⇔ −4 + 6 − 2 = 0 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 11. Perpendicularidade de Rectas e Planos α → ax + by + cz + d = 0 x − x1 y − y1 z − z1 r → = = v1 v2 v3 Se a recta é perpendicular ao plano, é paralela ao vector r perpendicular ao plano v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r u ( a , b, c ) v // u ou v = ku ou seja: v1 v2 v3 α = = a b c Jorge Freitas r ESAS 2006
  • 12. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 r → ( x, y, z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, −6, 4 ) , λ ∈ℜ • A recta é perpendicular ao plano porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, −6, 4 ) são colineares (ou paralelos) r r 1 −3 2 u = 2v ⇔ = = 2 −6 4 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 13. Paralelismo de Rectas e Planos α → ax + by + cz + d = 0 x − x1 y − y1 z − z1 r → = = v1 v2 v3 Se a recta é paralela ao plano, é perpendicular ao vector r perpendicular ao plano v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r u ( a , b, c ) v ⊥ u ou v × = 0 u ou seja: α aa′ + bb′ + cc′ = 0 EscolaJorge Freitas Secundária Alberto Sampaio Jorge Manuel 2006 ESAS Carneiro de Freitas Março 2006
  • 14. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, 2, 2 ) , λ ∈ℜ • A recta é paralela ao plano porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, 2, 2 ) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 1× 2 + ( −3) × 2 + 2 × 2 = 0 ⇔ r r u ×v = 0 ⇔ 2 − 6 + 4 = 0 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 15. Intersecção de planos Jorge Freitas ESAS 2006
  • 16. Posição relativa de 3 planos α → ax + by + cz + d = 0 β → a′x + b′y + c′z + d ′ = 0 γ → a′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0 r w (a′ , b′ , c′ ) r v (a, b, c) γ r u (a′ , b′ , c′ ) α Jorge Freitas β ESAS 2006
  • 17. A intersecção de três planos obtém-se resolvendo o sistema: ax + by + cz + d = 0  a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0 a ′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0  Jorge Freitas ESAS 2006
  • 18. r r r v, u e w não são colineares Sistema possível e determinado. r w (a′ , b′ , c′ ) γ A A solução é r r v ( a , b, c ) (x0,y0,z0) u (a′, b′, c′ ) (coordenadas do ponto A) β α Jorge Freitas ESAS 2006
  • 19. Os 3 planos intersectam-se num ponto. O sistema é possível e determinado. r w ( a ′ , b′ , c ′ ) A solução é γ (x0,y0,z0) A r (coordenadas r u (a′, b′, c′ ) v (a, b, c) do ponto A) α β r r r v, u e w não são colineares Jorge Freitas ESAS 2006
  • 20. Exemplo x + 2 y − z + 6 = 0  3 x + y + z = 4 x − 3y − 2z = 1  • Os três planos intersectam-se num ponto. • O sistema tem solução x = 1 Resolver o sistema:   y = −2 • na calculadora • método da substituição z = 3  • método da redução Jorge Freitas ESAS 2006
  • 21. r r r v, u e w Os três planos não são colineares intersectam-se segundo uma recta. r O sistema é possível e γ r r u ( a ′ , b′ , c ′ ) indeterminado. v ( a , b, c ) r w ( a ′ , b′ , c ′ ) β As soluções são todos os pontos da recta r α Jorge Freitas ESAS 2006
  • 22. Exemplo  x + 2 y − 3z = −6  2 x − y − z = 3  x + y − 2 z = −3  • Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado z = x x−0 y +3 z −0  ⇔ x = y+3= z ⇔ = = z = y + 3 1 1 1 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 23. Dois dos planos são r r coincidentes. u // w O sistema é possível e indeterminado. r γ w ( a ′ , b′ , c ′ ) r As soluções r u (a′, b′, c′ ) β são as coordenadasr v (a, b, c) de cada um dos pontos da recta r α Jorge Freitas ESAS 2006
  • 24. Exemplo  x + 2 y − 3z = −6  2 x + 4 y − 6 z = −12  x + y − 2 z = −3  • Dois dos planos são coincidentes • Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado z = x x−0 y +3 z −0  ⇔ x = y +3= z ⇔ = = z = y + 3 1 1 1 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 25. Os 3 planos são r r r coincidentes v // u // w O sistema é indeterminado r Qualquer ponto destes u (a′, b′, c′ ) planos é solução r v ( a , b, c ) do sistema. β r w ( a ′ , b′ , c ′ ) γ α Jorge Freitas ESAS 2006
  • 26. Exemplo  x + 2 y − 3z = −6  2 x + 4 y − 6 z = −12 − x − 2 y + 3 z = 6  • Os três planos são coincidentes • Qualquer ponto de um dos planos pertence também aos outros planos • O sistema é indeterminado Jorge Freitas ESAS 2006
  • 27. r r r v // u // w Os 3 planos são estritamente r w (a′ , b′ , c′ ) paralelos γ r Os planos u (a′, b′, c′ ) não se intersectam β O sistema é impossível r Jorge Freitas ESAS 2006 v ( a , b, c ) α
  • 28. Exemplo  x + 2 y − 3 z = −6   x + 2 y − 3z = 0  x + 2 y − 3z = 5  • Os três planos estritamente paralelos • Os três planos nunca se interceptam • O sistema é impossível Jorge Freitas ESAS 2006
  • 29. r r v // u Dois dos planos são estritamente γ r r paralelos w ( a ′ , b′ , c ′ ) u (a′, b′, c′ ) β Os 3 planos não se intersectam r α v ( a , b, c ) O sistema é impossível Jorge Freitas ESAS 2006
  • 30. Exemplo  x + 2 y − 3 z = −6  − x − 2 y + 3 z = 0 2 x + y − 3 z = 2  • Dois dos planos são estritamente paralelos • O terceiro plano intersecta-os segundo rectas paralelas entre si  − x + y = −8 y = x −8  ⇔ x − y = 2 y = x − 2 • O sistema é impossível Jorge Freitas ESAS 2006
  • 31. r r r v, u e w Os 3 planos não são colineares intersectam-se 2 a 2 segundo rectas estritamente paralelas r r u (a′, b′, c′ ) v ( a , b, c ) O sistema é r impossível w ( a ′ , b′ , c ′ ) α γ β Jorge Freitas ESAS 2006
  • 32. Exemplo x + y + z = 6  2 x − y = −1 3 x + z = 2  • Os três planos não são paralelos • Os planos interceptam-se dois a dois segundo rectas paralelas 3 y + 2 z = −11  3 y + 2 z = 16 • O sistema é impossível 3 y + 2 z = 7  Jorge Freitas ESAS 2006
  • 33. F i m Jorge Freitas ESAS 2006