Resolução - P1 - Modelo A - Geometria Analítica

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Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo A.

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Resolução - P1 - Modelo A - Geometria Analítica

  1. 1. 1ª Avaliação de Geometria Analítica (Resolução)1. Seja um paralelogramo ABCD. Seja E um ponto colinear à B e C tal que C estejaentre B e E, e tal que a distância de B à C é duas vezes a distância de C à E. Seja F aintersecção de DC com AE. Sejam ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Escreva ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ em função dee ⃗.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à ⃗⃗⃗⃗⃗ , então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Como ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗Observe que os triângulos ADF e CEF são semelhantes. Logo, a seguinte relação éválida. |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |Como |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | e ⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à ⃗⃗⃗⃗⃗ , então |⃗⃗⃗⃗⃗ | . Logo, |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗2. Temos ⃗ ⃗ e ⃗ . Os vetores ⃗ e ⃗ são LI ou LD?Justifique suas afirmações.⃗ pode ser escrito como combinação linear de e ⃗ , então { ⃗ ⃗ } é LD e ⃗ ⃗ sãocoplanares. Com raciocínio análogo, concluímos que { ⃗ } é LD e ⃗ sãocoplanares. Então ⃗ e são também coplanares.O resultado do produto vetorial de dois vetores é um vetor simultaneamente ortogonal aambos. Como ⃗ e estão no mesmo plano, seu produto vetorial será um vetor ortogonal
  2. 2. ao plano. e ⃗ também estão no mesmo plano de ⃗ e , então, seu produto vetorial seráum vetor ortogonal ao mesmo plano.Assim, ⃗ e ⃗ são paralelos, e, portanto, LD.3. Determine as equações paramétricas, simétricas e reduzida em x da reta que passapela origem e é perpendicular ao plano determinado pelos pontos ,e .Os vetores diretores do plano são ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ .O vetor diretor da reta r é normal ao plano, então é simultaneamente ortogonal a ⃗⃗⃗⃗⃗ e⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗ | | ⃗A origem pertence à reta, então as equações paramétricas são:Equação simétrica:Multiplicando-se todos os termos por -13:4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B onde , e .Escrevendo r na forma paramétrica, temos:Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma ( ⁄ ), pois Ppertence à reta.Pela condição do problema, devemos ter . |⃗⃗⃗⃗⃗ | √ ( )
  3. 3. |⃗⃗⃗⃗⃗ | |( )| √ ( ) √ ( ) √ ( )Não existe ponto pertencente a r que equidiste de A e B.

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