Resolução - P1 - Modelo B - Geometria Analítica

3.708 visualizações

Publicada em

Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo B.

Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

Publicada em: Tecnologia
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.708
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
144
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Resolução - P1 - Modelo B - Geometria Analítica

  1. 1. 1ª Avaliação de Geometria Analítica (Resolução)1. Seja o triângulo ABC onde M é o ponto médio de BC e D é o ponto sobre o segmentoAC tal que a distância de D à A é quatro vezes a distância de D à C. Seja E a intersecçãode AM com BD. Se ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , escreva o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ em função de e ⃗ . C D M E A Bi) Reescrevendo o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗Somando as equações acima temos: ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (1)ii) Reescrevendo o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (2)iii) Observando a figura, tiramos as relações:⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3)Substituindo (1) em (3): ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ (4)⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (5)Substituindo (2) em (5):⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗) ⃗ (6)iv) Observando a figura, tiramos as relações:⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
  2. 2. Então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (7)⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗Então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (8)v) Efetuando os cálculosSubstituindo as equações (4) e (6) nas equações (7) e (8), obtemos o seguinte sistema deequações vetoriais: ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗A primeira equação do sistema só é satisfeita se:Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:Substituindo na primeira equação:A segunda equação do sistema só é satisfeita se:Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:Substituindo na primeira equação:
  3. 3. Como esperado, para as duas equações foi encontrado o mesmo valor para e para .Substituindo na equação (4), encontramos a solução para o problema. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( )2. Seja o paralelepípedo formado pelos três vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e⃗⃗⃗⃗⃗ . Determine o(s) valor(es) de a de modo que o volume desseparalelepípedo seja 11 u.v.O volume do paralelepípedo formado pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ é dado pelo módulodo produto misto dos três vetores.[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | | |3. Dados e , determine as equações paramétricas,simétricas e reduzida em z da reta que passa por A e B. Também determine os pontosonde essa reta intercepta os planos coordenados xy, xz e yz.⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor da reta e A pertence à ela.⃗⃗⃗⃗⃗Equações paramétricas:Equações simétricas:Equação reduzida em z:Multiplicando todas as partes da dupla igualdade acima, obtemosSubtraindo 5 unidades, temos
  4. 4. A reta intercepta o plano xy quando .Substituindo na última equação paramétrica, obtemos . Então, o ponto deintersecção é ( ).A reta intercepta o plano xz quantoEntão . Substituindo nas equações, obtém-se .A reta intercepta o plano yz quando .Neste caso , então ( ).4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B onde .Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma , pois Ppertence à reta.Pela condição do problema, devemos ter . |⃗⃗⃗⃗⃗ | | | √ |⃗⃗⃗⃗⃗ | | | √ √ √Logo, a condição se satisfaz com qualquer valor de t. Portanto, todos os pontos de r sãoequidistantes de A e B.

×