1.
Inequações do 1º grau
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
Como encontrar todas as soluções possíveis de um problema? ..................................... 1
Desigualdade ................................................................................................................... 1
Propriedades das desigualdades ...................................................................................... 3
Princípios de equivalência das desigualdades ................................................................ 3
Princípio aditivo da desigualdade ............................................................................ 3
Princípio multiplicativo da desigualdade ................................................................. 4
Inequação ........................................................................................................................ 4
Inequação do 1º grau com uma incógnita ....................................................................... 6
Referências bibliográficas............................................................................................... 9

2.
1
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Como encontrar todas as soluções possíveis de um problema?
A velocidade máxima permitida aos automóveis nas ruas da cidade é de
60 km/h. Isto significa que eles podem se deslocar com velocidades que variam
num intervalo entre 0 e 60 km/h. Como nesse exemplo, são muitas as situações
na vida quantificadas por um intervalo numérico e não por um número apenas.
Estas situações podem ter várias alternativas. Responder com apenas um número
não está errado, mas também não é totalmente correto. Para encontrar todas as
soluções possíveis - o intervalo numérico (ou intervalos numéricos) -, os
matemáticos criaram as inequações.
Desigualdade
Observe as gangorras e as sentenças matemáticas:
A sentença matemática da esquerda é expressa por uma igualdade. Já a sentença
matemática da direita é expressa por uma desigualdade. A desigualdade é uma
sentença matemática em que aparece um destes sinais:
> Maior que
< Menor que
≥ Maior que ou igual a
≤ Menor que ou igual a
≠ Diferente

3.
2
Para que ocorra uma desigualdade em uma sentença matemática é preciso que
haja uma diferença:
a >b
a≠b
a<b
Assim como nas igualdades, chamamos de 1º membro a expressão que está à
esquerda do sinal de desigualdade e de 2º membro a expressão que está à direita
do sinal de desigualdade.
Exemplos:
100
22
{ > −1
{ 5+3
{ <
1o membro 2 o membro 1o membro {2
2 o membro
EXERCÍCIOS A
(1) Indique as sentenças que representam uma desigualdade:
a) 2 + 1 > −1 d) 12 + 12 ≥ 1
2
1 1
b)   = e) 5 − 10 < 0
 3 9
3
c) − 1 ≠ −1 f) n − 1 = 0
4
(2) Qual é o primeiro membro da desigualdade 52 + 22 < (5 + 2) 2 ?
(3) Identifique o 1º membro e o 2º membro em cada uma das seguintes
desigualdades:
2
a) 1 − 4 x < x +
3
x x 1
b) −1 > +
2 3 6

4.
3
Propriedades das desigualdades
Não valem para as desigualdades as propriedades reflexiva e simétrica, ou seja:
⇒ a > a ou a < a são sentenças falsas.
⇒ Se a > b , então b > a ou se a < b , então a < b são sentenças falsas.
Porém, vale para as desigualdades a propriedade transitiva:
⇒ Se a > b e b > c , então a > c ou se a < b e b < c , então a < c .
Princípios de equivalência das desigualdades
Os princípios de equivalência estabelecidos para uma desigualdade facilitam a
resolução de inequações.
Primeiro vamos observar que:
• os sinais < e < têm o mesmo sentido;
• os sinais > e > têm o mesmo sentido;
• os sinais < e > têm sentidos opostos;
• os sinais > e < têm sentidos opostos.
Princípio aditivo da desigualdade
Veja o que acontece quando adicionamos um mesmo número aos dois membros
de uma desigualdade:
Percebemos que, ao adicionar um mesmo número aos dois membros de uma
desigualdade, obtemos outra desigualdade de mesmo sentido.

5.
4
Princípio multiplicativo da desigualdade
Agora veja o que acontece quando multiplicamos por um mesmo número os dois
membros de uma desigualdade:
Ao multiplicar os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número:
• positivo, obtemos outra desigualdade de mesmo sentido;
• negativo, obtemos outra desigualdade de sentido contrário;
• zero, obtemos uma igualdade (0 = 0).
EXERCÍCIOS B
(1) Sendo x − 1 < 10 , é correto escrever x − 1 + 1 < 10 + 1 ? Em caso afirmativo,
qual o princípio de equivalência que você usou?
(2) Dada a desigualdade 3 x < 12 , podemos dizer que x < 4 ? Em caso afirmativo,
qual o princípio de equivalência que aplicamos?
(3) Dada a desigualdade − x < 7 , pelo princípio multiplicativo podemos
multiplicar os dois membros por − 1 . Qual é a nova desigualdade obtida?
Inequação
Consideremos a seguinte situação:
► Um retângulo tem x metros de comprimento e y metros de largura, enquanto
um triângulo eqüilátero tem 3 m de lado. Qual a sentença matemática que
podemos escrever para expressar o fato de o perímetro do retângulo ser maior
que o perímetro do triângulo eqüilátero?
Vamos fazer um desenho de acordo com os dados da situação:

6.
5
Sendo p1 o perímetro do retângulo e p2 o perímetro do triângulo eqüilátero,
temos:
p1 = 2 x + 2 y e p2 = 9
Como, de acordo com a situação, devemos ter p1 > p2, a sentença matemática
pedida é:
2x + 2 y > 9
Toda sentença matemática que contém um ou mais elementos desconhecidos e
que representa uma desigualdade é denominada inequação.
Não são inequações:
• 52 + 5 > 33 − 2 → Embora seja desigualdade, não possui elemento desconhecido
• 3 x + 1 = 45 − 4 x → É uma equação
EXERCÍCIOS C
(1) A sentença matemática 3 x − 2 < 1 é uma inequação? Justifique sua resposta.
(2) Por que a sentença (2 + 10) : (2 + 4) < 2 + 10 : 2 + 4 não é uma inequação?
(3) Indicando por x o número de letras de uma palavra, verifique se a inequação
x < 5 pode ser aplicada à palavra:
a) matemática d) área
b) zero e) quadrado
c) lado f) par

7.
6
(4) A medida do lado de um quadrado é x metros, enquanto os lados de um
retângulo medem 7 m e 3 m, Escreva uma inequação que represente o fato de o
perímetro do quadrado ser maior que o perímetro do retângulo.
(5) Em um recipiente cabem x litros de um líquido. Se retirarmos 3 litros de água
desse recipiente sobra menos da metade da capacidade do recipiente. Escreva
uma inequação que represente esse fato.
Inequação do 1º grau com uma incógnita
Denomina-se inequação do 1º grau com uma incógnita toda inequação que,
sofrendo transformações oportunas, assume uma das seguintes formas: ax > b ,
ax < b , ax ≥ b , ax ≤ b , com a ≠ 0.
Assim, são inequações do 1º grau com uma incógnita:
• 3x > 1 → incógnita x
• 2 y < 30 → incógnita y
• 5t ≥ 10 → incógnita t
• − 3 p ≤ −60 → incógnita p
Resolver uma inequação do 1º grau com uma incógnita significa determinar os
valores do conjunto universo que verificam a desigualdade dessa inequação.
Exemplos:
a) Vamos resolver a inequação 7 x + 6 > 4 x + 7 , sendo U = .
7x + 6 > 4x + 7
7x − 4x > 7 − 6
3x > 1
1
x>
3
1
Da inequação x > , podemos dizer que todos os números racionais maiores que
3
1
formam o conjunto solução de inequação dada, que representamos por:
3
1
S= ∈ / >
3

8.
7
x 1 2 − 3x
b) Resolver a inequação ≤ − , sendo U = .
2 4 5
x 1 2 − 3x
≤ −
2 4 5
10 x 5 − 4 ⋅ (2 − 3 x)
≤
20 20
10 x ≤ 5 − 4 ⋅ (2 − 3 x)
10 x ≤ 5 − 8 + 12 x
10 x − 12 x ≤ −3
− 2 x ≤ −3 (−1)
2x ≥ 3
3
x≥
2
3
Todo número racional maior ou igual a faz parte do conjunto solução da
2
inequação dada, ou seja:
3
S= ∈ / ≥
2
c) Verificar se os números racionais −9 e 6 fazem parte do conjunto solução da
inequação 5 x − 3 ⋅ ( x + 6) > x − 14 .
Vamos inicialmente resolver a inequação dada.
5 x − 3 ⋅ ( x + 6) > x − 14
5 x − 3 x − 18 > x − 14
2 x − x > −14 + 18
x>4
Vamos agora fazer a verificação.
• para o número −9, temos: x > 4 → − 9 > 4 (sentença falsa)
• para o número 6, temos: x > 4 → 6 > 4 (sentença verdadeira)
Então, o número 6 faz parte do conjunto solução da inequação, enquanto o
número −9 não faz parte desse conjunto.

9.
8
EXERCÍCIOS D
(1) Determine o conjunto solução para cada uma das seguintes inequações,
sendo U = .
a) x + 15 > 21
b) 7 x − 28 > 6 x − 23
c) 5 ⋅ ( x − 2) + 5 x < 3 ⋅ ( x − 15)
x −1 x
d) >1+
2 3
x
e) > 2 ⋅ (1 − x)
2
1 x
(2) O número 3 pertence ao conjunto solução da inequação ⋅ ( x − 2) < − 1 ?
3 2

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Referências bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo:
Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
Paulo: Scipione, 2006.
KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em:
<http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 15 de setembro de 2008.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
PROGRAMA EDUCAR. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br>. Acesso em:
19 de setembro de 2008.