Estudos de Sistemas Lineares (de três equações e três incógnitas): Posições relativas entre três planos no espaço, classificação dos sistemas, resolução algébrica e construção dos gráficos através do software WinPlot.

1. Simone de Freitas de Souza
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
IME - Instituto de Matemática e Estatística
LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino

2. A dificuldade comum na aprendizagem da
Geometria Analítica, que é a junção da Álgebra
com a Geometria, é a interpretação e análise
visual, pois o desconhecimento de propriedades
de geometria plana e espacial prejudica a
compreensão dos tópicos relacionados a essa
disciplina. A falta desses conhecimentos
fundamentais também pode acarretar
dificuldades na visualização de objetos
geométricos. (MOTA et LAUDARES, 2013).

3. A imagem mental está associada à visualização
dos objetos.
OBJETO GEOMÉTRICO
(Gravina, 1996)
componente conceitual:
expressa propriedades
que caracterizam uma
classe de objetos.
componente figural:
corresponde à
imagem mental que
associamos ao
conceito.

4. Estudos de Sistemas Lineares (de três equações
e três incógnitas):
 Posições relativas entre três planos no espaço
 Classificação dos sistemas
 Resolução algébrica
 Construção dos gráficos através do software
WinPlot, programa freeware (gratuito), que
executa no Windows (disponível para
download em:
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html)

5.  Associar cada uma das três equações do sistema linear a um
gráfico do plano no R³.
 Construir o gráfico das equações no WinPlot, definindo cada
plano de equação ax+by+cz+d=0 por um ponto (k,m,n) do plano
(quaisquer conjuntos de valores para as coordenadas x, y e z que
satisfaçam a equação) e um vetor perpendicular a ele (a, b, c).
 Visualizar os três gráficos juntos e classificar o sistema em Sistema
Possível e Determinado, Sistema Possível e Indeterminado ou
Sistema Impossível.
 Comparar o resultado visualizado (geométrico) com o resultado
algébrico do sistema resolvido.
 Apurar a visão geométrica espacial do aluno.
 Associar a construção da figura espacial ao seu conceito pela
observação e manipulação do gráfico no WinPlot.
 O aluno deverá fazer plotagem dos gráficos no aplicativo
computacional Winplot e, através de suas observações, classificar
o sistema dado, de acordo com suas interseções.

6.  O objetivo é articular a teoria com a prática, por
meio de construções geométricas com a função
de gerar o pensamento que interpreta a álgebra
visualmente para que possa atribuir significado
a um conceito e, aos poucos, produzir
generalizações através das regularidades.
 A compreensão do conceito é melhor obtida na
busca da ampliação do pensamento
geométrico.
 Através dos questionamentos, da investigação
da solução e das comparações que os
estudantes fazem que o conhecimento é
construído e novas descobertas feitas.

7. Segundo ano do Ensino Médio, quarto bimestre.
No estudo dos diferentes tipos de soluções
algébricas dos sistemas lineares de três
equações e três incógnitas e suas classificações.

8. USANDO A FERRAMENTA COMPUTACIONAL
Como construir o gráfico do plano no WinPlot?
Siga os passos dados para cada sistema abaixo,
composto pelo conjunto das equações de três planos:

9.  Pelo aplicativo WinPlot, acione a opção JANELA, 3-
Dim encontre a opção de construção do gráfico do
plano na aba Equação e plano.
 Represente graficamente os três planos dados de cada
sistema da seguinte forma:
-Informe os parâmetros a, b e c (vetor perpendicular ao
plano) da forma ax+by+cz+d=0
-Complete (k, m, n), um ponto pertencente ao plano, isto
é, quaisquer valores de x, y e z que satisfaçam a
equação dada.
- Altere o tamanho do quadrado para 100 (ou mais,
quando necessário para visualizar as interseções).
 Após plotar os três gráficos juntos, classifique como
Sistema Possível e Determinado, Sistema Possível e
Indeterminado ou Sistema Impossível (visualmente, de
acordo com suas posições).
 Verifique algebricamente a sua solução e compare.

10. I. Após a verificação algébrica e a construção
geométrica para determinar a classificação de
cada sistema, qual o método preferido por
você? Por que?
II. Sobre o sistema IV, o que se pode observar
sobre as representações gráficas desses planos?
O que há em comum nas suas equações?
III. Qual a equação geral do plano que possui as
mesmas características daquelas representadas
no sistema IV?

11. APROFUNDANDO UM POUCO MAIS...
IV. Quantas são as posições relativas possíveis
entre três planos?
V. Crie sistemas com as equações lineares que
não foram representadas anteriormente, com
o auxilio do WinPlot.

12. y x
z
SISTEMA 1:
plano{[1,2,3];(1,0,0)}
plano{[1,2,1];(-2,0,0)}
plano{[-2,-4,2];(0,0,0)}
 Sistema Possível e Indeterminado (uma reta na
interseção).

13. x
y
z
plano{[2,1,1];(1,0,0)}
plano{[4,2,2];(0,0,-1)}
plano{[1,1,0];(-1,-1,0)}
SISTEMA 2:
 Sistema Possível e Indeterminado (uma reta na
interseção).

14. x
y
z
plano{[3,1,5];(0,1,0)}
plano{[2,1,2];(0,0,-1)}
plano{[2,-3,1];(0,0,0)}
SISTEMA 3:
 Sistema Possível e Determinado (uma ponto na
interseção).

15. x
SISTEMA 4:
y
z
plano{[1,1,5];(10,0,0)}
plano{[1,1,5];(-21,0,0)}
plano{[1,1,5];(0,0,0)}
 Sistema Impossível (interseção vazia).

16. I. Resposta pessoal.
II. São planos paralelos. Durante a construção do
gráfico no WinPlot é fácil observar que os
valores dos vetores (a,b,c) de cada plano são
iguais, isto é, (a,b,c)=(1,1,5), mas as equações
são distintas.
III. x+y+5z+d=0, d podendo assumir qualquer
valor real.

17. IV. Oito Posições Possíveis para a interseção entre
três planos.
V. Exemplo de soluções:
Sistema Possível e Indeterminado (um plano na
interseção).
x
y
z
plano{[1,1,1];(0,0,1)}
plano{[2,2,2];(0,0,1)}
plano{[3,3,3];(0,0,1)}

18. x
y
z
plano{[1,1,1];(0,0,1)}
plano{[2,2,2];(0,0,1)}
plano{[3,3,3];(0,0,10)}
Sistema Impossível (interseção vazia)

19. x
y
z
plano{[2,1,1];(0,0,0)}
plano{[2,2,2];(0,0,1)}
plano{[3,3,3];(0,0,10)}
Sistema Impossível (interseção vazia)

20. x
y
z
plano{[1,9,1];(0,0,0)}
plano{[1,8,8];(-9,-8,-7)}
plano{[0,0,1];(0,0,2)}
Sistema Impossível (interseção vazia)

21.  O trabalho paralelo das representações algébrica
com a geométrica amplia o entendimento e a
associação no processo de ensino-aprendizagem de
planos e noção do espaço.
 A visualização da figura espacial sempre contribui
para o desenvolvimento do pensamento
geométrico e é fundamental, para o seu domínio, o
esboço detalhado do gráfico em diversas posições.
 O WinPlot facilita a manipulação da figura
espacial, sua rotação, ampliação e diversos meios
de visualização apura o domínio do objeto de
estudo e de suas propriedades, possibilitando uma
melhor interpretação de sua equação e de seus
elementos.

22.  MOTA, J. F.; LAUDARES, J. B. Um Estudo de
Planos, Cilindros e Quádricas, na Perspectiva
da Habilidade de Visualização, com o
Software Winplot. Bolema, Rio Claro (SP), v.
27, n. 46, p. 497-512, ago. 2013
 GRAVINA, M. A. Geometria Dinâmica: Uma
Nova Abordagem para o Aprendizado da
Geometria. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE
INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO, 7., Belo
Horizonte, 1996. Anais... Belo Horizonte: SBC,
1996. p.1-13. CD-ROM.