Apostila de matematica_raiz

MATEMÁTICA COMERCIAL
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MATEMÁTICA
COMERCIAL
BÁSICA
PROF. GERSON LEITE BEZERRA

2
SUMÁRIO
1. OPERAÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA ..........................................................................4
1.1. REGRAS DE SINAIS ...............................................................................................................................................................4
1.1.1. Operações com parênteses, colchetes e chaves................................................................................4
1.1.2. Ordem das operações (multiplicações, divisões, somas e subtrações).............................................5
1.1.3. Abreviações e símbolos....................................................................................................................6
1.1.4. Cálculo de Ticket Médio..................................................................................................................7
1.1.5. Cálculo de Número de Atendimento por dia, semana e mês............................................................8
1.2. PORCENTAGEM .....................................................................................................................................................................8
1.2.1. Taxa percentual................................................................................................................................8
1.2.2. Elementos do cálculo percentual......................................................................................................8
1.2.3. Taxa unitária ....................................................................................................................................9
1.2.4. Exercícios Resolvidos....................................................................................................................10
1.3.5. Exercícios Propostos ......................................................................................................................11
1.3. MÉTODOS COMPARATIVOS...............................................................................................................................................4
1.3.1. Regra de três.....................................................................................................................................4
1.3.2. Comparativo de Desempenho ..........................................................................................................4
1.3.3. Comparativo de Resultados..............................................................................................................4
1.3.4. Exercícios Resolvidos ......................................................................................................................4
1.3.5. Exercícios Propostos ........................................................................................................................5
2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (OU JUROS SIMPLES).........................................................12
3.1. FUNDAMENTO DE JUROS SIMPLES............................................................................................................................... 12
3.2. CÁLCULO DE VALOR DE PARCELAS ............................................................................................................................. 13
3.3. CÁLCULO DE VALOR FINAL MONTANTE PARCELADO..................................................................................... 14
3.3. ENCONTRAR A TAXA DE JUROS..................................................................................................................................... 14
3.3. ENCONTRAR O TEMPO (PERÍODO)DA OPERAÇÃO ................................................................................................... 14
3.3. ENCONTRAR O MONTANTE INICIAL A PARTIR DO VALOR FINAL ........................................................................ 14
3.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS............................................................................................................................................... 14
3.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS................................................................................................................................................. 14
3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (OU JUROS COMPOSTOS) ...........................................12
3.1. FUNDAMENTOS DE JUROS COMPOSTOS ..................................................................................................................... 12
3.1. MÉTODO DE CÁLCULO .................................................................................................................................................... 12
3.1. APLICAÇÃO SOBRE VALOR ROTATIVO DE CARTÃO DE JUROS CRÉDITO ......................................................... 12
3.2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS....................................................................................................................................... 13
3.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ......................................................................................................................................... 14
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ...............................................................................................42

1.1. OPERAÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
1.1. REGRAS DE SINAIS
1.1.1. Operações com parênteses, colchetes e chaves.
Exemplos:
a) {1 + [18 + (+ 35) – 9] + 1} = {1 + [18 + 35 – 9] +1} = {1 + [53 – 9] + 1} = 46
b) {3 – [40 + (60 – 100) + 22] + 19} = {3 – [40 – 40 + 22] + 19} = {3 – 22 + 19} = 0
Resolva:
a) {6 + [– 30 + (– 60 + 50) + 10] + 24}
b) {– 6 + [120 + (– 70) + 6] – 4}
1.1.2. Ordem das operações (multiplicações, divisões, somas e subtrações)
Exemplos:
a) [18 (2 x 18 – 35) ÷ 9] = [18 (36 – 35) ÷ 9] = [18 ÷ 9] = 2
b) {– 5 + [6 (2 – 3) + 15] – 8 ÷ 2} = {– 5 + [– 6 + 15] – 4} = {9 – 9} = 0
Resolva:
a) [5 (4 x 3) – 42 ÷ 6]
b) {3 + [16 ÷ 4 + (3 x 6) – 22] + 1}
1.1.3. Abreviações e símbolos
Abreviações:
№; J; M; C; n; i; FV; PV; P; p; µ; m;
Símbolos:
+; ∑; –; ±; ( ); x; ∙;∏; ÷ /; :; >; ≥; ≤; <; =; ≠; ∞; α; β; %; $; µ; π; ∆; ≈;
1.1.4. Cálculo de Ticket Médio
Exemplos:
1) Um vendedor tem uma meta estabelecida pela loja de atender no mínimo 90 clientes por semana,
sabendo-se que ele trabalha seis dias na semana. Qual a sua média diária e mensal de atendimentos?
SOLUÇÃO:
Média diária (µ) =
clientes porsemana
dias na semana
=
90
= 15 clientes.
6
Média mensal (µ) = clientes por dia x dias/mês = 15 x 24 = 360 clientes.
2) Um vendedor precisa vender uma média R$ 5.000,00 por dia. Se ele trabalha 6 dias por semana,
qual o valor total de vendas no final do mês? Qual o percentual para atingir o seu objetivo mensal
de R$ 2.400,00?
SOLUÇÃO:
Total de vendas:
Valor total de vendas = vendas diárias x dias por semana x semanas/mês
Valor total de vendas = R$ 5.000,00 x 6 dias x 4 semanas
Valor total de vendas = R$ 120.000,00
Percentual de comissão:
Totalde vendas
=
100%
=>
120.000,00
=
100%
=>
Comissão sobre vendas X 2.400,00 X
3

X =
2.400,00 x 100
120.000,00
=> X =
240.000,00
=> X = 2%
120.000,00
Resolva:
1) Um vendedor tem uma meta estabelecida pela loja de atender no mínimo 108 clientes por
semana, sabendo-se que ele trabalha seis dias na semana. Qual a sua média diária e mensal de
atendimentos?
2) Um vendedor precisa vender uma média R$ 4.000,00 por dia. Se ele trabalha 6 dias por semana,
qual o valor total de vendas no final do mês? Qual a sua comissão, referente a 2,5% sobre vendas?
1.1.5. Cálculo de Número de Atendimento por dia, semana e mês
Exemplos:
1) Um vendedor tem como meta atender 360 pessoas em um mês. Se ele trabalha 6 dias por
semana, qual a sua média diária e semanal para atingir esse número?
SOLUÇÃO:
Média diária (µ) =
clientes por mês
dias no mês
=
360
= 15 clientes.
24
Média semanal (µ) = clientes por dia x dias da semana = 15 x 6 = 90 clientes.
2) Se um vendedor atende por dia 20 clientes. Quantos ele atenderá por semana e por mês?
SOLUÇÃO:
Atendimento semanal = clientes dia x dias da semana = 20 x 6 = 120 clientes.
Atendimento mensal = clientes semanal x semanas mês = 120 x 4 = 480 clientes.
Resolva
1) Um vendedor tem como meta atender 480 pessoas em um mês. Se ele trabalha 6 dias por
semana, qual a sua média diária e semanal para atingir esse número?
2) Se um vendedor atende por dia 18 clientes. Quantos ele atenderá por semana e por mês?
1.2. PORCENTAGEM
Taxa Percentual
Refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.
Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas. A razão
entre o número de questões acertadas e o número total de questões é:
12
=
15
4
= 0,8 =
8
=
5 10
80
= ...
100
Quando uma razão é apresentada com o consequente 100 (no caso, 80/100), ela é chamada razão
centesimal.
Outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usadas principalmente no universo
econômico-financeiro, é substituir o consequente 100 pelo símbolo % (que lemos: por cento). Logo:
80 / 100 = 80% (lemos: oitenta por cento).
Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal.
4

Elementos do Cálculo Percentual
12
=
15
80
100
Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, temos:
percentagem
Principal
=
taxa
100
A partir daí obtemos as seguintes definições:
Taxa (i): é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Percentagem: é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma
taxa.
Principal: é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
Taxa Unitária
Como vimos anteriormente, a taxa percentual se refere a 100, isto é:
i = 0,20 =
20
= 20%
100
Observação: todavia, na resolução de questões, é mais prático (e, algumas vezes, necessário)
tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa unitária.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Calcule 30% de 15%.
SOLUÇÃO:
Temos: 30% =
30
= 0,30 e 15% =
100
15
= 0,15
100
Logo: 0,3 x 0,15 = 0,045
i = 0,045 x 100 = 4,5
Resposta: 4,5%
2) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$
3.600,00?
SOLUÇÃO: Principal (P) = R$ 3.600,00; i = 3%; percentagem (p) = ?
p
=
i
=>
P 100
p
=
3.600
3
=> p =
100
3.600 x 3
100
= 108
Resposta: R$ 108,00 de comissão.
3) Um vendedor recebe R$ 2.800,00 de vendas em um determinado mês, tendo sido de 5% a taxa de
comissão. Qual o valor de suas vendas?
SOLUÇÃO: p = R$ 2.800,00; i = 5% P = ?
p
=
i
=>
P 100
2.800
P
=
5
=> P =
100
2.800 x100
5
= 56.000
Resposta: R$ 56.000,00 o valor de venda.
4) Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a
percentagem do lucro?
5

SOLUÇÃO: P = R$ 5.000,00; p = R$ 400,00; i = ?
p
=
i
=>
P 100
400
=
5.000
i
=> i =
100
400 x 100
= 8
5.000
Resposta: 8% de lucro.
5) Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com lucro de 15% sobre esse valor. Quanto
ganhou?
SOLUÇÃO: P = R$ 540,00; i = 15%; p = ?
p
=
i
=>
P 100
p
=
540
15
=> p =
100
540 x15
100
= 81
Resposta: o comerciante ganhou R$ 81,00.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule 30% de 35%.
2) Em uma liquidação, uma torneira que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De
quanto foi o desconto?
3) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 em materiais de construção, pagou R$ 7.400,00. Quantos por
cento da dívida foram pagos?
4) Um lote produzido de lâmpadas apresenta 15 com defeitos, com 95% boas. Determine o número
total de lâmpadas do lote.
5) Uma luminária custava R$ 100,00, em uma determinada semana foi dado um desconto de 20%.
Após o período o produto voltou ao preço anterior. Qual o percentual acrescido?
1.3. MÉTODOS COMPARATIVOS
1) Um operário que devia executar 120m de uma obra fez, no primeiro dia, 10% de seu trabalho e,
no segundo dia, 15% da parte restante. Quantos metros foram feitos?
SOLUÇÃO: P = 120m; i1 = 10%; i2 = 15% p = ?
Primeiro passo: encontrar a metragem do primeiro dia.
120
=
100
=> X =
1200
= 12m
X 10 100
Segundo passo: encontrar a metragem do segundo dia.
108
=
100
=> X =
1620
= 16,20m
X 15 100
Por fim: é só somar as metragens encontradas.
12m + 16,20m = 28,20m
Resposta: 28,20m.
2) Antônio é muito empenhado no trabalho, por isso, recebeu além da comissão, um prêmio de R$
500,00. Esse valor representa 1/6 da comissão. Quanto recebeu Antônio?
SOLUÇÃO: p = R$ 500,00; i1 = 1/6%; P = ?
6

500
=
1/ 6 => X =
500
= 3.000
X 1 1/6
Agora é só adicionar a comissão:
Valor total = R$ 3.000,00 + R$ 500,00 = R$ 3.500,00
Resposta: R$ 3.500,00
3) João e Maria executam a mesma função em uma empresa. Maria gasta 40% dos recursos
disponíveis, enquanto João 60%, totalizando R$ 5.000,00. Quais os valores gastos por João e
Maria?
SOLUÇÃO: P = R$ 5.000,00; i1 = 40%; i2 = 60%; J = ? M = ?
5.000
=
100
=> J =
300.000
=> J = 3.000
J 60 100
5.000
=
100
=> M =
200.000
=> M = 2.000
M 40 100
Resposta: João gasta = R$ 3.000,00 e Maria gasta = R$ 2.000,00.
4) João atingiu sua meta mensal, recebeu de comissão R$ 3.000,00. Enquanto eu alcancei 70%
desse valor. Quanto recebi?
SOLUÇÃO: P = R$ 3.000,00; i1 = 70%; p = ?
3.000
=
100
=> p =
210.000
=> p = 2.100
p 70 100
Resposta: eu recebi R$ 2.100,00.
5) Manoel e Joaquim atenderam um total de 600 clientes em um determinado mês. Manoel atendeu
20% a mais que Joaquim. Quantos clientes cada um atenderam?
SOLUÇÃO: P = 600; i1 = 20%; J = ? M = ?
Primeiro passo: vamos resolver através de um sistema:
M + J = 600 => M = 600 – J (1ª equação)
M = J + 20% => M = J + (600 x 0,20) =>
M = J + 120 (2ª equação)
Segundo passo: vamos substituir os valores da 1ª na 2ª equação:
M = J + 120 => 600 – J = J + 120 =>
2J = 600 – 120 => J =
480
=> J = 240 clientes.
2
Último passo: encontrar os atendimentos de Manoel:
M = 600 – J => M = 600 – 240 => M = 360 clientes.
Outro modo de resolver esse problema:
J =
600
– 20% => J = 300 – 60 = 240
2
M =
600
+ 20% => J = 300 + 60 = 360
2
Resposta: Manoel atende 360 (60%) clientes, enquanto Joaquim 240 (40%) clientes.
1) Um operário que devia executar 160m de uma obra fez, no primeiro dia, 15% de seu trabalho e,
no segundo dia, 20% da parte restante. Quantos metros foram feitos?
7

2) Paulo é muito empenhado, por isso, recebeu além da comissão, um prêmio de R$ 600,00. Esse
valor representa 1/5 da comissão. Quanto recebeu Antônio?
3) Pedro e Bianca executam a mesma função em uma empresa. Bianca gasta 45% dos recursos
disponíveis, enquanto Pedro 55%, totalizando R$ 4.000,00. Quais os valores gastos por Pedro e
Bianca?
4) Sandra atingiu sua meta mensal, recebeu de comissão R$ 2.800,00. Enquanto eu alcancei 75%
desse valor. Quanto recebi?
5) Márcia e Isabel atenderam um total de 560 clientes em um determinado mês. Márcia atendeu
15% a mais que Isabel. Quantos clientes cada um atenderam?
2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (OU JUROS SIMPLES)
A capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não
incide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em
função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicarmos a
taxa diária por 30; se desejarmos uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicarmos esta por 12,
e assim por diante.
JURO
É a remuneração de capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo
o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Ao se dispor a emprestar, o possuidor do dinheiro, para avaliar
a taxa de remuneração para os seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores:
a. Risco: probabilidade de o tomador de empréstimo não resgatar o dinheiro.
b. Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do
empréstimo e á efetivação da cobrança.
c. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do
empréstimo.
d. Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos (“custo de
oportunidade”); justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilidade do capital.
TAXA DE JUROS
É o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado
durante certo período de tempo. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (dia,
mês, semestre e ano etc.) e podem ser representada por equivalentemente de duas maneiras: taxa
percentual e taxa unitária.
JURO EXATO E JURO COMERCIAL
É natural nas operações de curto prazo, logo predominam as aplicações com taxas referenciadas em
juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser
calculado de duas maneiras:
1. pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365). O juro apurado
desta maneira denomina-se juro exato.
8

2. pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este
critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário.
Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de:
a. Juro Exato: 12 / 365 dias = 0,032877%
b. Juro comercial: 12 / 360 dias = 0,033333%
Na ilustração, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao exato pelo menor número de dias
considerado no intervalo de tempo.
MONTANTE E CAPITAL
Quando um determinado capital é aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo,
produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples por M. Em
outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: M =
C + J. Do ponto de vista da Matemática Financeira, capital é qualquer valor expresso em moeda
corrente disponível em determinado tempo.
PERÍODOS
As fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo (n) da operação como a taxa de juros devem
necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. Se uma aplicação foi efetuada pelo
prazo de um mês, mas os juros definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos e deve
ocorrer necessariamente um “rateio”. É indispensável para o uso das fórmulas financeiras
transformar a taxa de juro anual para o intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-
versa, o que for considerado mais apropriado para os cálculos.
QUANTO AO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
Existem dois métodos de capitalização de dinheiro, o regime de linear (ou simples) e o regime
exponencial (ou composto). A taxa simples é pouco utilizada pelo mercado financeiro. A aplicação
desse sistema é mais provável em curto prazo. O sistema composto é o mais utilizado devido a sua
forma de apuração, juro integralizado ao capital, o montante passa a ser o capital.
FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
J = C x i n => C =
J
i x n
=> i =
J
=> n =
C x n
J
C x i
Sabe-se que: J = C x i x n, substituindo esta expressão básica na fórmula do montante, tem-se:
M = C + C x i x n e M = C (1 + i x n).
Evidentemente, o valor de C desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação
algébrica: C =
M
(1+ i. n)
Onde: M = Montante; C = Capital; i = taxa; n = período.
Exemplo:
Um capital de 1.000,00 é aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano em regime de capitalização
simples.
1o
ano  J= 1.000 x 0,1= 100
9

2o
ano  J= 1.000 x 0,1= 100
3o
ano  J= 1.000 x 0,1= 100
M = C + J
M= 1.000 + 300 = 1.300,00
100 100 100
1.000 1.300 Tempo
0 10% 1 10% 2 10% 3
1) Uma dívida de R$ 3.000,00 é paga oito meses depois, a uma taxa de 2% ao mês, a juros simples.
Calcule os juros pagos por essa dívida.
SOLUÇÃO: C = R$ 3000,00; n = 8 meses; i = 2% ao mês; J = ?
J = C x i x n
J = R$ 3.000,00 x 0,02 x 8
J= R$ 480,00
Resposta: R$ 480,00.
2) Um empréstimo realizado hoje, em regime de juros simples, será quitado daqui a 9 meses,
acrescido de juros de R$ 675,00, a uma taxa 1,5% ao mês. Qual o valor desse empréstimo?
SOLUÇÃO: J = R$ 675,00; n = 9 meses; i = 1,5% ao mês; C = ?
J = C x i x n
C =
J
i x n
=> C =
R$ 675,00
0,015 x9
=> C =
R$ 675,00
=>
0,135
C = R$ 5.000,00
Resposta: R$ 5.000,00.
3) Quanto terei que pagar para liquidar uma dívida de R$ 30.000,00, a juros simples, após 9 meses,
a uma taxa 2% ao mês.
SOLUÇÃO: C = R$ 30.000,00; n = 9 meses; i = 2% ao mês; M = ?
M = C x (1 + i x n) => M = 30.000,00 x (1 + 0,02 x 9) =>
M = R$ 30.000,00 x 1,18 => M = R$ 35.400,00
Resposta: R$ 35.400,00.
4) Qual a taxa de juros que incidiu sobre um empréstimo de R$ 5.000,00, que após dezoito meses
gerou juros de R$ 900,00?
SOLUÇÃO: C = R$ 5.000,00; n= 18 meses; J = R$ 900,00; i = ?
J = C x i x n => R$ 900,00 = R$ 5.000,00 x i x 18
R$ 900,00
R$ 90.000,00
= i => i = 0,01 x 100 = 1% ao mês.
Resposta: 1% ao mês.
5) Qual o prazo concedido a uma compra de R$ 5.000,00, pagando juros de R$ 300,00 a juros
simples, ao final do prazo, a uma taxa de juros mensal de 2%.
SOLUÇÃO: C = R$ 5.000,00; J = R$ 300,00; i = 2% n= ?
J = C x i x n => R$ 300,00 = R$ 5.000,00 x 0,02 x n
10

11
R$ 300,00
R$100,00
= n => n = 3 meses.
Resposta: 3 meses.
6) Uma pia está sendo vendida a prazo nas seguintes condições:
• R$ 150,00 de entrada;
• R$ 200,00 em 30 dias;
• R$ 200,00 em 60 dias.
Sendo de 1,5% ao mês a taxa mensal de juros, a juros simples. Calcule até que preço é interessante
comprar a pia à vista.
SOLUÇÃO: E = R$ 150,00; PMT = R$ 200,00; i = 1,5%; PV = ?
PV = E +
PMT
+
(1 + i x n)
PMT
(1+ i x n)
=> PV = 150 +
200
(1+ 0,015 x1)
+
200
(1 + 0,015 x 2)
PV = 150 +
200
+
1,015
200
=> PV = 150 + 195,04 + 194,17 = 539,21
1,03
Resposta: PV = R$ 539,21
7) Um cliente efetuou três pagamentos mensais, iguais, em virtude da compra de uma porta. As
parcelas foram de R$ 200,00 cada. A taxa embutida foi de 1,8% ao mês, a juros simples. Quanto ele
pagou efetivamente pagou após o terceiro pagamento?
SOLUÇÃO:
FV = PMT x (1 + i x n) + PMT x (1 + i x n) + PMT x (1 + i x n)
Colocando em evidência, temos:
FV = PMT x [(1 + i x n) + (1 + i x n) + (1 + i x n)]
FV = 200 x [(1 + 0,018 x 1) + (1 + 0,018 x 2) + (1 + 0,018 x 3)]
FV = 200 x [(1,018) + (1,03) + (1,054)]
FV = 200 x 3,102
FV = 620,40
Resposta: FV = R$ 620,40
1) Uma dívida de R$ 10.000,00 é paga oito meses depois, a uma taxa de 2,5% ao mês, a juros
simples. Calcule os juros pagos por essa dívida.
SOLUÇÃO:
2) Um empréstimo realizado hoje, em regime de juros simples, será quitado daqui a 6 meses,
acrescido de juros de R$ 600, a uma taxa 2% ao mês. Qual o valor desse empréstimo?

12
SOLUÇÃO:
3) Quanto terei que pagar para liquidar uma dívida de R$ 25.000,00, a juros simples, após 18
meses, a uma taxa 2,5% ao mês.
SOLUÇÃO:
4) Qual a taxa de juros que incidiu sobre um empréstimo de R$ 4.000,00, em regime de juros
simples, que após doze meses gerou juros de R$ 576,00?
SOLUÇÃO:
5) Qual o prazo concedido a uma compra de R$ 6.000,00, pagando juros de R$ 792,00 a juros
simples, ao final do prazo, a uma taxa de juros mensal de 2,2%?
SOLUÇÃO:
6) Uma janela está sendo vendida a prazo nas seguintes condições:
• R$ 200,00 de entrada;
• R$ 300,00 em 30 dias;
• R$ 300,00 em 60 dias.
Sendo de 3% a taxa mensal de juros. Calcule até que preço é interessante comprar a janela à vista.
SOLUÇÃO:

https://www.gjmarketingdigital.com.br
/
7) Um cliente efetuou três pagamentos mensais, iguais, em virtude da compra de material de
pintura. As parcelas foram de R$ 300,00 cada. A taxa embutida foi de 2,8% ao mês, a juros simples.
Quanto ele pagou efetivamente pagou após o terceiro pagamento?
SOLUÇÃO:
4. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (OU JUROS COMPOSTOS)
Os juros compostos consideram que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital
formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render
juros no período seguinte formando um novo montante, e assim sucessivamente, até o fim da
operação (contrato).
EXEMPLO:
Admita ilustrativamente uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês.
Identificando-se por C o Capital e M o montante, têm-se os seguintes resultados ao final de cada
período:
• Final do 1º mês: o capital de R$ 1.000,00 produz juros de R$ 100,00 (10% x 1.000,00) é um
montante de R$ 1.000,00 (R$ 1.000,00 + R$ 100,00), ou seja:
M = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$ 1.100,00
• Final do 2º mês: o montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês, servindo
de base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
M = R$ 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
M = R$ 1.000,00 x (1 + 0,10)2
= R$ 1.210,00
• O montante do 2º mês pode ser assim decomposto:
R$ 1.000,00 capital
R$ 100,00 juros referentes ao 1º mês (10% x R$ 1.000,00)
R$ 100,00 juros referentes ao 2º mês (10% x R$ 1.000,00)
R$ 10,00 juros sobre os juros produzidos no 1º mês (10% x R$ 100,00)
• Final do 3º mês: dando sequência ao raciocínio de juros compostos:
M = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
M = 1.000,00 x (1 + 0,10)3
= $ 1.331,00
• Final do enésimo mês: aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada um dos
meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge:
M = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) ... (1 + 0,10)
M = 1.000,00 x (1 + 0,10)n
Generalizando-se: M = C x (1 + i)n
e C = M / (1 + i)n
Onde (1 + i)n
é o fator de capitalização (ou de valor futuro), e 1/(1 + i)n
o fator de atualização (ou de
capital inicial).
O valor monetário dos juros é apurado diferença entre o montante e o capital, obtendo-se o
resultado pela seguinte expressão:
J = M – C, como: M = C (1 + i)n, colocando-se (C) em evidência tem-se: J = C [(1 + i) n – 1]
Onde: M = FV (Valor Futuro) e C = PV (Valor Presente).
13

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1) Imagine que a fatura do seu cartão de crédito foi de R$ 500,00. Você passando por dificuldade
financeira resolve pagar o valor do pagamento mínimo. Sabendo que os juros mensais são de 10%.
Qual o valor mínimo a ser pago, e o valor do próximo mês?
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO: PV = R$ 500,00; n = 1 mês; i = 10% ao mês; J = ?
J = C x [(1 + i) n
–1]
J = R$ 500,00 x [(1,10)1
– 1]
J = R$ 500,00 x 0,10
J = R$ 50,00
Pagando apenas o valor mínimo de R$ 50,00 (representa os juros apenas).
O valor restante seria de R$500,00 + ao aplicar os juros mensais de 10% = R$50,00.
Total da próxima fatura será R$ 550,00.
Resposta: pagamento mínimo = R$ 50,00 e próximo mês = R$ 550,00.
* isso se o consumidor não realizar nenhuma compra e não tiver compras parcelas.
2) Uma pessoa tem à vista no cartão de crédito, o valor de R$1.000,00 na compra de uma
churrasqueira. Mas, se por algum motivo resolver pagar a taxa mínima exigida pela administradora
e quitar a dívida após um ano, quanto terá que desembolsar? O custo efetivo total é de 10,69% ao
mês.
SOLUÇÃO:
FV = PV x (1 + i)n
=> FV = 1.000,00 x (1,1069)12
=>
FV = 1.000,00 x 3,383 => FV = R$ 3.383,00
Resposta: total da dívida é R$ 3.383,00, ou seja, R$ 2.383,00 só de juros, o que corresponde a
238,3% de taxas. Ou seja, o valor gasto com os juros do rotativo seria suficiente para a compra de
mais duas churrasqueiras.
Taxas incidentes:
• IOF diário: 0,0082%;
• IOF adicional: 0,38%;
• Multa moratória mensal: 2% (dilação – adiamento do prazo dada pelo credor ao devedor para
pagamento de uma dívida).
• Juros de mora mensal: 1% (retardamento do devedor no cumprimento de uma obrigação).
3) Uma pessoa fez uma compra no cartão de crédito, passando por dificuldades financeira só
conseguiu quitar a dívida um ano depois, no valor de R$ 1.883,06. O custo efetivo total é de 10% ao
mês. Qual o valor presente dessa dívida?
SOLUÇÃO: FV = R$ 1.883,06; i = 10%; n = 12 meses; PV = ?
PV =
FV
=> PV =
1.883,06
=> PV =
1.883,06
=> PV = R$ 600,00
(1 + i)n
Resposta: R$ 600,00.
(1,10)12
3,138428377
4) Um chuveiro de R$ 100,00 foi comprado no cartão de crédito, porém o cliente só conseguiu
pagá-lo ao final de 12 meses, no valor de R$ 331,40. Qual a taxa de juros embutida?
SOLUÇÃO: PV = R$ 100,00; FV = R$ 331,40; n = 12 meses; i = ?
FV = PV x (1 + i)n
331,40 = 1,00 x (1 + i)12
=>
331,40
100
= (1 + i)12
=>

15
3,314 = (1 + i)12
=> 12
331,4
i = 0,105 x 100 = 10,5%
Resposta: 10,5% ao mês.
= 12
(1+ i)12
=> 1,105 = 1 + i =>
5) Uma compra de R$ 2.000,00 em material de construção no cartão de crédito, foi quitada por R$
3.666,63. O custo efetivo foi de 10,63% ao mês. Qual o prazo desse adiamento?
SOLUÇÃO:
FV = PV x (1 + i)n
3.666,63 = 2.000,00 x (1,1063)n
=>
3.666,63
2.000,00
= (1,1063)n
=>
1,833315 = (1,1063)n
=> n x log 1,1063 = log 1,833315
n =
log 1,833315
log 1,1063
=> n = 6
Resposta: 6 meses.
1) Imagine que a fatura do seu cartão de crédito foi de R$ 1.000,00. Você passando por dificuldade
financeira resolve pagar o valor do pagamento mínimo. Sabendo que os juros mensais são de 10%.
Qual o valor mínimo a ser pago, e o valor do próximo mês?
SOLUÇÃO:
2) Uma pessoa tem à vista no cartão de crédito, o valor de R$ 2.000,00 na compra de uma banheira.
Mas, se por algum motivo resolver pagar a taxa mínima exigida pela administradora e quitar a
dívida após um ano, quanto terá que desembolsar? Custo efetivo total é de 10,69% ao mês.
SOLUÇÃO:
3) Uma pessoa fez a compra de uma porta no cartão de crédito, passando por dificuldades financeira
só conseguiu quitar a dívida um ano depois, no valor de R$ 2.196,90. O custo efetivo total é de 10%
ao mês. Qual o valor presente dessa dívida?
SOLUÇÃO:

16
4) O cliente efetuou uma compra de R$ 200,00 no cartão de crédito, que só pagou 12 meses depois,
por enfrentar dificuldades, no valor de R$ 655,63? Qual a taxa mensal de juros embutida?
SOLUÇÃO:
5) Uma compra de R$ 1.500,00 em material de construção, no cartão de crédito, foi quitada por R$
2.730,64. O custo efetivo mensal foi de 10,5%. Qual o prazo desse adiamento?
SOLUÇÃO:
OBSERVAÇÃO:
Uma das dúvidas mais frequentes é não saber lidar com o acúmulo das prestações, dos juros
exorbitantes, da utilização do crédito rotativo e do pagamento apenas do valor mínimo. A
administradora considera o fato do consumidor oferecer maior risco, não arcando com o pagamento
integral referente ao valor da fatura, mudando seu perfil com a elevação das taxas cobradas.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas,
2002. 436 p.
CREPO, Antônio Arnot. Matemática Financeira: Fácil. 14 ed. São Paulo: Saraiva, 2010. 255 p.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 409 p.

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