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PEDRO NORBERTO

JUROS COMPOSTOS

Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre
o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros
do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período
seguinte.

Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.

Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de
capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for
semestral, será 4 , e assim sucessivamente.

EXEMPLO:
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos
de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes.

Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:
1º período:

 100%     R$ 1.000
 102%        M     ⇒ M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte)

                   CAPITAL                    MONTANTE
2º período:        R$ 1.020,00 ⋅ 1,02         = R$ 1.040,40
3º período:        R$ 1.040,40 ⋅ 1,02         = R$ 1.061,21
4º período:        R$ 1.061,21 ⋅ 1,02         = R$ 1.082,43
5º período:        R$ 1.082,43 ⋅ 1,02         = R$ 1.104,08

Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.

No cálculo, tivemos
R$ 1.000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02
= R$ 1.000 ⋅ (1,02)5
= R$ 1.000 ⋅ 1,10408
= R$ 1.104,08

Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas
financeiras.

Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual   M é o montante, C o
capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.


                                                 M = C ⋅ (1 + i)n
Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:

CAPITAL                 JUROS            MONTANTE
R$ 1.000,00 ⋅ 0,02      = R$ 20,00       ⇒ M = R$ 1.020,00
R$ 1.000,00 ⋅ 0,02      = R$ 20,00       ⇒ M = R$ 1.040,00
R$ 1.000,00 ⋅ 0,02      = R$ 20,00       ⇒ M = R$ 1.060,00
R$ 1.000,00 ⋅ 0,02      = R$ 20,00       ⇒ M = R$ 1.080,00
R$ 1.000,00 ⋅ 0,02      = R$ 20,00       ⇒ M = R$ 1.100,00

Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00.

Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores
iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples.

EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.
Resolução:
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações.
C = R$ 600
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PEDRO NORBERTO
i = 4% = 0,04
n = 12
M = C ⋅ (1 + i)n ⇒ M = 600 ⋅ (1 + 0,04)12 ⇒ M = 600 ⋅ (1,04)12
⇒ M = 600 ⋅ 1,60103
M = R$ 960,62

O fator (1,04)12 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%.



                      (1 + i)n
n i⇒          2%          3%                  5%
                                   4%
⇓
    9       1,19509    1,30477   1,42331    1,55133
   10       1,21899    1,34392   1,48024    1,62889
   11       1,24337    1,38423   1,53945    1,71034
   12       1,26824    1,42576   1,60103    1,79586
   13       1,29361    1,46853   1,66507    1,88565


2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
Resolução:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C ⋅ (1 + i)n ⇒ M = 500 ⋅ (1,05)8 ⇒ M = R$ 738,73

O valor dos juros será:
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73

3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna
igual a R$ 477,62?
Resolução:
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C ⋅ (1 + i)n
477,62 = C ⋅ (1,03)6
      477,62
C=
     1,19405
C = R$ 400,00


TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
É comum em algumas situações, a apresentação da taxa em uma unidade de tempo diferente da unidade do período de
capitalização. Por exemplo, uma taxa anual sendo a capitalização dos juros feita mensalmente. Essa taxa anual e
chamada nominal.

TAXA NOMINAL: quando sua unidade de tempo difere da unidade do período de capitalização.

TAXA EFETIVA: quando sua unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização.

A TAXA NOMINAL não é utilizada nos cálculos e sim a TAXA EFETIVA. Por convenção, a passagem da TAXA
NOMINAL para TAXA EFETIVA será feita de forma proporcional.

EXEMPLOS:
Dada uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Temos que 36% a.a. é a taxa nominal; a taxa efetiva é
portanto, 36% ÷ 12 = 3% ao mês.

Para a taxa de 15% ao semestre, com capitalização mensal, temos que 15% ao semestre é a taxa nominal; a taxa efetiva
será 15% ÷ 6 = 2,5% ao mês.



MATEMÁTICA FINANCEIRA                                       12
PEDRO NORBERTO
TAXAS EQUIVALENTES
Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo,
produzem o mesmo rendimento.

Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não.

No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de:

Atribuindo um capital R$ 100, temos:
M = 100(1,1)3 ⇒ M = 10 ⋅ 1,331 ⇒ M = R$ 133,10.

Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%.

Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas.

Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim:
Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)12
Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + ia = (1 + it)4
Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)6 = 1 + is

Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo
envolvidas, fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade “cabe”
na maior.

EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal,
durante 1 ano.

Resolução:

Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal.

A taxa efetiva é, portanto, 60% ÷ 12 = 5% ao mês.
C = R$ 1.500
i = 5% = 0,05
n = 12
M = C ⋅ (1 + i)n
M = 1.500 ⋅ (1,05)12
M = 1.500 ⋅ 1,79586
M = R$ 2.693,78

2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o
valor do montante?
Resolução:
Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral.
A taxa efetiva é, portanto, 12% ÷ 6 = 2% ao bimestre.
C = R$ 800
i = 2% = 0,02
n=9
M = C ⋅ (1 + i)n
M = 800 ⋅ (1,02)9
M = 800 ⋅ 1,19509
M = R$ 956,07

3) Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93.
Qual o valor desse capital?
Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral.
A taxa efetiva é, portanto, 12% ÷ 2 = 6% ao semestre.
M = R$ 1.969,93
i = 6% = 0,06
n = 10
C = M ⋅ (1 + i)-n
C = 1.969,93 ⋅ (1,06)-10
C = 1.969,93 ⋅ 0,55839
MATEMÁTICA FINANCEIRA                                     13
PEDRO NORBERTO
C = R$ 1.100,00

4) Qual a taxa anual equivalente a:
a) 3% ao mês;
b) 30% ao semestre com capitalização bimestral

Resolução:
a) ia = ?; im = 3%
Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos:
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,03)12
1 + ia = 1,42576
ia = 1,42576 - 1
ia = 0,42576 = 42,57%

b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral.
A taxa efetiva é, portanto, 30% ÷ 3 = 10% ao bimestre.
Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos:
1 + ia = (1 + ib)6
1 + ia = (1,1)6
1 + ia = 1,77156
ia = 1,77156 - 1
ia = 0,77156 = 77,15%

5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal?
Resolução:
Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos:
(1 + im)6 = 1 + is
(1 + im)6 = 1,9738
im = 12%




DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual   A, é o mesmo que
obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia

                                   CAPITAL            ⇒ VALOR ATUAL
                                   MONTANTE           ⇒ VALOR NOMINAL

Se para o cálculo do montante composto dizemos que    M = C ⋅ (1 + i)n , então, para o cálculo do valor atual racional
compostos, vamos dizer que:
                               N                  1
N = A ⋅ (1 + i)n ⇒ A =              n ⇒ A = N ( 1+ i )n ou ainda A = N ⋅ (1 + i)
                                                                                 -n
                            (1+ i )

MATEMÁTICA FINANCEIRA                                     14
PEDRO NORBERTO




EXEMPLOS RESOLVIDOS

1) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual
o valor atual?
Resolução:
N = R$ 1.000
n=3
i = 10% = 0,1
                                              N
Substituindo os dados do problema em A =            ou A = N ⋅ (1 + i)-n , temos:
                                          (1 + i) n
A = N ⋅ (1 + i)-n
A = N ⋅ (1,1)-3
A = 1.000 ⋅ 0,75131
A = R$ 751,31

2) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de
60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto?
Resolução:
A = R$ 1.645,41
n=4
i = 5% = 0,05
                                  N
Substituindo os dados em A =            , temos:
                              (1 + i) n
        N
A=
     (1 + i) n
                    N
1.645,41 =
                 (1,05) 4
              N
1.645,41 =
           1,21551
N = R$ 2.000,00




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Exercícios resolvidos juros compostos

  • 1. PEDRO NORBERTO JUROS COMPOSTOS Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte. Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros. Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente. EXEMPLO: Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos: 1º período: 100% R$ 1.000 102% M ⇒ M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte) CAPITAL MONTANTE 2º período: R$ 1.020,00 ⋅ 1,02 = R$ 1.040,40 3º período: R$ 1.040,40 ⋅ 1,02 = R$ 1.061,21 4º período: R$ 1.061,21 ⋅ 1,02 = R$ 1.082,43 5º período: R$ 1.082,43 ⋅ 1,02 = R$ 1.104,08 Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. No cálculo, tivemos R$ 1.000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 = R$ 1.000 ⋅ (1,02)5 = R$ 1.000 ⋅ 1,10408 = R$ 1.104,08 Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras. Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações. M = C ⋅ (1 + i)n Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples: CAPITAL JUROS MONTANTE R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 = R$ 20,00 ⇒ M = R$ 1.020,00 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 = R$ 20,00 ⇒ M = R$ 1.040,00 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 = R$ 20,00 ⇒ M = R$ 1.060,00 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 = R$ 20,00 ⇒ M = R$ 1.080,00 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 = R$ 20,00 ⇒ M = R$ 1.100,00 Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples. EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. Resolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. C = R$ 600 MATEMÁTICA FINANCEIRA 11
  • 2. PEDRO NORBERTO i = 4% = 0,04 n = 12 M = C ⋅ (1 + i)n ⇒ M = 600 ⋅ (1 + 0,04)12 ⇒ M = 600 ⋅ (1,04)12 ⇒ M = 600 ⋅ 1,60103 M = R$ 960,62 O fator (1,04)12 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%. (1 + i)n n i⇒ 2% 3% 5% 4% ⇓ 9 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133 10 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889 11 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034 12 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586 13 1,29361 1,46853 1,66507 1,88565 2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? Resolução: C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C ⋅ (1 + i)n ⇒ M = 500 ⋅ (1,05)8 ⇒ M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738,73 – 500 J = R$ 238,73 3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? Resolução: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C ⋅ (1 + i)n 477,62 = C ⋅ (1,03)6 477,62 C= 1,19405 C = R$ 400,00 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA É comum em algumas situações, a apresentação da taxa em uma unidade de tempo diferente da unidade do período de capitalização. Por exemplo, uma taxa anual sendo a capitalização dos juros feita mensalmente. Essa taxa anual e chamada nominal. TAXA NOMINAL: quando sua unidade de tempo difere da unidade do período de capitalização. TAXA EFETIVA: quando sua unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização. A TAXA NOMINAL não é utilizada nos cálculos e sim a TAXA EFETIVA. Por convenção, a passagem da TAXA NOMINAL para TAXA EFETIVA será feita de forma proporcional. EXEMPLOS: Dada uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Temos que 36% a.a. é a taxa nominal; a taxa efetiva é portanto, 36% ÷ 12 = 3% ao mês. Para a taxa de 15% ao semestre, com capitalização mensal, temos que 15% ao semestre é a taxa nominal; a taxa efetiva será 15% ÷ 6 = 2,5% ao mês. MATEMÁTICA FINANCEIRA 12
  • 3. PEDRO NORBERTO TAXAS EQUIVALENTES Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento. Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não. No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de: Atribuindo um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1)3 ⇒ M = 10 ⋅ 1,331 ⇒ M = R$ 133,10. Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)12 Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + ia = (1 + it)4 Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)6 = 1 + is Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior. EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano. Resolução: Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. A taxa efetiva é, portanto, 60% ÷ 12 = 5% ao mês. C = R$ 1.500 i = 5% = 0,05 n = 12 M = C ⋅ (1 + i)n M = 1.500 ⋅ (1,05)12 M = 1.500 ⋅ 1,79586 M = R$ 2.693,78 2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o valor do montante? Resolução: Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% ÷ 6 = 2% ao bimestre. C = R$ 800 i = 2% = 0,02 n=9 M = C ⋅ (1 + i)n M = 800 ⋅ (1,02)9 M = 800 ⋅ 1,19509 M = R$ 956,07 3) Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93. Qual o valor desse capital? Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% ÷ 2 = 6% ao semestre. M = R$ 1.969,93 i = 6% = 0,06 n = 10 C = M ⋅ (1 + i)-n C = 1.969,93 ⋅ (1,06)-10 C = 1.969,93 ⋅ 0,55839 MATEMÁTICA FINANCEIRA 13
  • 4. PEDRO NORBERTO C = R$ 1.100,00 4) Qual a taxa anual equivalente a: a) 3% ao mês; b) 30% ao semestre com capitalização bimestral Resolução: a) ia = ?; im = 3% Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos: 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,03)12 1 + ia = 1,42576 ia = 1,42576 - 1 ia = 0,42576 = 42,57% b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 30% ÷ 3 = 10% ao bimestre. Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos: 1 + ia = (1 + ib)6 1 + ia = (1,1)6 1 + ia = 1,77156 ia = 1,77156 - 1 ia = 0,77156 = 77,15% 5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal? Resolução: Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos: (1 + im)6 = 1 + is (1 + im)6 = 1,9738 im = 12% DESCONTO RACIONAL COMPOSTO Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, é o mesmo que obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia CAPITAL ⇒ VALOR ATUAL MONTANTE ⇒ VALOR NOMINAL Se para o cálculo do montante composto dizemos que M = C ⋅ (1 + i)n , então, para o cálculo do valor atual racional compostos, vamos dizer que: N 1 N = A ⋅ (1 + i)n ⇒ A = n ⇒ A = N ( 1+ i )n ou ainda A = N ⋅ (1 + i) -n (1+ i ) MATEMÁTICA FINANCEIRA 14
  • 5. PEDRO NORBERTO EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual o valor atual? Resolução: N = R$ 1.000 n=3 i = 10% = 0,1 N Substituindo os dados do problema em A = ou A = N ⋅ (1 + i)-n , temos: (1 + i) n A = N ⋅ (1 + i)-n A = N ⋅ (1,1)-3 A = 1.000 ⋅ 0,75131 A = R$ 751,31 2) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto? Resolução: A = R$ 1.645,41 n=4 i = 5% = 0,05 N Substituindo os dados em A = , temos: (1 + i) n N A= (1 + i) n N 1.645,41 = (1,05) 4 N 1.645,41 = 1,21551 N = R$ 2.000,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 15