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Washington Franco Mathias
        José Maria Gomes


Matemática
 Financeira
        Com + de 600 exercícios
          resolvidos e propostos


                        5ª Edição
Capítulo 5


          RENDAS CERTAS
               OU
            ANUIDADES
Mathias
Gomes
Rendas Certas ou
          Anuidades
           Definições:    Dada uma série de capitais, referidos às
           suas respectivas datas:

                              R1             n1
                              R2            n2
                              ...           ...
                              Rm            nm


                   Estes capitais, referidos a uma dada taxa de ju-
           ros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa.
           VALORES = Termos da anuidade;
           PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos;
           DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos.
Mathias
Gomes
Valor Atual e Montante de
          uma Anuidade

          Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos
          seus termos, na mesma data focal e à mesma
          taxa de juros “i”.


          Montante: é a soma dos montantes dos seus ter-
          mos, considerada uma dada taxa de juros “i” e
          uma data focal.



Mathias
Gomes
Classificação das
          Anuidades
          QUANTO AO PRAZO:

          • Temporárias: quando a duração for limitada.
          • Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
           QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:

           • Constante: quando todos os termos são iguais.
           • Variável: quando os termos não são iguais entre
           si.


Mathias
Gomes
Classificação das
          Anuidades
          QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
          RECEBIMENTO:

          • Imediatas: quando os termos são exigíveis a
          partir do primeiro período.
           -> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
          exigíveis no fim dos períodos.
           -> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
          início dos períodos.


Mathias
Gomes
Classificação das
          Anuidades
          QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
          RECEBIMENTO:

          • Diferidas: quando os termos forem exigíveis a
          partir de uma data que não seja o primeiro perío-
          do.
           -> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
          exigíveis no fim dos períodos.
           -> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
          início dos períodos.


Mathias
Gomes
Classificação das
          Anuidades
          QUANTO À PERIODICIDADE:


          • Periódicas: se todos os períodos são iguais.

          • Não-periódicas: se os períodos não são i-
          guais entre si.



Mathias
Gomes
Modelo Básico de Anuidade

           São as anuidades que são:

           • Temporárias;
           • Constantes;
           • Imediatas e Postecipadas;
           • Periódicas;
           • A taxa de juros “i” está referida ao mesmo pe-
           ríodo dos termos.




Mathias
Gomes
Valor Atual do Modelo
          Básico
           P = principal           P
           n = número de termos
                                                                 R
           R = termos                            R       R
           i = taxa de juros           0     1       2       n




                              P = R.a¬
                                       n i




          Diz-se que o principal vai ser pago em “n” par-
          celas (prestações) iguais a “R”.

Mathias
Gomes
Valor Atual do Modelo
      Básico                                                   EXEMPLO



          a¬ = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”.
             n   i



          O cálculo de   a¬n   i
                                   é feito do seguinte modo:

                                (1+ i)n −1
                           a¬ =
                            n i  i(1+ i)n

          Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
          valores de “n” e de “i” (veja tabelas no fim do li-
          vro).
Mathias
Gomes
Exemplo
          I) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações men-
          sais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a
          partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou es-
          tar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergun-
          ta-se o preço do carro à vista.
          Resolução:           (1+ i)n −1
                        a¬ =
                         n i
                               i(1+ i)n
          onde: n = 4 meses
                i = 2% a.m.
                             (1,02) − 1
                                     4

                      a¬ i=
                       n                4
                                          ≅ 3,807729
                            0,02.(1,02)
          Portanto, como R = 2.626,24:
                         P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00
Mathias
Gomes
Exemplo
          II) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode
          ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa
          de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.
          Resolução:       P
                       R=
                          a¬ i
                            n

          onde: P = 5.000,00
                 n = 10 m.
                 i = 3% a.m.
                 Procurando numa tabela ou calculando diretamente,
          tem-se:
                            a 10 3 ≅ 8 , 530203
                              ¬
                                    5 . 000 , 00
                            R =                  = $ 586 ,15
                                    8 , 530203
Mathias
Gomes
Exemplo
             Portanto, o comprador deverá pagar uma prestação men-
      sal de $ 586,15, por 10 meses.

      III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas
      seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações men-
      sais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lo-
      jas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.

      Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, te-
      mos:


                     P
                         E   {       R       R       R

                             0   1       2       3

Mathias
Gomes
Exemplo
          Portanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações na
          data zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguinte
          modo:

                         P = E + Ra¬        3 2,5

          onde: E = 1.500,00
                R = 1.225,48
                 a ¬ 2,5≅ 2 , 856024
                   3

          Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024
                P = 1.500,00 + 3.500,00
                P = $ 5.000,00

          Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00.
Mathias
Gomes
Exemplo
          V) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode ser
          adquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros
          de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês
          seguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de pres-
          tações.

          Resolução: P = R .a ¬ i
                              n
                        15 . 000 = 885 , 71 .a ¬ 3
                                                n
                               15 . 000
                        a ¬3 =
                          n             = 16 ,935566
                               885 , 71
          Temos que: 16 ,935566 = 1 − (1, 03 ) − n
                                      0 , 03
                        1 − (1, 03 ) − n = 0 ,508067
                        (1, 03 ) − n = 0 , 491933
Mathias
Gomes
Exemplo
          Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se:

                    −n log(1, 03) = log(0, 491933)
                        log(0, 491933)
                    n=−
                           log(1, 03)
                        −0,308094
                    n=−           ≅ 24 meses
                        0, 012837




Mathias
Gomes
Montante do Modelo
          Básico                                                     EXEMPLO



           S = montante                                              S
           n = número de termos
                                                                     R
           R = termos                          R       R
           i = taxa de juros         0     1       2       n-1   n




                              S = R.s¬ i
                                     n



           Diz-se que “s” é o resultado de um processo de
           capitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a
           “R”.

Mathias
Gomes
Exemplo
          I) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se
          que ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ?

          Resolução:

                            S = R .S ¬ i
                                      n



          onde:         R =1.000,00
                       S 24 2= 30 , 421862
                         ¬

          Portanto:     S = 1.000,00 x 30,421862
                        S = $ 30.421,86

          Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86.
Mathias
Gomes
Montante do Modelo
          Básico                                            EXEMPLO




           s¬ = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”.
             n   i



          O cálculo de s¬ é feito do seguinte modo:
                          n   i



                                (1+ i)n −1
                           s¬ =
                            n i
                                     i

          Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
          valores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do li-
          vro).
Mathias
Gomes
Exemplo
          II) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vis-
          ta, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma cer-
          ta quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio ren-
          dendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deve
          ser poupado mensalmente.

          Resolução: Neste caso, o montante é dado:
                     S = 40.000,00

                 Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, faze-
          mos o cálculo diretamente:
                               (1, 022 ) 12 − 1 1, 298407 − 1
                        ¬=
                       S12 2,2                  =
                                    0 , 022           0 , 022
                               0 , 298407
                            =                 = 13 ,563955
                                   0 , 022
Mathias
Gomes
Exemplo
          Temos:
                            S
                       R=
                             ¬
                           S 12 2,2
                              40 . 000
                       R=                 2 . 948 ,99
                           13 ,563955
                       ∴ R = $ 2 . 949 , 00

                  Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a
          aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carro
          pretendido.




Mathias
Gomes
Relação entre o Valor Atual e o
          Montante do Modelo Básico
                                                          EXEMPLO


            A relação é:


                              S =P(1+i)n

             E a relação entre os fatores é a seguinte:


                             s¬ = (1+ i)n .a¬
                              n i           n   i




Mathias
Gomes
Exemplo
          Uma pessoa possui $ 30.000,00, que pode aplicar do seguinte
          modo:
          a) no banco A, que paga um juro de 3% a.m. ao fim de cada
          mês, devolvendo o capital no fim do 12º mês;
          B) no banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12º mês.
          Pede-se determinar a melhor aplicação.

          Resolução: A melhor aplicação será aquela que conduzir ao
          maior montante na data focal 12:

                 Banco A: A aplicação de $ 30.000,00 a um juro de 3%
          a.m. produz uma renda mensal de $ 900,00. Portanto, o mon-
          tante na data focal 12 é:



Mathias
Gomes
Exemplo
                SA = 30.000 + 900,00.S¬ 3
                                       12

                SA = 30.000 + 900,00 x14,192030
                SA = 30.000 + 12.772,83
                SA = $42.772,83
          Note-se que pela fórmula este resultado pode ser obtido dire-
          tamente:

                S = P (1 + i ) n
                SA = 30.000.(1,03)12
                SA = 30.000 x1,425761
                SA = $42.772,83

Mathias
Gomes
Exemplo
          Já sabemos que o Banco B devolve:

                       SB = $ 42.000,00

          Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhando
          um adicional de $ 772,83.




Mathias
Gomes

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Matemática Financeira - Rendas Certas ou Anuidades

  • 1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
  • 2. Capítulo 5 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Mathias Gomes
  • 3. Rendas Certas ou Anuidades Definições: Dada uma série de capitais, referidos às suas respectivas datas: R1 n1 R2 n2 ... ... Rm nm Estes capitais, referidos a uma dada taxa de ju- ros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa. VALORES = Termos da anuidade; PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos; DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos. Mathias Gomes
  • 4. Valor Atual e Montante de uma Anuidade Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos seus termos, na mesma data focal e à mesma taxa de juros “i”. Montante: é a soma dos montantes dos seus ter- mos, considerada uma dada taxa de juros “i” e uma data focal. Mathias Gomes
  • 5. Classificação das Anuidades QUANTO AO PRAZO: • Temporárias: quando a duração for limitada. • Perpétuas: quando a duração for ilimitada. QUANTO AO VALOR DOS TERMOS: • Constante: quando todos os termos são iguais. • Variável: quando os termos não são iguais entre si. Mathias Gomes
  • 6. Classificação das Anuidades QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO: • Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. -> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos. -> Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos. Mathias Gomes
  • 7. Classificação das Anuidades QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO: • Diferidas: quando os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro perío- do. -> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos. -> Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos. Mathias Gomes
  • 8. Classificação das Anuidades QUANTO À PERIODICIDADE: • Periódicas: se todos os períodos são iguais. • Não-periódicas: se os períodos não são i- guais entre si. Mathias Gomes
  • 9. Modelo Básico de Anuidade São as anuidades que são: • Temporárias; • Constantes; • Imediatas e Postecipadas; • Periódicas; • A taxa de juros “i” está referida ao mesmo pe- ríodo dos termos. Mathias Gomes
  • 10. Valor Atual do Modelo Básico P = principal P n = número de termos R R = termos R R i = taxa de juros 0 1 2 n P = R.a¬ n i Diz-se que o principal vai ser pago em “n” par- celas (prestações) iguais a “R”. Mathias Gomes
  • 11. Valor Atual do Modelo Básico EXEMPLO a¬ = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”. n i O cálculo de a¬n i é feito do seguinte modo: (1+ i)n −1 a¬ = n i i(1+ i)n Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos valores de “n” e de “i” (veja tabelas no fim do li- vro). Mathias Gomes
  • 12. Exemplo I) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações men- sais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou es- tar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergun- ta-se o preço do carro à vista. Resolução: (1+ i)n −1 a¬ = n i i(1+ i)n onde: n = 4 meses i = 2% a.m. (1,02) − 1 4 a¬ i= n 4 ≅ 3,807729 0,02.(1,02) Portanto, como R = 2.626,24: P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00 Mathias Gomes
  • 13. Exemplo II) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. Resolução: P R= a¬ i n onde: P = 5.000,00 n = 10 m. i = 3% a.m. Procurando numa tabela ou calculando diretamente, tem-se: a 10 3 ≅ 8 , 530203 ¬ 5 . 000 , 00 R = = $ 586 ,15 8 , 530203 Mathias Gomes
  • 14. Exemplo Portanto, o comprador deverá pagar uma prestação men- sal de $ 586,15, por 10 meses. III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações men- sais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lo- jas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista. Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, te- mos: P E { R R R 0 1 2 3 Mathias Gomes
  • 15. Exemplo Portanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações na data zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguinte modo: P = E + Ra¬ 3 2,5 onde: E = 1.500,00 R = 1.225,48 a ¬ 2,5≅ 2 , 856024 3 Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024 P = 1.500,00 + 3.500,00 P = $ 5.000,00 Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00. Mathias Gomes
  • 16. Exemplo V) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode ser adquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de pres- tações. Resolução: P = R .a ¬ i n 15 . 000 = 885 , 71 .a ¬ 3 n 15 . 000 a ¬3 = n = 16 ,935566 885 , 71 Temos que: 16 ,935566 = 1 − (1, 03 ) − n 0 , 03 1 − (1, 03 ) − n = 0 ,508067 (1, 03 ) − n = 0 , 491933 Mathias Gomes
  • 17. Exemplo Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se: −n log(1, 03) = log(0, 491933) log(0, 491933) n=− log(1, 03) −0,308094 n=− ≅ 24 meses 0, 012837 Mathias Gomes
  • 18. Montante do Modelo Básico EXEMPLO S = montante S n = número de termos R R = termos R R i = taxa de juros 0 1 2 n-1 n S = R.s¬ i n Diz-se que “s” é o resultado de um processo de capitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a “R”. Mathias Gomes
  • 19. Exemplo I) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ? Resolução: S = R .S ¬ i n onde: R =1.000,00 S 24 2= 30 , 421862 ¬ Portanto: S = 1.000,00 x 30,421862 S = $ 30.421,86 Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86. Mathias Gomes
  • 20. Montante do Modelo Básico EXEMPLO s¬ = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”. n i O cálculo de s¬ é feito do seguinte modo: n i (1+ i)n −1 s¬ = n i i Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos valores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do li- vro). Mathias Gomes
  • 21. Exemplo II) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vis- ta, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma cer- ta quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio ren- dendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deve ser poupado mensalmente. Resolução: Neste caso, o montante é dado: S = 40.000,00 Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, faze- mos o cálculo diretamente: (1, 022 ) 12 − 1 1, 298407 − 1 ¬= S12 2,2 = 0 , 022 0 , 022 0 , 298407 = = 13 ,563955 0 , 022 Mathias Gomes
  • 22. Exemplo Temos: S R= ¬ S 12 2,2 40 . 000 R= 2 . 948 ,99 13 ,563955 ∴ R = $ 2 . 949 , 00 Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carro pretendido. Mathias Gomes
  • 23. Relação entre o Valor Atual e o Montante do Modelo Básico EXEMPLO A relação é: S =P(1+i)n E a relação entre os fatores é a seguinte: s¬ = (1+ i)n .a¬ n i n i Mathias Gomes
  • 24. Exemplo Uma pessoa possui $ 30.000,00, que pode aplicar do seguinte modo: a) no banco A, que paga um juro de 3% a.m. ao fim de cada mês, devolvendo o capital no fim do 12º mês; B) no banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12º mês. Pede-se determinar a melhor aplicação. Resolução: A melhor aplicação será aquela que conduzir ao maior montante na data focal 12: Banco A: A aplicação de $ 30.000,00 a um juro de 3% a.m. produz uma renda mensal de $ 900,00. Portanto, o mon- tante na data focal 12 é: Mathias Gomes
  • 25. Exemplo SA = 30.000 + 900,00.S¬ 3 12 SA = 30.000 + 900,00 x14,192030 SA = 30.000 + 12.772,83 SA = $42.772,83 Note-se que pela fórmula este resultado pode ser obtido dire- tamente: S = P (1 + i ) n SA = 30.000.(1,03)12 SA = 30.000 x1,425761 SA = $42.772,83 Mathias Gomes
  • 26. Exemplo Já sabemos que o Banco B devolve: SB = $ 42.000,00 Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhando um adicional de $ 772,83. Mathias Gomes