slides de aula de matematica aplicada a admnistração

1. Matemática para
Negócios
Plano de Ensino
Teoria dos Conjuntos

2. Plano de Ensino
Objetivo Geral
Proporcionar ao aluno os fundamentos
teóricos para resolver casos e situações
práticas, utilizando conhecimentos de cálculo
matemático e financeiro, e as condições
adequadas de informações necessárias aos
processos de planejamento, controle e
tomada de decisão.
2

3. Plano de Ensino
Objetivos Específicos
• Entender as principais regras e
fundamentos da matemática básica;
• Compreender os conceitos matemáticos
para o cálculo das funções custo, receita,
lucro e ponto de equilíbrio na análise das
atividades operacionais da empresa;
• Elaborar modelos econômicos da demanda,
oferta e ponto de equilíbrio de mercado;
3

4. Plano de Ensino
Objetivos Específicos
• Tornar mais ampla a aplicação dos
conhecimentos gerais de cálculos em
negociação de operações industriais,
comerciais e bancárias;
4

5. Conteúdo (resumo)
5
Teoria dos Conjuntos
Noções de Potenciação e Radiciação
Intervalos Numéricos
Equações e inequações
Razão
Proporção
Grandezas proporcionais
Porcentagem
Funções (primeiro e segundo graus) e aplicações
Limites e derivadas

6. Plano de Ensino
Bibliografia
SILVA, Luiza Maria Oliveira da; MACHADO, Maria Augusta
Soares. Matemática Aplicada à Administração,
economia e contabilidade - Funções de uma e mais
variáveis. São Paulo: Cengage, 2011.
GOLDSTEIN, Larry Joel; LAY, David C.; SCHNEIDER,
David I. Matemática Aplicada: economia, administração
e contabilidade. São Paulo: Bookman, 2006.
HARIKI, S. Matemática Aplicada: Administração,
Economia e Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999.
LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e
Administração. São Paulo: Harbra, 2001.
6

7. Conjuntos: Exemplo Introdutório
Uma pesquisa de mercado foi realizada com 450
consumidores para que indicassem o consumo de um ou
mais de três produtos selecionados, A, B e C. Alguns dos
resultados obtidos são apresentados a seguir:
• 40 consomem os três produtos;
• 60 consomem os produtos A e B;
• 100 consomem os produtos B e C;
• 120 consomem os produtos A e C;
• 240 consomem o produto A;
• 150 consomem o produto B.
7

8. Considerando que há 50 pessoas que responderam
que não consomem nenhum dos três produtos,
responda:
a) Quantas consomem somente o produto C?
b) Quantas consomem pelo menos dois produtos?
c) Quantas consomem o produto A e o produto B e
não consomem o produto C?
8
a) x = 450 - 50 – 30 - 100 – 20 – 60 – 80 – 40
x = 70 pessoas
b) 20 + 80 + 40 + 60 = 200 pessoas
c) 20 pessoas

9. 9
100 20
30
40
80 60
50
X
450
X = 450 - 50 – 30 - 100 – 20 – 60 – 80 – 40 = 70

10. Conjuntos
Conjunto: coleção ou totalidade dos
elementos (conceito primitivo).
Representação: através de letras maiúsculas
do nosso alfabeto.
Exemplo:
A: conjunto das disciplinas obrigatórias de um curso
de graduação
A = {Comunicação e Expressão, Matemática para
Negócios, Economia, ...}
10

11. Conjuntos
•
11

12. Relações de pertinência e de
continência
Considere os conjuntos
A = {a,b,c,d,e}, B = {c,d,e} e C = {d,e,f }
• a  A (o elemento a pertence ao conjunto A)
• a  B (o elemento a não pertence ao
conjunto B)
• A  B (o conjunto A contém o conjunto B)
• B  A (o conjunto B está contido em A)
• C  A (o conjunto C não está contido em A)
• A C (o conjunto A não contém C)
12



13. Representação por diagrama
Diagramas de Venn
13
A C
a
d
c f
b e

14. Conjunto vazio e conjunto universo
Conjunto vazio:
não possui nenhum elemento.
Exemplo:
A = {x | x é um número ímpar múltiplo de 4}
A = { } ou A = 
Conjunto universo (U):
contém todos os elementos que possam vir a
participar dos conjuntos envolvidos no
problema considerado.
14

15. Conjuntos disjuntos e igualdade de
conjuntos
Conjuntos disjuntos: que não possuem
nenhum elemento em comum.
Exemplo:
A = {x | x é par} e B = {x | x é ímpar}
Igualdade de conjuntos: dois conjuntos A e
B são iguais se ambos possuem exatamente
os mesmos elementos.
15

16. Operações com conjuntos
União ()
A união de dois conjuntos A e B é um
conjunto que contém os elementos que
pertencem a A ou a B ou a ambos.
U
A B
 
B
x
ou
A
x
x
B
A 



 /
U
16

17. Exemplo:
Considere o lançamento de um dado e os
conjuntos A e B definidos a seguir.
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B: “ocorreu valor maior que 2”  B = {3,4,5,6}
A  B = {2,3,4,5,6}
17
A B U
4 3
2
6 5
1

18. Intersecção ()
A intersecção de dois conjuntos A e B é um
conjunto que contém os elementos de A que
também são elementos de B.
A B U
 
B
x
e
A
x
x
B
A 



 /
U
18

19. Exemplo:
Considere o lançamento de um dado e os
conjuntos A e B definidos a seguir.
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B: “ocorreu valor maior que 2”  B = {3,4,5,6}
A  B = {4,6}
19
A B U
4 3
2
6 5
1

20.  
A
x
U
x
Ac


 /
Complementar
O conjunto complementar de A (denotado
por Ac) é o conjunto que contém todos os
elementos do conjunto universo U que não
pertencem a A.
U
A
Ac
20

21. Exemplo:
Considere o lançamento de um dado e o
conjunto A definido a seguir.
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
Ac = {1,3,5}
21
A U
4 3
2
6 5
1

22. Diferença (–)
A diferença de dois conjuntos A e B, nessa
ordem, é um conjunto que contém os
elementos de A que não pertencem a B.
U
A B
 
B
x
x
B
A 


 /
A
22

23. Exemplo:
Considere o lançamento de um dado e os
conjuntos A e B definidos a seguir.
A: “ocorreu valor par”  A = {2,4,6}
B: “ocorreu valor maior que 2”  B = {3,4,5,6}
A – B = {2}
23
A B U
4 3
2
6 5
1

24. Q
Z
Conjunto dos números naturais (N),
inteiros (Z) e racionais (Q)
• N = {0,1,2,3, . . .}
• Z = {. . . ,-3,-2,-1,0,1,2,3, . . .}
• Q = }
,
/
{ *
Z
b
Z
a
b
a


N

25. Conjunto dos números irracionais (Q´)
Conjunto dos números que não podem ser
escritos como frações de dois inteiros.
Exemplos:
a) número  = 3,1415...
b) número e = 2,8182...
c) raízes quadradas de números primos,
tais como,
2 1,41...


26. Q
Z
Conjunto dos números reais (R)
R = Q  Q´
N Q´

27. Atividade
(UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão,
isoladamente, representados abaixo.
Considere a seguinte figura que estes conjuntos
formam.
27

28. Atividade
A região hachurada pode ser representada por:
a) M  (N  P)
b) M – (N  P)
c) M  (N – P)
d) N – (M  P)
e) N  (P  M)
28
Resposta: Letra B

29. Matemática para
Negócios
Intervalos Numéricos
Potenciação e Radiciação

30. Intervalos numéricos
Intervalos fechados:
[ a , b ]
Intervalos abertos:
] a , b [
30
 
b
x
a
x 



 
b
x
a
x 



a
a
b
b

31. Intervalos numéricos
Intervalos mistos:
[ a , b [
] a , b ]
31
 
b
x
a
x 



 
b
x
a
x 



a
a
b
b

32. Intervalos numéricos
Intervalos envolvendo o infinito:
[ a ,  [
] – , a [
32
 
a
x
x 


 
a
x
x 


a
- 

a

33. Potenciação




 
fatores
n
n
a
a
a
a
a 




33
Definição:
a: base
n: expoente
Exemplo:
a) 23 = 2 . 2 . 2 = 8

34. b) (–2)3 = -8
c) (–2)4 = 16
d) –24 = 16
e) 05 = 0
f) a0 = 1
34

35. (I)
Exemplos:
a) 3234 = 36 b) xx5 = x6
(II)
Exemplos:
a) 52 b) x2
Propriedades
n
m
n
m
a
a
a 

n
m
n
m
a
a
a 



2
4
5
5

5
7
x
x
35

36. (III)
Exemplos:
a) 25x2 b)
(IV)
Exemplos:
a) b)
n
n
n
b
a
b
a













 
2
3
5







4
3
x
  n
n
n
b
a
b
a 


  
2
5x 








4
2
3
3
2
z
xy
36








8
12
4
81
16
z
y
x









2
2
3
5








4
4
3
x






9
25

37. (V)
Exemplos:
a) b)
(VI)
Exemplos:
a) b)
n
n
a
a
1



2
5 








3
2
y
x
  n
m
n
m
a
a 

  
3
2
5   
5
2
5
3
37
6
5 2
3
2
5
1













3
2x
y








3
3
3
2 x
y

38. (VII)
Exemplos:
a)
b)
c) 
5 10
7
n m
n
m
a
a 

2
1
9

 3
1
3 2
x
x
38

2 1
9 3
9 

3
3 2
x
x x
x 
3 3
2
5
10
7
7 

39. a: radicando
n: índice da raiz
Exemplos:
a)
Radiciação
a
b
b
a n
n



39
2
8
8 3
1
3



40. b)
c)
d)
4
16 
16

40
2
8
8 3
1
3





Não existe solução

41. Aplicação
Um estudo constatou que a quantidade de
habitantes de uma determinada região, a partir do
ano de 2003, cresce 10% ao ano. Obtenha uma
expressão que forneça a quantidade de habitantes
em relação ao tempo (em anos a partir de 2003),
sabendo que em 2003 a população era de 40000
habitantes. De acordo com esse estudo, qual é a
população estimada para o ano de 2010?
41
Resposta: 40000 x 1,107 = 77.948,6840
(aproximadamente 77.949 pessoas)

42. Matemática para
Negócios
Equação
Equação do 1º Grau

43. Equação
Definição: é uma sentença matemática que
exprime uma relação de igualdade e que
contém, pelo menos, uma incógnita
(representada por uma letra).
Incógnita: representa um ou um conjunto de
valores desconhecidos.
43

44. Equação
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
9
8
2 

x
10
9
2


 x
x
x
0
3 2


 y
x
4
5
2 

x
2
3
1
7 x
x
x



44

45. Equação
Princípios aditivo e multiplicativo:
aplicação na resolução de equações.
Exemplo:
Como resolver a
equação 3x + 5 = 11,
utilizando tais princípios?
45
©
Erengoksel
|
Dreamstime.com

46. Equação
Resolução:
3x + 5 = 11
3x = 11 - 5
x = 6/3
x = 2
46
©
Erengoksel
|
Dreamstime.com

47. Equação do primeiro grau
Uma equação do primeiro grau, na
incógnita x, é toda equação que pode ser
escrita na forma:
em que a e b são valores reais, com a ≠ 0.
Exemplos:
a) b) x + 3 = –2x + 7
0

b
ax
0
3
2
5 

x
47

48. Equação do primeiro grau
Solução ou raiz: valor que, atribuído à
incógnita, torna a sentença verdadeira.
Exemplo:
x = 3 é raiz da equação 5x + 2 = 17.
De modo geral:
é raiz da equação
a
b
x 
 0

 b
ax
48

49. Questão
Resolva as equações:
a)
...
2222
,
1
9
11
9
11
7
2
8
3
8
2
3
7










x
x
x
x
x
x
49

50. b) x
x



5
7
2
5
50
40
,
2
15
36
15
36
2
3
5
18
2
2
5
7
25
2
5
7
5










x
x
x
x
x
x
x

51. Atividade
51
O funcionário de uma firma recebe um salário base de R$
500,00 sobre o qual é adicionado um valor referente às
horas extras trabalhadas no mês. Ele recebe R$ 10,00 por
hora extra. Recebe ainda um adicional de 5% sobre a soma
do salário base com o valor referente às horas extras
trabalhadas. O desconto previdenciário é de 8% sobre o
salário total. Quantas horas extras ele deverá trabalhar num
mês para receber R$ 966,00 de salário (líquido)?
(500 + 10x) . 1,05 . (1 - 0,08) = 966
(500 + 10x) . 0,966 = 966
483 + 9,66x = 966
9,66x = 966 - 483
x = 483 / 9,66  x = 50 horas extras

52. Matemática para
Negócios
Razão e Proporção
Porcentagem

53. Razão
Razão entre os valores x e y, nessa ordem,
é a divisão .
x : antecendente
y : consequente
Exemplos:
a) Porcentagem:
y
x
12
,
0
100
12
%
12 

53

54. b) Densidade demográfica:
c) Velocidade:
d) Nível de concorrência em um concurso:
h
km
h
km
/
50
4
200

2
2
/
25
,
1
4000
5000
km
hab
km
hab

cand./vaga
190
50
9500
oferecidas
vagas
de
quant.
inscritos
candidatos
de
total


54

55. Aplicação
(Enade 2004 - Adaptada)
Os países em desenvolvimento fazem grandes
esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o
acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias
da era da informação. Um dos indicadores
empregados é o número de hosts, ou seja, número
de computadores que estão conectados à Internet.
A tabela e o gráfico a seguir mostram a evolução do
número de hosts nos três países que lideram o
setor na América Latina.
55

56. Número de hosts
2000 2001 2002 2003 2004
Brasil 446.444 876.596 1.644.575 2.237.527 3.163.349
México 404.873 559.165 918.288 1.107.795 1.333.406
Argentina 142.470 270.275 465.359 495.920 742.358
Fonte: Internet Systems Consortium, 2004
56

57. Número de hosts
Fonte: Internet Systems Consortium, 2004
57

58. Dos três países, os que apresentaram,
respectivamente, a maior e a menor razão
de crescimento no número de hosts no
período 2000-2004 foram:
(A) Brasil e México.
(B) Brasil e Argentina.
(C) Argentina e México.
(D) Argentina e Brasil.
(E) México e Argentina.
58

59. Resolução
Brasil:
México:
Argentina:
Alternativa correta: A
09
,
6
444
.
446
905
.
716
.
2

29
,
2
873
.
404
533
.
928

21
,
4
470
.
142
888
.
599

2000 2004
Brasil 446.444 3.163.349
México 404.873 1.333.406
Argentina 142.470 742.358
 Maior Crescimento
 Menor Crescimento

60. Proporção
Igualdade entre duas razões e :
x e w : extremos
y e z : meios
y
x
w
z
y
x

w
z
60

61. Propriedades das proporções
• Propriedade fundamental
Se , então
Ex: a)
b)
w
z
y
x
 z
y
w
x 


6
3
9
2
9
6
3
2





2
20
40
8
5
20
20
8
5










x
x
x
x
61

62. Propriedades das proporções
• Propriedade das somas dos
antecedentes e dos consequentes:
Se , então
ou
Ex:
w
z
y
x

y
x
w
y
z
x



2 6
3 9

w
z
w
y
z
x



62

63. Lorena, Rafaela e Júlia formaram uma sociedade e
investiram, respectivamente, R$2.500,00; R$3.500,00 e
R$ 4.000,00 num fundo de investimentos. Após um ano,
a aplicação estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se as
três investidoras resgatarem somente o rendimento e
dividirem em partes diretamente proporcionais aos valores
investidos, qual deverá ser o valor recebido por cada uma
63
Aplicação
As três investiram R$10.000,00
Lorena = 25% Rafaela = 35% e Júlia = 40%
Rendimento = Saldo final – investimento inicial = R$ 2.500,00
 Lorena = 2500 . 0,25 = R$ 625,00
 Rafaela = 2500 . 0,35 = R$ 875,00
 Júlia = 2500 . 0,40 = R$ 1.000,00

64. Porcentagem
64
Razão com denominador igual a 100.
Exemplo
Um corretor de imóveis vende um
apartamento por R$ 350.000,00. Sua
corretagem é de 4%. Quanto ele ganhou?
R$ 35.000,00 . 0,04 = R$ 14.000,00

65. Porcentagem
65
Exemplo
Uma calça é vendida por R$ 110,00. Se o seu
preço fosse aumentado em 15%, quanto
passaria a custar?
R$ 110,00 . 1,15 = R$ 126,50

66. Porcentagem
66
Exemplo
Uma bolsa que custava R$ 45,00 passou a
custar R$ 54,00. Qual a taxa percentual de
aumento?
R$ 45,00 ------ 100%
R$ 54,00 - R$ 45,00 ------ x%
x = (9 . 100) / 45
x = 20%

67. Atividade
Num determinado dia, uma revenda de automóveis vendeu
dois carros. O primeiro foi vendido por um valor 10%
menor que seu preço de mercado. No caso do segundo, o
valor obtido com sua venda foi 10% acima do preço de
mercado. Se ambos foram vendidos por R$ 9.900,00 cada,
pode-se afirmar que a revenda teria feito melhor negócio
se tivesse vendido ambos pelo preço de mercado? Ou não
fez nenhuma diferença? Justifique sua resposta.
1º Carro: 0,9x = 9.900  x = R$ 11.000,00
2º Carro: 1,1x = 9.900  x = R$ 9.000,00
Se ambos fossem vendidos pelo preço de mercado a
loja teria conseguido R$ 20.000,00 (melhor opção), ao
invés dos R$ 19.800,00 alcançados.
67

68. Matemática para
Negócios
Função

69. 69

70. Função
Definição:
Uma relação f : A → B é denominada uma
função de A em B (nessa ordem) se a cada
elemento de A corresponde um único
elemento de B.
A B
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
70

71. Domínio, contradomínio e imagem
Exemplo 1: f : A → B dada por
Domínio:
D(f) = A
Contradomínio:
CD(f) = B
Imagem:
Im(f) = {-3,-1,1,3}
–1
0
1
2
2 1
y x
 
–3
–2
–1
0
1
2
3
B
A
71

72. Exemplos
1) O custo de produção de determinada
utilidade pode ser dado em função da
quantidade produzida.
2) A quantidade demanda de certo produto
tende a variar em função de seu preço.
3) O lucro que uma empresa obtém com um
de seus produtos pode ser expresso em
função da quantidade vendida e do preço
praticado.
72

73. Função do 1º grau
Uma função do 1º grau é toda função f: R  R
que pode ser escrita na forma:
em que a e b são números reais e a ≠ 0.
O gráfico de uma função do primeiro grau é
sempre uma reta.
• a > 0  função crescente.
• a < 0  função decrescente.
( )
f x ax b
 
73

74. Função do 1º grau
Coeficiente angular (a): determina a variação
que ocorre em y para cada unidade que x
aumenta.
Intercepto (b): é o ponto de encontro do
gráfico da função com o eixo vertical y.
74

75. Função do 1º grau
Exercício:
Esboçar os gráficos das funções:
a) f(x) = 3x + 1
para x=0 (0;1)
para x=2 (2;7)
b) f(x) = –3x + 1
para x=0 (0;1)
para x=2 (2;-5)
75

76. y = 3x + 1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0 1 2 3
76
para x=0 (0;1)
para x=2 (2;7)
Função Crescente
a > 0

77. y = –3x + 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3
77
para x=0 (0;1)
para x=2 (2;-5)
Função
Descrescente
a < 0

78. Atividade
78
Obtenha a função linear cujo gráfico é uma
reta que passa pelos pontos (0,2) e (3,8).
y = ax + b y = ax + b y = 2x + 2
2 = a.0 + b 8 = a.3 + b
b = 2 8 = 3a + 2
8 - 2 = 3a
6 = 3a
a = 6/3
a = 2

79. Matemática para
Negócios
Função Custo

80. Função Custo
É uma função matemática (relação) que
associa o custo total de produção de certa
utilidade (ou serviço) à sua quantidade
produzida.
É formada por uma parte fixa, denominada
Custo Fixo, que é aquela que independe da
quantidade produzida (aluguéis, salários, etc)
somada a uma parte variável, denominada
Custo Variável, que é aquela que depende
da quantidade produzida.
80

81. Como:
então, podemos escrever:
cvu: custo variável unitário
Q: quantidade produzida
Função Custo
81
CV
CF
CT 

Q
cvu
CV 

Q
cvu
CF
CT 



82. 82
Exemplo 1:
Na produção de certo modelo de pen drive,
uma empresa tem custos fixos de R$
8.000,00 e cada unidade produzida ainda
gera um custo de R$ 12,00. Qual é a fórmula
que relaciona o custo total de produção desse
pen drive com a sua quantidade produzida?
Q
CT
Q
cvu
CF
CT
.
12
8000





84. Custo Fixo Médio (CFM)
84
Q
CF
CFM 
Indica a participação do custo fixo em cada
unidade produzida.
Exemplo 2:
Calcular o CFM para o pen drive do exemplo 1
para a quantidades 500.
00
,
16
$
500
8000



Q
CF
CFM

85. Custo Variável Médio (CVM)
85
Q
CV
CVM 
Fornece o custo por unidade, sem
considerar a participação do custo fixo.
Exemplo 3:
Calcular o CVM para o pen drive do exemplo 1
para a quantidade 500.
00
,
12
$
500
500
12




Q
CV
CVM

86. Custo Médio (CM)
86
CVM
CFM
Q
CT
CM 


É o valor efetivo do custo por unidade
produzida para aquela quantidade.
Exemplo 4:
Calcular o CM para o pen drive do exemplo 1 para a quantidades 500.
ou
00
,
28
$
500
500
.
12
8000
.





CM
CM
Q
Q
cvu
CF
CM
00
,
28
$
12
16





CM
CM
CVM
CFM
CM

87. Aplicação
87
A função custo total para um determinado
produto é CT = –Q2 + 30Q + 400 para 0  Q 
15. Calcule o custo total para a produção de
5, 10 e 15 itens.
Item a 
Item b 
Item c 
00
,
575
$
400
5
.
30
52





CT
00
,
800
$
400
10
.
30
102





CT
00
,
1075
$
400
15
.
30
152





CT

88. Atividade
O custo fixo de produção de um determinado
bem é de R$ 5.000,00 com custo unitário de
produção de R$ 3,00 para quantidades
produzidas Q  2000.
a) Estabeleça uma expressão que forneça o custo total
de produção em função da quantidade produzida.
b) Calcule o custo total para a produção de 500, 1500 e
2000 itens.
c) Calcule CFM, CVM e CM para Q = 500
d) Calcule CFM, CVM e CM para Q = 2000.
88

89. a) Estabeleça uma expressão que forneça o custo total
de produção em função da quantidade produzida.
b) Calcule o custo total para a produção de 500, 1500 e
2000 itens.
Para 500 itens 
Para 1500 itens 
Para 2000 itens 
89
Q
CT
CV
CF
CT
3
5000



00
,
11000
$
2000
.
3
5000
3
5000 



 Q
CT
00
,
9500
$
1500
.
3
5000
3
5000 



 Q
CT
00
,
6500
$
500
.
3
5000
3
5000 



 Q
CT

90. c) Calcule CFM, CVM e CM para Q = 500
Para q = 500 unidades:
90
00
,
10
$
500
5000



Q
CF
CFM
00
,
3
$
500
500
.
3



Q
CV
CVM
00
,
13
$
3
10 



 CVM
CFM
CM
00
,
13
$
500
500
.
3
5000
.






Q
Q
cvu
CF
Q
CT
CM

91. d) Calcule CFM, CVM e CM para Q = 2000
Para q = 2000 unidades:
91
50
,
2
$
2000
5000



Q
CF
CFM
00
,
3
$
2000
2000
.
3



Q
CV
CVM
50
,
5
$
3
50
,
2 



 CVM
CFM
CM
50
,
5
$
2000
2000
.
3
5000
.






Q
Q
cvu
CF
Q
CT
CM

92. Matemática para
Negócios
Custo Total e
Ponto de Equilíbrio

93. Fornece o custo referente à
produção de uma certa
quantidade de determinado
bem.
Função Custo
Total (CT)
Custo fixo: independe da quantidade produzida.
Por exemplo: aluguel, salários, etc.
Custo variável: depende da quantidade
produzida. Por exemplo: matéria-prima, mão de
obra, etc.
93

94. Função Receita
Total (RT)
Determina o valor total recebido
(ou a receber) com a venda de
uma certa quantidade de bens
(ou serviços).
94

95. Equilíbrio da firma
Ponto de equilíbrio
de uma empresa
Custo total = Receita total
Como determinar funções que
representem o custo e a receita?
RT
CT
95

96. Função Lucro
Total (LT)
Determina a diferença entre a
receita obtida (ou a obter) com a
venda de uma certa quantidade
de bens (ou serviços) e o custo
de produção dos mesmos.
96

97. Aplicação 1
Uma impressora matricial é vendida por R$ 200,00
a unidade. O custo fixo é de R$ 1.600,00. O
custo de produção de cada impressora é de R$
120,00.
a) Obtenha as funções custo total e receita total
para esse produto.
b) Determine, algébrica e graficamente, o ponto de
equilíbrio (ou de nivelamento).
c) Obtenha a função lucro total.
d) Determine a quantidade que deve ser produzida
e vendida para que o lucro seja de R$ 5.040,00.
97

98. Simbologia:
Q: quantidade produzida do produto;
CT: custo total;
CF: custo fixo;
CV: custo variável;
RT: receita total;
cvu: custo variável unitário;
p: preço de venda.
98

99. a) Na aplicação 1, temos:
cuv = 120,00; p = 200,00; CF = 1.600,00
Portanto:
CT = 1.600,00 + 120,00 · Q (CF + CV)
e
RT = 200,00 · Q (p . Q)
99

100. b) Para determinar o ponto de equilíbrio
(nivelamento), devemos igualar a função
receita total à função custo total.
RT = CT
200 · Q = 1.600 + 120 · Q
200 · Q – 120 · Q = 1.600
80 · Q = 1.600
Q = 20 unidades
100

101. Se Q = 20, então:
RT = 200 · 20 = 4.000
CT = 1.600 + 120 · 20 = 4.000
Portanto, o ponto de equilíbrio é (20;4.000).
101

102. 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
Quantidade (Q)
Ponto de nivelamento
RT
CT
Ponto de
Nivelamento
Gráfico

103. c) LT = RT – CT
LT = 200Q – (1.600 + 120Q)
LT = 200Q – 1.600 – 120Q
LT = 80Q – 1.600
d) LT = 5.040
80Q – 1.600 = 5.000
80Q = 6.640
Q = 83
103

104. De forma geral
RT = p.Q
Ponto de equilíbrio (Qe)  RT = CT
p · Qe = CF + cvu·Qe
CT = CF + CV , onde CV = cvu.Q
 CT = CF + cvu.Q
cvu
p
CF
Qe


104

105. Aplicação 2:
Uma empresa de refrigerantes apresenta custo
fixo de R$ 100.000,00, custo unitário de R$
0,60, e preço de mercado de R$ 2,00. Sendo
assim, monte as funções custo total e receita
total e encontre o ponto de equilíbrio (Qe).
Custo total: CT = CF + CV = 100000 + 0,6·Q
Receita total: RT = 2·Q
Ponto de equilíbrio: 100000 + 0,6Q = 2Q
Q = 71428,57
Aproximadamente 71429 Refrigerantes
105

106. Q CF = 100.000 CV = 0,6.Q CT = CF + CV RT = 2,00.Q
0 100.000 0 100.000 0
10.000 100.000 6.000 106.000 20.000
20.000 100.000 12.000 112.000 40.000
30.000 100.000 18.000 118.000 60.000
40.000 100.000 24.000 124.000 80.000
50.000 100.000 30.000 130.000 100.000
60.000 100.000 36.000 136.000 120.000
70.000 100.000 42.000 142.000 140.000
80.000 100.000 48.000 148.000 160.000
90.000 100.000 54.000 154.000 180.000
100.000 100.000 60.000 160.000 200.000
Valores das Funções
106

107. Gráfico
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
160.000
180.000
200.000
220.000
R$
Q
Custo Total
Receita Total

108. Aplicação 3:
Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de
R$ 15.000,00 por mês. Se cada peça produzida
tem um custo de R$ 6,00 e o preço de venda é de
R$ 10,00 por peça, quantas peças a indústria deve
produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por
mês?
108
Custo total: CT = CF + CV = 15000 + 6·Q
Receita total: RT = 10·Q
Lucro Total: LT = RT - CT 30000 = 10Q - (15000 + 6Q)
10Q - 6Q = 30000 + 15000
Q = 45000/4  11.250 Peças

109. Atividade
109
Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de
R$ 800,00 por mês e custos variáveis de R$ 0,04 por folha
que produz. Expresse a função custo total em relação ao
número de páginas (Q) copiadas por mês. Se os
consumidores pagam R$ 0,09 por folha, quantas folhas a
firma tem que reproduzir para não ter prejuízo?
Custo total: CT = CF + CV = 800 + 0,04·Q
Receita total: RT = 0,09·Q
Ponto de equilíbrio:
(CT = RT)
800 + 0,04.Q = 0,09.Q
800 = 0,09.Q – 0,04.Q
800 = 0,05.Q
Q = 800/0,05  16000 Folhas

110. Matemática para
Negócios
Curvas de Demanda
Função do 2º Grau

111. Curvas de demanda
A curva de demanda nos mostra o
estabelecimento do nível de preço (p) no
mercado frente à quantidade (Q) de
demanda do produto pela sociedade.
fundamental em
economia e administração
Quanto menor o preço de um
determinado bem, maior a quantidade
que se deseja comprar.
111

112. 112

113. 113

114. 114

115. Função inversa
Podemos também expressar a função
demanda
isolando a variável P.
115
P
Q 2
80 

Q
P
Q
P 5
,
0
40
ou
2
80





116. Funções receita e lucro quadráticas
(maximização do lucro)
A função de demanda estabelece que há variação
de preço (em relação à quantidade, ou vice-versa)
116
A função receita deixa de ser linear (pode
apresentar também comportamento decrescente)
O aumento da produção e venda não implica,
necessariamente, em aumento de lucro.

117. Exemplo 1:
Encontre a quantidade e o preço ótimos, isto é,
aqueles valores que, respectivamente, a
empresa deveria produzir e colocar no preço
unitário do produto, de forma a maximizar seu
lucro, sabendo-se que a empresa apresenta
custos fixos de R$ 1.000,00 e custo unitário de
produção de R$ 4,00. A empresa conhece a
função (curva) demanda de seu produto: P =
120 – Q. Encontre também o lucro máximo.
117

118. O lucro máximo dependerá da melhor
quantidade ou do melhor preço que
poderão ser obtidos pelo produto em
questão. Onde:
CT = CF + CV = 1.000 + 4Q
• custo total:
• receita total:
RT = p · Q = (120 – Q) · Q = 120Q – Q2
118

119. L = RT – CT = 120Q – Q2 – 1.000 – 4Q
 L = – Q2 + 116Q – 1.000
 
364
.
2
;
58
4
456
.
9
;
2
116
4
;
2

















 


a
a
b
 = b2 – 4 · a · c
 = (116)2 – 4 · (-1) · (-1.000)
 = 13.456 – 4.000
 = 9.456
Vértice:
a
b
QV
2


a
LV
4



119
(Qv ; Lv)

120. L = – Q2 + 116Q – 1.000
Vértice: 58

V
Q 00
,
364
.
2
$

V
L
120

121. Dada a função lucro calcule Qv e Lv:
 L = 3Q2 - 30Q + 25
 
50
;
5
12
600
;
6
30
4
;
2













 


a
a
b
 = b2 - 4 · a · c
 = (-30)2 - 4 · 3 · 25
 = 900 - 300
 = 600
Vértice:
a
b
QV
2


a
LV
4



121
(Qv ; Lv)
 = b2 - 4 · a · c

122. Matemática para
Negócios
Limites

123. Conceito intuitivo
O limite de uma função num determinado
valor de x, isto é, , é definido
como aquele valor que a função assume
nas vizinhanças de x0.
 
x
f
x
x 0
lim

Limite de uma função
123

124. Exemplo 1:
função contínua função descontínua
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
x
  2
3 
 x
x
f   2
1
x
x
f 
124

125. 0
x
x 
)
(
)
(
lim 0
0
x
f
x
f
x
x


Limites de funções contínuas
Se uma função f(x) é contínua em ,
então:
O valor do limite da função para x
tendendo a x0 é igual ao valor da função
quando x é igual a x0.
125

126. Exemplo 2: encontrar  :
1
3
lim
2


x
x
X Y = f(x)
-1 - 4
0 -1
1 2
1,5 3,5
1,6 3,8
1,9 4,7
1,999 4,997
1,99999 4,99997
X Y = f(x)
4 11
3 8
2,5 6,5
2,2 5,6
2,1 5,3
2,01 5,03
2,001 5,003
2,00001 5,00003
126

127. Exemplo 3:
 
9
7
9
9
3
1
1
3
1
9
1
1
3
1
3
1
1
lim
2
2
3
1




















x
x
x
a)
b)
c)
    8
3
5
3
5
3
lim
5











x
x
  4
4
lim
3


x
127

128. -1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
f(x)
x
d)
e)
2
2
4
2
0
4
0
2
4
lim
2
2
0

















 x
x
x
?
2
4
lim
2
2











 x
x
x
128

129. Limites de funções
descontínuas
Se uma função f(x) é descontínua em
x = x0, então para determinar ,
devemos calcular os valores de f(x) para x
se aproximando de x0 (tanto pela direita
quanto pela esquerda).
)
(
lim
0
x
f
x
x
129

130. Exemplo 4: encontrar
Pela esquerda Pela direita
:
2
4
lim
2
2 









 x
x
x
x f(x)
-1 1
0 2
1 3
1,5 3,5
1,6 3,6
1,9 3,9
1,999 3,999
1,99999 3,99999
x f(x)
4 6
3 5
2,5 4,5
2,2 4,2
2,1 4,1
2,01 4,01
2,001 4,001
2,00001 4,00001
130

131. -1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
f(x)
x
 
2
4
2



x
x
x
f
existe e é igual a 4.










 2
4
lim
2
2 x
x
x
131

132. Como calcular algebricamente?










 2
4
lim
2
2 x
x
x
132

133. Calcule:
133
Atividade








 
 x
x
x
x
3
lim
a)
2
5








 
 x
x
x
x
3
lim
b)
2
0

134. Matemática para
Negócios
Derivadas

135. Derivadas
Derivada de uma função é uma outra função que
nos mostra o comportamento da função original.
Exemplos
5. Física (estudo do movimento)
Função posição → sua derivada é a função
velocidade.
6. Administração
Função custo total → sua derivada é o custo
marginal.
135

136. Exemplo 1
Considere o instante t = 0 h como o momento em que o
móvel está na posição s = 0 km
Elaborado
pelo
professor
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3
posição
(km)
tempo (h)
Posição (s) em função do tempo (t)
136

137. Exemplo 1
h
km
h
km
t
s
/
3
,
53
3
160




Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km
t = 3 h → s = 160 km
Velocidade média neste intervalo:
Elaborado
pelo
professor
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3
posição
(km)
tempo (h)
Posição (s) em função do tempo (t)
137

138. Exemplo 1
h
km
h
km
t
s
/
0
,
75
2
150




Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km
t = 2 h → s = 150 km
Velocidade média neste intervalo:
Elaborado
pelo
professor
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3
posição
(km)
tempo (h)
Posição (s) em função do tempo (t)
138

139. Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km
t = 1h → s = 120 km
Velocidade média neste intervalo: h
km
h
km
t
s
/
0
,
120
1
120




Exemplo 1
Elaborado
pelo
professor
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3
posição
(km)
tempo (h)
Posição (s) em função do tempo (t)
139

140. A função acima fornece o custo total (CT) referente à
produção de Q unidades do produto
Exemplo 2
Elaborado
pelo
professor
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 50 100 150 200 250 300
Custo
Total
(R$)
Quantidade
Função Custo Total (CT)
140

141. Para Q = 0 → CT = 1.000 reais
Para Q = 300 → CT = 4.800 reais
Custo médio por unidade:
67
,
12
300
3800
0
300
1000
4800







Q
CT
Exemplo 2
Elaborado
pelo
professor
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 50 100 150 200 250 300
Custo
Total
(R$)
Quantidade
Função Custo Total (CT)
141

142. Para Q = 0 → CT = 1.000 reais
Para Q = 200 → CT = 4.700 reais
Custo médio por unidade: 50
,
18
200
3700
0
200
1000
4700







Q
CT
Exemplo 2
Elaborado
pelo
professor
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 50 100 150 200 250 300
Custo
Total
(R$)
Quantidade
Função Custo Total (CT)
142

143. Para Q = 0 → CT = 1.000 reais
Para Q = 100 → CT = 4.000 reais
Custo médio por unidade:
00
,
30
100
3000
0
100
1000
4000







Q
CT
Exemplo 2
Elaborado
pelo
professor
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 50 100 150 200 250 300
Custo
Total
(R$)
Quantidade
Função Custo Total (CT)
143

144. Coeficiente angular
Exemplo 3:
a) y = 5x + 2 → o valor de y aumenta 5
unidades para cada aumento de uma unidade
em x.
b) y = – 3x + 2 → o valor de y decresce 3
unidades para cada aumento de uma unidade
em x.
O coeficiente angular de uma reta indica a
variação ocorrida na variável y para cada
aumento de uma unidade que ocorre em x.
144

145. Função derivada
• A função derivada (y´) de uma função y nos
mostra a tendência de variação dessa
função y provocada por uma variação muito
pequena (infinitesimal) de x (Δx→0).
   



















 



x
x
f
x
x
f
x
y
y x
x
0
0
0
0 lim
lim
´
Notações: y´ ; f´(x) ; ; Δxy
dx
dy
145

146. Interpretação gráfica
O valor da derivada em um ponto (x,y) é
igual ao do coeficiente angular da reta
tangente à função neste ponto.
Elaborado
pelo
professor
0
20
40
60
80
100
120
140
0 2 4 6 8 10
x
y
146

147. O valor da derivada de uma função y em um
ponto (x,y) mostra a tendência de crescimento
dessa função no ponto em questão.
Se no ponto (x,y) a função for crescente, o
valor da derivada será positivo.
Se no ponto (x,y) a função for decrescente, o
valor da derivada será negativo.
147

148. Regras elementares
de derivação
Exemplo 4:
a) y = x8  y´ = 8x8-1 = 8x7
b) 

 3
3
1
x
x
y 4
4
1
3 3
3
3
x
x
x 




 


y´
real.
todo
para
,
então
,
Se
(I) 1
n
nx
y
x
y n
n 



148

149. Exemplo 5:
a) y = 3x2  y´ = 32x = 6x
b) 3
3
6
6 


 x
y
x
y
  4
4
-
4
-
x
18
18x
x
3
6
y´ 






constante.
sendo
),
´(
´
então
,
)
(
Se
(II)
k
x
f
k
y
x
f
k
y 



149

150. Exemplo 6:
a) y = 10.040  y´ = 0
b) 0
´
10
1


 y
y
constante.
sendo
,
0
´
então
,
Se
(III)
k
y
k
y 

150

151. Exemplo 7:
a)
b)
3
8
´
3 7
8




 x
y
x
x
y
).
´(
)
´(
´
então
,
)
(
)
(
Se
(IV) x
g
x
f
y
x
g
x
f
y 



1
10
´
9
5 2





 x
y
x
x
y
151

152. Derivada do produto de funções
Exemplo 8:
 
2
4
3

 x
x
y
 

 
 
2
3
3
2
3
3
2
2
3
6
16
4
6
12
4
2
4
3
4
2
4
3
x
x
y´
x
x
x
x
x
x
y´
v´
x
v
x
u´
x
u
u
v´
v
u´

























.
´
´
´
então
,
Se
(V) u
v
v
u
y
v
u
y 





152

153. Derivada do quociente de funções
Exemplo 9:
.
´
´
´
então
,
Se
(VI) 2
v
u
v
v
u
y
v
u
y





153
3
2
1
8
5 2




x
x
x
y

154. Temos:
   

 
 
 
 2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
22
30
10
3
2
2
16
10
24
16
30
20
3
2
1
8
5
2
3
2
8
10
2
3
2
8
10
1
8
5


































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y´
v´
x
v
x
u´
x
x
u
u
v´
v
u´ 
 

 











154

155. Aplicação
Se a demanda de determinado bem é dada
pela equação y = 4.000 – 30x2 + x3 (y é a
quantidade demandada e x é o preço),
verifique se ela é crescente ou decrescente
para os valores de preço x = 2, x = 10 e x =
20.
155

156. A função custo total de produção de
determinado bem é dada por:
para q variando entre 0 e 575 unidades.
a) Calcule a taxa de crescimento do custo
para as quantidades q = 0, q = 100 e q =
600.
b) Qual é a quantidade produzida para a qual
a taxa de crescimento do custo se iguala a
zero?
  ,
000
30
575
2
2
.
q
q
q
C 



156
Atividade

157. 000
40,000
80,000
120,000
160,000
200,000
0 100 200 300 400 500 600 700
Quantidade (Q)
C(Q)
157