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Mat regra de sinais

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  1. 1. GUIDG.COM – PG. 1 16/6/2011 – MAT – Matemática. Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. [] Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais “Por que menos com menos da mais?” Vamos provar a regra de sinais numa forma fácil de entender: Queremos mostrar que (-1)(-1) = (+1), isto é, a regra de sinais, menos com menos da mais: Sabemos que: 1–1=0 e (1).(–1) = (–1) . Multiplicando a primeira equação por (–1) temos: (–1).(1 – 1) = (–1).0 Aplicando a propriedade distributiva temos: (–1).(1) + (–1)( –1) = 0 Adicionando (1) na equação temos: (1) + (–1).(1) + (–1).( –1) = 0 + (1) Logo: (1) + (–1) + (–1).( –1) = (1) 1 – 1 + (-1).(-1) = 1 E assim: (-1).(-1) = 1 Portanto fica provado a regra de sinais iguais, decorrente de proposições básicas da matemática e principalmente da definição do zero, é importante que você entenda esse simples fundamento, pois toda a matemática esta baseada nele. É importante que você sempre busque as provas para os teoremas e não acumule duvidas, assim estudar matemática torna-se sempre mais interessante. Nas próximas páginas darei um tratamento mais estendido e justificado para esse fundamento e para outros conceitos básicos de matemática elementar.
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2 Introdução e visão geral do problema. A matemática tem lá suas duvidas? Não, na verdade nós é que criamos as duvidas! Naturalmente nossos instintos indagam algumas verdades, principalmente as que não são demonstradas, eis o motivo desta pesquisa, e com muito interesse proponho esta leitura, a fim de provar o que já esta provado, mas que poucos conhecem. Normalmente culpamos o professor, e esse diz que tem pouco tempo para ensinar, um grande ciclo não é mesmo?! (um culpando o outro). Portanto o objetivo por hora é demonstrar com clareza o que a regra de sinais propõe e alguns conceitos que estão diretamente ligados a ela. Você já deve ter se deparado com a regra de sinais, e já se questionou sobre o porquê da regra? Logicamente poderíamos concluir que: (+)(-) = (-) ou (-)(+) = (-) (Tenho cinco reais, mas devo o dobro, pago a divida, e continuo devendo) 5 + (2)(-5) = 5-10 = -5 (+)(+) = (+) (Tenho cinco reais, e recebo o dobro, somo e fico com mais) 5 + (2)(5) = 5+10 = 15 Se (+)(+) = (+), então (-)(-) = (-) ??? (Devo cinco reais, e multiplico pela divida de dois reais de um amigo, então ficamos com mais? Ora então é só multiplicar dividas que ficamos ricos!?) (-5)(-2) = 10 Bom o que eu estou propondo é o seguinte, considere o sinal de mais (+) para saldo e o sinal de (-) para débito. Como demonstrado anteriormente passamos de uma divida para um saldo, isso é estranho não é mesmo? Na verdade muitos interpretariam que o resultado seria uma divida maior, mas então o sinal deveria continuar negativo, porque estamos considerando o sinal de (-) como débito lembra? Então: (-5)(-2) = (-10) (Devo cinco e multiplico por uma outra divida de dois reais então passamos a dever o dobro). É claro que não, mas por quê? Existe ainda aquele ditado que diz: “O inimigo do meu inimigo é meu amigo”, mas isto não prova nada, muito menos matematicamente. Com base neste problema serão exibidos a seguir os conhecimentos básicos necessários para que se desvende o mistério da regra de sinais, sabemos que dificilmente o professor demonstra a regra, na verdade ele mostra e pronto, como se não existisse um porquê. Sendo assim apresentarei uma demonstração prática para a regra de sinais e alguns outros conceitos preliminares.
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3 Porque 0*k = 0 (zero vezes k é igual à zero)? Obs.: Para entender é necessário que você conheça a “Teoria dos conjuntos”. Seja N* o conjunto dos números naturais, e "k" um elemento qualquer de N*. N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9...}, então k = 1 ou 2 ou 3 ou 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... Sabemos que 0 + 0 = 0 Para o lado direito da igualdade utilizamos a propriedade distributiva k 0 + k 0 = 0 Então concluímos que: (I) Podemos então utilizar a regra da balança que consiste no seguinte: Adicionando um número qualquer na equação não alteramos a igualdade: E subtraindo um número qualquer na equação também não alteramos a igualdade: Retornando à nossa igualdade e adicionando -(0 k) aos dois lados da igualdade ( I ) temos: @ 0A k + 0A k = k A 0 + k A 0 @ 0A k ` a ` a B ` aC B` aC @ 0A k + 0A k = k A 0 + k A 0 @ 0A k a ` a ` 0 =kA0+ 0 ` a ` a 0 =kA0 Isto é, manipulando a igualdade concluímos que: 0 A k = k A 0 e se 0 A k = 0 então 0 = 0 Isso prova que o produto de qualquer número por zero é zero. Esse é o conceito que vai provar a regra de sinais diferentes na multiplicação, por isso é importante entender. Elemento oposto Dado um número real “a” , existe um único número real indicado por “–a” , chamado oposto de “a” , tal que: a + (-a) = 0
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4 Demonstração da Regra de sinais. Iniciaremos a demonstração, partiremos de conceitos básicos e que já são conhecidos pela maioria dos estudantes, contudo será melhor que você deixe de lado o que você já sabe (pelo menos por alguns instantes) para poder entender melhor está demonstração. Admita “e”, ”k”, “c” como variáveis pertencentes à R . 1ºCaso: Adição: Sinais iguais: A) Sejam “e”, “k”, “c” positivas, a adição destas variáveis será sempre um valor (x) positivo “+(x)” : (e) + (k) + (c) = +(x) Exemplo: (3) + (2) + (1) = +(6) B) Sejam “e”, “k”, “c” negativos, a adição destas variáveis será sempre um valor (x) negativo “-(x)” : (-e) + (-k) + (-c) = -e -k -c = -(x) Exemplo: (-3) + (-2) + (-1) = -3 -2 -1 = -(6) 2ºCaso: Adição: Sinais diferentes: Obs.: Para entender é necessário que você conheça a definição de “Módulo ou Valor Absoluto”. A) Sejam “e”, “k” variáveis de sinais opostos, a adição resultara num valor dependente do módulo de “e” ou de “k” : (+e) + (-k) = e - k = F (x) 1º: +(x) se: | e | > | k | 2º: -(x) se: | e | < | k | Exemplo: 1º: 3 + (-2) = 3 – 2 = 1 | 3 | > | -2 | e como 3 é maior que 2, o resultado é positivo. 2º: 2 + (-3) = 2 – 3 = -1 | 2 | < | -3 | e como 2 é menor que 3, o resultado é negativo. 3ºCaso: Produto: Sinais diferentes: A) Seja “e” uma variável qualquer e “n” uma constante qualquer, ambas pertencentes a R , quando “e” e “n” tiverem sinais opostos, o produto será sempre um valor (x) negativo: (-e).(+n) = (-e) + (-e) + (-e) + ... = -(x) (Lê-se: “menos e” vezes “n” é igual à soma “n-ésima” de “menos e”) Lembre-se que multiplicar significa somar “n” vezes o número multiplicado. Nota: A multiplicação é uma operação comutativa. Exemplo: (-2).(3) = (3).(-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -2 -2 -2 = -(6) 4ºCaso: Produto: Sinais iguais: A) Sejam “e” e “k” variáveis quaisquer positivas pertencentes a R . o produto será sempre uma valor (x) positivo. Isso é decorrência da proposição do “1º Caso: A”. Se “e = 2” e “k = 3”, e.k = e + e + e = 3.e = 3.2 = 6
  5. 5. GUIDG.COM – PG. 5 B) Sejam “e” e “k” variáveis quaisquer negativas pertencentes a R . o produto será sempre um valor (x) positivo. Veja a explicação: (-e).(-k) = ??? Obs.: Esta regra é decorrente da definição da multiplicação de 0*k (para prosseguir é necessário entender). Outros conceitos serão citados, no caso de dúvida, será melhor voltar e esclarecer. Aplicação do conceito de elemento oposto: (-e).(0) = (-e).[(-e) + (e)] = 0 Aplicação da propriedade distributiva: (-e)(-e) + (-e)(e) = 0 (-e)(-e) + (-e.e) = 0 Aplicado a definição de potenciação: a b c @ e @ e + @ e2 = 0 ` a` Aplicado a conceito da regra da balança, somando e 2 dos dois lados da igualdade: a b c @ e @ e + @ e2 + e2 = 0 + e2 ` a` Aplicando o conceito de elemento oposto e elemento neutro: cancelando e 2 com @ e 2 e somando zero com e 2 : @ e @ e = e2 ` a` a O encerramento da demonstração prova que a multiplicação de um número negativo por ele mesmo terá como resultado o seu oposto ao quadrado. No caso desse número for (-1) , como na multiplicação é o elemento neutro ele prova a regra de sinais iguais: (-1)(-1) = +1² = 1 . Exemplo: (-3)(-2) = ? ... (-3)(0) = (-3)[(-2) +2] = 0 => (-3)(-2) + (-3)(2) = 0 (-3)(-2) -6 = 0 => (-3)(-2) -6 +6 = 0 + 6 (-3)(-2) + 0 = 0 + 6 (-3)(-2) = 6 Como você viu não foi utilizada nenhuma lógica, apenas manipulação algébrica, ou seja, chegamos num resultado sem ter que multiplicar os sinais, e isso é decorrência das proposições vistas (e provadas) anteriormente e principalmente da definição do zero no produto e a regra da balança. De fato, se estas regras forem contrariadas chega-se constantemente a absurdos matemáticos. Portando (-)(-) = (+)
  6. 6. GUIDG.COM – PG. 6 Por que “o primeiro pelo inverso do segundo”? Outro caso intrigante na matemática, é o caso de uma fração sobre outra fração (denominada fração composta), de comum aprendemos que para simplificar, multiplicamos a “primeira pela inversa da segunda”, isso é estranho se você não souber o porquê, então vamos logo esclarecer esta regra. Não existe divisão por zero (tente explicar!) af A) Seja “a” um número real qualquer. Então “a” pode ser escrito da seguinte maneira: a = f ff 1 Todo número que não apresenta denominador, tem na verdade “1” como denominador por convenção. Isso é fácil de verificar. Se você não esta dividindo este número “a” , então ele está sendo dividido por “1” já que “1“ é na multiplicação um “elemento neutro”. Decorre da definição: aA 1 = a afff af A1 fff f fff f fff f [ = (Dividindo por “a” dos dois lados da igualdade) a a [1 =1 Portanto a/a = 1, e todo número dividido por ele mesmo é igual a um. Exemplos: 2 + 3x + 5 xfffffffff fffffffffa fffffffff ffffffff 5/5 = 1 115/115 = 1 (x+2)/(x+2) = 1 ( =1 x + 3x + 5 2 B) Elemento inverso: Dado um número real a ≠ 0 , existe um único número real, indicado por 1f f ff 1f , e também por a@ 1 , chamado inverso de a , tal que: a A f= 1. ff a a C) Existe uma operação que inverte o procedimento, a “inversa da multiplicação”, denominada “divisão”. De onde concluímos que o processo de divisão é o inverso do processo de multiplicação, ou de uma forma simplificada: “dividir é multiplicar pelo inverso”. 1f f ff Ex: a D a = a A = 1 a D) Portando agora de forma generalizada podemos aplicar o conhecimento. Sejam “a”, “b”, “c” e “d” números reais quaisquer com “b” e “d” diferentes de zero. af f ff cf f ff , chamaremos de k ; ,chamaremos de t b d af ff ff bf kf ff f f f f f kf ff f 1ff então: cf= t ff ff ; e ainda t pode ser escrito como k A t @ 1 = k A t d 1f ff f d e@ 1 f g 1f cf f ff f 1f 1f cf ff f f ff f f 1f 1f df df ff f f f f f f f ff 1f df f ff f = [ cf = A f 1 d ff f [ cf= 1 A c = c ff ff logo = t d t c d d 1ff df f ff Então: k A = k A t c f g af f ff df af df f f f f f f f f f Mas k = [ kA = A b c b c af ff ff bf adf ff ff f ff f ff f # cf= bc ff ff d Fica provado então o porque da regra da simplificação de uma fração composta “a primeira pela inversa da segunda”.
  7. 7. GUIDG.COM – PG. 7 Fontes de pesquisa e estudo: Boulos, Paulo. Pré-Cálculo/São Paulo: Makron Books, 1999. Complemento do livro Cálculo Diferencial e Integral Matemática com Prazer | A Origem dos Sinais | (IF-USP) Instituto de física – Universidade de São Paulo. http://www.geocities.com/matematicacomprazer Heily & Fran - Aulas Particulares | (IME-USP) Instituto de matemática e estatística – Universidade de São Paulo. http://br.geocities.com/medeiros_pet/regradesinais.html Home Page de Matemática | (FAINTVISA) Faculdades integradas da Vitória de Santo Antão | (ESUDA) Faculdade de Ciências Humanas. http://hpdemat.vilabol.uol.com.br/ Só Matemática | Portal Matemático | Origem dos Sinais - http://www.somatematica.com.br/sinais.php Matemática Essencial | Médio | Teoria dos conjuntos http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm Os links foram válidos até a data da conclusão da pesquisa: 20/10/2008.

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