O documento discute trigonometria em triângulos retângulos. Explica como a trigonometria relaciona os lados e ângulos de um triângulo retângulo, introduz as razões trigonométricas e apresenta exemplos de cálculo delas. Também aborda identidades trigonométricas e aplicações em outros tipos de ângulos e arcos de circunferência.
2. Prof. Jorge
Contexto historico
Surgimento da Trigonomia
Qual ferramenta utilizada na
Trigonometria?
3. Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A trigonometria tem sua origem, portanto, na
necessidade de relacionar lados e ângulos de um
triângulo.
a hipotenusa BC = a
A
B
C
a
b
c
o cateto AC = b
o cateto AB = c
A = 90º
B + C = 90º
4. Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
c
a2
= b2
+ c2
⍺
cateto oposto a ⍺
hipotenusa
=sen ⍺ =
c
a
cateto adjacente a ⍺
hipotenusa
=cos ⍺ =
b
a
β
Razões
trigonométricas
5. Prof. Jorge
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
c
a2
= b2
+ c2
⍺
cateto oposto a ⍺
=tg ⍺ =
c
bcateto adjacente a ⍺
β
os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de
razões trigonométricas do ângulo ⍺.
6. Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas do ângulo B.
12 16
A
BC
Teorema de Pitágoras
BC2
= AB2
+ AC2
x2
= 162
+ 122
x2
= 256 + 144
x2
= 400
x = 20
20
7. Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
hipotenusa
sen B = =
12
20
=
3
5
= 0,6
cateto adjac. a B
hipotenusa
cos B = =
16
20
=
4
5
= 0,8
12 16
A
BC
20
8. Prof. Jorge
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
cateto adjac. a B
tg B = =
12
16
=
3
4
= 0,75
12 16
A
BC
20
9. Prof. Jorge
Exemplos
Calcular os ângulos agudos de um triângulo
retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
5 cm16
6 cm
x
y
tg y =
6
5
= 1,2 ⇒ y ≈
50º
x + y = 90º
⇒ x ≈
40º
11. Prof. Jorge
β
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺
hipotenusa
=cosec ⍺ =
a
c
cateto adjacente a ⍺
hipotenusa
=sec ⍺ =
a
b
=
1
sen ⍺
=
1
cos ⍺
12. Prof. Jorge
β
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺
=cotg ⍺ =
b
c
cateto adjacente a ⍺
=
1
tg ⍺
16. Prof. Jorge
1 cm
2 cm
t
Exemplo
No triângulo retângulo da figura, temos:
I. sen t = ½ II. sec t =
√5
2
III. tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III
18. Prof. Jorge
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
1tg
½cos
½sen
60º45º30º
√2/2
√2/2
√3/2
√3/2
√3/3 √3
19. Prof. Jorge
Exemplos
A partir dos dados apresentados na figura,
determinar as medidas indicadas por x e y.
x
16
y
30º
sen 30º =
x
12
12 cm
⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm
cos 30º =
y
12
⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm
20. Prof. Jorge
Exemplos
Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos
em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e
BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os
valores de x, y e z.
30º
AB
C
D
x
y
z 2 cm
60º
22. Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
Ferramentas de grande aplicabilidade sendo
utilizadas para:
Obter uma razão trigonométrica, para um dado
ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja
conhecido.
Simplificar expressões extensas envolvendo várias
relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
23. Prof. Jorge
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
β
A
C
B
a
c
b
⍺
b2
+ c2
= a2 (: a2
)
b2
a2
+
c2
a2
=
a2
a2
b
a
+
c
a
= 1
2 2
sen
⍺
+ cos ⍺ = 1
2 2
⇒ sen2
x + cos2
x = 1
24. Prof. Jorge
b/a
c/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
β
A
C
B
a
c
b
⍺
sen ⍺
cos ⍺
= =
b
a
.
a
c
=
b
c
= tg ⍺
tg x =
sen x
cos x
25. Prof. Jorge
c/a
b/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
β
A
C
B
a
c
b
⍺
cos ⍺
sen ⍺
= =
c
a
.
a
b
=
c
b
= cotg ⍺
cotg x =
cos x
sen x
26. Prof. Jorge
Identidades trigonométricas - Resumo
1) sen2
x + cos2
x = 1 Relação fundamental
2) tg x =
sen x
cos x
3) cotg x =
cos x
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)=
1
tg x
4) sec x =
1
cos x
5) cosec x =
1
sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)
27. Prof. Jorge
Exemplos
Demonstre que sec2
x = 1 + tg2
x.
sec x =
1
cos x
⇒ sec2
x =
1
cos2
x
⇒ sec2
x =
sen2
x + cos2
x
cos2
x
⇒ sec2
x =
sen2
x
cos2
x
+
cos2
x
cos2
x
⇒ sec2
x = tg2
x + 1
28. Prof. Jorge
Exemplos
Demonstre que cosec2
x = 1 + cotg2
x.
cosec x =
1
sen x
⇒ cosec2
x =
1
sen2
x
⇒ cosec2
x =
sen2
x + cos2
x
sen2
x
⇒ cosec2
x =
sen2
x
sen2
x
+
cos2
x
sen2
x
⇒ sec2
x = 1 + cotg2
x
29. Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-
tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sen2
x + cos2
x
⇒ 3
5
+
2
cos2
x = 1
⇒ 9
25
+ cos2
x = 1
⇒
9
25
–cos2
x = 1 =
25 – 9
25
⇒ cos x =
=
16
25
± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
30. Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-
tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
tg x =
sen x
cos x
=
3
5
4
5
=
3
4
cotg x =
1
tg x
=
1
3
4
=
4
3
31. Prof. Jorge
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-
tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sec x =
1
cos x
=
1
4
5
=
5
4
cosec x =
1
sen x
=
1
3
5
=
5
3
32. Prof. Jorge
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =
cotg x . sec x
cosec2
x
E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
E1 =
sen x
cos x
+
cos x
sen x
–
1
cos x
1
sen x
.
E1 =
sen2
x
sen x . cos x
+ cos2
x – 1
=
sen x . cos x
1 – 1
= 0
33. Prof. Jorge
cos x
sen x
1
cos x
1
sen2
x
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =
cotg x . sec x
cosec2
x
E2 =
cotg x . sec x
cosec2
x
=
.
=
1
sen x
1
sen2
x
E2 =
1
sen x
. sen2
x
1
= sen x
44. Prof. Jorge
Exemplos
Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a
circunferência em seis arcos congruentes.
Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE
e dos ângulos centrais correspondentes.
A
B
O
C
α
D
E F
β
AB =
360º
6
= 60º
CE = 2 . 60º = 120º
⍺ = 60º e β = 120º
45. Prof. Jorge
Exemplos
A circunferência da figura tem 12 m de raio.
Supondo que o arco AB mede 2π m, calcular em
graus, a medida do arco e do ângulo central
correspondente.
A
B
O α 2π m
12 m
Arco
(em graus)
2π m
⍺ =
360 . 2π
24
Arco
(em metros)
360º 24π m
⍺
= 30ºC = 2πr
C = 2.π.12
C = 24π
46. Prof. Jorge
O radiano como unidade de medida
A
R
O R
α
R
B
Comprimento do arco (AB) = R
⇓
m(AB) = 1 radiano
⇓
α = m(AB) = 1 rad
49. Prof. Jorge
9
cm
Exemplos
B
10,8 cm
A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o
comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm.
Calcular, em radianos, a medida de AB.
O
A
α =
comprimento
R
α =
10,8 cm
9 cm
= 1,2 rad
50. Prof. Jorge
4 cm
Exemplos
B
30º
O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da
circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o
comprimento do arco AB.
O
A
ângulo
x
x =
2 π.4.30
360
comprimento
360º 2π R
30º
2 π
3
= ≈ 2, 1 cm
51. Prof. Jorge
R
Exemplos
B
40 cm
Numa circunferência, o comprimento de um arco é
de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a
medida do raio da circunferência.
O
A
R
α =
comprimento
R
5 =
40 cm
R
5R = 40
α
⇒ R = 8 cm
52. Prof. Jorge
Arcos especiais
00o
Arco nulo
π/290º
Arco de ¼ de
volta
π180º
Arco de
meia-volta
2π360º
Arco
completo
Medida em
radianos
Medida
em graus
Represen-
tação
O
O
O
O
53. Prof. Jorge
Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são
proporcionais. Por isso podemos transformar uma
unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a π rad