Mat semelhanca

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Mat semelhanca

  1. 1. Semelhança Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaFiguras semelhantes ........................................................................................................ 1Polígonos semelhantes .................................................................................................... 2 Propriedade dos perímetros em polígonos semelhantes........................................... 3Triângulos semelhantes................................................................................................... 6 Propriedade dos triângulos semelhantes .................................................................. 7 Teorema fundamental da semelhança de triângulos .............................................. 11Referências bibliográficas............................................................................................. 14
  2. 2. 1SEMELHANÇAFiguras semelhantesEm Geometria, dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a mesmaforma. Vejamos melhor o que significa ter a mesma forma ou ser semelhanteem Geometria.Os mapas abaixo são do estado do Paraná, mas estão em escalas diferentes.Neles destacamos algumas cidades.Você pode notar que os dois mapas têm a mesma forma, embora tenhamtamanhos diferentes, pois o mapa 2 é uma ampliação do mapa 1. Dizemos queesses mapas representam figuras semelhantes.Em Geometria, duas figuras são semelhantes quando: Todos os ângulos correspondentes têm medidas iguais; as distâncias correspondentes são proporcionais.Observe nos mapas acima que:• os ângulos correspondentes têm medidas iguais;• a razão entre as distâncias correspondentes é sempre a mesma (1,6), então elas são proporcionais.
  3. 3. 2Polígonos semelhantesPara que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham ânguloscorrespondentes de mesma medida e as medidas dos lados correspondentesproporcionais.Dois polígonos com o mesmo número de lados são semelhantes quando possuem:• os ângulos respectivamente congruentes;• os lados correspondentes proporcionais.Por exemplo, os quadriláteros ABCD e MNPQ abaixo, são semelhantes.Indicamos: quadrilátero ABCD ~ quadrilátero MNPQ.~: símbolo de semelhança.Observe que:• os ângulos correspondentes possuem a mesma medida;• a razão entre qualquer lado do quadrilátero ABCD e o lado correspondente no quadrilátero MNPQ é sempre a mesma (2,5).Obs.: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas ascondições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e ladoscorrespondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente paraindicar a semelhança entre polígonos.
  4. 4. 3 EXERCÍCIOS A(1) Entre os polígonos abaixo há dois semelhantes. Quais são eles?Propriedade dos perímetros em polígonos semelhantesObserve os pentágonos ABCDE e A B C D E abaixo:Você pode notar que:• os ângulos são respectivamente congruentes• os lados correspondentes são proporcionais:
  5. 5. 4AB 3 DE 2,2 = =2 = =2A B 1,5 D E 1,1BC 2,6 EA 2,8 = =2 = =2B C 1,3 E A 1,4CD 2,6 = =2C D 1,3Então, ABCDE ~ A B C D E e a razão de semelhança é 2.Vamos, agora, calcular os perímetros dos dois pentágonos.• Perímetro de ABCDE (P):P = 3 cm + 2,6 cm + 2,6 cm + 2,2 cm + 2,8 cmP = 13,2 cm• Perímetro de A B C D E ( P ):P = 1,5 cm + 1,3 cm + 1,3 cm + 1,1 cm + 1,4 cmP = 6,6 cmCalculando a razão entre os perímetros:P 13,2 = =2P 6,6Assim, podemos escrever: Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer.
  6. 6. 5 EXERCÍCIOS B(1) Os hexágonos H1 e H2 abaixo são semelhantes.Nessas condições:a) Qual é a razão de semelhança entre H1 e H2?b) Qual é a razão de semelhança entre os perímetros de H1 e H2?c) O que podemos afirmar sobre os ângulos internos de H1 e H2?(2) Os trapézios abaixo são semelhantes.Nessas condições:a) Qual é a razão de semelhança entre ABCD e MNPQ?b) Calcule as medidas x, y e z indicadas.c) Sem fazer cálculos, determine a razão entre os perímetros de ABCD e MNPQ.(3) A planta de uma casa, que é uma redução da casa real, foi feita na escala 1 (razão de semelhança). Uma sala retangular dessa casa tem 5 cm e 6 cm de 200dimensão nessa planta. Nessas condições:a) Quais as dimensões reais dessa sala?b) Qual a área da sala na planta?c) Qual a área da sala real?
  7. 7. 6Triângulos semelhantesDiremos que dois triângulos são semelhantes se tiverem:• os ângulos respectivamente congruentesou• os lados correspondentes proporcionaisEntão:Se A ≅ D, B ≅ E e C ≅ F → ∆ABC ~ ∆DEF ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆou AB BC CASe = = → ∆ABC ~ ∆DEF DE EF FDEm dois triângulos semelhantes:• Os ângulos congruentes são chamados ângulos correspondentes.• Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados homólogos.OBS.: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a180º, podemos concluir que se dois ângulos de um triângulo foremrespectivamente congruentes a dois ângulos de outro, os terceiros ângulos dessestriângulos também serão congruentes. Assim, para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se eles possuem dois ângulos respectivamente congruentes.
  8. 8. 7Propriedade dos triângulos semelhantesConsideremos os triângulos ABC e MNP:Observamos que: A ≅ M, B ≅ N e C ≅ P . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆNessas condições, temos que ∆ABC ~ ∆MNP.Vejamos o que ocorre com os lados homólogos:AB 36 4 = =MN 45 5AC 48 4 AB AC BC = = ⇒ = =MP 60 5 MN MP NPBC 20 4 = =NP 25 5Isso mostra que:Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são proporcionais aos lados homólogos do outro.
  9. 9. 8Exemplo:► Na figura abaixo, vamos determinar as medidas x e y indicadas.Considerando os triângulos ABC e CDE, temos:A ≅ D (retos)ˆ ˆBCA ≅ DCE (ângulos opostos pelos vértices) ˆ ˆComo os dois triângulos têm, respectivamente, dois ângulos congruentes,podemos dizer que ∆ABC ~ ∆CDE. Os lados homólogos são AB e DE ,AC e CD , BC e CE . Pela propriedade podemos escrever:AB AC BC 9 x 15 = = → = =DE CD CE 6 { 8 y razão de semelhançaEntão:9 x 9 15 = =6 8 6 y6 x = 72 9 y = 90 72 90x= y= 6 9x = 12 y = 10Logo, temos x = 12 e y = 10.
  10. 10. 9 EXERCÍCIOS C(1) Diga se os pares de triângulos abaixo são ou não semelhantes.(2) Na figura a seguir, temos PQ // BC . Nessas condições, responda:a) Quais as medidas a, b e c indicadas?b) Quais os triângulos que são semelhantes nessa figura?
  11. 11. 10(3) As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes. Calcule x ey em cada uma delas.(4) Nas figuras abaixo, determine os valores de x e y.
  12. 12. 11Teorema fundamental da semelhança de triângulosConsideremos o triângulo ABC da figura abaixo. Vamos traçar uma reta r,paralela ao lado AB do triângulo; essa reta r encontra o lado AC no ponto D e olado BC no ponto E.Como r // AB , temos que: A ≅ D (ângulos correspondentes) ˆ ˆ B ≅ E (ângulos correspondentes) ˆ ˆ C≅C ˆ ˆEntão, pode-se concluir que ∆CDE ~ ∆ABC. Assim temos a propriedade:Toda reta paralela a um lado de um triângulo e que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina com esse lados um triângulo semelhante ao primeiro.Separando os triângulos ABC e CDE, temos: AB AC BCSendo ∆ABC ~ ∆CDE, podemos escrever: = = DE CD CE
  13. 13. 12Exemplo:► Na figura abaixo, temos que DE // AB . Nessas condições, determine asmedidas x e y indicadas.Como DE // AB , temos que ∆ABC ~ ∆CDE (teorema fundamental).Para escrever as proporções entre os lados homólogos, é conveniente separar ostriângulos da figura dada: 8+ y x+4 9Escrevendo a proporção entre os lados homólogos, temos: = = 8 x 6Então:8+ y 9 x+4 9 = = 8 6 x 63 ⋅ (8 + y ) 36 6 ⋅ ( x + 4) 9 x = = 24 24 6x 6x24 + 3 y = 36 6 x + 24 = 9 x3 y = 36 − 24 6 x − 9 x = −243 y = 12 − 3 x = −24 (−1) 12 3 x = 24y= 3 24 x=y=4 3 x =8Logo, temos x = 8 e y = 4.
  14. 14. 13 EXERCÍCIOS D(1) Nas figuras abaixo, determine as medidas x e y.a) AC // DE b) MN // BC(2) Na figura abaixo, MN // BC . Nessas condições, determine:a) As medidas x e y indicadas.b) As medidas dos lados AB e AC .c) Os perímetros dos triângulos ABC e AMN.d) A razão de semelhança entre os triângulos ABC e AMN.(3) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representadopela figura abaixo. Qual é a largura do lago?
  15. 15. 14Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 28 de setembro de 2008.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

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