Uma proposta para o processo de ensino e aprendizagem de

VILMAR DE OLIVEIRA
UMA PROPOSTA PARA O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA PARA ALUNOS DE 8a SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia apresentada como exigência final do
Curso de Especialização em Matemática:
Dimensões Teórico-Metodológicas. Universidade
Estadual de Ponta Grossa.
Orientadora: Prof", Ms. Celia Finck Brandt
PONTA GROSSA
2001

VILMAR DE OLIVEIRA
UMA PROPOSTA PARA O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA PARA ALUNOS DE 8a
SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia apresentada como exigência final do
Curso de Especialização em Matemática:
Dimensões Teórico- Metodológicas. Universidade
Estadual de Ponta Grossa.
Orientadora: Prof", Ms. Celia Finck Brandt
PONTA GROSSA
2001

COMISSÃO JULGADORA
11
---------------- ----- --

DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha esposa
Vera Lúcia Pereira da Silva, companheira e
amiga, que muito contribuiu ficando ao
meu lado, incentivando e acreditando nas
minhas possibilidades de mais uma
conquista.
Com certeza, não fosse o seu apoio,
paciência e perseverança, esta obra não
teria um delicioso sabor de vitória.
iii

AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiro a Deus, que tudo torna possível realizar.
À minha avó Durvalina de Oliveira, por ela me ter concedido o direito à vida e
condições de educação.
À minha esposa e filha: Vera e Lilian, por acreditarem em mim.
Também, agradeço em especial aos meus professores Celia Finck Brandt e
Marlene Perez, porque estiveram comigo em todo o percurso do trabalho,
acompanhando, estimulando e orientando.
IV

"Nunca diga à Deus que você tem
um grande problema. Diga ao problema
que você tem um grande Deus. "
v

r
sUMÁRIO
INTRODUÇÃO 1
UM RETROSPECTO PARALELO DE DUAS REALIDADES: Escola e Trabalho
1 DA MODELAGEM MATEMÁTICA À MO DELAÇÃO MATEMÁTICA
1.1 A MODELAGEM-MODELAÇÃO COMO UM MEIO IMPORTANTE A
SER CONSIDERADO NA PRÁTICA EDUCATIVA DE MATEMÁTICA 7
2 MODELOS
2.1 OS MODELOS E SUAS FUNÇÕES NO ENSINO DE MATEMÁTICA 12
2.2 O USO DE MODELOS NA PRÁTICA PROFISSIONAL DO TORNEIRO
MECÂNICO 15
3 PROCEDIMENTO METODOLÓGICO DA MODELAÇÃO MATEMÁ-
TICA
3.1 SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS PARA ABORDAR O MÉTODO 18
3.2 A PRÉ-MODELAÇÃO COMO PROPOSTA DO PLANEJAMENTO
PEDAGÓGICO 22
CONSIDERAÇÕES FINAIS 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 47
ANEXO
EXEMPLO DE UM PROBLEMA DE MODELAÇÃO: Passeio na roda
Gigante 49
vi
~_------

LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURA 1 - ÂNGULO DE CONICIDADE 16
FIGURA 2 - ESQUEMA DO PROCESSO DE DESENVOLVIMENTO DA
MODELAÇÃO MATEMÁTICA 18
FIGURA 3 - VISTA EM ELEVAÇÃO DE UM TUBO 27
FIGURA 4a- TUBO SECCIONADO 27
FIGURA 4b- SECÇÃO TRANSVERSAL 27
FIGURA 5 - REPRESENTAÇÃO DO COMPRIMENTO DA CIRCUN-
FERÊNCIA 29
FIGURA 6 - INTERPRETAÇÃO DO TUBO, ENFATIZANDO A ÁREA
LATERAL 30
FIGURA 7 - MODELO DE SUPERFícIE 31
FIGURA 8 - SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES PARA EXPLORAR A ÁREA
DO CÍRCULO À PARTIR DA ÁREA DO QUADRADO 32
FIGURA 9 - GENERALIZAÇÃO DA ÁREA DO CÍRCULO À PARTIR DA
ÁREA DO QUADRADO 35
FIGURA 10- SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES PARA OBTER A ÁREA DO
CíRCULO 36
FIGURA 11- FORMAS RETANGULARES COM SUPERFÍCIES DIFERENTES 38
FIGURA 12- REPRESENTAÇÃO DE UM TUBO E SUA ÁREA LATERAL. 39
TABELA 1 - OPÇÕES DE MEDIDAS DE TUBOS .40
TABELA 2 - CONJUNTO DE DADOS PARA TUBOS COM MESMAS ÁREAS
LATERAIS 41
FIGURA 13- ATIVIDADE SOBRE FUNÇÃO .42
vii

RESUMO
Este trabalho mostra o desenvolvimento de uma metodologia alternativa no processo
de ensino e aprendizagem de matemática em qualquer nível de graduação. As idéias
aqui descritas decorreram das experiências realizadas por autores que escreveram sobre
o assunto, tratando-o como método de ensino de matemática direcionado especialmente
para sala de aula. Após algumas reflexões trazidas pelo processo das nossas
investigações, achamos conveniente abordar experiências do cotidiano de vida, no
sentido de fazermos um elo com o trabalho proposto. Para o ensino de matemática,
construímos uma proposta visando investigar o método da modelação matemática,
sendo a modelagem a raiz do processo criativo. Sua aplicação exige experiência por
parte do educador e cuidados especiais quanto ao seu tratamento.
viii

INTRODUÇÃO
UM RETROSPECTO PARALELO DE DUAS REALIDADES: Escola e Trabalho
No curso do supletivo de 10
grau, enquanto aluno, a matemática foi uma das
disciplinas que mais me chamou atenção. Nela, sempre busquei concluir as atividades
corretamente para satisfazer ao meu ego e ser considerado, nas palavras do professor,
um bom aluno. Mas isso não se refletia fora do ambiente escolar, porque não conseguia
fazer uso dos conhecimentos escolares no trabalho profissional que exercia numa
empresa de reparos industriais, como aprendiz de ferramentaria.
Diversos assuntos pertinentes à matemática eram apresentados pela escola
mediante métodos de memorização, e um dos assuntos que conseguia guardar
mentalmente se relacionava com as divisões de frações. Gostava de ter na ponta da
língua o seguinte dizer: "repete-se o primeiro termo e inverte-se o segundo, efetuando
em seguida o produto dos numeradores e dos denominadores".
O processo mecânico de aprendizagem não funcionava na prática, pOIS não
conseguia distinguir entre uma fração e outra, a maior da menor. É interessante notar
que mesmo sem entender os significados das frações, isso não se refletia negativamente
no andamento do trabalho da empresa. Nela, fazia-se uso de instrumentos de medidas
adequados para a função. Não havia necessidade de saber qual fração era maior ou
menor, porque bastava manipular os instrumentos de medidas para obter a dimensão
desejada baseando-se em uma referência da própria régua, que trazia, além das
divisões, seus respectivos valores fracionários, facilitando sua aplicação prática no
cotidiano profissional.
O paquimetro ', o micrômetro ' e a escala fixa3
foram os instrumentos que
fizeram parte desse cotidiano. Adquiri habilidades em fazer suas leituras, porém minha
compreensão ficava limitada a eles.
1 Paquímetro: Instrumento de precisão para medidas de espessuras, diâmetros e pequenas distâncias.
2 Micrômetro: Instrumento de dimensão variável que permite medir, por leitura direta, as dimensões
reais com uma aproximação de até 0,001 mm.
3 Escala fixa: Instrumento usado para tomar medidas lineares, quando não há exigência de grande
precisão.

2
Em meio a tantos profissionais da empresa que cumpriam a mesma tarefa, a
maioria possuía pouca escolarização, mesmo assim realizávamos nossos trabalhos com
finezas de detalhes procedentes das observações constantes do dia-a-dia.
Mesmo com os meus restritos conhecimentos matemáticos, fiz diversas
construções de objetos reais dentro da função do trabalho profissional.
Fora desse cotidiano, realizei outros feitos e, dentre eles, a construção de uma
casa. Essa foi uma experiência obrigatória para solucionar um problema de moradia.
Cansado de tanto pagar aluguel, pensei em construir uma casa num terreno que
possuía. Sem dinheiro para contratar um profissional, resolvi eu mesmo enfrentar o
problema.
Parti de observações da prática de alguns pedreiros para fazer um roteiro que
me certificasse dos passos a serem executados para a referida construção. A situação
problema de momento era: Como construir uma casa?
Precisava de algumas ferramentas tais como: colher de pedreiro, trena, prumo,
nível de madeira e de mangueira.
Minha pretensão era construir uma casa com 70 m- em duas etapas. Na
primeira, executaria a construção de dois cômodos e um banheiro. Esses cômodos
teriam 28m2 e o banheiro 5m2•
A prefeitura havia elaborado uma planta com as dimensões totais de uma casa
popular, mas não era do meu agrado devido às divisões internas não estarem
compatíveis com minhas idéias.
Iniciei o trabalho contando que mil tijolos seriam suficientes para concluir a
primeira etapa. De imediato deparei-me com problemas que me colocariam à prova.
Problemas que pareciam ser de natureza simples, mas na verdade exigiam uma atenção
considerável.
Necessitava fazer a marcação dos retângulos onde iriam constar os dois
cômodos e o banheiro, porém o problema estava em esquadrejá-los paralelos com a
frente e o lado do terreno.
Das experiências do cotidiano profissional nas empresas industriais, conhecia
as relações entre as diagonais do retângulo, que eram iguais. Esse conhecimento, por

3
mais simples que parecesse, me ajudou muito na resolução da situação do meu
problema.
Utilizei uma linha de pesca para representar as diagonais. Cruzei-as em seus
centros, cuidando para que a frente do terreno ficasse paralela com a base do retângulo.
Projetei uma paralela da lateral do terreno para aquele que seria o lado menor do
mesmo.
Em momento algum fiz uso do teorema de Pitágoras e tampouco certifiquei-me
de que os ângulos opostos pelos vértices eram congruentes, para facilitar e amenizar a
conclusão do trabalho.
Na escola, diversas atividades envolvendo os quadriláteros eram apresentadas
e até mesmo discutidas em sala, porém na prática, fora desse ambiente, as conexões
não imperavam.
Contudo, realizei a obra, e sua continuidade não trouxe tantas dificuldades
como no início. Todas as informações das quais necessitava busquei do saber popular,
e algumas outras, de minha natureza humana de tentar para ver no que resultava.
O saber matemático, ainda que muito restrito, adquirido do cotidiano do dia-a-
dia, aplicado em uma realidade, deu origem ao objeto real, vindo solucionar um
problema de moradia.
Não vejo necessidade em estender o processo completo dessa experiência,
porque nela procuro mostrar que a escola pouco contribuiu para amenizar o meu
problema que era de ordem social, pois mesmo com o primeiro grau completo não vi
sentido, ou não soube utilizar o saber escolar e fazer a conexão desses conhecimentos
com minhas necessidades, solucionando assim os meus problemas.
Muitas vezes indaguei: Para que serve o saber matemático da escola, se eles
não resolvem os meus problemas?
Elaborar hipóteses para tentar responder ao questionamento, levou alguns anos.
Forçado percorrer novamente os caminhos escolares, devido às crises
constantes de desemprego no país, acabei por concluir o 2° e o 3° graus, sendo
atualmente professor de matemática no ensino fundamental e médio.

4
No pouco tempo de trabalho nesse meio profissional, pude fazer uma pequena
reflexão de alguns problemas educacionais de matemática, no sentido de conduzir
meus ideais pedagógicos para tentar mostrar aos alunos o significado do saber
matemático em suas formações e torná-los indivíduos aptos para atuar em uma
sociedade justa.
Constatei que minha maneira de aplicar a matemática não diferenciava da dos
demais colegas, professores de matemática em particular. A história se repetia porque o
mesmo processo de educação que havia recebido, estava sendo repassado aos alunos.
Nesse momento nasceu a preocupação em procurar conduzir o ensino de
matemática de forma diferente. O método antigo de desenvolver conteúdos baseados
em cópias de livros didáticos, desprovidos de aplicações práticas e significativas para
os alunos, dispostas passo a passo, "faça assim, assim não", me conduzia a incorrer no
mesmo erro.
Atento para esse problema, percebi seu grau de complexidade e que, para
atacá-lo, era necessário buscar conhecimentos de métodos de ensino através da
capacitação profissional.
Atrelado ao desejo de ensinar matemática de forma significativa para alunos de
10
e 20
graus, ingressei no curso de Especialização em Matemática: Dimensões
Teórico- Metodológicas.
Nele, aumentou ainda mais meu interesse pela investigação, porque muitas
reflexões me foram trazidas, referentes a alguns métodos de ensino e suas relações com
a realidade, tais como a modelagem matemática e a modelação matemática.
Em torno desses estilos metodológicos de trabalhar a disciplina de
matemática e do grau de dificuldades para compreendê-los por serem formas
diferenciadas de tratamento matemático, mas que envolvem a realidade, fez-se
necessária a compreensão mínima dos termos modelos, modelagem e modelação para
não envolvê-Ias num emaranhado que tornaria muito confuso e complicado o trabalho
com apenas uma modalidade.
Nos trabalhos de alguns autores que elaboraram obras valiosas para a educação
matemática sobre os termos citados, busquei os conhecimentos que me inteirassem dos

5
assuntos para compreender seus significados e, entre eles, procurei fazer uso daquele
que atendesse aos meus interesses.
Aos poucos fui lapidando meus conhecimentos pedagógicos, paralelos à minha
vida profissional. Frente à essa dinâmica da prática social, observei o quão seria
importante para o ensino de matemática uma forma também dinâmica e coerente de
tentar mostrar aos alunos do 10
e 20
graus a matemática presente nos modelos do
mundo real. Compreendê-Ia através de processos experimentais, construindo modelos a
partir de situações problemas ligadas à realidade, formaram na minha concepção uma
maneira de fazer interagir os propósitos da escola com os propósitos dos alunos.
O método que melhor se identificou com minhas intenções de conduzir a
prática pedagógica foi a modelação matemática, porque segue um caminho oposto ao
anterior, isto é, parte dos problemas da realidade para a teoria matemática, inter-
relacionando-os.
Enfim, esse passa a ser então meu maior interesse em investigar as relações do
ensino-aprendizagem de matemática ligado à realidade, mediante uma proposta de
trabalho para a sala de aula com alunos de ga série do ensino fundamental, com a
aplicação da modelação matemática, tendo por objetivos os seguintes propósitos:
• Mostrar que é possível ensinar matemática fazendo uso da modelação
matemática como método de ensino.
• Reconstruir modelos que representam a realidade, utilizando conceitos
matemáticos para definir e ampliar os conhecimentos reais de matemática
dos alunos.
O presente trabalho foi escrito na Ia pessoa do singular e também na Ia pessoa
do plural, pela simples razão de que nele consta uma particularidade envolvendo a
pessoa do investigador e uma investigação que envolve mais de uma pessoa no
processo de análise.
Na seção 1 mostramos a pretensão deste trabalho colocando a modelagem
matemática como centro da investigação e, enfatizamos algumas dificuldades para
abordá-Ia.

6
Ainda nessa seção, fazemos referências à concordância na maneira de trabalhar
a matemática em sala de aula usando um método que tem como raiz os princípios da
modelagem matemática.
Procuramos apresentar as conseqüências decorrentes de um processo de ensino
desprovido de significação, chamando a atenção dos educadores para trabalhos
educacionais de matemática que garantam a aprendizagem.
A seção 2 trata de assuntos referentes aos modelos, onde fazemos um
apanhado sobre suas definições revelando aspectos importantes em relação ao termo
"modelo".
Da prática social, um exemplo de modelo, na forma simplificada, retrata uma
idéia de como ele é construído em um dos campos profissionais, levando a uma
investigação mais profunda no tratamento do método.
Na seção 3 abordamos um procedimento para fazer uso do método da
modelação matemática, apresentando uma seqüência didática para percorrer um
caminho rumo aos objetivos educacionais.
Logo após, construímos uma proposta para o processo de ensino de
matemática direcionado para alunos de ga série. Nela, apresentamos três sugestões para
encaminhar o processo, fazendo uso do método da modelação matemática como um
dos meios importantes de construir os conhecimentos matemáticos em sala de aula.
Como considerações finais, fazemos algumas reflexões sobre os motivos que
nos levaram à escolha de um tema que privilegia a matemática ligada à situações de
problemas reais e ressaltamos aspectos interessantes no que diz respeito à aplicação do
método da modelação matemática, os quais foram detectadas no decorrer da
investigação.

7
1 DA MODELAGEM MATEMÁTICA À MODELAÇÃO MATEMÁTICA
1.1 A MODELAGEM-MODELAÇÁO COMO UM MEIO IMPORTANTE A SER
CONSIDERADO NA PRÁTICA EDUCATIVA DE MATEMÁTICA
Nas duas últimas décadas temos presenciado os esforços de vários estudiosos
da área de educação matemática em buscar soluções para o ensino de matemática, no
sentido de torná-Ia mais significativa para corresponder às expectativas dos alunos e
aos objetivos educacionais.
Foram desenvolvidos métodos de ensino para serem utilizados nos ambientes
escolares com a finalidade de abordar assuntos de matemática e, ao mesmo tempo,
desenvolver nos alunos o interesse em querer aprendê-Ia.
Um dos métodos emergentes é a modelagem matemática, que vem
conquistando gradativamente os espaços escolares. Suas características são de
desenvolver a matemática partindo de situações reais, "num processo que envolve a
obtenção de um modelo." ( BIEMBENGUT, 2000, p.12 )
Optando por esse método devido à sua aprovação mediante pesquisas
concluídas e comprovadas nos diversos trabalhos dos autores que encontraram nele
algumas respostas de problemas vigentes na educação matemática, alguns educadores
vêm apresentando uma outra maneira de conduzir o ensino de matemática utilizando a
essência do método acima citado.
Nessa perspectiva em que o professor pode centrar-se num ensino com
significados e identificar-se com resultados interessantes, é necessário que sua postura
de trabalho esteja voltada para "uma crença profunda em que aquilo que propõe como
alternativa de ensino é algo válido e possível." (ANASTACIO, 1990, p.32 )
Porém, pequenas modificações em relação ao referido método o torna possível
de ser empregado no desenvolvimento de conteúdos programáticos do currículo
escolar, visando aos tópicos ou programa do período letivo.
Em cursos regulares, nos quais há um programa a ser cumprido - currículo - e uma estrutura
espacial e organizacional nos moldes 'tradicionais' ( como é a maioria das instituições de
ensino ), o processo da modelagem precisa sofrer algumas alterações levando em
consideração principalmente o grau de escolaridade dos alunos, o tempo disponível que terão

8
para trabalho extraclasse, o programa a ser cumprido e o estágio em que o professor se
encontra, seja em relação ao conhecimento da modelagem, seja no apoio por parte da
comunidade escolar para implantar mudanças. (BIEMBENGUT, 2000, p.I8)
Visto dessa forma o mencionado processo, percebe-se que a idéia não está em
mudar os significados metodológicos, mas em contribuir para incrementar o método da
modelagem matemática de forma a caracterizar um processo real de ensinar
matemática dentro do ambiente escolar.
Segundo ANASTACIO ( 1990, p. 56 ), "modelagem matemática é uma
representação do chamado mundo real através da linguagem matemática, levando a
uma previsão dos fatos."
Por essa definição, não é difícil notar que a tendência do método em
desenvolver a matemática presente no mundo real denota considerado grau de
abrangência. Nele, os conhecimentos matemáticos brotam de uma seqüência curiosa de
analisar a realidade e, "tornam-se cada vez mais abrangentes e abstratos no sentido de
seu alcance." ( ibid., p. 96 )
Seguindo esse esquema de compreensão, somos favoráveis às idéias de que
realmente o método deva sofrer pequenos ajustes para ser incorporado em sala de aula.
Sabemos, enquanto educadores, da obrigatoriedade do cumprimento do
programa educacional. Dessa forma, o método modificado passa a ter sentido se, no
momento de analisar uma realidade, a matemática do contexto escolar venha fluir
naturalmente, beneficiando professores e alunos.
BIEMBENGUT ( 2000, p. 18, 19 ), ao fazer uso desse meio como opção
metodológica, buscou os seguintes objetivos educacionais:
.:. aproximar uma outra área do conhecimento da matemática; ( Sic )
.:. enfatizar a importância da matemática para a formação do aluno;
.:. despertar o interesse pela matemática ante a aplicabilidade;
.:. melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;
.:. desenvolver a habilidade para resolver problemas; e
.:. estimular a criatividade
Complementando essa visão em que os objetivos estão voltados para o ensino-
aprendizagem de matemática e considerando que em sua constituição está inserido um
L---- _

9
modo particular de transmitir conhecimentos matemáticos decorrentes do processo
educacional, considera-se indispensável que o educador assuma um modelo de ação
pedagógica.
Dificilmente poderá a prática pedagógica atingir a eficiência desejada se, ao considerar ou ao
iniciar uma aula e ao prepará-Ia, o professor não fizer um exame do objetivo que pretende
atingir durante aquela hora em que os alunos estão a ele confiados, e qual o método que será
empregado para conduzir a prática pedagógica nesses 50 minutos de interação professor-
classe. O simples desfiar de um conteúdo não permitirá dar a prática pedagógica a dinâmica
adequada para que se possa dizer que o processo ensino aprendizagem realizou-se
plenamente. ( D'AMBROSIO, 1986, p.46 )
Tendo por base o que foi mencionado, ante a importância de praticar uma
estratégia pedagógica a fim de definir as pretensões educativas, o professor pode
assumir uma postura de trabalho adequada aos tempos atuais.
Em hipótese alguma pretendemos impor este ou qualquer outro método de
ensino; contudo, é preciso alertar sobre a urgência em assumir uma postura de trabalho
em sala de aula que provoque resultados satisfatórios.
A atual maneira de ministrar o ensino de matemática vem sofrendo críticas
pelo fato de conduzir os conteúdos matemáticos desprovidos de significados e,
portanto, não contribui para uma formação crítica, contextualizada, voltada aos
interesses dos alunos .
... somos então levados a atacar diretamente a estrutura de todo ensino, em particular a
estrutura do ensino de matemática, mudando completamente a ênfase do conteúdo e da
quantidade de conhecimentos que a criança adquira para uma ênfase na metodologia que
desenvolva capacidade de matematizar situações reais, que desenvolva capacidades de criar
teorias adequadas para situações mais diversas, e na metodologia que permita o recolhimento
de informações onde ela esteja, metodologia que permita identificar o tipo de informação
adequada para uma certa situação e condições para que sejam encontradas em qualquer nível
os conteúdos e métodos adequados. ( ibid., 1986, p. 15 )
As idéias expostas até o presente momento, mostram a realidade sobre o ensino
de matemática, que precisa ser pensado e praticado de forma a garantir o aprendizado.
Por isso, este trabalho foi elaborado com a pretensão de mostrar um método de ensino
de matemática que possa auxiliar a superar as necessidades dos alunos e do professor.

10
Alguns autores de trabalhos relacionados com a educação matemática
referenciam tal método denominando-o modelação matemática. Porém, poucos são os
documentos que o tratam dessa forma.
Enfatizar nomes que se atribuem aos métodos ou se deixam de atribuir é
importante porém, neste trabalho não representa o objeto de investigação. Nossa
intenção é demonstrar como o referido método desenvolve no aluno o prazer em
aprender matemática, e no professor a satisfação de ensinar.
Nesse aspecto, o professor passará a ter consciência de suas atitudes
metodológicas, buscando um direcionamento dos conteúdos aos seus alunos de
maneira natural, sem atropelar uma ou outra disciplina, e também a aproximar a
matemática de outras áreas do conhecimento matemático.
Conforme BIEMBENGUT (2000, p.18 ), "a modelação matemática norteia-se
por desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema ou modelo matemático e
orientar o aluno na realização de seu próprio modelo-modelagem. Pode valer como
método de ensino aprendizagem de matemática em qualquer nível escolar, das séries
iniciais a um curso de pós graduação. Não há restrição!"
Tendo por base as experiências de alguns estudiosos em educação matemática,
que constam deste trabalho para fundamentar nossas intenções, desejamos buscar uma
maneira de tentar edificar a estrutura do método da modelação matemática. Com isso,
pretendemos construir um caminho para abordar assuntos da matemática escolar,
visando primeiro relacioná-los com a realidade de mundo dos alunos.
Sabemos que nossas habilidades ou competências resultaram de uma prática
pedagógica que desconsiderou o contexto sociocultural; por isso, temos em mente que
nos defrontaremos com dificuldades para fazer a passagem do mundo do aluno para o
mundo da escola.
4ANASTACIO ( 1990, p. 34) evidenciou dificuldades semelhantes em um dos
4 Em julho de 1986, na cidade de Vilhena, localizada no Estado de Rondônia, foi ministrado um curso
para professores de Ciências e Matemática, organizado pela Secretaria Municipal da referida cidade,
cujo objetivo era a reciclagem dos professores de 1° e 2° graus das escolas municipais. (ANASTACIO,
1990, p.21, 22)

11
trabalhos desenvolvidos pelo professor Sebastiani num curso em Vilhena, relatando:
"Os professores sentiram dificuldades em fazer a passagem entre a realidade observada
e pesquisada e a construção de um modelo de ensino em que a matemática a ser
ensinada emergisse de forma natural da realidade. Isto é, houve, na maior parte dos
grupos a preocupação em desenvolver uma matemática formal, inspirada nos
resultados obtidos na pesquisa e não uma análise da realidade através da matemática."
Apoiados nesse relato, concluímos ser necessário aprender para desenvolver
um método de trabalho pedagógico e assim cumprir os propósitos educacionais
vigentes, haja vista que o ensino vem passando por processos de transformações e
somos obrigados a interagir com essas mudanças no sentido de possibilitar o
desenvolvimento do nosso trabalho enquanto educadores de matemática. "Esta visão
opõe-se àquela presente na maioria da sociedade e na escola, em seus vários níveis, que
considera a matemática como um corpo de conhecimento acabado, que deve ser
assimilado pelo aluno." (PCN, 1997, p.11 )
O primeiro passo para desenvolver o caminho metodológico que almejamos foi
construído a partir de trabalhos de autores que, de alguma forma, contribuíram com a
educação matemática, pondo em prática suas idéias para abordar conteúdos
matemáticos nos ambientes escolares, sem ficar atrelados a livros didáticos ou
fórmulas prontas e acabadas.

12
2 MODELOS
2.1 OS MODELOS E SUAS FUNÇÕES NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Na nossa atualidade foram desenvolvidos alguns trabalhos que podem facilitar
a compreensão dos alunos quanto aos assuntos que envolvem a matemática do
programa escolar.
Uma forma necessária é abordar conteúdos matemáticos que tenham algum
significado e estejam voltados para as realidades dos alunos. Para conseguir tal
aproximação, o uso de modelos matemáticos cumpre a função de explicar situações
reais.
O método da modelação matemática utiliza os modelos matemáticos para
traduzir problemas de tais natureza. Referindo-se a tais modelos, BIEMBENGUT
(2000, p. 12) traz a seguinte definição: "..., um conjunto de símbolos e relações
matemáticas que procuram traduzir de alguma forma, um fenômeno em questão ou
problema de uma situação real, denomina-se modelo matemático."
Na concepção da autora, "a elaboração de um modelo depende do
conhecimento matemático que se tem. Se o conhecimento matemático restringe-se a
uma matemática elementar, como aritmética e/ ou medidas, o modelo pode ficar
delimitado a esses conceitos". ( ibid., p. 12 )
Dessa maneira, nota-se que o ensino de matemática busca construir um
significado para a matemática com maior profundidade, observando atentamente os
modelos, e destes, procura-se retirar o maior número de informações possíveis para
tentar traduzir uma realidade que está presente no dia-a-dia dos alunos.
"A realidade é o mundo, entendido como horizonte de relações no qual o ser
humano vive e se situa. Não se trata de um recipiente onde as coisas se mostram de
modo encaixado mas de uma 'zona de compreensão' do modo pelo qual a significação
daquilo a que se atribui existência se desenvolve historicamente, por meio de uma rede
de relações." (ANASTACIO, 1990, p.95 )

13
Os modelos em geral recebem várias definições, mas com sentido
universalizado. Definições essas aparentemente filosóficas, que buscam a compreensão
do termo enfatizando a forte ligação com a racionalidade humana.
No entender de GRANGER, apud BIEMBENGUT (2000, p. 11), "o modelo é
uma imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional busca
compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-Ia
com algo já conhecido, efetuando deduções."
Para ROSENBLOOM, apud GAZZETIA ( 1989, p.18 ), "... quando tentamos
descrever algum aspecto do mundo real percebemos ... que ele oferece mais do que a
nossa pobre e finita mente humana consegue alcançar. Mas se aplicarmos nossos
poderes apropriadamente, podemos alcançar um entendimento parcial que se adapte
suficientemente para nos dar fidelidade às leis do universo."
Essas análises nos mostram idéias claras relacionadas aos modelos e suas
fortes ligações com os seres humanos. Dessa forma, o homem passou a entender
melhor a natureza fenomenológica porque está conseguindo retirar uma quantidade
significativa de informações, garantindo sua sobrevivência no planeta.
Como a natureza dos fenômenos apresenta-se de diversas formas diante dos
humanos, é preciso interagir com eles.
5A educação matemática trata a natureza dos fenômenos matemáticos de forma
a reduzir seu grau de complexidade. Ela se esforça para explicar e entender uma porção
da realidade, mostrando as possibilidades de representar uma alternativa usual de ação
através dos modelos.
Na prática, os modelos matemáticos apresentam-se eficientes para aproximar-
se de uma situação real. Com isso, diversas outras versões aumentam as definições para
o termo.
MAKI e THOMPSON, citados por GAZZETIA ( 1989, p.16 ), trazem suas
versões em relação aos modelos, enfatizando: "Um modelo matemático é um sistema
5 O parágrafo de referência retrata uma idéia extraída da Revista: A Educação Matemática. Revista da
Sociedade Brasileira de Educação Matemática - SBEM, ANO I, N° 1, 2° Semestre, 1993.

14
axiomático consistindo de termos indefinidos e axiomas que são obtidos pela abstração
e qualificação de idéias essenciais do mundo real."
A maior dificuldade para encontrar outras definições deve-se ao fato de a
literatura pertinente empregar o termo "modelo" para fazer referência à expressão
"modelo matemático", provocando assim confusão não só quanto ao uso de uma ou
outra forma, como também à elaboração dos respectivos conceitos.
Essa visão foi também detectada por GAZZETIA (1989, p. 20 ), ao fazer a
seguinte menção: "..., uma das principais dificuldades que o educador matemático
encontra, na tentativa de chegar a uma definição do conceito de 'modelo matemático' é
uma tendência, na literatura de considerar modelos predominantemente no arcabouço
das ciências físicas, sociais e biológicas ou na engenharia."
Um exemplo dessa análise pode ser observada na forma como BURAK (1987,
p. 21 ) apresenta sua definição: "O modelo representa uma série de relações quer sejam
matemáticas, físicas ou conceituais que parecem ser apropriadas a compreensão de um
conjunto de dados."
Diante das afirmações que definem o significado das palavras "modelos" e
"modelos matemáticos" dentro da ciência matemática, formamos nossa opinião para
defini-los da maneira como entendemos no decorrer da investigação: modelo é a idéia
de uma imagem cuja composição compreende infinitas informações; modelo
matemático é a forma de interpretar essa imagem, tentando aproximar-se das suas
características essenciais utilizando símbolos matemáticos.
Pela nossa maneira de definir modelo e modelo matemático, fica bastante
visível a necessidade de um embasamento profundo dos conhecimentos matemáticos
para possibilitar uma aproximação comparativa com o modelo real. Na falta desses
conhecimentos, ficamos presos às formas sensitíveis das nossas imaginações, e
também impedidos de agir sobre eles.

15
2.2 O USO DE MODELOS NA PRÁTICA PROFISSIONAL DO TORNEIRO
MECÂNICO
Várias situações de ação sobre os modelos são concluídas em trabalhos que
envolvem diversas práticas sociais. Em algumas, os modelos são elaborados
constantemente e repassados aos seus profissionais para que os mesmos façam uso no
sentido de aproximar-se de uma realidade construindo o objeto real.
O setor industrial é um exemplo típico dessas características. Nele, citamos um
dos profissionais que fazem uso constante de modelos matemáticos na elaboração de
peças para manutenção de fábrica, "o torneiro mecânico". Ele vivencia com bastante
frequência a expressão: "diâmetro maior menos o diâmetro menor dividido por duas
vezes o comprimento", para determinar o grau de inclinação do corte, ao desbastar um
material cilíndrico.
Isso confirma na prática o que foi mencionado anteriormente em relação aos
modelos, porque retrata relações expressas por um conjunto de símbolos matemáticos
cuja finalidade é traduzir um fenômeno real vivenciado diretamente pelos torneiras
mecânicos.
A forma simplificada de entender o modelo sofreu influência das experiências
do dia-a-dia desses profissionais, para tornar claro o que antes era complexo, e poucos
tinham acesso a tais conhecimentos.
De um modo geral, a matemática quase sempre se mostra abstrata para
representar um fenômeno. E no modelo citado acima, só é possível compreender suas
origens quando o fitamos como investigadores matemáticos. Portanto, é preciso possuir
um conhecimento matemático considerável para poder interpretá-lo. A forma de
traduzir cientificamente o modelo impírico pelos mencionados profissionais não é tão
simples como parece.
A matemática inserida no referido modelo apresenta-se através das relações
trigonométricas do triângulo retângulo mediante cálculo do valor de uma razão
chamada tangente. Esta, por sua vez, representa o grau da inclinação desejada no
desbaste de materiais cilíndricos.

16
No exposto acima, entendemos que o torneiro mecânico faz uso de uma
matemática superior para construir objetos reais tendo um modelo matemático como
referência. Ele procura aproximar-se o máximo possível da realidade para concluir suas
tarefas com precisão. Nota-se que conhece casualmente aquilo que a matemática
denomina conicidade.
Segundo YOSHIDA, ( 1979, p.38 ), "ângulo de conicidade ( a ) é o ângulo
formado por duas geratrizes da peça cônica ou a relação entre a diferença dos
diâmetros de duas seções retas do cone e seu comprimento." Exemplo:
Fig.1: ÂNGULO DE CONICIDADE ( a)
(adaptada)
.......................!....,,::::::::::::::::::::::::~::::) a d .ii"::::.:.::::.:.::.~:.::::::::::::.::::::::::::::~:::::::::.: ::.::::::::::::::::""
O ~:·10················~·:·····························......................... d
conicidade ( a ) está 1~------11------JLno prolongamento das
duas geratrizes da peça
cônica.
. _ . D - d
o modelo matemático relacionado ao grau de inclinação de um cone é
representado por um conjunto de símbolos matemáticos como podemos observar no
triângulo retângulo destacado acima através da seguinte fórmula:
D-d
21
= tg ~
Lembro que esse
modelo matemático, fez
parte da minha rotina de
trabalho enquanto
torneiro mecânico.
Na concepção de BIEMBENGUT ( 1999, p. 20 ), "um modelo pode ser
formulado em termos familiares, utilizando-se expressões numéricas ou fórmulas,
diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações algébricas, tabelas,
programas computacionais, ete. Por outro lado, quando se propõe um modelo, ele é

17
proveniente de aproximações realizadas para se poder entender melhor um
fenômeno ..."
Para certificar-se do exposto acima, pode-se comprovar mediante um
tratamento experimental o problema abaixo relacionado:
6UM OBJETO CILÍNDRICO DEVE SOFRER UM DESBASTE PARA
FICAR COM O DIÂMETRO MAIOR, IGUAL A 36 mm; O DIÂMETRO
MENOR, IGUAL A 20mm; O COMPRIMENTO DO OBJETO IGUAL A 100
mm. QUAL É O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO?
D = 36mm = diâmetro maior
d = 20mm = diâmetro menor
I = lOOmm = comprimento do objeto
a _?
- -.2
Seguimos essas idéias na pretensão de tomar um dos contextos, o trabalho
profissional, pelo fato de que o investigador vivenciou essas experiências como
torneiro mecânico aproximadamente por dez anos, junto a algumas empresas
industriais.
o que isso tem a ver com a educação matemática quanto ao tratamento dos
métodos de ensino de matemática, e nas obtenções de modelos matemáticos para a
construção dos conhecimentos nos ambientes escolares ?
Se pensarmos em currículo, tradicionalmente, o estudo do conhecimento matemático
elaborado e sistematizado ao longo da história, é a principal preocupação na disciplina de
Matemática, principalmente em nível de 1° e 2° graus. Acontece que esta preocupação
esconde, muitas vezes, uma despreocupação com a geração deste conhecimento e com as
relações que este tem com o mundo. Na realidade, desta forma, para o aluno é como se
fossem dois mundos: o mundo da escola e o mundo real. E a escola também é real! Uma
coisa é a matemática na escola, outra é a matemática que ele e as pessoas de um modo geral
usam na vida. Mas a escola faz parte da vida! E todos nós sabemos que, no dia-a-dia, nos
deparamos com situações que, direta ou indiretamente, envolvem algum tipo de
conhecimento matemático. (ZETETlKÉ, 1998, p. 74 )
6 Resposta: 4°35'.

18
3 PROCEDIMENTO METODOLÓGICO DA MODELAÇÃO MATEMÁTICA
3.1 SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS PARA ABORDAR O MÉTODO
A modelação matemática é abordada de forma organizada. Segue caminhos
didáticos e procura estruturar os conhecimentos matemáticos partindo da realidade que
é de conhecimento do aluno, abstraindo-a ao longo do processo de investigação.
BIEMBENGUT ( 2000, p. 22 ) faz uma abordagem profunda desse modelo,
detalhando algumas seqüências didáticas para facilitar seu desenvolvimento em sala de
aula, conforme o seguinte esquema:
Fig. 2 - ESQUEMA DO PROCESSO DE DESENVOLVIMENTO DA MODELAÇÃO
MATEMÁTICA
EXPOSIÇÃO DO TEMA
•••
LEVANTAMENTO E SELEÇÃO DE
QUESTÃO
.•. ~
CONTEÚDO
..
PROGRAMÃTICO ~
FORMULAÇÃO DE QUESTÃO
+ ••• •••
EXEMPLOS ~ RESOLUÇÃO DE
ANÁLOGOS
....•
UMA QUESTÃO
•••
I MODELOS
I
.-I VALIDAÇÃO I •..
A autora ressalta a necessidade de fazer um diagnóstico que envolva a
realidade socioeconômica dos alunos, o grau de conhecimento matemático de que eles
dispõem, bem como o número de elementos envolvidos, para facilitar a orientação.
Após essa análise, retoma-se para o modo de abordar os conteúdos
programáticos de matemática.

19
Conforme o esquema apresentado, os conteúdos que compõem as partes do
currículo escolar podem ser desvelados partindo de um tema cuja escolha pode ser feita
pelos alunos ou pelo professor.
Porém, a idéia de deixar livre para que os alunos façam a escolha do tema,
pode resultar em conseqüências desastrosas no decorrer das investigações e tornar o
trabalho de sala de aula não condizente com a finalidade do ensino de matemática.
A propósito do que foi mencionado, BIEMBENGUT ( 2000, p. 20 ) coloca: "A
escolha pelos alunos tem vantagens e desvantagens. Uma vantagem é que se sentem
participantes no processo. Em contrapartida, as desvantagens podem surgir se o tema
não for adequado para desenvolver o programa ou, ainda, muito complexo, exigindo do
professor um tempo de que não dispõe para aprender e para ensinar."
Para desenvolver os conteúdos matemáticos, seguem-se algumas normas de
cunho fundamental ao desenvolvimento do método da modelação matemática, tendo
em vistas os seguintes processos de análises: interação; matematização e modelo
matemático.
No ponto de vista da autora, ( ibid. p. 20), a interação é uma etapa utilizada
pelo educador para se fazer o reconhecimento da situação problema e familiarização
com o assunto a ser modelado, por isso, a autora mostra-se favorável em fazer uma
breve exposição do tema em estudo e em seguida levantar questões para possibilitar
sua exploração.
Um ponto relevante que envolve o levantamento de questões deve ser tratado
em conjunto com os alunos, os quais participam do processo com sugestões.
Ao nosso ver, a forma como o processo tem início é válida e produtiva do
ponto de vista pedagógico porque notamos que a pretensão do método busca interagir
professor-aluno na investigação do tema proposto.
A matematização e seus caminhos de entendimentos estão ligadas, portanto, às
questões levantadas pelo professor e alunos.
O educador pode registrar as questões no quadro negro, e no momento em que
se esgotarem as dúvidas até então colocadas, mediante essas abordagens, seleciona-se
uma delas, propondo-se que os alunos tentem respondê-Ia à sua maneira.

20
A liberdade de expressão cna um ambiente fértil de criatividades, o qual
"permitirá obter resultados satisfatórios em relação ao aprendizado de matemática."
(ibid., p. 21 )
Nessa investigação, pode-se conduzir o estudante a explorar o campo da
pesquisa, cujo propósito é abrir um vasto caminho no sentido de encontrar resposta ou
respostas desejadas.
O despertar para o novo reflete-se em interesses de visualizar a verdadeira
importância da matemática escolar. Os conteúdos matemáticos procedentes do
currículo passam a ser desenvolvidos à medida que a questão selecionada vai ganhando
forma. Isso significa dizer que o professor precisa ter total domínio sobre o assunto
levantado para possibilitá-lo desenvolver a matemática escolar a partir dos
conhecimentos populares.
É importante não perder de vista o tema que gerou o estudo; portanto, o
educador sempre que desenvolver um determinado conteúdo, precisa retomar à raiz do
processo: "...para continuidade do processo ou obtenção de um resultado, interrompe-
se a exposição e desenvolve-se a matemática necessária, retomando no momento
adequado. O tempo de interrupção depende da abrangência do conteúdo. O importante
é não perder de vista a motivação." ( ibid., p. 21 )
Após o desenvolvimento do conteúdo necessário para responder à questão
formulada, propõe-se exemplos análogos, despertando os alunos para a grandeza
universalizada do conhecimento voltado à proposta. Essa é a ocasião ideal para aplicar
exercícios matemáticos, demonstrações matemáticas e outras atividades relacionadas
ao ensino. "Esses exercícios servem como meio de avaliar se os conceitos apresentados
foram aprendidos". (ibid., p. 21 )
Toda a trajetória descrita até o momento, que aborda os procedimentos para
fazer uso do método da modelação matemática, se faz necessária, pois a pretensão é
apresentar uma seqüência didática para a qual o educador deve ficar atento. Como todo
caminho leva a um determinado lugar, esse percurso não podia ser diferente.
É o momento de o aluno apresentar respostas para a questão formulada.
Sabendo que esta foi construída abordando um arsenal matemático para chegar a um

21
entendimento globalizado, ele poderá concluir que a matemática é uma ferramenta
importante para o conhecimento humano.
Na seqüência, conforme o esquema abordado, percebe-se a etapa de
encerramento, que acontece com o processo de validação. Nesse, o aluno avalia o
modelo matemático verificando sua importância e o quanto é abrangente para obter
informação de uma realidade.
Não nos aprofundaremos na avaliação do processo da modelação matemática
porque nosso objeto de pesquisa não é propriamente a avaliação. Entretanto, sabemos
da sua relevância, principalmente como forma de diagnosticar em que estágio de
aprendizagem o aluno se encontra. Por isso, é comum que o educador aplique um
instrumento de avaliação ao término de cada trabalho executado em sala de aula.
Para simplificar esse processo, BIEMBENGUT ( 2000, p. 27 ) salienta que "o
professor pode adotar uma teoria de avaliação que leve em conta dois aspectos
principais:
• avaliação como fator de redirecionamento do trabalho do professor;
• avaliação para verificar o grau de conhecimento do aluno".
A autora analisa tais sugestões sob dois aspectos: objetivos e subjetivos.
O primeiro é conseguido mediante provas e exercícios, além de outros
trabalhos, enquanto o segundo representa formas de avaliações direcionadas para
observações do professor e interesses dos alunos.
Quanto ao aspecto subjetivo, o da observação, o professor pode avaliar o empenho do aluno:
• participação
• assiduidade
• cumprimento das tarefas
• espírito comunitário. ( ibid., 2000, p. 27 )
Com isso, caberá ao educador aplicar a avaliação à sua maneira, objetiva ou
subjetiva, desde que corresponda aos propósitos educacionais sempre que envolver o
método da modelação matemática.

22
3.2 A PRÉ-MODELAÇÃO COMO PROPOSTA DO PLANEJAMENTO
PEDAGÓGICO
BIEMBENGUT ( 1999, p. 47 ) apresenta uma sugestão que pode orientar o
educador aprendiz nos primeiros passos de investigação, e aconselha: "A condição
necessária para que o professor aprenda e posteriormente ensine modelagem ou se
utilize de sua essência - modelação - como método de ensino de matemática, é que seja
pretensioso, aberto, disposto a conhecer e aprender, uma vez que essa proposta abre
caminho para descobertas significativas."
Ainda definindo algumas outras condições para o trabalho, a autora descreve
um caminho inicial cuja finalidade é orientar educadores que pretendam fazer uso do
método da modelação matemática, denominando-o pré-modelação.
Aqueles que querem fazer um trabalho utilizando a modelação, ou modelagem, mas não se
sentem devidamente seguros, podem começar com uma pré-modelação.
Isto significa:
• apresentar cada um dos conteúdos do programa a partir de modelos matemáticos já
conhecidos; ou
• aplicar trabalhos ou projetos realizados por outros colegas, por tempo curto, com uma
única turma e de preferência aquela cujo conteúdo se tem melhor domínio; e
• como todo trabalho extra classe para os alunos, propor que busquem exemplos ou tentem
criar seus próprios modelos, sempre a partir da realidade. ( ibid., p. 48 )
Definimos nosso objeto de investigação visando conseguir não só uma
aproximação com aquilo que desejamos conhecer e estudar, mas também criar
conhecimentos.
É preciso lembrar que o processo de investigação deverá a priori estar
embasado numa relação aberta entre o educador e os elementos envolvidos, em
particular, alunos que cursam a ga série do ensino fundamental.
O trabalho foi planejado para ser executado dentro do ambiente escolar, com a
intenção de despertar o interesse do grupo de alunos em aprender a matemática escolar
através da construção de modelos matemáticos, fazendo uso do método da modelação
matemática.

Nessa execuçao, o proressor pooe conscienuzar U~ uuegraures suure U leuI uas
investigações no processo, transmitindo a eles todas as informações necessárias e os
porquês da realização do mesmo.
Um tema "TUBO", dará origem ao desenvolvimento do trabalho em sala de
aula, o qual precisa estar voltado aos interesses da equipe. Por isso, é fundamental
cuidar para que todos os elementos que compõem o grupo venham a ter ou tenham tido
alguma experiência com o mesmo.
Nossa proposta tem por objetivos, a partir de um tema, desenvolver tópicos de
conteúdos matemáticos presentes no currículo escolar de sa série do ensino
fundamental, cujos assuntos são:
• noções de superfícies e área
• comprimento da circunferência
• área do quadrado
• área do círculo
• as diferenças entre círculos e circunferências
• noções intuitivas de função.
• volume do cilindro
• noções de secção
• área total e área da base de cilindros
• organização de tabelas
O primeiro passo em termos de procedimentos para nossa trajetória, consistirá
na busca de entendimentos de alguns trabalhos de autores que executaram pesquisas
também relacionadas ao método da modelação matemática.
O tema gerador do trabalho é escolhido pelo professor. Consideramos
conveniente adotar tal atitude por ser meu primeiro trabalho de investigação aplicando
o método da modelação matemática. Por isso, esperamos que essa forma experimental
tenha um grau de aceitação positiva e possa vir futuramente a fazer parte da nossa
rotina escolar.

24
Não medimos esforços para aproximar a pesquisa dos objetivos propostos. O
que nos tornou confiantes foi o fato de a nossa literatura dar condições ao professor de
executar tal processo metodológico.
Nessa perspectiva, conduzimos o desenrolar deste trabalho considerando
também três itens básicos apresentados pela autora ao abordar a pré-modelação para
ensinar matemática. São eles: "APRENDER, APRENDER-ENSINAR e ENSINAR-
APRENDER". (ibid. p. 48)
Esses itens apresentam-se entrelaçados aos problemas sugeridos e são
facilmente notados porque permearam toda a nossa investigação. Para iniciá-Ia
enquanto processo pedagógico, foi preciso escolher e conhecer o modelo. Diante das
circunstâncias, optei por trabalhar com tubo, porque o mesmo fez parte da minha rotina
profissional.
Segundo BIEMBENGUT ( 1999, p. 48 ), "o modelo escolhido servirá de
roteiro, de mapa que lhe apontará o itinerário. Para aprender como constitui um modelo
matemático é preciso escolher um modelo de fácil compreensão, relevado interesse e
que atenda as condições quanto ao conteúdo matemático do programa."
Como o tema "TUBO" sugere cilíndro, achamos conveniente sua identificação
com objetos semelhantes e que estão inseridos no mundo real dos alunos. O interesse é
chamar a atenção da equipe para as formas dos objetos, as quais serão observadas e
analisadas. Nosso propósito é familiarizar os alunos com o tema proposto.
Segundo VIANNA et aI. ( 1990, p. 73 ), "é preciso também que as crianças
explorem situações que levem à idéia de 'forma' como atributo dos objetos."
Na continuidade, para aumentar ainda mais o interesse dos alunos pelo tema,
serão levantadas questões referentes ao mesmo. Esse momento será fundamental para
chamá-Ios à responsabilidade, pois constitui a oportunidade do educando relatar suas
experiências através dos levantamentos, e do educador aproveitar-se de tais
experiências para aprender a ensinar.
"Uma vez investigado e avaliado um modelo, passa-se para a etapa seguinte,
que é 'traduzi-lo' para a sala de aula." ( ibid., p. 49 ). Nessa etapa, em meio às questões
levantadas, uma dará início ao desenvolvimento programático de matemática, a qual é

25
selecionada pelos alunos e passará a ser motivo das futuras investigações em sala de
aula.
Sendo este um trabalho de propostas para o ensino de matemática, retratamos
um exemplo para abordá-lo, considerando a seguinte hipótese:
Como construir tubos fechados em uma de suas extremidades?
Esse problema abre as perspectivas para abordar tópicos de conteúdos
matemáticos. Existe uma infinidade de maneiras diferentes para responder a ele, porém
são os alunos que devem propor respostas dentro de um clima de liberdade.
O desenvolvimento da matemática escolar dar-se-á à medida em que se
formulam as questões para responder ao problema colocado. Para melhor compreensão
dessa idéia, faremos uma abordagem com três sugestões de problemas referentes à
questão selecionada no sentido de estudarmos alguns tópicos da disciplina de
matemática, que constam do programa de sa série do ensino fundamental.
SUGESTÃO 1
Representar as figuras que estão contidas no modelo em estudo.
Nosso modelo em estudo é tubo. Essa forma de analisar um problema é
importante para identificar figuras geométricas, as quais podem ser nomeadas e
conceituadas adequadamente.
É interessante para os alunos que observem as formas de secções geométricas
de objetos cilíndricos reais e também façam essas representações no plano.
Ao abordar essa ação no decorrer deste trabalho, queremos mostrar ao grupo a
importância da expressão "secção". Sabemos por antecedência que em cada tipo de
secção executada num referido objeto, formam-se novos modelos, os quais merecem
atenções especiais.
Conhecidas algumas variáveis através da manipulação e representação dos
objetos cilíndricos, proporemos para cada elemento da equipe construir um tubo
fechado em uma extremidade, utilizando cartolinas ou papel cartão e instrumentos
adequados para as devidas construções ( régua e compasso ).

26
SUGESTÃO 2
Proporemos a seguinte questão:
Como calcular a quantidade de material para construir tubos?
Aqui, nosso trabalho ganhará novas proporções, porque a sugestão 1 tornará
possível a interação dos alunos com o objeto de estudo através do contato direto.
Provavelmente, não pouparão material na execução do trabalho.
Porém, é nesta sugestão que eles começarão a perceber uma relação mais
afinada entre o objeto construído e a quantidade de material utilizado.
Por isso, intercalaremos uma nova situação que ficará pendente para ser
analisada, observada e respondida após a compreensão do modelo como um todo. É a
ocasião em que levaremos o grupo a estimar a quantidade de tubos idênticos ao
proposto na sugestão 1, possíveis de serem construídos com apenas uma cartolina ou
papel cartão.
Consideraremos as noções intuitivas dos alunos para tentar chegar à resposta
do problema através de hipóteses. A validação ocorrerá ao término do processo, por
isso, tudo será válido para se chegar aos conhecimentos matemáticos.
Uma reflexão será necessária, porque na verdade pretendemos obter respostas
precisas. Aproveitando o momento salientaremos a necessidade de se fazer um bom
uso do material no sentido de evitar conseqüências futuras, relacionadas com valores
monetários.
Dessa forma, é preciso que os alunos tenham em mãos um conjunto de dados
em que fundamente essa determinação. Somente após, eles poderão tirar suas
conclusões e elaborar suas respostas.
Diante das dificuldades, convenceremos a equipe a representar figuras a partir
de vistas do objeto, para que possam visualizar o tubo particularizado. Ex:

27
Fig.3 VISTA EM ELEVAÇÃO DE UM TUBO
a) vista superior b ) vista lateral
c ) Vista inferior
Ao simplificarmos o trabalho mediante a visualização das três vistas simples,
detectaremos novos problemas que serão analisados e respondidos. Um exemplo: a
área do tubo representado pela vista lateral é um problema, pois, ao visualizar essa
região, a parte bojuda é possível perceber, enquanto uma segunda região fica
escondida. Entretanto representam a mesma continuidade.
Ao representá-Ia no papel, ficamos impossibilitados de perceber a parte
convexa e acabamos representando o tubo por uma figura retangular. Na verdade, essa
representação é o significado da secção transversal do tubo. Ex:
Fig.4
a) TUBO SECCIONADO b) SECÇÃO TRANSVERSAL
Então:
Como construir uma figura plana que permita expressar a área lateral do tubo e
distingui-Ia da seção transversal?

28
De acordo com as figuras 4a e 4b, convidaremos os alunos para usarem suas
imaginações e modificar a forma cilíndrica apresentada pela figura 4a, planificando-a.
A dinâmica do trabalho imaginário servirá para que os alunos compreendam que a
superfície lateral de um tubo e a sua seção transversal são representadas
geometricamente por retângulos.
Com os tubos prontos, conforme proposto na sugestão 1, não haverá
necessidade de abri-los para responder à questão formulada. Antes de pensarmos na
resposta como um todo, precisaremos conhecer alguns elementos da matemática para
facilitar entendimentos futuros.
Portanto, precisaremos estudar o comprimento das circunferências, e para isso
exige-se um certo conhecimento sobre um elemento importante no campo matemático,
o número "pi". O estudo deste, pode ser feito mediante experiência concreta,
contemplando o que chamamos de processo prático-teórico para a compreensão da
equipe.
Iniciaremos tal experimento pensando primeiro sobre o significado desse
número, que é famoso desde a antiguidade e conhecido dos povos egípcios, gregos,
babilônios, entre outros.
Após uma reflexão através da história, passaremos a demonstrã-lo na prática.
Um barbante permitirá a compreensão da solução. Utilizando modelos reais com
superfícies cilíndricas, ajustaremos um barbante contornando-os. Logo após,
verificaremos a relação entre o diâmetro do cilíndro e o comprimento do barbante
mediante uma divisão simples.
Dessa análise, o aluno tentará construir uma resposta no sentido de verificar
empiricamente a quantidade de vezes que o diâmetro do objeto cabe no comprimento
do barbante, o qual representa o comprimento da circunferência.
Para validar o raciocínio, formalizaremos o conhecimento adquirido do
processo prático, convencendo os alunos a tentarem elaborar modelos matemáticos
capazes de fazer leituras para qualquer circunferência que envolvam seus
comprimentos.
Ex:

29
Fig.5 REPRESENTAÇÃO DO COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
um pouquinho
diâ
MODELO EMPÍRICO
AO
MODELO
MATEMÁTICO
A figura 5 revela como acontecerá a passagem do processo empírico ao
modelo matemático, que pode ser construído pelos alunos através de fórmulas ou de
quaisquer outros recursos da matemática.
É importante também aplicar exemplos de atividades que despertem os alunos
para a extensão dos modelos matemáticos elaborados. Ex:
SE VOCÊ CONSIDERAR A CIRCUNFERÊNCIA DA TERRA, ISTO É,
A MEDIDA DO EQUADOR ( CERCA DE 40000 Km ) E A DIVIDIR PELA
MEDIDA DO DIÂMETRO DA TERRA ( CERCA DE 12740 Km ), QUE
ENCONTRARÁ COMO QUOCIENTE?
Para dar continuidade à solução da questão, retomaremos à situação problema
que pede para expressar a área lateral do tubo através da representação de uma figura
plana.
Tal problema envolverá o modelo matemático construído para investigar os
assuntos relacionados ao comprimento da circunferência. Ele receberá novos
tratamentos conforme nosso planejamento de estudo.

30
"O planejamento é uma tentativa de antecipar condições e situações,
proporcionando meios para atingir ao máximo os objetivos e reduzindo ao mínimo
possíveis desencontros". (BIEMBENGUT, 1999, p. 49 )
Visto que os alunos têm os tubos construídos, passaremos a analisar uma forma
de interpretar as áreas laterais dos mesmos.
Fig.6 INTERPRETAÇÃO DO TUBO, ENFATIZANDO A ÁREA LATERAL
c = 21tr
o Superfície plana h
Vista superior Vista inferior
Associado aos conhecimentos escolares das séries anteriores, os alunos
poderão definir área lateral de tubos com formas cilíndricas. É importante salientar que
existe uma diferença em mostrar a área de um retângulo, que é base vezes altura, sem
conexão com a realidade, e interpretá-Ia com significado real. Fazendo isso,
tornaremos possível aos alunos compreenderem que a base da figura mostrada acima
nada mais é que o comprimento da circunferência.
Aproveitaremos a ocasião para explorar junto ao grupo o significado das
grandezas contínuas usuais tanto na esfera escolar quanto fora dela. Grandezas como
comprimentos e superfícies serão adicionados aos conhecimentos escolares. É o caso
de apresentarmos a palavra comprimento junto com a palavra perímetro e lembrarmos
que a linha imaginária nas formas retangulares e circulares é unidimensional porque
tais formas possuem uma única dimensão, o comprimento.
Outro fator importante é o emprego correto do termo superfície, para
enriquecer a compreensão dos alunos. Muitas vezes, seu uso de forma estranha causa
distorções no entendimento da classe estudantil, que confunde os termos "área e
superfície". Portanto, é preciso fazer essa diferença vir à tona.
Segundo IEZZI et aI ( 1991, p. 63 ), "quando dizemos área do quadrado,
estamos nos referindo à área da superfície quadrada que é constituída pelo quadrado e

31
seu interior. [...]. Assim, a área do retângulo é a área da superfície ou região retangular,
a área do triângulo é a área da superfície ou da região triangular, etc."
Fig. 7 MODELO DE SUPERFÍCIE
I..•
COMPRIMENTO
COMPRIMENTO x LARGURA = VALOR NUMÉRICO DA SUPERFÍCIE (ÀREA)
A figura mostrada acima retrata as relações intuitivas de área de superfície
retangular. Através dela os alunos notarão que, ao atribuir valores para o comprimento
e largura, o produto desses resultarão na unidade referida ( área ).
Essa etapa do trabalho também será aproveitada para desenvolver conceitos de
área das superfícies circulares.
Lembrando que os trabalhos até então executados estão inseridos na sugestão
número dois, sua continuidade acontecerá progressivamente mediante novas
formulações de problemas.
Regressando ao tema gerador "tubo", formularemos a seguinte questão: Como
calcular a área do material que cega o tubo em uma das bases?
A importância dessa proposta é observar e analisar através de trabalhos
concretos as diferenças entre circunferência e círculo, conceituando-os.
Tal proposta traz na sua essência a idéia de superfície e área, apresentando uma
maneira prazerosa de trabalhar conteúdos em sala de aula. Nossa perspectiva é
construir junto com os alunos um modelo matemático que cumpra a função de tornar
possível conhecer o valor de qualquer área com superfície quadrada ou circular. Ao
mesmo tempo, procuraremos sanar algumas dúvidas provenientes do meio estudantil
em relação à circunferência, que possui comprimento "unidimensional", e ao círculo,
que possui superfície "bidimensional".

32
Para resolver esse problema e abrir novos horizontes de conhecimentos além
dos empíricos, possibilitaremos aos alunos realizarem tarefas abrangentes, tais como:
Fig. 8 -SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES PARA EXPLORAR A ÁREA DO CÍRCULO A
PARTIR DA ÁREA DO QUADRADO
a) Construir um quadrado com lados iguais ao diâmetro do tubo construído pelos
elementos do grupo de estudo.
a)
1
b)
b) Dividir o quadrado em quatro partes iguais
2 •.. - 3
•.. ~
4 ~ 5•.. ~
c) Construir uma circunferência inscrita no quadrado maior
c)
Obs. * Manter as mesmas numerações das
regiões do quadrado da figura 8(b) para
as demais que seguem o mesmo
raciocínio.
d) Analisar a figura do item anterior, dizendo aproximadamente quantos dos quadrados
construídos cabem na região interior da circunferência.

33
Sugeriremos um procedimento para responder ao item acima:
Utilizando uma tesoura, recortar as quatro sobras do quadrado 1, exterior à
circunferência. Ex.:
d)
sobra
Observação:
• Manter sempre a região 5, interior da circunferência para as devidas colagens.
• As colagens não poderão estar sobrepostas.
Execução do trabalho:
Os alunos colarão a sobra do quadrado 2 na região número 5, interior da
circunferência. Isso indicará que a sobra colada na região 5, mais a região 2,
comprovará a inclusão de 1 quadrado dentro da circunferência.
Colarão também a sobra do quadrado 3 na mesma região de destino do item
anterior e verificarão que a sobra colada mais o resto da região 3 estarão contidos na
circunferência. Significa dizer que outro quadrado poderá estar incluído.
Continuando o processo, com a sobra dos quadrados 4 e 5, a equipe
comprovará que com mais um quadrado e um pouquinho a circunferência ficará
totalmente preenchida.
Ao final desse trabalho, espera-se que as respostas dos alunos tenham mais ou
menos a seguinte característica:
CABEM NO INTERIOR DA CIRCUNFERÊNCIA APROXIMADAMENTE
TRÊS QUADRADOS E UM POUQUINHO.
O processo da evolução do trabalho pode ser observado através da seguinte
representação:

f)
34
3
•
0~~ .
~,
,~
6
Dessa análise, conduziremos os alunos a comparar com os procedimentos
anteriormente elaborados na construção do modelo matemático relacionado ao
comprimento da circunferência, quando mencionamos sobre o elemento "pi".
Nossa intenção no momento descrito anteriormente ( p. 29 ) era provar que três
diâmetros e um pouquinho é o resultado da razão entre o comprimento e o diâmetro de
qualquer circunferência.
Nossa intenção neste momento é provar que em um quadrado qualquer
circunscrito a uma circunferência, dividido em quatro partes iguais, somente três dessas
partes e mais um pouquinho podem ser incluídas no interior dessa circunferência.
Contudo, estaremos em torno de um único significado, o elemento n ( pi ).
Para continuar com os procedimentos, é necessário convencer o grupo a formar
idéias que sejam capazes de dar significado aos três quadrados e um pouquinho,
conduzindo-os ao seguinte raciocínio: a medida do lado dos quadrados interiores à
circunferência é igual ao raio do círculo.
Sendo a área do quadrado expressa pelo raio elevado à segunda potência,
teremos como passo seguinte, instigar os alunos em tentar construir um modelo

35
matemático que possa expressar a área de figuras circulares. A intenção é de que
cheguem à seguinte conclusão:
A ÁREA DO CÍRCULO VALE UM POUCO MAIS QUE O TRIPLO DA ÁREA
DO QUADRADO QUE TEM PARA LADO A MEDIDA DO RAIO DO
CÍRCULO.
No exemplo ilustrativo abaixo, notamos a fórmula matemática aplicada no
contexto escolar. Seu verdadeiro significado não precisará ser decorado. Qualquer
aluno poderá fazer uso desses conhecimentos e aplicar no seu dia-a-dia, apenas
visualizando e interpretando o enunciado acima.
Fig.9 - GENERALIZAÇÃO DA ÁREA DO CÍRCULO À PARTIR DA ÁREA DO QUADRADO
a)
b)
r
I Ir I ~
r
1Construir a
área do círculo
à partir da área
do quadrado
Para que os alunos tenham seus conhecimentos formalizados, achamos
conveniente aplicar algumas atividades com exemplos análogos para tornar o
aprendizado mais amplo e para que não fique restrito somente ao modelo matemático.
Podemos complementar com atividades do tipo:
a) por quanto deve ser multiplicada a área do quadrado de lado igual ao raio para obter
a área do círculo ?
obs. * Para facilitar essa resposta, resolva primeiro a atividade seguinte.

36
Fig.l0- SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES PARA OBTER A ÁREA DO CÍRCULO
b) Complete:
(lJ2cm
~
a)
[ ]
área do quadrado .
área do círculo .
Indique os cálculos, sem contudo executá-Ias:
a.l)
a.2)
a.3)
aA)
~48cm
AO= 48 em • 48cm
AO = 3,14. ( 48cm. 48 cm )
~~::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
15cm AO= .
AO=········································
(9R AO= R. R ou R2
A = 3,14 . ( R . R) ou 3,14 . R2
O

37
7Após executarem tais atividades e compreenderem as implicações
matemáticas inseridas no estudo, voltaremos nossa atenção para o tema gerador,
incitando os alunos a proporem respostas para alguns outros significados do objeto
construído, no caso, "tubo", comparando-o com algo semelhante: um tonel; um
depósito; um recipiente, entre outros.
SUGESTÃO 3
Aderindo à proposta mencionada, sugeriremos a seguinte situação:
Qual é o valor ideal de medidas para construir tubos que possam comportar um
volume significativo de um determinado produto?
Nessa proposta, caminharemos para um refinamento do modelo em estudo,
porque pretendemos estruturar os conhecimentos matemáticos que estarão sendo
construídos conforme o andamento deste trabalho.
Começaremos por fazer um exame sobre a grandeza "volume", a qual é
representada por uma unidade cúbica.
Para obtê-Ia, precisaremos estimular o grupo em querer conhecer algumas
medidas de grandezas fundamentais, denominadas área da base e altura.
Partindo da idéia de que a área da base faz parte do rol de conhecimentos da
equipe, não ficará difícil interpretar os valores dos volumes para os respectivos tubos.
Pediremos que registrem todos os valores das medidas obtidas de seus tubos
que representam a área da base, área lateral e volume.
Em seguida, voltaremos à situação problema. Nela é possível observar que
nossos estudos ganharão novos significados através da interpretação dos fenômenos
matemáticos que se apresentarão no percurso do trabalho. Nesse planejamento,
tentaremos despertar no grupo a sensibilidade de economia e desperdício.
Partiremos do princípio de que é necessário uma superfície retangular para
construir tubos, lembrando que tal experiência foi abordada na sugestão número 1.
7As atividades acima foram extraídas da obra Matemática nas séries iniciais. Coleção Ensino de 10
grau, p. 256.

r
r
38
A grosso modo, os tubos com uma das bases cegas contribuirão para a
produção de novos conhecimentos relacionados às superfícies circulares. Sabemos com
clareza que tais superfícies possuem seus valores limitados pelas superfícies
retangulares que representam as áreas laterais dos objetos cilíndricos.
Dessa análise, orientaremos o grupo a começar também a perceber as
influências que existem entre as diferentes superfícies que compõem o tubo.
O problema sugerido força-nos adentrar em conteúdos programáticos do
currículo educacional que são as funções. Nesse momento, nossa meta será estabelecer
significados para os conceitos e suas relações com as variáveis. Para isso, precisaremos
observar o objeto como um todo.
Iniciaremos nosso trabalho de observações, pnmeiro representando as áreas
laterais dos tubos através de figuras, e para tal, utilizaremos papéis quadriculados.
Mantendo fixa a área lateral, os alunos buscarão novos valores para as
variáveis. Ex.:
Fig. 11- FORMAS RETANGULARES COM SUPERFÍCIES DIFERENTES
a)
AI=x b
a
b)
AI=x d
c
c)
AI = x If
~-e

39
A dinâmica de trabalho que apresentaremos terá a finalidade de mostrar novas
formas de representar tubos sem que venham interferir no valor da área lateral.
Consideramos extremamente importante que os alunos percebam os aumentos e
diminuições nas bases, que têm como conseqüência alterações nos volumes.
Uma das maneiras para apresentar resultados é construindo tabelas e
transpondo seus valores. Nessas tabelas deverão constar os elementos variáveis que
modificam os objetos construídos, que são: área lateral, área da base, volume, raio e
altura.
Para ilustrar o que foi mencionado, mostramos abaixo um exemplo que se
identifica com o propósito do estudo.
a) Supondo a construção de um tubo com as seguintes características:
Fig.12 - REPRESENTAÇÃO DE UM TUBO E SUA ÁREA LATERAL
a)
16cm
b)
/
AI = 401,92 em-
11
/'
b = 25,1 <,
..••.
--
h = 16 em
AI = ÁREA LATERAL
b = BASE DA FIGURA PLANIFICADA
c = COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
r= RAIO

40
Observando a figura 12b, podemos verificar que sua base representa a
circunferência do cilindro da figura 12a. Com isso, deduziremos que:
b=c
c = 21tr
Se o diâmetro do tubo é equivalente a 8 em, significa dizer que c = 25,1 em, o
que representa aproximadamente uma área lateral de valor 401,92 cm-, Fixaremos esse
valor e buscaremos alguns valores diferentes para representar novas bases e novas
alturas de tubos. Ex.:
Tabela 1- OPÇÓES DE MEDIDAS DE TUBOS
É evidente para nós que os infinitos valores da base e altura corresponderão a
um único valor de área lateral do problema apresentado; portanto, o aluno também
deverá chegar à mesma compreensão.
Obtidos os valores acima, passaremos a calcular os valores para os respectivos
volumes.
Para calcular essa grandeza que se apresenta como modelo nr2
h,
necessitaremos ter de imediato o valor do raio para possibilitar os cálculos.
Sugeriremos:
c = 21tr sendo: c = base da figura planificada
Então:
Opção 1 ---I ••C= 20 = 21tr ~ r = 3,2 em

41
Repetindo o procedimento para os demais valores atribuídos, encontraremos
raios de 2,4 em ; 1,6 em; entre outros, conforme a quantidade de opções apresentadas.
O exemplo a que estamos nos referindo é somente para dar uma idéia do
procedimento a ser realizado porque, como sabemos, quem atribuirá os respectivos
valores das bases e alturas de novos tubos, serão os alunos.
Com os valores encontrados através dos cálculos partiremos para solucionar o
volume das novas formas em análise.
Contando com o modelo V = nr-h, apresentaremos os valores dos volumes em
relação às opções apresentadas, que em nosso exemplo são respectivamente:
646,6 em>; 485 cm-; 323,3 em>; entre outros.
Após elaborados os cálculos, a melhor ou uma das melhores maneiras de
apresentar dados é construindo uma tabela em que constem os valores de volumes, área
lateral, área da base, raio, altura e área total.
A tabela que apresentamos a seguir inicia com os valores referentes às figuras
12a e 12b.
Tabela 2- CONJUNTO DE DADOS PARA TUBOS COM MESMAS ÁREAS LATERAIS
18,1
401,92 32,16 646,6 434,1
8
Obs. * Os valores acima estão aproximados dos valores reais.
Para universalizar essas concepções, é necessário avaliar os fenômenos
matemáticos decorrentes das análises.

42
o teor de validação do trabalho envolvendo tais variáveis será apresentado
conforme as relações abaixo, com a finalidade de induzir os alunos a responderem
algumas hipóteses:
• O raio da circunferência no problema pode ser elaborado com todos os
números reais?
• O que acontece quando o raio da circunferência é zero em relação à
altura e o volume?
• Quando aumentamos o raio, como se comporta a variação da altura e
do volume?
• Para qualquer aumento de volume, a área lateral sempre se manterá
constante?
• Existe uma altura máxima para representar um tubo, mantendo o
mesmo procedimento de fixar o valor da área lateral ?
Após a interpretação do problema, aproveitaremos para conceituar funções,
definindo o significado das variáveis mediante alguns exercícios intuitivos do tipo:
Um pedaço de cartolina quadrado tem lados 15cm. Nos cantos inferiores
são recortados 2 quadrados iguais com lados x em, Na parte superior é recortado
um retângulo com uma largura também de x em. A parte restante tem a forma de
uma letra T. Calcular a área do T quando x = 1.
Fig.13)
x x
15 em
resposta: 208 em-

43
Na mesma atividade, proporemos aos alunos vanar x, para obterem novos
valores da área T. Ao término, retomaremos ao tema inicial "tubo" e lembraremos o
grupo de finalizar uma situação inserida na sugestão 2 ( p. 27 ), que pedia uma resposta
para a quantidade de tubos idênticos ao proposto na sugestão 1, possíveis de construir
com apenas uma cartolina ou um papel cartão.
Quanto aos alunos, serão convidados a responder tanto a questão formulada na
sugestão 3, quanto a situação inserida na sugestão 2, expondo os porquês de tais
respostas.
Cada indivíduo tem pensamentos distintos; portanto, precisaremos incitar os
alunos a discutirem o assunto levantado. Isso fará nascer deles um comportamento
crítico em relação às respostas.
Dessa discussão poderão surgir novas expressões de caráter matemático,
induzindo o trabalho para outros campos que envolvem a matemática, e dos quais o
educador poderá fazer uso para abordar os demais conteúdos programáticos do
currículo escolar.
Ao passar a ministrar uma matemática integrada às situações reais, o professor contribui
sobremaneira para que se 'acendam' nos alunos as chances de crítica e de questionamentos.
Tais críticas e questionamentos se fortalecem, quando o aluno passa a elaborar seu modelo
matemático através de formas alternativas de compreensão dos significados.
Sem dúvida, esse momento é o grau mais refinado de aprendizagem não apenas para o aluno,
mas principalmente para o professor. É uma forma de o professor ampliar sua eficácia e
conhecimento, o que acarreta a incorporação de novas atitudes e padrões.
( BIEMBENGUT, 1999, p. 50 )
Chamamos a atenção para outros tópicos matemáticos do programa
educacional de ga série que podem ser abordados ao trabalhar o tema "tubo", fazendo
uso do método da modelação matemática:
• Medidas
• Razão
• Proporção
Semelhança de figuras
Polígonos inscritos e circunscritos
•
•

44
• Estatística.
Havendo interesse da parte dos alunos em querer continuar com esse mesmo
tema, sugerimos ao educador fazer uma pequena modificação no modelo. Uma secção
oblíqua no tubo desencadeará uma gama enorme de informações matemáticas.
Contudo, é preciso que o professor esteja preparado para esse novo processo de
trabalho com o tema.
Fazendo uma simples secção no tubo, poderemos trabalhar com todos os
tópicos matemáticos pertinentes à sa série. A grandeza desse novo modelo engloba
também conteúdos de séries posteriores em nível de 2° e 3° graus, como: limites,
derivadas e integrais.

45
CONSIDERAÇÕES FINAIS
É a primeira vez que faço uma investigação sobre o método da modelação
matemática para responder a um problema antigo que sempre permeou minha vida
estudantil e profissional: Para que serve o saber matemático se ele não resolve os meus
problemas?
Perguntas como essa são comuns na concepção de indivíduos que, de uma
forma ou de outra, se vêem incapacitados de aplicar os conhecimentos matemáticos nos
momentos importantes de suas vidas.
Essas conseqüências se dão pelo fato de a escola apresentar a matemática na
forma mais elaborada aos olhos estudantis. Tanto é que um indivíduo que tenha
adquirido determinado conhecimento no sistema escolar, ao precisar concluir uma
tarefa do seu dia-a-dia que necessite desse conhecimento, desconsidera os
ensinamentos escolares e o faz com experiências adquiridas no seu cotidiano de vida.
Percebendo o teor da análise que envolve as realidades escolar e do aluno,
construí um primeiro entendimento enquanto educador para explorar esse campo, ainda
que muito complexo.
O primeiro passo foi dado. Iniciei com um tema simples para conduzir o
ensino de matemática partindo do real para o abstrato, inserido na proposta deste
trabalho.
Apesar de muitas críticas rondarem em torno da forma como a modelação
matemática apresenta os conteúdos matemáticos, a proposta é ensinar matemática com
a construção de modelos que representam a realidade, e interpretá-Ios de forma mais
ampla.
Este trabalho revelou-se muito importante para minha compreensão.
Para abordar modelos matemáticos na presente proposta antes da investigação,
idealizava-os de forma generalizada, trazendo à tona toda bagagem de entendimento
profissional e escolar adquirido ao longo de minha vida em torno de um modelo único.
Não percebia que nesse modelo existia uma matemática avançada, o que me

46
impossibilitaria fazer as leituras dessa realidade em conjunto com alunos de 8a
série, os
quais, como se sabe, ainda possuem os conhecimentos matemáticos restritos.
O tema apresentado para estudo, de início parecia ser simples demais; porém,
ao analisá-lo com um pouquinho mais de profundidade, percebi uma infinidade de
assuntos matemáticos os quais nasceriam de seqüências dialógicas entre professor e
alunos.
As atividades escolares são intercaladas em momentos oportunos para tornar
os alunos hábeis em perceber a matemática da escola e o para que serve.
Com a modelação matemática, todo o processo de ensino aprendizagem pode
acontecer de maneira prazerosa, sem haver a necessidade de um tratamento rigoroso
para a matemática, em que o educador é o dono do saber: é ele quem ensina e detém o
conhecimento, desconsiderando o saber do cotidiano de vida dos alunos.
Segundo D'AMBROSIO ( 1986, p.23 ), "desse modo, tratar os diversos
assuntos que aparecem em matemática com o devido 'rigor' pode neutralizar o que nos
parece a função essencial do ensino de matemática, bem como de qualquer outro
assunto".
Isso nos permite concluir em nossa proposta de trabalho, que fazer modelação
matemática é uma forma criativa de ensinar e produzir conhecimentos matemáticos
paralelos a uma realidade em estudo. E o aprendizado não se dá somente para os
alunos, mas também para o professor consciente de que para ensinar, precisa primeiro
aprender.
Finalizando, recomendamos ao educador revestir-se de cautela ao explorar
qualquer tema. Antes, é necessário conhecer os modelos matemáticos que nele estão
envoltos, porque ao modificâ-lo, poderá não estar preparado para agir sobre o mesmo.
Com isso queremos alertá-lo e dizer que não há necessidade desse tema ter um nome
especial. Pode ser simples, como em nosso caso: "tubo". Porém, ao abordá-lo adotando
um dos métodos presentes na educação, se está contribuindo para um ensino de
matemática significativo e mais prazeroso, em que os livros didáticos serão utilizados
somente como uma ferramenta de apoio, e não como uma bengala de sustentação.

47
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANASTACIO, Maria Queiroga Amoroso. Considerações sobre a Modelagem
Matemática e a Educação Matemática. Dissertação de mestrado, UNESP, Rio
Claro,1990.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino.
São Paulo: Contexto, 2000.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática & implicações no ensino e
aprendizagem de matemática. Blumenau: Ed. da Furb, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. PCN's - Parâmetros Curriculares
Nacionais - Matemática. Ensino Fundamental, sa a 8a séries. Brasília; Mec, 1997.
BURAK, Dionísio. Uma Metodologia Alternativa para o Ensino de Matemática na
5a série. Dissertação de Mestrado, UNESP, Rio Claro, 1987.
D'AMBROSIO, Ubiratan. Da Realidade à Ação: Reflexões sobre a Educação
Matemática. São Paulo: Summus; Campinas: ed. Universidade Estadual de Campinas,
1986.
D'AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: Um Programa. Revista da Sociedade
Brasileira da Educação Matemática - SBEM, ano I, n? 1, 2° semestre, 1993.
FERREIRA Aurélio Buarque de Holanda. NOVO DICIONÁRIO DA LÍNGUA
PORTUGUESA. 2a ed., Nova Fronteira, 1986.
IEZZI, Gelson et aI. Matemática e realidade: 8a série. 2. ed., São Paulo: Atual, 1991.
MATOS, J. M.; CARREIRA, S. et aI. Exemplo de um problema de Modelação:
Passeio na roda gigante. Disponível em: <http// : www.apm.pt/apm/ GTAM/
exemplo. htmI. Acesso em 10 de maio de 2001
NERY, Chico; JAKUBOVIC, José. Curso de Matemática. v. 1 - 3, São Paulo: Ed.
Moderna, 1986.

48
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Currículo Básico para a Escola Pública
do Estado do Paraná, Curitiba: SEED, 1990.
PEREIRA, Tânia Michel ( org. ) et al. Matemática nas séries iniciais. Coleção ensino
de 1° grau. Biblioteca do Professor; 9. 2a
ed., IJUI: UNIJUI, 1989.
SENAI-DEPARTAMENTO REGIONAL DO PARANÁ. DIVISÃO DE ENSINO E
TREINAMENTO ( Ed. ). MEDIÇÃO. Folha de explicação FE-l, 1/2 e Fe-6, 1/2,
1985.
YOSHIDA, América. Torneiro Mecânico e Automático: Cálculos de Curvas. São
Paulo: Editora L. Orem, 1979.
ZETETIKÉ, Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação, Círculo de
Estudo, Memória e Pesquisa em Educação Matemática, n? 1, mar. ( 1993- ).
Campinas, SP: UNICAMP - FE - CEMPEM, 1998.

ANEXO
EXEMPLO DE UM PROBLEMA DE MODELAÇÃO: Passeio na roda gigante
49

50
Exemplo de um problema de Modelação:
Passeio na roda gigante
(Exemplo retirado de Matos, J. M., Carreira, S., Santos, M. e Amorim, 1.
(1994). Ferramentas Computacionais na Modelação Matemática. Lisboa:
MEM.)
Uma das atrações das feiras é a roda gigante (fig. 1). Não é difíci I
imaginá-Ia a rodar com uma velocidade praticamente constante permitindo ao s
passageiros, de forma periódica atingir o ponto mais alto onde a vista sobre a
feira é mais espetacular.
Podemos supor que a roda leva 12 cadeiras igualmente espaçadas a o
longo do seu perímetro, que o seu raio é de 10m e que o ponto mais baix o
atingido ao longo do percurso circular está 0,5m do solo.
Sabe-se também que a roda demora cerca de 30 segundos a efetuar uma
rotação completa (adaptado de Carreira, 1993; p. 370).
Figura 1. Roda Gigante
~-----~

51
Vamos construir um modelo que permita responder à questão:
Como varia a distância a que se encontra um passageiro do solo, durante o
seu passeio?
Ninguém Terá dúvida alguma em afirmar que na posição n'"l (ver figo 1 )
o passageiro está a 0,5m do solo e que na posição n04 está a 10,5m. E na s
posições intermédias?
Comecemos por fazer uma pequena simplificação admitindo que n o
instante inicial t = O o passageiro encontra-se na posição n04 e, portanto, a 10,5m
do solo.
No instante t = 1, a distância do passageiro ao solo será a soma do s
10,5m correspondentes à "posição inicial" com um "bocadinho" correspondent e
ao ângulo de PI/15 rad que, entretanto, descreveu. Resta saber como calcular
esse "bocadinho".
É pertinente começar a implementação do modelo na folha de cálculo,
criando uma coluna que defina a evolução do tempo - "Tempo (em s)". Co m
efeito, a variável tempo é fundamental para o nosso modelo pois dela irã o
depender as outras variáveis.
Também já verificamos que a distância do passageiro ao solo em cad a
instante, vai depender da amplitude do ângulo que ele já descreveu; então,
podemos criar uma segunda coluna onde apareçam esses sucessivos ângulos a o
longo de 180 células da coluna. Nessa coluna colocamos o título "ângulo" (fig.
2).
Estamos agora em condições de atacar o problema da distância ao solo.
O esboço da roda traz-nos à idéia o círculo trigonométrico. Se escolhermos a
reta que passa pelas posições n04 e nOl0 para eixo das abcissas e a reta que passa
pelas posições nOl e nO?para eixo das ordenadas, estamos perante um referencia 1
adequado para localizar a posição de um passageiro ao longo do movimento.
Deste modo, e com o auxílio do círculo trigonométrico, verificamos que o ta 1
"bocadinho" de que falávamos atrás é o seno do ângulo descrito pelo passageir o
no primeiro segundo, multiplicado por 10 (porque o nosso "círculo
trigonométrico" tem raio 10).
Finalmente, conseguimos obter uma expressão que permite calcular a
distância ao solo (em metros) a que se encontra um determinado passageiro e m
cada instante t:
Distância = 10,5 + 10 * sem (ângulo) ( I )
Note-se que a variável "ângulo" é função de t e, como tal, a "Distância"
depende de t mediante a composição de duas funções (fig. 2)

ADnIO --~tII1~
o o 10,5
1 ~1- 12;51911691
1 0~41d19O'l 14.S6'736643
3 0SS!1U3 16,311&5252
4 0.1311'*>4 11.931~825
, 1.G41197$,S 19t1~'
6 l~ 2O.01~16
7
I""'''' ~'Zl19'
• 1.67"1_ 2OA4S2119S
9 1,8849$$59 2O.ól0S6S16
10 2.OM3951 19.1602SC04
11 2.303U461 11.9314482$
12 1.S13X1412 16.31783252
13 l,722.71lti3 14.S673664'
14 1.~2U314 12$9H$l
15 3.141m65 10.5
16 3.35103216 8.420883092
Figura 2_Porção da folha de trabalho com as três colunas que acabamos de definir.
Ângulo = tempo * PI/15
Distância = 10,5 + 10 * sen (ângulo)
Observando os valores obtidos, podemos verificar que no primeiro
segundo de viagem (ainda partindo do princípio que a posição no instante O é a
n0
4) o passageiro subiu um pouco mais de 2 metros e, em cada segundo, va i
subindo cada vez menos até chegar perto da altura máxima (que parece ser
atingida ao fim de 7,5 segundos) onde as diferenças de altitude não chegam a
meio metro por segundo. A seguir, começa por descer pouco e, do instante 1 4
para 15, torna a haver uma diferença de distâncias superior a 2 metros. Depois,
desce cada vez menos até que, perto do solo, as diferenças de altura sã o
novamente inferiores a 0,5 metros. Este "comportamento" da roda é favoráve 1
aos passageiros pois demoram mais tempo lá em cima e menos tempo na
descida e na subida; também demoram mais tempo cá em baixo.
Para completar a análise da tabela é interessante analisar o gráfico que
relaciona a distância ao solo com o tempo (fig. 3)

53
Dtstancia ao Solo
'; 25
o•..
"4: 20
e
e 15
•••....,
5
O~~~~~~~~~~~*T~~~
Q ~ o
1"'1
11'01/">011'0""'0
'" 10,"" O< o N n o•..... -
Figura 3. Gráfico que relaciona a distância a que um
Passageiro se encontra do solo com o tempo.

Esta representação gráfica do modelo confirma o que já tínhamo s
observado na tabela: as diferenças nas distâncias ao solo são menores junto do s
máximos e mínimos relativos, isto é, quando o passageiro está perto do pont o
mais alto ou do mais baixo. Mas, dá-nos outras informações. Por exemplo,
verificamos facilmente que, num passeio de três minutos o passageiro passa seis
vezes pelo ponto mais alto (e outras tantas pelo ponto mais baixo), mas passa 1 2
vezes por qualquer outro ponto (seis a subir e seis a descer). A periodicidade do
movimento realizado por uma cadeirinha está bem "visível" neste gráfico.
Seria importante dispormos de um modelo que melhor se adequasse à
situação real. De fato, os passageiros entram na roda para a cadeirinha que
estiver mais perto do chão( a n? 1).
Como alterar o nosso modelo para adequar a esta situação? De repente,
sem pensar, podíamos sugerir: subtrair 10 à expressão ( I ). Podemo s
implementar numa quarta coluna da folha de trabalho esta nova expressão.
Como é evidente, vão surgir valores negativos por exemplo, para o instante 16)
o que "deita por terra" esta primeira hipótese.
Raciocinemos então. A expressão da terceira coluna da folha de trabalh o
depende diretamente do ângulo (que, por sua vez depende do tempo); logo,
devemos pensar no efeito que esta alteração de posição de cadeirinhas no
instante t = °produz no ângulo. Agora, é fácil. Na posição n0
1 o ângulo a que a
cadeirinha faz com o semi-eixo positivo dos XX (do nosso referencial
"imaginário") é -PI/2. Então, a fórmula a introduzir na quarta coluna será: "10, 5
+ sen (ângulo - PI/2).
Podemos agora fazer um novo gráfico e continuar a explorar este
modelo, nomeadamente responder às questões:
• As conclusões anteriores sobre o tempo que o passageiro tem para "ver
a vista" continuam válidas? Porquê?
• Sem um cronômetro e supondo que um bilhete dá direito a 5 minuto s
de viagem na roda gigante, poderemos dizer em que instantes um passageir o
passou por determinada posição? Como?
• A roda não está sempre a girar, tem que parar constantemente para
saírem os passageiros que terminaram a sua viagem e entrarem outros. Com o
adequar o nosso modelo a esta situação?
• E se a roda fosse mais lenta a dar a volta? O tempo que uma cadeirinha
demora a passar perto do ponto mínimo possibilitaria encontrar um processo e m
que não fosse preciso parar a roda para a entrada e saída de passageiros?
• E se ...

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