Ensino de Função Exponencial com Fractais e Robótica

SANTO ANDRÉ - SP
2018
CRISTINA MARIA BRUCKI
O ensino de Função Exponencial utilizando fractais e robótica como
instrumento para possibilitar um contexto significativo

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2018
CRISTINA MARIA BRUCKI
O ensino de Função Exponencial utilizando fractais e robótica como
instrumento para possibilitar um contexto significativo
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
disciplina Monografia e Acompanhamento
como requisito parcial à conclusão do Curso de
Especialização em Ciência e Tecnologia da
UFABC.
Orientador: Prof. Dra. Elizabete Campos de Lima

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RESUMO
O presente trabalho se insere nos estudos da utilização da Modelagem Matemática
como instrumento de ensino e a robótica estrutural com os fractais como estratégia
para o ensino de função exponencial.
No trabalho é desenvolvida uma atividade de modelagem na qual é utilizada como
objeto de aprendizagem o material de robótica (Knex) para o reconhecimento do
modelo matemático que represente a formação de um modelo de fractal evidenciado
na replicação do DNA. A pesquisa é de natureza qualitativa e quantitativa, os sujeitos
da pesquisa são alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de
São Paulo. Desenvolvida por meio de observação participante, sendo os dados
coletados a partir de atividades contextualizadas com a utilização de modelos
existentes na natureza. A abordagem do referencial teórico é baseada nas
concepções de modelagem de Jonei Cerqueira Barbosa e a teoria de aprendizagem
significativa de David Ausubel.
O material de robótica é utilizado juntamente com a ideia de análise e utilização de
um modelo de fractal evidenciado na replicação do DNA, o qual possibilita a
construção de um processo de ensino e aprendizagem significativo para o aluno,
desenvolvendo um cenário de relações práticas e consciência crítica
simultaneamente.
A construção do objeto matemático Função Exponencial se torna algo com
significado, podendo ser desenvolvido posteriormente em outras aplicações pelo
aluno de forma contextualizada, pois foi efetivamente compreendido.
Palavras-chave: Função Exponencial, Fractal, Modelagem Matemática, Robótica
Estrutural.

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RESUME
The present work is inserted in the studies of the use of Mathematical Modeling as a
teaching tool and structural robotics with fractals as a strategy for teaching exponential
function.
In the work, a modeling activity is developed in which the robotics material (Knex) is
used as a learning object for the recognition of the mathematical model that represents
the formation of a fractal model evidenced in DNA replication. The research is
qualitative and quantitative in nature, the research subjects are first-year high school
students from a public school in São Paulo. Developed through participant observation,
the data being collected from contextualized activities using existing models in nature.
The approach of the theoretical framework is based on the concepts of modeling by
Jonei Cerqueira Barbosa and the theory of significant learning by David Ausubel.
The robotics material is used together with the idea of analyzing and using a fractal
model evidenced in DNA replication, which enables the construction of a meaningful
teaching and learning process for the student, developing a scenario of practical
relationships and awareness critical simultaneously.
The construction of the mathematical object Exponential Function becomes
something with meaning and can be developed later in other applications by the
student in a contextualized way, as it was effectively understood.
Key Word: Exponential Function, Fractal, Mathematical Modeling, Structural Robotics.

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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO............................................................................................ 05
2. REVISÃO DE LITERATURA...................................................................... 07
2.1 Modelagem Matematica.................................................................... 07
2.2 Fractais.............................................................................................. 11
2.3 Robótica na Educação....................................................................... 21
3. JUSTIFICATIVA......................................................................................... 24
4. OBJETIVO.................................................................................................. 27
5. METODOLOGIA ....................................................................................... 27
5.1 O ambiente onde a pesquisa foi realizada ...................................... 28
5.2 Alunos e caracterização dos grupos................................................ 30
5.3 Descrição do processo de desenvolvimento da atividade............... 31
6. RESULTADOS E DISCUSSÕES ............................................................. 36
7. CONCLUSÕES........................................................................................ 40
8. REFERÊNCIAS......................................................................................... 43
9. APÊNDICE
9.1 Atividade 1 .................................... .................................................. 47
9.2 Atividade 2........................................................................................ 48
9.3 Atividade 3.................................... .................................................. 50
9.4 Atividade 4.................................... .................................................. 57
9.5 Atividade 5.................................... .................................................. 60

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1. INTRODUÇÃO
Ao longo de minha trajetória lecionando matemática em escolas públicas, sempre
encontrei dificuldade em iniciar de forma mais atrativa aos alunos o conceito de
Função Exponencial. Sempre percebi que o aluno possui maior entusiasmo quando o
objeto de aprendizagem é significativo e o processo de construção do mesmo
acontece de forma em que o aluno é o protagonista deste processo de construção do
conhecimento.
Então as palavras-chave são para a construção do conhecimento: significativo e
motivador. Estes processos ao meu ver são considerados ao utilizarmos a modelagem
como instrumento e a robótica como estratégia de construção do aprendizado.
O material de robótica utilizado juntamente com a ideia de análise e utilização de
um modelo de fractal evidenciado na replicação do DNA, possibilita a construção de
um processo de ensino e aprendizagem significativo para o aluno, desenvolvendo um
cenário de relações práticas e consciência crítica simultaneamente.
A ideia do tema fractal cria um link da vida com a matemática. A releitura da
natureza e da matemática enquanto instrumento de representação da mesma.
A abordagem desta forma favoreceu a visão “das ciências” de forma mais
integradas. Uma visão da natureza como um processo dinâmico e interativo quanto
as descobertas e possibilidades. Descarta a ideia da matemática como algo acabado
em si mesmo, modelos dinâmicos e interativos com a vida com o meio ambiente.
A utilização do modelo de fractal permite desenvolver o lado experimental dos
alunos de tal forma que possibilita associar a geometria de fractal com o modelo de
Função Exponencial.

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O tema a ser desenvolvido com a ideia de robótica e modelagem são essenciais
na composição deste processo, pois se o tema possuir uma representação
significativa para o aluno grande parte do processo já possui grande chance de êxito.
A pesquisa realizada é de natureza qualitativa, os sujeitos da pesquisa são
alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Bernardo do
Campo, São Paulo. Desenvolvida por meio de observação participante, sendo os
dados coletados a partir de atividades contextualizadas com a utilização de modelos
existentes na natureza. A abordagem do referencial teórico é baseada nas
concepções de modelagem de Jonei Cerqueira Barbosa e a teoria de aprendizagem
significativa de David Ausubel.
O trabalho e abordagem se faz por meio de pesquisa quantitativa e pesquisa
ação, como objetivo de uma relação mais reflexiva em relação a teoria e prática
pedagógica.
A introdução do tema utilizando o fractal na natureza, possibilita a releitura da
matemática como um instrumento representativo de inúmeros fatos que se verificam
na natureza, como sua expressão geométrica e reiteração da mesma regra pela
característica de processos recursivos e de construção infinita.
O material de robótica utilizado juntamente com a ideia de análise e utilização de
um modelo de fractal existente na natureza possibilita a construção de um processo
de ensino e aprendizagem significativo para o aluno, desenvolvendo um cenário de
relações práticas e consciência crítica simultaneamente.
E como objetivo final a análise e construção do modelo de Função Exponencial
por meio dos elementos verificados e utilizados até o momento.

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2. REVISÃO DE LITERATURA
O ensino de conceitos matemáticos é complexo quando não possui significado
para o educando. Este significado é construído com base na experiência já existente
no individuo da construção de determinado conhecimento e sua relação com o
interesse pelo objeto a ser compreendido.
A utilização de instrumentos como a modelagem e a ideia de fractais possibilita
uma aprendizagem significativa, conforme conceito central da teoria da aprendizagem
de David Ausubel, segundo Moreira (2011 p. 2), “a aprendizagem significativa é um
processo por meio do qual, uma nova informação relaciona-se, de maneira
substantiva (não-literal) e não-arbitrária, a um aspecto relevante da estrutura de
conhecimento do indivíduo”.
O conceito já existente no indivíduo que deverá atuar como “conceito
subsunçor”, como uma ancora para possibilitar o link com o novo conceito a ser
construído pelo indivíduo a Função Exponencial é a ideia de análise do
comportamento do DNA nas células. O DNA é algo interessante e conhecido pelo
aluno, faz parte de sua existência e torna-se um instrumento de motivação para o
aprendizado de matemática.
2.1 Modelagem Matemática
A modelagem matemática tem como essência a ideia da tradução da linguagem
do mundo real para o mundo matemático, alguns procedimentos precisam ser
realizados. As concepções da construção destes modelos são descritas de forma
diferenciada conforme o autor.
Para D’Ambrosio (1986), os passos representados para a formulação do
modelo são:
1 – Questionamento ou situação problema

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2 – Início do processo de abstração e tradução para linguagem matemática
3 – Inclusão de variáveis para facilitar o manejo matemático
4 – Definir a maneira como as variáveis devem se relacionar
5 – Utilização de ferramentas matemáticas para melhor formulação
6 – Resolução do modelo, com os métodos disponíveis
7 – Validação do modelo
8 – Reinício do processo até conseguir resultados satisfatórios.
Bassanezi (2002), descreve a modelagem matemática conforme as seguintes
etapas:
1 – Experimentação – obtenção de dados experimentais ou empíricos
2 – Abstração – identificação do problema e seleção das variáveis essenciais
da situação, formulação do problema real em “linguagem natural” e formação das “leis
empíricas”, que serão testadas a partir dos dados experimentais.
3 – Resolução – criação do modelo matemático que substitui a linguagem
natural
4 – Validação – comparação entre a solução obtida, via resolução do modelo
matemático e os dados reais.
5 – Modificação – não obtendo um grau de aproximação entre os dados reais
e a solução do modelo, modificação das variáveis e reinicio do processo
6 – Aplicação – possibilidade de fazer previsões com o modelo, explicar e
entender relações que se estabelecem no mundo real.

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A diferença entre a concepção de Bassanezi e de D’Ambrósio está no início do
processo, na concepção de Bassanezi é estabelecida uma relação empírica com o
problema por meio de experimentações, se possível, por meio de experimentos
enquanto para D’Ambrosio por meio da análise do recebimento de determinada
situação da realidade ele consegue contextualizar e desenvolver o problema.
Na concepção de Burak (2004, p. 3)
- Escolha do tema: o professor incentiva e oferece oportunidades para que os
alunos escolham um tema que faça parte de sua vivencia ou seja de interesse do
grupo.
- Pesquisa exploratória: coleta de dados que considerem relevantes ao tema
de pesquisa.
- Levantamento do problema: de posse dos dados coletados pela pesquisa
exploratória, os alunos elaboram e esquematiza os problemas que tem referência com
o tema.
- Resolução de problemas: paralelamente a etapa anterior, é desenvolvida a
resolução dos problemas e é nessa etapa que surge a necessidade dos conteúdos
matemáticos para formulação do modelo.
- Análise crítica: permite aos alunos desenvolverem senso crítico, de reflexão,
coerência, validação do modelo com a realidade.
Na concepção de Biembengut (1997 e 2000) p.13-15):
1 – Interação com o assunto;
Escolha do assunto a ser pesquisado, reconhecimento da situação problema
2 – Matematização;

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Formulação das hipóteses, tradução do problema e passagem para linguagem
matemática.
3 – Modelo matemático
Analise e verificação da validação do modelo desenvolvido
Concepção de Jonei Cerqueira Barbosa (2003, p.70):
No ambiente de ensino e de aprendizagem da modelagem matemática,
identifica-se “três níveis de possibilidades”, as quais ele chama de “casos”.
1º caso: O professor apresenta a descrição de uma situação problema com as
informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos
alunos o processo de resolução.
A investigação é o caminho pelo qual a indagação se faz, as duas relações são
indissociáveis, ao momento que ocorre a indagação, logo em seguida como
consequência se segue a investigação sobre a indagação realizada.
Neste caso não há necessidade do levantamento de dados fora da sala de aula,
a investigação é realizada na própria situação problema.
2º caso: O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade,
cabendo aos alunos a coleta das informações necessárias à sua resolução. Os dados
são obtidos fora da sala e os alunos são responsáveis pela simplificação das situações
propostas.
3º caso: A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem
problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e
simplificação da situação-problema.
A concepção de modelagem utilizada nesta pesquisa foi a de Barbosa, sendo
adotado o segundo caso, no qual o professor apresenta o problema.

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Estas concepções de modelagem estão associadas a ideia de representação
de um objeto matemático e sua relação com uma situação da realidade. Neste caso
o objeto a ser relacionado e construído pelo aluno é a Função Exponencial.
2.2 Fractais
Foi realizada uma pesquisa das diferentes possibilidades da utilização de
fractais na natureza ou aplicações científicas para posterior interação como objeto
matemático Função Exponencial, assim como verificar as possiblidades de interação
com o material estrutural de robótica Knex.
Os fractais surgiram após percepção de que no estudo da geometria Euclidiana
não havia espaço para a ideia de caos, recorrência e uma geometria infinita.
A Geometria de Euclides, cerca de 300 a.c. descrita pela sua obra “Os
Elementos”, se traduzia em um conjunto 5 postulados que demonstravam as
possibilidades existentes da geometria, até então.
A partir da análise do V postulado que surgiram os questionamentos, os quais
consideravam questões que a Geometria Euclidiana não conseguiu descrever acerca
do mundo e sua realidade.
O comportamento das retas, pontos, planos, ângulos, triângulos, volumes,
áreas em geral eram descritas pelos quatro primeiros postulados, o quinto postulado
serviu de contra-argumento para a geometria não euclidiana. Surgiram então a
geometria hiperbólica, junto com o desenvolvimento então da teoria da relatividade,
geometria esférica e geometria de fractal.
A geometria de fractal foi introduzida pelo matemático Benoit Mandelbrot em
1975. A ideia de fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857
e 1913, no entanto não era considerada como como conceito matemático, para
alguns, aberração, por ter como a lógica da tendência ao caos.

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Para Mandelbrot (1989);
“A geometria própria do caos determinístico é igual à
própria das montanhas e das nuvens. O fato de apenas
precisarmos de uma nova geometria é realmente
maravilhoso, porque poderiam ser precisas varias para além
da euclidiana. Mas tal não acontece. A geometria fractal
desempenha ambos papeis. Ela é não só a linguagem
adequada para descrever a forma das montanhas e das
nuvens, mas é também a linguagem adequada para
considerar todos os aspectos geométricos do caos.”
(Mandelbrot, p.67)
Os fractais geométricos, derivam da geometria tradicional através de
funções iterativas a partir de uma figura inicial possuem as propriedades que
os caracterizam:
- Auto similaridade: um fractal costuma apresentar cópias aproximadas
de si mesmo em seu interior. Um pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes
escalas a imagem de um fractal parece similar, chamado também de
determinístico. (SIQUEIRA, 2009).
- Complexidade infinita: significa que nunca conseguiremos representá-
la completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. (SIQUEIRA, 2009)
- Dimensão dos fractais: Ao contrário do que acontece na geometria
euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira, e sim uma
quantidade fracionária. A dimensão de um fractal representa o grau de
ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade.
(FERNANDES, 2007)
Os fractais algébricos, são obtidos de equações matemáticas não
lineares e não por figuras geométricas regulares, com um grau de

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complexidade superior aos fractais citados anteriormente. Baseiam-se em
sequencias numéricas reais ou complexas, em sistemas de funções e
representação gráfica de pontos no sistema cartesiano, em que suas
concepções acerca do comportamento de sistemas dinâmicos não-lineares
estão apoiadas na Teoria do Caos, também são chamados de fractais
aleatórios ou naturais.
Para Siqueira (2009) é necessário a criação de um novo conceito de
dimensão para explicar a geometria das formas intrincadas e propõe a seguinte
exemplificação:
Comparação entre Dimensão Euclidiana e Fractal Siqueira (2009)
Atualmente o emprego de fractais em medicina, geologia, engenharia
biomolecular, entre outras ciências é grande. A dimensão de fractais atua na
caracterização dos objetos, análise de texturas, reconhecimento e análise de padrões
de imagens para determinar a irregularidade de bordas de um fractal. (BACKES &
BRUNO, 2005)
ASSIS (2008), em pesquisa sobre a utilização de dimensão de fractais
descreve os resultados positivos em relação a identificação de análise de casos de
câncer de mama. Utilizou-se também a análise por temperatura adimensional além da
dimensão de fractais, no caso da temperatura média adimensional a classificação de

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risco se manteve entre os 3 graus mais baixo e na dimensão fractal todos os casos
foram classificados como tumor benigno. Nesta relação é perceptível que as analise
se integram em uma situação semelhante quanto aos resultados.
Destaca também a possibilidade da utilização de fractais em tecnologia na
fabricação de antenas. As antenas fractais difere acentuadamente das tradicionais,
uma vez que são capazes de funcionar de forma otimizada, simultaneamente em
várias frequências. Esta característica faz das antenas fractais uma excelente
alternativa para aplicações de recepção de banda larga. Pode-se também verificar
aplicações nas mais diversas áreas da ciência, listando-se aplicações na Mineralogia,
com o objetivo de medir a densidade dos minerais, a evolução dos terrenos e a
descontinuidade das rochas; na Biologia para a análise da rugosidade dos fungos e
de corais; na indústria com a detecção automática de falhas em produtos têxteis; no
solo, na chuva, na economia, na ecologia.
Neste trabalho de pesquisa a ideia utilizada é a de relacionar o DNA com os
fractais, de modo mais específico, com as possibilidades em relação ao DNA.
Já foram realizadas algumas pesquisas sobre as interações fisiológicas e
químicas que ocorrem entre as moléculas durante a replicação do DNA.
Existem as técnicas de PCR (reação em cadeia de polimerase in vitro), permite
amplificar as partes do DNA que se tem interesse em cada exame, como por exemplo,
os genes relacionados a doenças. O princípio da técnica é baseado na replicação do
DNA e o resultado obtido serão bilhões de cópias de uma mesma parte do gene, para
que fique visível e possa ser analisado.
Para realização do PCR (Replicação em vitro), as fases são:
Extração do DNA do ser vivo.
A estrutura do DNA é composta por duas fitas complementares e espirais, em
forma de hélice. Para que ocorra a duplicação é necessário separá-las para que uma
delas sirva de molde para a nova fita de DNA. Essa separação é feita através de
temperaturas em torno de 95º C.

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Analise de PCR extraída do site http://sites.uem.br/drgenetica/pcr/pcr-
convencional/quais-as-etapas.
Figura 1 – Separação da dupla fita do DNA
Para delimitar a região de interesse, são utilizados iniciadores específicos,
chamados também de primers, a uma temperatura em torno de 57°C - 63°C, para que
se liguem a fita previamente aberta e haja amplificação apenas da região delimitada
pelos primers.
Figura 2 – Delimitação da estrutura da fita do DNA desnaturado
.
Após a área ser delimitada pelos iniciadores, uma enzima chamada Taq DNA
Polimerase age em torno de 72°C fazendo a extensão da fita, adicionado bases
nitrogenadas, sempre na direção 5’-3’.
Figura 3 – Ação da enzima Yaq DNA polimerase

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Estas etapas irão se repetir várias vezes, e a cada etapa aumenta a quantidade
de DNA. – PCR
Figura 4 – Duplicação da fita de DNA
Primeiro ciclo Segundo ciclo Terceiro ciclo
Duas dúplices Quatro Dúplices Oito Dúplices
Nesta última etapa a fita de DNA já foi amplificada, podendo então ser
interpretada. Em caso de análise genética, verificação de alterações nos genes ou
não.
A análise da situação apresentada possibilita a associação com o modelo de
função exponencial, e torna a visualização do processo menos distante do aluno, uma
vez que é possível recriar a ideia em laboratório.
A relação acontece de forma exponencial, sendo o primeiro ciclo com 1
molécula DNA (duas dúplices), 2 ciclos = 2 moléculas (quatro dúplices), etc.
Sendo matematicamente justificada pela função exponencial por:
Nf = No. 2X

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Sendo Nf = quantidade de moléculas finais do processo
No = molécula início processo
Base = razão de aumento
Expoente x = quantidade ciclos que estará sujeito.
Nf = 1 . 236
Em 36 ciclos seriam 6,9 x 1010
moléculas de DNA replicadas.
Muitos são os trabalhos que descrevem analise utilizando a ideia de arvores
filogenéticas, este processo também descreve a possibilidade de uma atividade
utilizando o modelo de função exponencial, sendo construído a partir de fractais.
Em pesquisa realizada por Oliveira (2008), na qual ela trabalha com a
comparação e análise do DNA da mitocôndria e rRNA, no entanto a pesquisa não
utiliza como ideia a realização do PCR, utiliza um banco de dados público, o download
das sequências de mitocôndrias DNA foi feito no banco de dados do National Center
for Biotechnology Information (NCBI), cujo endereço é http://www.ncbi.nlm.nih.gov.
Nele encontra-se toda a informação genética de quase todos os organismos
sequenciados até hoje.
Ao coletar estes dados Oliveira (2008) descreve a utilização da ideia de fractal
para a verificação se é possível construir um processo lógico em relação a evolução
das espécies, baseada na constituição do DNA das espécies.
O cálculo das análises foi realizado utilizando o programa Matemática 6.0 e a
lógica de cálculo de caminhadas aleatórias, utilizando nos espaços coordenadas com
pares específicos.

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Por fim chega à análise dos gráficos abaixo (Oliveira, p.48-49):
a) Malária
b) Arabidopsis thaliana (uma espécie de planta)

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c) Danio rerio (peixe zebra)
d) Drosophila melanogaster (mosca das frutas)
e) Homo sapiens (humano)
f) Mus musculus (camundongo)
g) Pan troglodytes (chimpanzé)
h) Rattus norvegicus (cobaia de laboratório)
i) Strongylocentrotus purpuratus (ouriço do mar)
j) Xenopus laevis (uma espécie de sapo).
É então realizada a análise e cálculo por meio da construção de árvores
filogenéticas, que comparam proximidade evolutiva, a partir do valor da dimensão
fractal das caminhadas (pseudo) aleatórias geradas sobre o DNA mitocondrial e RNA
ribossomos de dez espécies diferentes de organismos. Os valores obtidos de
dimensão fractal destas caminhadas são agrupados para gerar árvores de distância
(dendogramas) aplicando o método de agrupamento hierárquico (Oliveira, p.51).

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Concluindo o trabalho, Oliveira (2008) verifica que é possível realizar a
construção de uma árvore filogenética com base na Dimensão de Fractais, utilizando
como objeto de análise DNA e RNA, no entanto sugere algumas relações quanto a
utilização deles.
As dimensões de fractais podem gerar “resultados consistentes com os preditos
pela filogenia tradicional. Minhas perspectivas futuras são o melhoramento no método,
com a consideração de segmentos de mtDNA ao invés de fazer uma descrição global
da molécula” (Oliveira, 2008).
Após análise destes trabalhos entre outros, foi possível identificar a presença
de um comportamento de dimensão fractal nas estruturas do DNA no caso da
replicação, seja identificado por meio de padrões de semelhança após divisão celular
e consolidação do organismo como um todo ou mesmo na replicação do DNA in vitro.
Ainda é possível a verificação das relações de fractais no DNA quando ocorre
sua compactação, se o genoma pudesse ser distribuído de ponta a ponta, teria um
metro e oitenta de comprimento (Keim, 2009).
Em pesquisa realizada "Ficou claro que a organização espacial dos
cromossomos é fundamental para a regulação do genoma", conforme, Job Dekker,
biólogo molecular da Escola de Medicina da Universidade de Massachusetts.
Conforme Keim (2009), a mistura de DNA e proteína a partir da qual os
cromossomos são feitos, seja qual for a origem, é mais do que matematicamente
elegante. Os pesquisadores também descobriram que os cromossomos têm duas
regiões, uma para genes ativos e outra para genes inativos, e as curvaturas
desenroladas permitem que os genes sejam movidos facilmente entre eles.
As partes do genoma são dobradas em algo semelhante a uma curva de Hilbert,
uma de uma família de formas que pode preencher um espaço bidimensional sem
nunca se sobrepor, este mesmo fato acontece em 3 dimensões.

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Esboço Curva de Hilbert
A Curva de Hilbert, descreve a forma na qual o DNA se concentra no núcleo da
célula apesar de toda sua extensão, este processo descreve uma relação de
recursividade.
A curva de Hilbert é considerada um fractal, desta forma também é interessante
enquanto analise do DNA e suas possibilidades.
Também se trata de uma possibilidade de fazer referência a lógica de função
exponencial associada a lógica do fractal.
Após análise de todas as possibilidades de associação do DNA à lógica de
modelos de fractais, a mais adequada a pratica da atividade a ser desenvolvida
considero a de PCR (in vitro), isto devido ao fato de ser algo mais adequado ao
contexto do aluno. Por se tratar de um conteúdo de ensino médio e possibilitar a ideia
de replicação e de clonagem de DNA a qual também contempla o currículo do Ensino
Médio.
2.3 Robótica na Educação
A robótica instrumentaliza a construção de objetos que possibilitam a realização
de atividades mais complexas em diferentes áreas do conhecimento como:
engenharia mecânica, elétrica, inteligência artificial aplicadas nas áreas de medicina,
astronomia entre outras.

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Na educação é um instrumento interessante pois possibilita a
interdisciplinaridade e a atuação na construção do conteúdo de forma dinâmica.
Baseado em uma teoria construtivista W.Ross Ashby, na década de 70 estudou
e analisou as ações dos robôs, tendo como objetivo a análise da construção do
aprendizado. Seymour Papert, em 64 desenvolveu trabalhos relevantes para a
robótica educacional, foi então que surgiu a ideia do aprendizado utilizando a robótica
como instrumento de aprendizagem.
É possível o desenvolvimento do raciocínio e a lógica na construção de
algoritmos e programas para controle de mecanismos desenvolvidos pelo aluno afim
de resolver uma determinada situação. Favorece o planejamento e organização de
projetos, motiva o estudo e analise de situações complexas, estimula a criatividade,
trabalho em grupo e desenvolvimento do indivíduo intrapessoal e interpessoal.
Conforme Morelato e colaboradores (2010); o construcionismo proposto por
Seymour Papert (1986) é ao mesmo tempo uma teoria de aprendizagem baseada nos
princípios de Jean Piaget (conhecimento é adquirido à medida que se pensa e age
sobre o objeto maturação, experiência, transmissão social e equilibração) e uma
estratégia de trabalho onde cada um se torna responsável por sua aprendizagem à
medida que experimenta e constrói algo.
Nas escolas atualmente devido a facilidade que se tem das informações é
importante que as mesmas sejam relacionadas e trabalhadas em contextos
diferenciados. Ao relacionar as informações com necessidades específicas, as
mesmas tornam-se significativas.
Ao utilizar a robótica em um determinado projeto é possível estabelecer a
conexão com várias disciplinas, utilizar informações de contextos variados e
redireciona-las para a solução do projeto. Neste processo as informações terão um
papel contextualizado e desta forma significativa.
Esta pesquisa tem como base a análise da robótica em relação as
possibilidades estruturais do material e interdisciplinaridade, desta forma apenas

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serão destacados os itens da pesquisa de Morelato (2010), que se referem a estas
possibilidades, como os kits de Lego, FischerTechnik e PNCA/Alfa e Framework Gogo
Board.
Em sua pesquisa a Framework Gogo é que realmente se destacou devido ao
baixo custo. Trata-se de um Software que possibilita a construção de placas de circuito
e testes via computador e posteriormente a construção do circuito.
O Lego e Fischer Technik possuem custos elevados o que se tornou sua
utilização menos interessante, conforme Morelato (2010).
Quanto as possibilidades de interdisciplinaridade destes kits, não tem
representação ampla, pois se evidenciam nas relações com física e matemática,
montagens mecânicas, eletrônicas. No entanto devido a estrutura física dos materiais,
blocos ou hastes de metal, fica mais complexo pensar em construções mais
complexas como: moléculas, planificação de construções, etc.
“...a ideia central é propiciar ambientes de aprendizagem baseados em
dispositivos robóticos que permitem a construção do conhecimento
nas diferentes áreas das ciências. Neste enfoque, a robótica
pedagógica pode ser definida como a utilização da robótica industrial
num contexto onde as atividades de construção e controle de
dispositivos, usando kits de montar ou outros materiais, propicia o
manuseio de conceitos de ciências em geral num ambiente de sala de
aula, nos diferentes níveis de ensino. (D'ABREU, 1999, p.1).”
O material de robótica utilizado para a construção do DNA é o Kne’x . É
composto por peças de material plástico, flexível. É possível compor inúmeras formas
com ângulos e possibilidades diferenciadas.
Campos e Veiga (2015), em seu trabalho destacaram a utilização do material
Kne’x na elaboração de armaduras. A pesquisa destaca a necessidade de um projeto
de ideias de desenvolvimento livre, o professor como mediador, as ideais são
desenvolvidas pelos alunos.

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A ideia de projeto não é pensada em um processo planejado, conforme
Campos e Veiga (2015):
“...parece mais organizado e eficiente, porém limita o processo
criativo não dando espaço para a intervenção contínua da criatividade
e da inventividade. Planejadores pesquisam uma situação, identificam
um problema e as necessidades, desenvolvem um plano transparente
e depois o executam. ”
O fato do material possibilitar a liberdade de projetos, assim como ser flexível,
contribui para sua utilização em diferentes contextos.
Knex é um material especialmente desenvolvido para Robótica Estrutural, é
possível a construção de projetos por meio de wireframe (protótipos), simples e com
possibilidades amplas de análise de resultados.
O desenvolvimento da metodologia é STEM é a sigla em inglês para Science,
Technology, Engineering e Mathematics (Ciência, Tecnologia, Engenharia e
Matemática), é possível o desenvolvimento de atividades em forma de oficinas
criativas para que os alunos, reunidos em grupos, resolvam algum desafio de maneira
prática.
Outro fato que evidencia a possibilidade da utilização do material é a facilidade
de disponibilidade do mesmo na unidade escolar na qual leciono, uma vez que já
existe um projeto de robótica em desenvolvimento com a utilização deste material.
3. JUSTIFICATIVA
A matemática para muitos é considerada um ponto de desequilíbrio nas
possibilidades de aprendizado. Muitos justificam apenas que não se interessam por
matemática por ser de difícil compreensão, muitas letras, muitos números sem
conexão lógica.

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A matemática é um instrumento para as outras ciências, neste momento acaba
se tornando uma barreira para outras ciências, devido à falta de significado no
processo que se estabelece na relação ensino aprendizagem.
Muitos apenas repetem sequencias algébricas ou aritméticas sem a real
compreensão do significado das mesmas, pois não houve uma relação do conceito
matemático de uma forma contextualizada com algo significativo.
A Função Exponencial é um objeto matemático que possui determinada
facilidade para uma abordagem interdisciplinar e ao mesmo tempo devido ao fato da
incógnita representar o expoente, para os alunos é vista de forma mais complexa do
que as demais funções.
Em pesquisa realizada por Silva (2015), são detalhados inúmeros trabalhos
com abordagens interdisciplinares das funções exponenciais, muitas são as áreas que
se relacionam com a função exponencial: Finanças, Química, Física, Biologia,
Geografia, entre outras.
A abordagem interdisciplinar para Silva (2015) é descrita como:
“...o encanto da matemática está justamente na possibilidade de se
fazer híbrida no ponto em que se torna atravessadora de outras
disciplinas e áreas proﬁssionais. Sem dúvidas, como em outras
disciplinas transversais, conceitos da matemática são aplicados como
recursos e condicionantes em tantos outros conceitos de tantas outras
abordagens, e esse caráter transdisciplinar deve ser considerado se o
objetivo é torná-la mais próxima e menos assustadora aos que
precisam compreendê-la. ” (SILVA, 2015, p.48)
A ideia de utilizar a modelagem matemática como instrumento nos problemas
contextualizados é uma prática inconsciente, pois o indivíduo ao ter contato com
determinada situação problema ele elabora uma sequência de possibilidades para
estruturar a solução do mesmo. Isto acontece na evidência de localizar um modelo
matemático que descreva a solução do problema.

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O modelo não foi construído pelo indivíduo, no entanto ele o reconhece como
possível para adequação a determinada solução, esta compreensão destaca que
houve uma construção pelo indivíduo significativa do conceito matemático, pois ao se
relacionar com uma situação real ele consegue distinguir um método para solucioná-
la.
Desta forma compreendo que utilizar a ideia de modelagem matemática, seja
na formulação de um modelo para resolver determinada situação ou mesmo analisar
modelos que representem a solução é interessante, pois descreve a proximidade do
indivíduo com o objeto matemático de forma mais significativa.
Utilizando como abordagem a interdisciplinaridade, utilização de modelo como
instrumento de análise e a robótica como elemento de materializar um conteúdo
complexo com fractais e replicação de DNA, acredito que a aprendizagem ocorra de
forma mais significativa.
Utilizar instrumentos diferenciados na abordagem do conteúdo: como robótica
estrutural e um tema como fractal que recrie um modelo para o ensino do conteúdo
possibilitam a aprendizagem de forma significativa e substancial de Função
Exponencial?
Para Ausubel (1982), aprender significativamente é ampliar e reconfigurar
ideias já existentes na estrutura mental e com isso ser capaz de relacionar e acessar
novos conteúdos.
"Quanto maior o número de links feitos, mais consolidado estará o
conhecimento", diz Evelyse dos Santos Lemos, pesquisadora do ensino de Ciências
e Biologia da Fundação Oswaldo Cruz (Fiocruz), no Rio de Janeiro (2011).

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4. OBJETIVO
O objetivo do trabalho é buscar formas diferenciadas e com melhores
resultados para abordagem do conteúdo Função Exponencial.
Utilizar como estratégia o material de robótica Kne’x que trabalha com
geometria estrutural, juntamente com a ideia de análise do cromossomo, sua estrutura
a Replicação, Transcrição e Tradução, realizando ainda uma analogia com o processo
que se estabelece durante estas fases que indica uma geometria de fractal
construindo o modelo algébrico de Função Exponencial de uma forma significativa.
Identificar a relação do objeto matemático com as fases que acontecem com a
célula no durante as fases do início da divisão celular, possibilitando uma relação mais
significativa com o objeto matemático, associado ainda a ideia da geometria de fractal
na natureza de uma forma ampla.
A possibilidade da realização a priori das relações entre a natureza e o objeto
matemático favorecem uma análise crítica e consistente da matemática como
instrumento nas interações que ocorrem na natureza.
A questão a ser analisada é a verificação se é possível construir o conceito
matemático de Função Exponencial utilizando como instrumento a modelagem por
meio da ideia de fractal das estruturas do DNA e como estratégia o material de
robótica kne’x.
5. METODOLOGIA
A pesquisa realizada é exploratória, tem como objetivo a análise das
possibilidades existentes na abordagem do conteúdo de Função exponencial de forma
significativa, utilizando como princípio a interdisciplinaridade e como ferramentas
fractal, modelagem e robótica estrutural.

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5.1 O ambiente onde a pesquisa foi realizada
A atividade foi realizada de forma interdisciplinar, com a contribuição da
professora de Biologia, a qual atua na escola em mais de um período, conseguindo
trabalhar de forma efetiva no projeto.
A escola atualmente conta com a parceria de uma empresa de robótica da qual
um ex-aluno atua como voluntario, fornecendo o material e houve o treinamento do
professor pesquisador pelo aluno.
A abordagem é de natureza qualitativa, os sujeitos da pesquisa são alunos do
primeiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Bernardo do Campo,
São Paulo. Desenvolvida por meio de observação participante, sendo os dados
coletados a partir de atividades contextualizadas com a utilização de modelo de DNA,
processo de replicação e ideia de fractal.
Os alunos que participarão da pesquisa são integrantes de uma turma de
robótica estrutural que já conhece o material K’nex, utiliza este material desde o mês
de março do ano de 2017, no período eram alunos do 9º ano.
Para a efetivação da atividade é interessante que os alunos já tenham tido
algum contato com o material, não é necessário que tenham um contato tão amplo,
mas são necessárias duas aulas para o reconhecimento do material.
Nesta situação não será necessário este reconhecimento, no entanto não
sabemos se o resultado seria supostamente o mesmo em caso de contato de duas
aulas apenas.
O contexto da escola e da comunidade é importante para a configuração do
cenário no qual será realizada a atividade. A região na qual a escola está estabelecida

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é proveniente da industrialização na década de 80, atualmente com o êxodo das
indústrias, a essência é o capital realizado pelo setor de serviços, geralmente informal.
Este processo desencadeou mudanças significativas na constituição das
famílias. A mudança do setor industrial para o de serviços culminou em relações
complexas quanto ao desenvolvimento econômico das famílias. É importante que
tenhamos conhecimento das relações que se estabelecem com os alunos da escola,
pois elas existem e de certa forma descrevem um processo de distanciamento dos
alunos em relação à escola.
Em alguns casos esse distanciamento dos alunos da escola é associado pela
falta de interesse pelos conteúdos e metodologia do professor.
Shovsmove (2008) na análise da educação matemática crítica, trabalha com a
concepção de sala de aula em sua realidade e não em um estereotipo de sala ideal,
ou à sala de aula modelo:
“...a qual é equipada com todos os recursos, em especial
computadores conectados em rede; ela tem um professor com
formação completa; os alunos não têm problemas de motivação nem
há policiais em estado de alerta; os alunos não passam fome. ”
(SHOVSMOVE. 2008, p.108)
O ambiente da sala de aula não possui recursos, nossos alunos não estão
motivados, alguns passam fome, os policiais estão em estado de alerta e nós
professores não estamos preparados. Estamos nos preparando e tentando mudar
este percurso, pois acreditamos que a escola é mais um espaço de aprendizado.
“Os principais recursos da Educação são as pessoas, os saberes e as
experiências mobilizadoras. Com isso não há escolas pobres” (CANÁRIO, 2006).
É possível constatar este processo descrito por Canário (2006), o aluno que
preparou o cenário para a abordagem com robótica é ex-aluno da instituição e hoje
contribui socialmente com os colegas e professores.

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Conforme, Canário (2006), o ponto de partida é a realização de diagnósticos e
a identificação de problemas para, com base nisso, tentar encontrar soluções, testá-
las e avaliá-las.
É possível que cada um encontre o próprio caminho, desde que as diversidades
e os possíveis problemas ou crises sejam usados como estímulos para criar soluções
inovadoras.
Atualmente a escola conta com o laboratório, o qual é utilizado plenamente,
uma das atividades desenvolvidas são as aulas de robótica no contra turno. Este ano
contamos com a inscrição no Novo Mais Educação, tendo como possibilidade adquirir
o material de robótica.
5.2 Alunos e caracterização dos grupos
A pesquisa será realizada para uma turma de 15 alunos no contra turno.
Utilizam como material “os cadernos de aluno”, material fornecido semestralmente
pela Secretaria do Estado de São Paulo, no terceiro bimestre – volume 02, o conteúdo
programático aborda Funções Exponenciais em matemática e conceito básico de
DNA.
O desenvolvimento das atividades deverá ocorrer com duplas, o que facilitara
os questionamentos e mediação por parte do professor.
O professor pesquisador conhece os alunos, leciona para os mesmos no contra
turno, atua juntamente com o professor voluntario no desenvolvimento das atividades
de robótica, o que favorece o reconhecimento das limitações ou desenvolvimento
cognitivo no decorrer do projeto de robótica, assim como, o desenvolvimento em sala
de aula.
Os resultados em sala de aula foram favoráveis, houve grande
desenvolvimento cognitivo quanto aos conceitos matemáticos, assim como a relação
interpessoal e intrapessoal do indivíduo em sala de aula.

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É uma experiência que determina uma concepção mais complexa que aborda
a interdisciplinaridade com o tema de biologia DNA, o que até então não havíamos
realizado, as experiências anteriores destacavam conteúdos de matemática e física
em sua essência.
Modelos foram propostos anteriormente em robótica, houve o processo da
análise do mesmo e a condução algébrica, mas reiterando, tratava-se de modelos de
Funções Lineares ou Afins, projetadas por um modelo linear. Analise do
desenvolvimento de um carro com determinada velocidade e percurso.
O desafio de trabalhar com a interdisciplinaridade de forma tão ampla não foi
proposto até então para o grupo de alunos. Unir fractais, duplicação DNA ao modelo
de função exponencial, define a análise e interação de várias proposições
simultaneamente.
5.3 Descrição do processo de desenvolvimento da atividade
A situação de aprendizagem se desenvolveu em um ambiente diferente, no
laboratório em horário extra, conforme já descrito anteriormente.
Durante as atividades atuei como mediadora, realizei interações quando
necessário, os procedimentos que aconteceram durante o processo de
acompanhamento de observação no desenvolvimento das atividades seguiram a ideia
de “o que observar” e “como observar”.
A essência está na observação quanto a iniciativa de novas ideias por parte
dos alunos no decorrer da atividade, interações necessárias com o grupo. A
observação foi realizada no sentido de apenas mediar, por meio de questionamentos
aos questionamentos.
Em um primeiro momento foi passado um vídeo sobre a matemática e vida. A
relação de fractais com a natureza e matemática.

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A atividade foi desenvolvida em uma sequência de seis aulas, sendo uma
sequência de 1 hora cada aula, em dias diferentes.
Primeira Aula
A sequência didática em um primeiro momento destacaria a necessidade de
identificação do conteúdo por meio de um vídeo.
- Assinatura de Deus: Reportagem exibida no Domingo Espetacular
(14.05.2017) - https://youtu.be/A_Y3BFb0Pfo - 12 minutos
Neste vídeo é realizada uma analogia entre o DNA e Fractais, relações
matemáticas entre os mesmos.
Após o vídeo são realizados questionamentos sobre a compreensão do
significado de fractais. Analise do reconhecimento de fractais no cotidiano.
Durante o desenvolvimento o professor é mediador, é estabelecida uma relação
entre modelos existentes de fractal na natureza e também no comportamento
econômico da bolsa valores, entre outras inúmeras relações de física, química,
geografia, etc. O objetivo é que ocorram analise e discussões sobre como as relações
complexas existentes na sociedade e natureza, as quais podem ser representadas
matematicamente.
Esta parte do trabalho recria um ambiente que favorece o interesse do aluno
pelo material e a percepção da interligação das ciências como algo mais amplo,
tornando os conceitos matemáticos representações mais significativas.
Identificação de tipos de fractais, utilização aula adaptada de PowerPoint
(https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2456154/course/section/565568/OsFractais.
pdf) – 15 minutos
Segunda Aula
Atividade dirigida com uso de Internet.

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Khan Academy é um site que representa uma ONG educacional criada por
Sal Khan. Neste site temos por módulos aulas com vídeos e atividades dos
conteúdos do currículo, foi fundada em 2007.
Utilização do vídeo https://pt.khanacademy.org/science/biology/dna-as-the-genetic-
material/structure-of-dna/v/dna-deoxyribonucleic-acid
O vídeo descreve o que é o DNA suas interações (11 minutos)
Para complementação do vídeo em uma linguagem diferente também foi utilizado o
vídeo https://youtu.be/VSBMW7oi7oo, produzido por Manoel Cunha (2016), (14 minutos).
Após os vídeos tem um texto de análise de ácidos nucleicos e relações gerais dos
vídeos vistos.
Analise de aprendizado com a utilização adaptação de atividade utilizada em trabalho
de Santolin (2012), atividade 1, deste trabalho.
Após o término da atividade é necessário que novamente ocorra a interação com o
professor enquanto mediador para por meio de questionamentos analisar como ocorreu o
processo de construção cognitiva.
Terceira Aula
Vídeo sobre a replicação do DNA – Khan Academy
Estrutura e replicação de DNA - https://youtu.be/34Jr2U7KwOE - (14:24 minutos)
Analise da estruturação da dupla hélice e análise das cadeias das bases nitrogenadas,
como ocorrem as ligações dos pares de bases.
Após o vídeo, discussão de entendimento do conteúdo do vídeo.
Analise de aprendizado com a utilização de atividade 2.
Nesta atividade é analisada o aprendizado das relações de Dupla hélice e análise das
cadeias, ligações e pares de bases.
O objetivo desta atividade é a fundamentação do processo de replicação e analise da
duplicação do mesmo.

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Quarta Aula
Utilização da atividade 3 (ficha para constituição da estrutura do DNA).
Analise de constituição das estruturas do DNA, utilizando o material de robótica.
A utilização do material de Knex, favorece a interação com um material no qual
irá construir fisicamente o processo que observou e analisou por meio de vídeo e texto.
Quinta Aula
Utilização da atividade 4 (ficha de relação de replicação e replicação com Knex)
Análise da separação e restituição das estruturas do DNA, utilizando o material
de robótica.
Sexta Aula
Utilização da atividade 5 (ficha de relação de replicação in vitro e relação com
modelo matemático)
Observação do processo de duplicação do DNA e adequação do modelo em
relação ao modelo de Função Exponencial.
Ao final do processo o objetivo é de que o aluno analise e perceba as relações
entre matemática e outras ciências, assim como a possibilidade de adequar um
modelo a função exponencial de forma significativa.
A utilização do modelo de fractal permite desenvolver o lado experimental dos
alunos de tal forma que possibilita associar a geometria de fractal com o modelo de
A robótica neste caso possibilitara a interação do aluno com outros na
discussão dos resultados em relação as mesmas propriedades matemáticas que
trabalhou de forma individual. O mesmo deverá recriar a expressão matemática que
defina o processo de construção de seu fractal algébrico, que descreve a replicação
do DNA.

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Para a análise dos resultados e acompanhamento do processo será realizada
uma pesquisa qualitativa e quantitativa por meio de entrevista e por exercícios e
análise de resultados.
Neste trabalho a abordagem se faz por meio de pesquisa qualitativa e
bibliográfica, que procura explicar as bases teóricas que envolvem a Matemática e a
Geometria dentro de um estudo que inter-relaciona a Geometria Euclidiana e a
Geometria dos Fractais. A abordagem teórica está presente em livros, revistas,
artigos, jornais e internet e serve para fundamentar esta pesquisa. Para coleta de
dados foram utilizados: as atividades propostas no caderno pedagógico, que procurou
destacar a ligação entre as bases geométricas e as suas necessidades de interação
para as explicações da Geometria, além de questionários respondidos pelos alunos e
diários da professora pesquisadora.
Identificar modelos existentes na natureza e sua relação com a matemática,
por meio da análise de fractais e posteriormente a construção dos mesmos. O
fundamento desta análise é a percepção da matemática como instrumento para
representação da realidade e a utilização do ambiente de aprendizagem utilizando a
modelagem.
Possibilitar ao aluno uma interação com os objetos matemáticos de uma forma
mais significativa se faz necessário, pois é grande o afastamento pelo aprendizado
dos conceitos matemáticos devido ao estigma que se tem de que a matemática é uma
ciência para poucos.
Para que este processo se estabeleça será utilizado como instrumento vídeos
e a materialização dos objetos de aprendizagem com a utilização do material de
robótica Knex. A associação do contexto ciência (DNA e fractais) com o modelo
matemático favorece uma aprendizagem significativa.
A ideia de modelagem matemática de Bassanezi também é utilizada como
método e o Referencial Teórico de base será a de David Ausubel, de aprendizagem
significativa.

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6 RESULTADOS E DISCUSSÕES
O trabalho inicialmente em ambiente diferenciado e pratica incomum, como a
interdisciplinaridade e utilização de robótica, por si já geram determinada expectativa
no aluno, assim do conteúdo a ser abordado.
Este fato ocorreu com o grupo, houve realmente uma expectativa por parte dos
alunos quanto ao conteúdo, prática e associação do mesmo com a robótica. Apesar
de já utilizarem o material de robótica, já realizaram outras atividades que se
relacionasse com a matemática, não haviam ainda associado a robótica a um
conteúdo novo, como duplicação do DNA e função exponencial.
A descrição do processo e discussões será desenvolvida por meio da análise
de cada atividade proposta.
Primeira Aula
A sequência didática em um primeiro momento destacaria a necessidade de
identificação do conteúdo por meio de um vídeo.
- Assinatura de Deus: Reportagem exibida no Domingo Espetacular
(14.05.2017) - https://youtu.be/A_Y3BFb0Pfo - 12 minutos.
Nesta aula houveram interações interessantes, muitos alunos começaram a
discutir em quais outros locais era possível perceber a existência de fractais, quais as
diferenças e tipos de fractais, se todos eram iguais ou não.
Neste momento percebi que o vídeo fazia referência de forma ampla aos
fractais em relação a vida, no entanto não descreve os tipos de fractais. Houve a
necessidade posteriormente de trabalhar com os tipos de fractais e significados mais
técnicos.
Ao utilizar a apresentação adaptada de PowerPoint sobre os tipos de fractais,
as relações possíveis com a natureza e como fazer fractais de forma simples, os
alunos ficaram interessados em desenvolvê-los.

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Neste momento seria possível a interação com o software Geogebra ou S
logo para um aprofundamento, no entanto como não seria o objetivo do projeto e
devido à falta de tempo o processo será realizado posteriormente.
Segunda Aula
Atividade dirigida com uso de Internet.
Utilização de vídeo da Khan Academy, o que é o DNA e interações.
Esta atividade foi realizada pela professora de Biologia. A descrição da
professora em análise posterior descreve a preocupação dos alunos com a
quantidade de palavras complexas que são descritas para o entendimento do
processo
Alguns dos alunos já possuíam interesse pelo assunto, tornando-se mais
atrativo e fácil o entendimento, outros se mostraram assustados com muitas palavras
complexas.
A professora descreve que no final houve entendimento básico do processo,
após reiteradas mediações quanto ao conteúdo.
A atividade 1 fortaleceu a possibilidade de reiterações e análise do conteúdo
do vídeo, discussões sobre resultados.
Terceira Aula
Vídeo sobre a replicação do DNA – Khan Academy
Conforme professora esta parte da matéria é mais complexa e realmente
sugere dificuldade de entendimento devido a sua complexidade. No entanto como não
faz parte efetivamente do conteúdo do primeiro ano de forma ampla, trabalhou com

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os conceitos básicos de formação do DNA e replicação quanto as moléculas
envolvidas fundamentalmente.
Durante o processo de desenvolvimento do percurso quanto ao ensino das
relações existentes no DNA, os alunos trabalhavam de forma interdisciplinar, pois
constantemente indagavam sobre as dúvidas existentes na formulação do DNA,
instituição e replicação. Este processo eu havia considerado, desta forma realizei a
pesquisa durante o trabalho para que favorecesse o desenvolvimento da atividade de
forma pela e realmente interdisciplinar, conseguindo trabalhar juntamente com a
professora de biologia, assim como ela também relacionou o conceito de DNA a
fractais na replicação.
Desta forma houve também uma evolução conceitual por parte de minha
prática e da professora de biologia ao desenvolver o projeto de forma interdisciplinar.
A atividade 2, favorece o reconhecimento do processo, estabelece um link com
o vídeo.
Quarta Aula
Utilização da atividade 3 (ficha para constituição da estrutura do DNA).
Analise de constituição das estruturas do DNA, utilizando o material de robótica.
Durante esta atividade houve bastante integração entre os grupos no
desenvolvimento e construção da hélice dupla do DNA.
Muitos questionamentos e realmente necessidade da compreensão do
processo para construção. São muitas as associações a serem realizadas, conceitual,
quanto as cores e objetos, desta forma a atenção é necessária.
Neste momento atuaram três mediadores, professora de biologia,
pesquisadora e professor de robótica.
Houve interesse e bastante protagonismo na construção da molécula, muitos
haviam reconhecido e estabeleceram as relações entre os 4 nucleotídeos de forma
adequada, assim como a relação entre as cadeias de hidrogênio e pentose.

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Quinta Aula
Utilização da atividade 4 (ficha de relação de replicação e replicação com Knex)
O DNA foi construído em aula anterior, nesta aula o aluno deveria recriar o
processo de replicação.
Nesta aula foi importante a atuação da professora de biologia, mediando o
processo, pois trata-se de um conceito complexo.
O material mostrou-se adequado, no entanto utilizamos também uma ficha
descritiva na mesma atividade afim de contribuir com as definições e montagens.
A materialização da duplicação é algo novo, favorece o ensino devido ao
protagonismo que se estabeleceu na relação de construção, intervenções e
contribuições de colegas.
Trata-se de um conteúdo complexo, mas houve real interesse pelo processo.
Quanto ao entendimento, a professora destacou que houve parcialmente interação
quanto a análise do conteúdo em sua globalidade.
Conforme havia previsto houve interação e compreensão em relação ao
conteúdo básico da replicação. Entendimento das proteínas essenciais, como a
helicase, a quebra das pontes de hidrogênio de forma significativa em relação ao
nucleotídeo devido a ponte de hidrogênio ser mais “fraca”, sendo construído este
processo anteriormente na estrutura do DNA houve melhor compreensão.
O fato de tratar-se de um processo semiconservativo também ficou evidente na
construção, no entanto os fragmentos de Okazaki, a cadeia atrasada e a
operacionalização do RNA é mais complexo quanto aos detalhes.
O sentido da replicação ficou de compreensão mais fácil, uma vez que o aluno
percebe na espiral, a qual pode ser movimentada por ele e analisada
instrumentalmente.

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Sexta Aula
Nesta aula foi realizada o processo de análise de contexto e ligação com o
objeto matemático.
Utilizamos a atividade 5, utilizou-se a ideia de PCR por tratar-se de algo mais
evidente. Observamos a interação que houve com o material de knex na replicação
para observação do processo e relação do mesmo.
Em um primeiro momento houve dificuldade quanto a que operação
matemática efetuar, as duplas discutiram e por meio de mediação foram observando
e reintegrando novos processos cognitivos.
Como em sua maioria já haviam trabalhado com o conteúdo de progressão
geométrica houve a ligação do mesmo com este processo e posteriormente com a
função exponencial, a qual também já haviam tido contato com o conceito.
Houve a percepção da conexão do conteúdo de progressão geométrica com o
de função exponencial. Fato que não foi previsto e mostrou-se satisfatório, uma vez
que também estabelece uma possibilidade de ancora com o objeto de aprendizagem
Ao final do processo conseguiram chegar a Função Exponencial básica, houve
interação dos mediadores e surpresa quanto ao resultado. O número
demasiadamente grande para uma estrutura tão pequena que é o DNA.
7 CONCLUSÕES
É possível utilizar uma forma de abordagem diferenciada, com
interdisciplinaridade e materialização de um conceito tão complexo "a replicação do
DNA".
Os materiais utilizados, assim como o tema, atuaram de forma contextualizada,
recriando um cenário de significados para os alunos, favorecendo o interesse pelo
processo de ensino e aprendizagem.
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Utilizar instrumentos diferenciados na abordagem do conteúdo: como robótica
estrutural e um tema como fractal que recrie um modelo para o ensino do conteúdo
possibilitam a aprendizagem de forma significativa e substancial de Função
Exponencial?
A utilização do DNA e a ideia de fractais atuando como meio subsunçor,
juntamente a materialização do DNA utilizando o material estrutural do Knex na
instituição de um modelo matemático, afim de ser utilizado na solução de determinado
problema, demonstrou ser uma prática positiva.
O instrumento mais interessante foi a materialização de um conteúdo tão
complexo que é a constituição do DNA e fundamentalmente sua replicação. Neste
cenário foi perceptível o interesse dos alunos pela análise do conteúdo e
entendimento do mesmo.
É interessante destacar que os alunos já conheciam o material Knex, desta
forma não houve concentração na falta de habilidade para montagem do DNA, o
processo realmente se desenvolver com foco no conceito de DNA e replicação e
interação do material com o mesmo.
A ideia de fractal desenvolveu uma percepção da interligação entre as ciências
e a matemática enquanto instrumento possível desta representação, favorecendo e
se fazendo necessário um olhar interdisciplinar para o mundo.
O que descreve o interesse e as possibilidades que surgiram durante o
processo seria o fato de não ter em um primeiro momento recriado um cenário para
análise do modelo de Função Exponencial ligado ao modelo de Progressão
Geométrica. Este fato foi observado e descrito pelos alunos durante a atividade de
formulação do modelo.
A utilização de uma dinâmica diferenciada, com assuntos tão curiosos trouxe o
aluno para atuar como protagonista da situação de aprendizagem de fato. Em relação
ao conceito de Função Exponencial, ficou claro que houve efetivação da logica
matemática existente no objeto de ensino.

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No ensino da constituição e duplicação de DNA, houve grande
desenvolvimento em relação ao conceito. É necessária nova abordagem para
desenvolvimento do processo de replicação, o qual é mais complexo.
Houve interação de significados por parte do aluno quanto a relação de quebra
das pontes de hidrogênio, a relação básica das enzimas na atuação da formação da
nova fita de DNA. No entanto ainda devido a ser algo substancialmente abstrato,
mesmo com a materialização do conteúdo a relação com a cadeia que se forma
atrasada, ainda não é muito claro pois são muitas as interações.
A relação na formação do DNA quanto as bases nitrogenadas, o sentido das
fitas de DNA e as enzimas básicas houve compreensão.
No contexto matemático foi interessante a análise dos resultados do PCR, pois
como uma tamanha quantidade de moléculas de DNA poderiam caber no organismo?
Esta questão foi surgiu durante a mediação da situação de aprendizagem. Desta
forma foi possível se ter uma ideia do mundo microscópico, assim como destacar o
empacotamento do DNA, o qual possui o comprimento em torno de 2 metros.
Todas estas questões foram discutidas e se descreveram em pesquisa
posterior para os alunos.
O método de ensino proposto desperta no educando o interesse pela
investigação científica e materializa conceitos abstratos do currículo escolar.
É possível também perceber o estimulo a capacidade de pensar, criar hipóteses
e encontrar soluções para os desafios propostos, além de recriar um cenário de
diálogo, trabalho em equipe cooperação e planejamento.

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8 REFERÊNCIAS
- AINSWORTH, C., Padrões matemáticos governam o comportamento das
moléculas do núcleo. 2009. Disponível em:
https://www.nature.com/news/2009/090904/full/news.2009.880.html. Acesso em 08
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http://www.thehindu.com/thehindu/seta/2003/01/09/stories/2003010900040200.htm,
http://www.fractal.org//Fractal-Research-and-Products/Fractals-add-new-
dimension.htm. Acesso em 10.11.2018.

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ATIVIDADE 1
PARTE 1
1 . O que é o DNA?
2. Qual a função do DNA?
3. Quais são os componentes que constituem o DNA?
4. Em que local da célula se encontra o DNA?
5. Quais são as bases nitrogenadas do DNA?
PARTE 2
1. O DNA é uma molécula formada por macromoléculas, denominadas de:
2. Base nitrogenada que se liga com a adenina é a:
3. É no_____________da célula que se encontra o DNA.
4. Base nitrogenada que se liga com a citosina____________
5. A__________________é o açúcar que forma a molécula do DNA.
6. Base nitrogenada que se liga a guanina é a ____________
7. Cientistas que receberam
Prêmio Nobel em 1962 por
descobrirem que a molécula de DNA
era formada por uma dupla
hélice________________________
8. Estrutura na qual está contida
a molécula de DNA_____________
9. Unidade fundamental formada
por uma sequência específica de
ácidos nucléicos é a:____________
10. As fitas de nucleotídeos são
ligadas entre si por pontes
de______________________

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ATIVIDADE 2
PARTE 3
REPLICAÇÃO DO DNA
1 - Sobre a estrutura do DNA, marque a alternativa incorreta:
a) O DNA carrega as informações genéticas do indivíduo.
b) Os cromossomos são formados principalmente por DNA.
c) O DNA, assim como o RNA, é formado por nucleotídeos, que são constituídos por um
fosfato, um açúcar e uma base nitrogenada.
d) Os nucleotídeos que formam o DNA diferenciam-se do RNA por apresentarem uma ribose
e a base timina.
2 - Uma fita de DNA apresenta a seguinte sequência: TCAAGT
Marque a alternativa que indica corretamente a sequência encontrada na fita complementar:
a)AGTTCA
b)AGUUCA
c)ATAAUA
d)UCTTGU
e)AGUUGA
3 - (UFMG) Se o total de bases nitrogenadas de uma sequência de DNA de fita dupla é igual a
240, e nela existirem 30% de adenina, o número de moléculas de guanina será:
a)48.
b)72.
c)120.
d)144.
e)168.

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4 – Qual é a fita complementar de DNA criada a partir deste molde 3’ TAGGCATTGCA 5’,
durante a replicação?
a) 5’ TGCAATGCCTA 3’ c) 5’ ATCCGTAACGT 3’
b) 5’ TAGGCATTGCA 3’ d) 5’ AUCCGUAACGU 3’

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ATIVIDADE 3
CONSTRUÇÃO DO DNA (KNEX) –
Atividade adaptada: https://www.knex.com/knex-education-dna-replication-and-transcription-
set
Macromoléculas – DNA (acido desorriribonucleico)
Açúcar desoxirribose
Duas pontes de Hidrogênio
Três pontes de Hidrogênio
Timina – base contendo nigrogenio
Açúcar desoxirribose (substitua os conectores amarelos por
os conectores cinza)

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DNA (acido desorriribonucleico)
Adenina – (base contendo nitrogênio)
Citosina (base contendo nitrogênio)
Guanina (base contendo nitrogênio)
Grupo Fosfato (base contendo nitrogênio)
CONSTRUÇÃO DO mRNA (KNEX)
Açúcar de ribose (utilizar na cadeia de RNA)
Uracil (base contendo nitrogênio)

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CONSTRUÇÃO DOS NUCLEOTÍDEOS DNA (KNEX)
(nomeado para o nitrogênio - com base inclusa)
Adenina (com açúcar desoxirribose
e grupo fosfato)
Guanina (com açúcar desoxirribose
e grupo fosfato)
Citosina (com açúcar desoxirribose
e grupo fosfato)
Tinina (com açúcar desoxirribose
e grupo fosfato)

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CONSTRUÇÃO DOS NUCLEOTÍDEOS DNA (KNEX)
(nomeado para o nitrogênio - com base inclusa)
Adenina (com grupo ribose açúcar e fosfato)
Guanina (com grupo ribose açúcar e fosfato)
Citosina (com grupo ribose açúcar e fosfato)
Uracil (com grupo ribose açúcar e fosfato)

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Primeiro construa todos os nucleotídeos que você precisará
Nucleotídeos
Em seguida, conecte-os (como mostrado) para fazer um modelo plano de uma molécula de
DNA
Esta é a molécula de DNA básica
Quando estiver completo, você pode torcer a molécula de DNA em uma dupla hélice

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1 - Construa um suporte de exibição com uma haste vermelha para começar.
Certifique-se de que os 2 conectores azuis claros “clicam” quando os coloca
Juntos.
2 - Gire todos os conectores laranja e marrom (H-bond) para que os
furos apontem para baixo para alinhar com a haste vermelha no suporte.

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3 - Empurre a molécula de DNA plana para baixo enquanto você enrosca os primeiros
4 conectores do meio (3 marrons, 1 laranja) sobre a haste vermelha. Torça a molécula
de DNA ao pressioná-la sobre a haste vermelha (como mostrado). Adicione um
conector castanho para segurar os primeiros 4 conectores do meio na posição torcida.
4 - Repita a Etapa 3, usando uma segunda haste vermelha e um conector marrom
para prender os próximos 4 conectores do meio na posição trançada
5 - Repita a Etapa 3 novamente, usando uma terceira haste vermelha e um conector
marrom para completar a dupla hélice em um suporte.
Estrutura do DNA – DUPLA HÉLICE

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ATIVIDADE 4
MATERIAL ADAPTADO: https://www.mesalva.com/forum/t/duplicacao-dna-5-3/7466
1 Etapa
HELICASE ABRI FITA DNA PONTE HIDROGENIO
TOPILOMERASE REGULA ABERTURA DA FITA
2 Etapa
DNA POLIMERASE – ENZIMA ADICIONA NUCLEOTIDEOS 5’ PARA 3’, FORMANDO NOVA FITA (CONTÍNUA)
Outro lado acontece o mesmo, no entanto é descontínua. Uma enzima de primase, coloca um primer (conjunto
de rubonucleotídeos, fazem parte de molécula RNA, Uracila).
As proteínas SSB protegem para que não ocorra o anelamento das fitas até o primer interagir novamente com o
local.

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Trata-se do sinal para iniciar a síntese de uma nova fita DNA. Ao sintetizar a fita de 5’ para
3’ não é continuamente, terão rupturas. O sentido é contrário a abertura inicial.
DUPLICAÇÃO DNA K’nex
MATERIAL ADAPTADO: http://media.knex.com/instructions/instruction-books/Education-
DNA-Replication-and-Transcription-78780.pdf

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Duas novas moléculas de
DNA, cada uma com um dos
pais e uma filha

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ATIVIDADE 5
É possível realizar a duplicação do DNA em laboratório, por meio de uma
prática chamada PCR (Replicação em vitro). Esta técnica é utilizada para realização
de exames mais complexos para analises de genes ou mesmo pela polícia científica.
As fases são:
Extração do DNA do ser vivo.
A estrutura do DNA é composta por duas fitas complementares e espirais, em
forma de hélice. Para que ocorra a duplicação é necessário separá-las para que uma
delas sirva de molde para a nova fita de DNA. Essa separação é feita através de
temperaturas em torno de 95º C.
Analise de PCR extraída do site http://sites.uem.br/drgenetica/pcr/pcr-
convencional/quais-as-etapas.
Figura 1 – Separação da dupla fita do DNA
Para delimitar a região de interesse, são utilizados iniciadores específicos,
chamados também de primers, a uma temperatura em torno de 57°C - 63°C, para que
se liguem a fita previamente aberta e haja amplificação apenas da região delimitada
pelos primers.

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Figura 2 – Delimitação da estrutura da fita do DNA desnaturado
.
Após a área ser delimitada pelos iniciadores, uma enzima chamada Taq DNA
Polimerase age em torno de 72°C fazendo a extensão da fita, adicionado bases
nitrogenadas, sempre na direção 5’-3’.
Figura 3 – Ação da enzima Yaq DNA polimerase
Estas etapas irão se repetir várias vezes, e a cada etapa aumenta a quantidade
de DNA. – PCR

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Figura 4 – Duplicação da fita de DNA
Primeiro ciclo Segundo ciclo Terceiro ciclo
Duas dúplices Quatro Dúplices Oito Dúplices
Nesta última etapa a fita de DNA já foi amplificada, podendo então ser
interpretada. Em caso de análise genética, verificação de alterações nos genes ou
não.
Analisando a Figura 4 – duplicação da fita de DNA, considere, sendo o primeiro
ciclo com 1 molécula DNA (duas dúplices), 2 ciclos = 2 moléculas (quatro dúplices),
etc. Sendo:
Nf = quantidade de moléculas finais do processo
No = molécula início processo
Base = razão de aumento
Expoente x = quantidade ciclos que estará sujeito
a) Calcule qual seria a quantidade de moléculas ao final de 36 ciclos?
b) Qual a quantidade de moléculas ao final de 72 ciclos?
c) Descreva a equação que possibilita este cálculo.
d) Esboce o gráfico utilizando o WinPlot

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