O documento apresenta os seguintes tópicos sobre lógica formal: (1) lógica proposicional e lógica de predicados, (2) técnicas básicas de demonstração, incluindo indução matemática.

1. Demonstrações
• Lógica Formal (1.1 a 1.4)
‣ Lógica Proposicional
‣ Lógica de Predicados
• Técnicas básicas de demonstração (2.1)
• Demonstrações por Indução Matemática (2.2)
‣ Primeiro Princípio de Indução
‣ Segundo Princípio de Indução

2. Lógica Formal
• Proposições e Tautologias
• Lógica Proposicional
• Quantificadores e Predicados
• Lógica de Predicados

3. Lógica é a “ciência do raciocínio”.
Aristóteles
(384 a.C.–322 a.C.)
Leibniz
(1646–1716)
George Boole
(1815–1864)
Augustus De Morgan
(1806–1871)

4. Objetivos
• Proporcionar universalidade na
representação do “raciocínio”.
‣ Evitar ambigüidades
• Garantir consistência

5. A Lógica formal ignora o conteúdo de
um argumento e se preocupa com a
validade da argumentação.
A Lógica formal fornece as estruturas
básicas para descrever o método de
pensar organizado e cuidadoso que
caracteriza qualquer atividade racional.

6. Conceitos Primitivos
• Sentença
• Valores Lógicos
‣ Falso (F ou 0)
‣ Verdadeiro (V ou 1)

7. Proposições
• Uma proposição é uma sentença que é falsa
ou verdadeira.
• Em lógica, utilizamos proposições para
representar afirmações que fazemos em
linguagem natural (fatos e informações)
‣ Usaremos letras maiúsculas para representar
proposições.

8. Exemplo 1
• Quais das seguintes sentenças são
proposições?
‣ A = “Dez é menor do que sete”;
‣ B = “Como você está?”;
‣ C = “Ela é muito talentosa”;
‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.

9. Exemplo 1
• Quais das seguintes sentenças são
proposições?
‣ A = “Dez é menor do que sete”;
‣ B = “Como você está?”;
‣ C = “Ela é muito talentosa”;
‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.

10. Conectivos Lógicos
• Podemos usar conectivos lógicos para
combinar proposições em expressões.
‣ Conjunção
‣ Disjunção
‣ Condicional
‣ Equivalência
‣ Negação

11. Conjunção
• A expressão A ∧ B é chamada conjunção
• O símbolo ∧ é o conectivo lógico de
conjunção (“e”).
• A e B são os fatores (ou elementos) da
expressão.
• Qual é o valor lógico da expressão A ∧ B?

12. A B A ∧ B
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabela-Verdade da conjunção

13. Disjunção
• Denotada pelo símbolo ∨ (“ou”)
A B A ∨ B
V V V
V F V
F V V
F F F

14. Condicional
• O conectivo → representa uma expressão
condicional
• A → B significa “se A, então B”
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V

15. Condicional
• Uma expressão condicional é também
denominada “implicação”
‣ A → B também significa “A implica B”
• Suponha que A → B seja verdadeira, então:
‣ A ser verdadeira implica que B seja verdadeira
‣ B é uma condição necessária para A.

16. Exemplo 2
• Expressão condicional (implicação)
‣ A = “Há fumaça”
‣ B = “Há fogo”
‣ A → B (“se há fumaça, então há fogo”)

17. Equivalência
• O símbolo é o conectivo de equivalência
• A B = (A → B) ∧ (B → A)
A B A B
V V V
V F F
F V F
F F V

18. Negação
• A negação é um conectivo lógico unário,
simbolizada por ′ (“não”)
A A′
V F
F V

19. Exemplo 3
• Negação de uma expressão
‣ A = “Pedro é alto”
‣ B = “Pedro é magro”
‣ (A ∧ B)′ = ???

20. Exemplo 3
• Negação de uma expressão
‣ A = “Pedro é alto”
‣ B = “Pedro é magro”
‣ (A ∧ B)′ = “Pedro é baixo ou gordo”

21. FBF
• Uma combinação válida de proposições e
conetivos lógicos é denominada uma
fórmula bem formulada (FBF)
‣ (A → B) ∧ (B → C) é uma FBF
‣ A)) → ∧C não é uma FBF

22. • O valor lógico de uma FBF depende dos
valores lógicos associados às proposições
que fazem parte da fórmula.
• Podemos identificar o valor lógico para
uma FBF construindo sua tabela-verdade.

23. Ordem de Precedência
1. ′
2. ∧, ∨
3. →
4.
Em uma FBF, o último conectivo a ser aplicado é
denominado o conectivo principal.
Exemplos:
A ∨ (B′) = A ∨ B′
(A ∨ B) → C = A ∨ B → C

24. Exemplo 4
• Construa a tabela-verdade para a seguinte
fórmula:
‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′

25. Exemplo 4
• Construa a tabela-verdade para a seguinte
fórmula:
‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′
A B B′ A ∨ B′ ( A ∨ B) ( A ∨ B)′ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′
V V F V V F F
V F V V V F F
F V F F V F V
F F V V F V V

26. Tautologia
• Uma tautologia é uma FBF “intrinsecamente
verdadeira” pela sua própria estrutura.
‣ Ela assume o valor verdadeiro (V)
independentemente do valor associado às
proposições da fórmula.
• Exemplos:
‣ A ∨ A′
‣ (A → B) (B′ → A′)

27. Contradição
• Uma contradição é uma FBF cujo valor
lógico é sempre falso
• Exemplos
‣ A ∧ A′
‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)

28. FBFs Equivalentes
• Sejam P e Q duas FBFs
• Se P Q é uma tautologia, então dizemos
que P e Q são FBFs equivalentes.
‣ P Q

29. Equivalências Tautológicas
• A ∨ B B ∨ A (comutatividade)
• (A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C) (associatividade)
• A ∨ (B ∧ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributividade)
• A ∨ F A (elemento neutro)
• A ∧V A (elemento neutro)

30. Leis de Morgan
(A ∨ B)′ A′ ∧ B′
(A ∧ B)′ A′ ∨ B′

31. Exercício 1
• Utilize a notação simbólica da lógica formal
para representar as seguintes expressões.
1. Tanto ir dormir como ir nadar é uma condição
suficiente para a troca de roupa; além disso,
mudar a roupa não significa que se vai nadar.
2. Vai chover ou nevar, mas não ambos.
3. Se Jane vencer ou perder, ela vai ficar cansada.
4. Ou Jane irá vencer ou, se perder, ela ficará
cansada.

32. Exercício 2
• Construa a tabela-verdade para a seguinte
fórmula:
‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)

33. Exercício 3
• Prove que é verdadeira a seguinte Lei de
Morgan (A ∨ B)′ A′ ∧ B′

34. Exercício 4
• Suponha que você está viajando em um país
onde todo habitante é completamente
honesto ou completamente mentiroso.
Você encontra dois habitantes daquele
país: Parcival e Levelim. Parcival diz:“pelo
menos um de nós é mentiroso”.
‣ Parcival é honesto ou mentiroso?
‣ E Levelim?

35. Lógica Formal
• Proposições e Tautologias
• Lógica Proposicional
• Quantificadores e Predicados
• Lógica de Predicados

36. Lógica Proposicional
• Um sistema formal de regras de dedução
‣ Como chegar a conclusões a partir de
proposições dadas?
• Objetivo: provar a validade de um
argumento

37. Argumentos
• Uma argumento é uma FBF proposicional
na seguinte forma:
‣ P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
‣ P1, P2, … ,Pn são denominadas hipóteses;
‣ Q é a conclusão do argumento.

38. Q pode ser deduzido de P1, P2, … ,Pn ?
Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … ,Pn ?
• Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … , Pn
sempre que a verdade das proposições P1,
P2, … , Pn implica na verdade de Q.
‣ Quando P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é verdadeiro

39. ArgumentosVálidos
• Uma FBF proposicional na forma
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é um argumento
válido quando for uma tautologia
• Um argumento válido é “intrinsecamente
verdadeiro”.

40. Como podemos verificar se um
argumento é válido?

41. Regras de Dedução
• A lógica formal define regras que nos
permitem deduzir uma conclusão a partir
de hipóteses.
‣ Podem ser usadas para demonstrar a validade
de um argumento
‣ As regras de dedução modificam as FBFs, mas
preservam o seu valor lógico

42. Demonstrações
• Uma demonstração é uma seqüência de
FBFs na qual cada fórmula é:
‣ uma hipótese ou
‣ o resultado de se aplicar uma regra de dedução
às fórmulas anteriores.

43. Para demonstrar a validade de um argumento
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
podemos derivar a conclusão Q
aplicando as regras de dedução nas hipóteses
(ou fórmulas decorrentes)
P1
P2
…
Pn
FBF1
…
FBFn
Q

44. As Regras de Dedução
• Existem dois tipos de regras de dedução na
Lógica Proposicional:
‣ Equivalências (reescrever fórmulas anteriores)
‣ Inferências (deduzir novas fórmulas a partir das
anteriores)

45. Regras de Equivalência
• R S significa que R S é uma tautologia.
• Neste caso, R pode ser substituída por S
em uma fórmula, sem mudança do valor
lógico da forma.

46. As Regras de Equivalência
Equivalência Nome da regra
P ∨ Q
P ∧ Q
Q ∨ P
Q ∧ P
Comutatividade
(P ∨ Q) ∨ R
(P ∧ Q) ∧ R
P ∨ (Q ∨ R)
P ∧ (Q ∧ R)
Associatividade
(P ∨ Q)′
(P ∧ Q)′
P′ ∧ Q′
P′ ∨ Q′
Leis de Morgan
P → Q P′ ∨ Q Condicional
P (P′)′ Dupla negação
P Q (P → Q) ∧ (Q → P) Equivalência

47. Regras de Inferência
• Permitem deduzir uma nova fórmula, a
partir das fórmulas que fazem parte da
seqüência da demonstração.
‣ Também preservam os valores lógicos
‣ Não são “aplicáveis em ambas as direções”
como as regras de equivalência

48. As Regras de Inferência
De Podemos concluir Nome
P , P → Q Q Modus Ponens
P → Q , Q′ P′ Modus Tollens
P , Q P ∧ Q Conjunção
P ∧ Q P , Q Simplificação
P P ∨ Q Adição

49. Exemplo
• Demonstre que o argumento a seguir é
válido:
‣ A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

50. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

51. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip

52. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip

53. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

54. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip

55. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp

56. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

57. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp

58. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp
8. C′ ∨ D com

59. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp
8. C′ ∨ D com
9. C → D cond

60. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp
8. C′ ∨ D com
9. C → D cond
10. ∴D 5, 9 mp

61. Exercício
• Demonstre que
‣ [(A ∨ B′) → C] ∧ (C→D) ∧ A → D

62. Método Dedutivo
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → ( R → S )
↕
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn ∧ R → S

63. Silogismo Hipotético
(P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)

64. Como podemos representar a sentença a seguir
com a simbologia da Lógica Proposicional?
“Para todo X, X é maior que 0.

65. Predicados
• Um predicado descreve uma propriedade
particular P de uma variável x
‣ Notação P(x)
• O valor lógico de P(x) depende do valor e
do domínio de x
• Exemplo:
‣ P(x) é a propriedade de x ser par, dado que o
conjunto universo é o conjunto dos inteiros.

66. Quantificadores
Nome Símbolo Exemplo
Quantificador
Universal
∀
(∀x) P(x)
“Para todo x, P(x) é
verdadeiro”
Quantificador
Existencial
∃
∃(x) P(x)
“Existe algum x, tal que P(x) é
verdadeiro”

67. Escopo
• “Símbolos de agrupamento”, como
parênteses ou colchetes, identificam o
escopo de um quantificador.
‣ Escopo é a “parte” da fórmula à qual o
quantificador se aplica
• Uma variável livre é uma variável que não
faz parte de um quantificador.

68. Exemplo de Predicado
• Domínio: é o conjunto dos números
inteiros
• P(x): “x é par”
‣ P(1) é falso
‣ P(4) é verdadeiro
‣ (∀x)P(x) é falso
‣ (∃x)P(x) é verdadeiro

69. Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )
‣ P(x):“x > 0”
‣ Q(x,y):“x > y”
‣ R(y):“y ≤ 0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

70. Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )
‣ P(x):“x > 0”
‣ Q(x,y):“x > y”
‣ R(y):“y ≤ 0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
Verdadeiro

71. Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )
‣ P(x,y):“x+y=0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

72. Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )
‣ P(x,y):“x+y=0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
Verdadeiro

73. Exemplo
• Escreva a sentença “Todo papagaio é feio”
como uma fórmula predicada.
‣ P(x) :“x é um papagaio”
‣ F(x) :“x é feio”
‣ (∀x) [ P(x) → F(x)]
• “Existe um papagaio feio”
‣ (∃x) [P(x) ∧ F(x)]

74. Exercício
• Usando os símbolos predicados E(x):“x é um
estudante”, I(x):“x é inteligente” e M(x):“x gosta
de música”, escreve fórmulas que descrevam as
sentenças abaixo. O domínio é o conjunto das
pessoas.
‣ Todos os estudantes são inteligentes.
‣ Alguns estudantes inteligentes gostam de música.
‣ Existem estudantes que não gostam de música.
‣ Apenas estudantes inteligentes gostam de música.

75. Validade
• O valor lógico de uma fórmula predicada
depende da interpretação (propriedade
+domínio).
• Uma fórmula predicada é válida se ela é
verdadeira para qualquer interpretação.
• A validade de uma fórmula predicada deve
ser deduzida de sua forma
‣ a validade independe de qualquer interpretação

76. Para mostrar que uma fórmula predicada não é
válida, basta apresentar uma interpretação para
a qual a fórmula é falsa.
Exemplo:
(∃x)P(x) → (∀x)P(x)
Se o domínio de x é o conjunto dos números
inteiros e P(x) significa que “x é par”, então é
verdade que existe um número inteiro par, mas
é falso que todos os números inteiso são pares.

77. Lógica de Predicados
• Um sistema lógico formal que nos permite
demonstrar a validade de argumentos com
fórmulas predicadas.
‣ conjunto de regras de dedução para construir
uma seqüência de demonstração que, a partir
das hipóteses, chega à conclusão.
‣ este conjunto inclui as regras de equivalência e
inferência da lógica proposicional.

78. De Podemos deduzir Nome
(∀x)P(x)
P(t), t é uma variável ou
constante.
Particularização
Universal - pu
(∃x)P(x) P(c), c é uma constante.
Particularização
Existencial - pe
P(x) (∀x)P(x)
Generalização
Universal - gu
P(x) ou P(c), x é
uma variável e c é
uma constante.
(∃x)P(x)
Generalização
Existencial - ge

79. Exercício
• Considere o domínio dos números inteiros
• P(x):“x é ímpar”
• Q(x):“x é par”
• A fórmula a seguir é válida?
‣ (∀x) [ P(x) ∨ Q(x)] → (∀x)P(x) ∨ (∀x)Q(x)

80. Exercícios
• Demonstre os argumentos a seguir:
‣ “Todos os humanos são mortais. Sócrates é
humano. Portanto, Sócrates é mortal.”
‣ (∀x)[P(x)→Q(x)] ∧ (∀x)P(x) → (∀x)Q(x)
‣ (∀x)[P(x) ∧ Q(x)] → (∀x)P(x) ∧ (∀x)Q(x)

81. Desafio
• Mostre que o seguinte argumento é válido:
“Todo computador tem uma porta serial.
Alguns computadores têm uma porta
paralela. Portanto, alguns computadores
têm uma porta serial e uma porta paralela”.

82. É a forma do argumento que interessa,
não o conteúdo.