Razão e proporção: conceitos e exemplos

Etapa Pré Vestibular – Matemática Prof. Marconio Nóbrega
RAZÃO E PROPORÇÃO
2
Coordenador Regional: Walter Alencar de Sousa
maranhaoprofissionaluresjp.blogspot.com

RAZÃO
Denomina-se razão de dois números, dados numa certa
ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente
do primeiro pelo segundo.
Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita “razão
de a para b” e representada como:
푎
푏
표푢 푎 ÷ 푏
3

PROPORÇÃO:
É a expressão que indica uma igualdade entre duas ou
mais razões.
푎
푏
=
푐
푑
=
푒
푓
= ⋯ = 퐾
PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO:
Dada a proporção
푎
푏
=
푐
푑
, temos:
4

PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO:
Dada a proporção
푎
푏
=
푐
푑
, temos:
5

GRANDEZAS PROPORCIONAIS:
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais
quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo
número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza
igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando
diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o
respectivo valor da outra também diminui.
Ex.: Velocidade e Distância.
6

REPRESENTAÇÃO:
A grandeza x é diretamente proporcional a grandeza
y.
푥
푦
7

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando
ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de
vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui o
mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de
uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra
aumenta.
Ex. Velocidade e tempo.
8

REPRESENTAÇÃO:
A grandeza x é inversamente proporcional a
grandeza y.
풙
풙
풚
= 풙 ∙ 풚
9

DIVISÃO PROPORCIONAL
EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:
Exemplo: Dividir o número 720 em partes diretamente
proporcionais aos números 3, 4 e 5.
10

EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:
Ex: Dividir o número 360 em partes inversamente
proporcionais aos números 3, 4 e 12.
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DIVISÃO COMPOSTA MISTA
Chamamos de divisão composta mista à divisão de um
número em partes que devem ser diretamente
proporcionais aos valores de uma sucessão dada e
inversamente proporcionais aos valores de uma outra
sucessão dada.
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Ex: Dividir o número 690 em três partes que devem ser
diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4,
respectivamente.
13

1) Um biólogo mediu a altura de cinco arvores distintas e
representou-as em uma mesma malha quadriculada,
utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a
seguir.
Qual e a arvore que apresenta a maior altura real?
a) I b) II c) III d) IV e) V
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2) A resistência mecânica S do uma viga de madeira, em forma de um
paralelepípedo retângulo, e diretamente proporcional a largura (b) e
ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao
quadrado da distancia entre os suportes da viga, que coincide com o
seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de
proporcionalidade k e chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
a) 푆 =
푘∙푏∙푑
푥2 b) 푆 =
푘∙푏∙푑2
푥2 c) 푆 =
푘∙푏∙푑2
푥
d) 푆 =
푘∙푏2∙푑
푥
e) 푆 =
푘∙푏∙2푑
2푥
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Etapa Pré Vestibular - Matemática
3) Uma mãe recorreu a bula para verificar a dosagem de um remédio
que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte
dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se
a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada
8 horas, então a massa corporal dele é de
a) 12 kg.
b) 16 kg.
c) 24 kg.
d) 36 kg.
e) 75 kg.
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4) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão
ainda sem resposta: Qual e o limite do corpo humano? O maratonista
original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42
quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies
da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor
de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do
maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60
centímetros, que representaria o percurso referido
Disponível em: http://veja.abril.com.br.Acesso em 25 jun. 2011 (adaptado)
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual
seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
a) 1:700 b) 1:7 000
c) 1:70 000 d) 1:700 000
e) 1:7 000 000
17

6) O conceito de simetria surgiu na Grécia antiga, como uma
tentativa de explicar a beleza por bases racionais. Os gregos não
eram dados a muita subjetividade − eles gostavam de achar que
havia lógica por trás de tudo. Por isso, conceberam a ideia de
proporção áurea, uma relação matemática segundo a qual a divisão
da medida da maior parte pela menor parte de um segmento
(dividido em duas partes) é igual à divisão do segmento inteiro pela
parte maior. E procuravam essa proporção mágica em tudo,
inclusive em seres humanos.
Revista Superinteressante, nov. 2003 (adaptado).
Considere um segmento de reta AB, dividido em duas partes, a e b,
com b < a. De acordo com a descrição acima, a proporção áurea se
verificaria para a igualdade:
a)
푏
푎
=
푎+푏
푎−푏
b)
푏
푎
=
푎+푏
푏
c)
푎
푏
=
푎−푏
푎
d)
푎
푏
=
푎+푏
푎−푏
e)
푎
푏
=
푎+푏
푎
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7) Uma firma vence uma concorrência para a construção de uma
escola em uma comunidade. O encarregado pela realização da obra
tem os seguintes dados: 15 pessoas, trabalhando 8 horas por dia,
levariam 20 dias para realizarem a tarefa. Pensando no desgaste físico
dos trabalhadores, o encarregado resolve contratar mais 5
trabalhadores e diminuir a jornada de trabalho para 6 horas por dia. O
número de dias para a realização da obra, supondo que os
trabalhadores têm a mesma capacidade, é:
a) 24.
b) 20.
c) 18.
d) 15.
e) 12.
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8) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura
apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras
estão reservadas e as claras não foram vendidas.
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor
3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é
a) 17/70 b) 17/53 c) 53/70 d) 53/17 e) 70/17
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9) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do
concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1
parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para
construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora
encomendou um caminhão betoneira com 14 m3 de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido
pela betoneira?
a) 1,75
b) 2,00
c) 2,33
d) 4,00
e) 8,00
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10) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o
excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o
tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora
com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga
interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão
do veículo, causas frequentes de acidentes.
Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com
pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar no
máximo 1 500 telhas ou 1 200 tijolos.
Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos,
no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a
carga máxima do caminhão?
a) 300 tijolos b) 360 tijolos c) 400 tijolos
d) 480 tijolos e) 600 tijolos
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