RazãO E ProporçãO

6.120 visualizações

Publicada em

Explicação de como resolver

Publicada em: Tecnologia, Negócios
1 comentário
3 gostaram
Estatísticas
Notas
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
6.120
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
198
Comentários
1
Gostaram
3
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

RazãO E ProporçãO

  1. 1. Razão e Proporção<br />
  2. 2. Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:<br /> A C<br /> B D <br />Os números A, B, C e D são denominados termos<br />Os números A e B são os dois primeiros termos<br />Os números C e D são os dois últimos termos<br />Os números A e C são os antecedentes<br />Os números B e D são os conseqüentes<br /> A e D são os extremos<br /> B e C são os meios<br />A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.<br />
  3. 3. Para a proporção<br /> A C<br /> B D <br /> valem as seguintes propriedades:<br /> O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:<br /> A * D = B * C<br /> A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:<br /> A + B C + D     e    A - B C - D <br /> A C A C<br /> A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:<br /> A + B C + D      A - B C - D <br /> B D B D <br />
  4. 4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente, isto é:<br />A + C A A - C <br />B + D B    B - D <br /> A + C A - C C<br /> B + D B - D D<br />
  5. 5. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.<br />Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:<br />X Y= K <br />Exemplos:<br />Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)<br />
  6. 6. Exemplificando<br />                   <br />
  7. 7. Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:<br />Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.<br />
  8. 8. Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo<br />(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:<br />
  9. 9. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:<br />Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela águaé sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.<br />
  10. 10. Em média, um automóvel percorre<br />80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas <br /> e 240 Km em 3 horas.<br />(Km=quilômetro, h=hora). <br /> Construímos uma tabela da situação:<br />
  11. 11. Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.<br />Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.<br />
  12. 12. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:<br />
  13. 13. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é:<br />
  14. 14. Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.<br />
  15. 15. Regra de três composta<br />
  16. 16. Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.<br /> O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.<br /> Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.<br />
  17. 17. Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:<br />Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:<br />
  18. 18. As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.<br />Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:<br />Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.<br />
  19. 19. Exemplos:<br />Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?<br />Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:<br />A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.<br />
  20. 20. Vamos considerar as grandezas, número de peças e número de máquinas. <br /> Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.<br />Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. <br />Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.<br />
  21. 21. Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:<br />que pode ser posta na forma :<br />Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.<br />
  22. 22. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. <br /> Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).<br /> Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:<br />
  23. 23. A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.<br />Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.<br />
  24. 24. Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para o mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:<br />
  25. 25. Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.<br />

×