Uma visão prática para o ensino de frações completa

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LUIZ CARLOS SIGW Al T STREMEL
UMA VISÃO PRÁTICA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES ~
PONTA GROSSA
2001

LUIZ CARLOS SIGWAL T STREMEL
UlVIAVISÃO PRÁTICA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES
Monografia apresentada como requisito parcial à
obtenção do título de Especialista em Matemática:
Dimensões Teórico-eMetodológicas.
Universidade Estadual de Ponta Grossa
Professor Orientador: Ms. Celia Finck Brandt
PONTA GROSSA
2001

AGRADECI~fENTOS
A DEUS pela infinita força que nos dá em todos os momentos de nossa vida,
iluminando nossos caminhos para enfrentarmos todas as dificuldades que nos são
colocadas no nosso dia a dia.
Aos familiares, pelo incentivo, ajuda e compreensão nos momentos em que
estivemos ausentes para nos dedicarmos a este trabalho.
A minha esposa Margareth, que conciliou o período do curso com sua vida,
sem medir sacrifícios, motivando ainda mais meus estudos.
A lodos que direta ou indiretamente contribuíram para a efetivação desta
monografia.
11

SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS........................................................................................ 11
RESUMO............................................................................................................ v
INTRODUÇÃO.................................................................................................. 01
CAPÍTULO I
1.1 EVOLUÇÃO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA................................ 08
CAPÍTULO 2.
2.1 CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÕES...................................... 13
CAPÍTULO 3
3.1 SEQÜÊNCIAS DIDÁTICAS PRA O PROCESSO DE ENSINO
APRENDIZAGEM DAS FRAÇÕES................................................................. 24
13ATIVIDADE.............................................. 27
2a
ATIVIDADE................................................................................................... 28
33ATIVIDADE......... 29
43
ATIVIDADE................................................................................................... 30
S3ATIVIDA.DE 31
6a
ATIVIDADE..... 31
73
ATIVIDADE........................ 34
83ATIVIDADE................. 35
93ATIVIDADE............................ 36
103
ATIVIDADE................................................................................................. 38

113
ATIVIDADE 41
12
3
ATIVIDADE................................................................................................. 42
133
ATIVIDADE.... 42
143
A TIVIDADE................................................................................................. 43
153
ATIVID.rDE................................................................................................. 43
163
ATIVIDADE................................................................................................. 45
CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................. 46
REFERENCIAS.................................................................................................. 49
IV

RESUMO
Pesquisas voltadas para o ensino dejiações têm constatado que é preciso refletir sobre
o processo de ensino e aprendizagem das frações na escola, pois da maneira como está
sendo realizado fica totalmente desvinculado da realidade do aluno, não permitindo-
lhe a construção de nenhum conhecimento. Surge então a necessidade de se
encontrarem metodologias diferenciadas e inovadoras para adequar o trabalho escolar
a uma nova realidade marcada, pela presença dessa área da matemática em vários
campos de atividade. Observamos nos capítulos trabalhados que, para as crianças
compreenderem o conceito de fração, elas precisam passar por várias etapas que as
levem à construção desse conhecimento. Para que isso aconteça é necessário
possibilitar a interação do sujeito com o objeto de estudo, estabelecendo relações
(situações) que lhe permita, partindo de um conhecimento (experiências anteriores),
identificá-Io e utilizá-Io na sua vida cotidiana. Por essa razão, a investigação voltou-se
para a identificação das idéias presentes no conceito de frações na organização de
seqüências didáticas de modo a possibilitar ao aluno a construção significativa do
conceito de frações.
v

INTRODUÇÃO
Em todos os meIOS de comunicação aparecem números. Estão em jornais,
revistas, programas de TV, anúncios e notícias. Quase sempre são números naturais,
números decimais com vírgula e frações. Servem para expressar quantidades,
medidas, porcentagens, indicar ordem, identificar objetos etc.
Para viver na sociedade moderna, é preciso saber decifrar essas informações
numéricas, uma vez que em todas as profissões e na vida usamos os conceitos
matemáticos. Por exemplo: engenheiro e pedreiros usam nas construções civis barras
de ferro de diversas espessuras, como as de 3/8 que têm 3/8 de polegada de diâmetro.
Os PCNs destacam que a matemática está presente na vida de todas as pessoas,
em situações em que é preciso saber quantificar, calcular, ler gráficos e mapas, fazer
previsões. Mostram também que é fundamental superar a aprendizagem do
conhecimento da matemática centrada em procedimentos tecnicistas.
Para que essa aprendizagem se efetive de forma significativa, é preciso entendê-
Ia como sendo um conhecimento que, apesar de ser caracterizado por símbolos e
regras, não está limitado apenas à reprodução dessa linguagem. Isso porque geralmente
as pessoas são potencialmente capazes de desenvolver raciocínio e de elaborar
estratégias cognitivas próprias para solucionar problemas, mesmo que dominem pouco
a linguagem simbólica convencional. Desde cedo, em todos os ambientes a criança
começa a ter contato com as primeiras noções sobre frações, como por exemplo,
quando ela escuta, metade do chocolate para você, meio copo de leite, metade do bolo
etc.
Mas elas vão adquirir ou fundamentar essas informações no ambiente escolar,
superando o senso-comum e as idéias intuitivas. Na escola, os alunos poderão obter os
conteúdos básicos, indispensáveis à compreensão da realidade do mundo
contemporâneo.
Devido ao acúmulo dos assuntos trabalhados em sala de aula, a grande maioria
dos estudantes não consegue interessar-se, aprender ou sequer revelar suas

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dificuldades, visto a corrida da transmissão ins alada nesse ambiente. Para que haja um
melhor aproveitamento, o professor deve selecionar e organizar atividades
significativas, de modo a favorecer a aprendizagem dos alunos.
Neste contexto destacamos o processo de ensino aprendizagem da matemática,
como uma ciência que desenvolve sistemas de representação e modelos de análise, que
permite pensar sobre os eventos e fenômenos, tirar conclusões que possam ser
aplicadas e transferidas em um contexto globalizado a demais áreas ou a situações
pessoais extra-escolares, tais como cálculo de porcentagem, frações etc.
Dentre os diversos conceitos matemáticos, as frações apresentam-se como um
dos conteúdos de maior dificuldade de aprendizagem.
Diversos estudos sobre o ensino de frações têm mostrado que é preciso refletir
sobre o ensino desse conteúdo no seu uso cotidiano, garantindo que sua abordagem na
escola compreenda uma extensão do conceito de números que estejam relacionados a
processos de medição e a noções de porcentagens, razão e divisão.
O ensino de frações, no Brasil, é apresentado no ciclo fundamental e, a cada
ano, é teoricamente aprofundado. Entretanto, vários estudos têm mostrado mau
desempenho dos alunos ao trabalhar com frações, em todos os níveis de ensino.
Esse assunto muitas vezes toma-se desinteressante, pois da maneira como é
ensinado fica desvinculado totalmente da realidade. Não sendo concretizado, toma-se
apenas uma memorização de listas de exercícios, não permitindo ao educando
construir seus próprios conhecimentos.
O mais importante, no ensino dos conceitos básicos de frações, é que o
professor identifique as estruturas, as relações compreendidas, e seus vários
significados, assim como as formas de organizar e propor seu trabalho, de modo a
permitir que o sujeito lance mão de estratégias espontâneas para resolver problemas
nos quais tais conceitos estão presentes. É preciso, portanto, a utilização de métodos
mais adequados para a aprendizagem. Não adianta, porém, o professor tentar fazê-lo
através de explicações formais, baseadas numa lógica distante da maneira de pensar do
aluno. Ainda hoje, lamentamos que alguns professores de Matemática ensinem dessa

3
maneira, pois o alunc memoriza e não aprende. Até repete os exercícios corretamente,
porém não compreende seu significado.
No estudo de frações. como de toda a Matemática, é preciso evitar a
memorização de definições e regras, sem compreensão. Todo o trabalho com frações
pode ser feito a partir de "situações problemas", isto é, de desafios para que os alunos
descubram soluções de pequenos problemas. A descoberta das soluções fica mais fácil,
no início, se os alunos utilizarem material concreto: peças recortadas em plástico,
madeira, papelão ou cartolina, etc., para que eles se familiarizem com o conceito de
fração, dentro de uma metodologia voltada para o construtivismo (onde o aluno
constrói seu conhecimento utilizando-se de suas experiências. Para isso, precisam
trabalhar muitos problemas e, no início, sempre com material manipulativo (recortado
ou desenhado). Pouco a pouco eles se libertarão naturalmente das figuras, resolverão
mentalmente os problemas mais simples e até descobrirão (construirão) regras que
passarão a aplicar, com compreensão, amenizando suas dificuldades.
No início do estudo, é necessário observar se os alunos possuem alguns
conhecimentos básicos sobre figuras geométricas (retângulo, triângulo, quadrado e
círculo), uma vez que através destas o professor terá valioso recurso para desenvolver
conhecimentos relacionados com as frações e poderá perceber se o estudante consegue
observar que, ao se efetuarem cortes no todo (quantidades contínuas), as partes obtidas
após o corte têm a mesma medida, como acontece, por exemplo, ao se dividir uma
barra de chocolate ao meio. Poderá explorar também o conceito com quantidades
discretas, nas quais poderá dividir elementos de um conjunto em subgrupos, com a
mesma quantidade de elementos, sem que haja quebra desses elementos. Ao repartir,
por exemplo, cinco bolinhas de gude para duas crianças, cada criança receberá duas
bolinhas de gude, restando uma. As próprias crianças observarão que não teria sentido
repartir essa bolinha ao meio .
.... as frações com que nos defrontamos na vida quase sempre são partes de quantias numéricas
ou de conjuntos de objetos numericamente determinados: um terço dos alunos da turma; metade
dos professores do colégio; dois quintos da esquadrilha; um sexto do rebanho. etc. Quando uma
pessoa herda um terço de uma casa, não imagina parti-Ia em três partes iguais, como se poderia
fazer com uma barra de chocolate; mas sim, fícar com um terço de seu equivalente em dinheiro.
Nada é mais difícil que conseguir introduzir a noção de fração, dividindo grandezas continuas
em partes iguais. (BRASIL, 1997, p. 105).

o trabalho com os conceitos de frações e seus vários significados, aplicados a
quantidades contínuas e a quantidades discretas, pode ser compreendido pelos alunos
se lhes fornecermos condições para que eles, através da manipulação de materiais
concretos, construam esses conceitos.
Talvez a ausência de conhecimentos das estruturas e dos vários significados das
frações, faça com que os professores tomem-se simplesmente transmissores de
conhecimentos, e os alunos, sujeitos passivos desse processo. Muitas vezes isso ocorre
pelo fato de o professor não ter domínio do conteúdo, o que ocasiona nele o receio de
responder dúvidas que possam surgir de seus alunos. É geralmente em decorrência
dessas deficiências que o professor acaba por empregar uma metodologia inadequada
ao ensino.
Ainda dentro deste aspecto, existem professores que possuem algum domínio do
conteúdo de frações e conhecem algumas metodologias que poderiam ser úteis em seu
trabalho, mas não as utilizam, pois acham que tomariam muito o seu tempo. Além
disso, alegam que os conteúdos programáticos a serem lecionados ao longo do ano são
excessrvos.
Se não dermos condições aos nossos alunos para que eles construam seus
próprios conceitos e percebam que as frações têm empregos importantes, eles se
desinteressarão sempre pelo assunto, pois não saberão fazer ligação do aprendido com
a sua vida diária, não sabendo quando usar essas frações.
O professor deve organizar o processo de ensino das frações, oferecendo
oportunidades à criança para que ela chegue à idéia exata do que vem a ser a fração,
isto é, a divisão do inteiro em partes iguais (todo contínuo ou discreto). É preciso,
ainda, que várias situações sejam exploradas para que o aluno venha a construir e/ou
reconstruir, com compreensão, o significado real de conceito de fração em vários
contextos (idéia de parte- todo em conjuntos contínuos e discretos, idéia de razão,
idéia de divisão e idéia de operador).
Como observamos nos Parâmetros Curriculares Nacionais - (PCN) "O estudo
dos números racionais, nas suas representações fracionárias e decimal, merecem

5
especial atenção no terceiro ciclo, partindo da exploração de seus significados, tais
como: a relação parte/todo, quociente, razão e operador." (BRASIL. MINISTÉRIO DA
EDUCAÇÃO, 1998, p.66).
As frações devem ser ensinadas com exercícios práticos, desafiadores e
situações que exijam do aluno desenvolver o seu raciocínio. Devemos partir de
atividades que trabalhem inicialmente o conceito do assunto, fazendo o aluno
compreender que fração é parte de um todo.
A idéia fundamental, que gerou o presente estudo, diz respeito às dificuldades
encontradas pelos professores e alunos no processo de ensino aprendizagem de
frações.
Os educadores matemáticos têm se deparado com dificuldades por parte dos
alunos em entender a matemática. A disciplina está essencialmente centrada em
memorização de informações, utilização de fórmulas, regras e reprodução de modelos
apresentados pelo professor, não possibilitando ao aluno a construção desse
conhecimento. No ensino de frações, observa-se muitas vezes que os educandos sabem
como efetuar as operações, mas examinando atentamente, percebemos que eles não
entendem o que estão fazendo, apenas repetem mecanicamente os procedimentos, não
conseguindo interpretar e construir com compreensão o real conceito de fração.
Os conteúdos não são trabalhados a partir das representações dos alunos e o
porquê da incompreensão ou dificuldades dos alunos não é objeto de investigação no
processo de ensino. Uma das causas dessas dificuldades é a utilização de metodologias
inadequadas a esse ensino.
Atualmente um dos objetivos mars importantes do processo de ensmo
aprendizagem é conseguir que o professor efetive um trabalho junto aos alunos,
visando a superação dos obstáculos na construção do conhecimento. Por essa razão, o
professor deve organizar atividades (problemas e questões) que visem à interação do
sujeito com o objeto de conhecimento (frações).
Constatamos que o assunto sobre "frações" merece uma atenção especial por
parte de professores e alunos, pois observa-se às vezes que os alunos parecem ter uma
compreensão completa da mesma, mas na realidade não conseguem interpretar, criar

6
significado, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas e
desenvolver o seu raciocínio lógico sobre frações e, com isso, não fazem ligação com
aquilo que conhecem sobre assunto e o que está sendo explicado na escola. É
possível que alguns alunos passem pela escola sem superar as dificuldades das frações.
Diante dessa realidade, percebemos a necessidade de desenvolver um estudo
sobre frações, procurando selecionar em livros, pesquisas, monografias e materiais
didáticos alternativas metodológicas voltadas para a aprendizagem significativa das
frações pelos alunos. Analisadas várias alternativas, procuramos investigar a
possibilidade de organização de uma seqüência didática que leve professor e alunos a
construírem com significado o conceito de frações, enquanto forem experimentando,
manipulando e resolvendo situações problemas com materiais concretos e ou
representações gráficas, adquirindo conhecimentos sobre o assunto e estabelecendo
relações entre o conhecimento que trazem para a escola e o aprendido durante a sua
vida escolar.
Justifica-se a elaboração deste trabalho, pela importância que têm as frações no
contexto da matemática e especialmente no cotidiano, pois fornecem a base para o
estudo de outros tópicos como razão e proporção, porcentagem e números racionais.
No decorrer do trabalho procuramos atingir os objetivos propostos, que foram
os seguintes:
a) Analisar alternativas metodológicas para o ensino de frações.
b) Compreender quais os objetivos postos para o ensino de frações, nos PCNs.
c) Propor uma seqüência didática, voltada para a aprendizagem significativa das
frações.
A presente pesquisa está dividida em três capítulos assim estruturados:
a) No primeiro capítulo elaboramos um breve hístórico da evolução da educação
matemática. De acordo com o referencial teórico, verificamos que a educação
matemática atualmente está obsoleta, não conseguindo atingir seu objetivo prioritário,
que é a compreensão significativa dos conteúdos por parte dos alunos. Urge a
necessidade de se adequar o trabalho escolar a essa nova realidade, marcada pela
crescente presença nessa área em diversos campos da atividade humana.

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b) No segundo capítulo abordamos o surgiment das frações e especificamos as
etapas que a criança precisa passar para compreender o conceito de fração.
c) o terceiro capí .1!O apresentamos urna seqüência didática para o processo de
ensino aprendizagem das frações. Citamos várias atividades que são essenciais para a
construção do conceito de frações.

CAPÍTULO 1
1.1 EVOLUÇÃO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Discussões no âmbito da Educação Matemática que acontecem no Brasil e em
outros países apontam a necessidade de se adequar o trabalho escolar a uma nova
realidade marcada pela crescente presença dessa área do conhecimento em diversos
campos da atividade humana. Tais discussões têm influenciado as revisões dos
Currículos de Matemática no Ensino Fundamental.
Os movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil a partir dos anos
20 não tiveram força suficiente para mudar a prática docente dos professores, para
eliminar o caráter elitista desse ensino, bem como para melhorar sua qualidade. Em
nosso país, o ensino de Matemática ainda é marcado pelos altos índices de retenção,
pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino de
habilidades e mecanização de processos sem compreensão. (BRASIL. MINISTÉRIO
DA EDUCAÇÃO, 1997).
Nas décadas de 60 e 70, o ensino da Matemática, em diversos países, foi
influenciado por um movimento que ficou conhecido como Matemática Moderna.
A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa
política de modernização econômica e foi posta na linha de frente por ser como via de
acesso privilegiado para o pensamento científico e tecnológico. Desse modo, a
Matemática a ser ensinada era aquela concebida como lógica, compreendida a partir de
estruturas, que conferia um papel fundamental à linguagem matemática.
Ao aproximar a Matemática escolar da Matemática pura, centrando o ensino nas
estruturas e fazendo uso da linguagem unificadora, a reforma deixou de considerar um
ponto básico que se tomaria seu maior problema: o que se propunha estava fora do
alcance dos alunos, e em especial daqueles das séries iniciais do ensino fundamental.
O ensino passou a ter preocupações excessivas com abstrações internas à
própria matemática, mais voltadas à teoria do que à prática.

Em 1980, o "National Council of Teachers of Maternatics", NCTM, dos
Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensmo de Matemática no
documento "Agenda em Ação". Nele se destacava a resolução de problemas, como
foco do ensino da Matemática nos anos 80. Também a compreensão da relevância dos
aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, na aprendizagem da Matemática,
imprimiu novos rumos às discussões curriculares.
Num momento em que se discutem as mudanças sociais, cabe-nos questionar
até que ponto a Matemática está sendo um instrumento à disposição dos indivíduos
para apreenderem a realidade que os cerca e com isso transformarem o universo. Nesse
sentido, concordamos com Pereira quando nos coloca: "Ensinar Matemática como
ciência e como instrumento, refletindo a ação das crianças ou pessoas que as cercam
em seu meio, é criar consciências" (PEREIRA, 1989, p.11)
A citação acima suscita uma reflexão: a Matemática não pode ser vista
desvinculada dos problemas sociais. Partindo desse pressuposto, podemos dizer que a
função social do ensino de Matemática é o de instrumentalizar os homens com um
conhecimento que possibilite a eles resolver seus próprios problemas, colocando a
Matemática como uma ferramenta cultural cujo domínio é essencial. O domínio dessa
ferramenta cultural deve acontecer através de um fazer pedagógico que não seja
estático, mas que reconheça os conceitos e as fórmulas como historicamente
construidos, portanto, sujeitos à transformações.
No decorrer da história, o fazer matemático, nas várias sociedades, esteve
permeado pela inter-relação entre as medidas, os números e a geometria. É com base
nas noções sobre o desenvolvimento histórico do conteúdo a ser ensinado, na lógica de
sua sistematização e em suas utilizações fora do âmbito escolar, que foram
estabelecidos os três eixos que norte iam a proposta do currículo da Secretaria da
Educação (SEED): números, medidas e geometria. Nessa proposta, aprender
matemática é muito mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar X na
resposta correta. É interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos
para resolver problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de perceber,

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projetar e transcender o imediatamente sensível. (BRASIL. MINISTÉRIO DA
EDUCAÇÃO, 1997).
Centrar o aprendizado da matemática na aquisição de mecanismos conduz não
somente a obstaculizar a utilização dos esquemas conceituais que as crianças
constróem, como também a desvittuar o conhecimento matemático em si. Deste modo:
o conhecimento matemático é apresentado às crianças como o oposto do que realmente é. Todos
sabemos que a matemática está rigorosamente fundamentada na lógica, e que sem ela não há
lugar para elaboração do conhecimento matemático. °enfoque pedagógico que é adotado, leva
as crianças a deixarem de lado seu raciocínio lógico quando lhes são ensinados conteúdos
matemáticos, elas seguramente aprenderão adaptar-se às exigências da escola, porém não
aprenderão matemática, porque não é possível aprender matemática renunciando o pensar.
(ZUNINO, 1995, p.190).
Acreditamos que a aprendizagem matemática só se realiza no momento em que
o aluno tem a capacidade de transformar o que lhe foi ensinado e de criar a partir do
que já sabe. Caso contrário, criamos um aluno adestrado e repetidor dos processos e
resoluções criados por outros. Por isso, o aluno deverá compreender o processo de
resolução dos exercícios, havendo assim uma aprendizagem efetiva e não
simplesmente a memorização de problemas resolvidos.
O professor necessita compreender que os modelos educacionais que lhe foram
passados enquanto aluno, não poderão mais ser usados totalmente. É preciso que ele
encontre novas maneiras de interagir com os alunos, para que os conteúdos referentes à
educação matemática sejam realmente apreendidos.
Por outro lado, os métodos usados pelo professor para atingir os objetivos dos
alunos estão estritamente ligados ao que ele pensa sobre a aprendizagem, o ensino da
matemática como ciência, a educação, as relações com o aluno, além da visão que tem
do mundo e da sociedade em que vive. Enfim, o modo de ensinar reflete o que o
professor é, em relação a sua competência profissional, a sua posição como cidadão e
como ser humano.
O aluno deve ser capaz de transformar o que lhe foi transmitido em algo
efetivamente compreendido, e saber usar esse conhecimento em suas próprias
representações. Para que essa transformação aconteça, temos que considerar o

II
processo de aprendizagem do aluno, o tempo que leva para aprende e a maturidade
necessária para cada aprendizagem.
O ensino da matemática, ainda hoje, está sendo caracterizado por um currículo a
ser cumprido, por uma lista de exercícios a serem estudados, por aulas desagradáveis,
nas quais determinadas formas de pensar ficam de fora. Os alunos recebem uma
matemática pronta e acabada, em que são agentes passivos e impotentes. A vinculação
dos conteúdos matemáticos à vida prática dos alunos está somente sendo valorizada na
consciência dos educadores. Não está se dando o devido valor ao conhecimento trazido
pelo aluno e às reais necessidades dos educandos. como comenta D AMBRÓSIO
(1991, p.2): "A Matemática que estamos ensinando e como a estamos ensinando é
obsoleta, inútil e desinteressante. Ensinar ou deixar de ensinar essa Matemática dá no
mesmo. Na verdade, deixar de ensiná-Ia pode até ser um beneficio pois elimina as
fontes de frustração .
Para que possamos tentar mudar essa realidade devemos começar utilizando
recursos didáticos e pedagógicos mais adequados e uma metodologia mais eficaz, a fim
de que os alunos percebam os problemas e possam equacioná-los, resolvê-los e aplicá-
10s em sua vida prática. O desenvolvimento de conceitos matemáticos, princípios e
algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. O
significado principal de aprender conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na
construção das soluções das situações problema.
Por isso, o professor deve ter em mente que, para ensinar matemática, ele deve
fazer um elo entre o lado cognitivo e o abstrato, possibilitando assim ao aluno um
maior entendimento do conteúdo e conhecimento de sua realidade.
Não se pode negar que ao se fazer o ensino de urna disciplina com características tão peculiares
quanto a Matemática, abre- se enorme espaço para considerações específicas de cognição, de
organização intelectual e social do conhecimento e da política, enfim das formas de
explicitação, de entendimento e de manejo da realidade. Não é sem razão que a raiz da qual se
origina a palavra matemática, isto é, a raiz grega "matemata", significa justamente isto:
explicação, entendimento, manejo da realidade, objetivos muito mais amplos do que o simples
contar e medir ... (D AMBRÓSIO, 1993, p.9).
O professor deve perceber a sua função como educador, que não se restringe
somente a ensinar seus alunos a contar e medir. Ele deve sim, ensinar o aluno a pensar

12
e compreender os conteúdos trabalhados, a fim de saber usá-los e tomar suas próprias
decisões. Para isso os professores têm que usar uma metodologia mais adequada,
voltada para .nelhorar o desenvolvimento intelectual dos educandos.
Contudo, não podemos culpar os professores que não aplicam uma metodologia
adequada para o aprendizado: muitas vezes, esses professores nem mesmo dominam os
conteúdos a serem trabalhados. Como afmna LORENZATO (1993, p.75), "... o ensino
para uma aprendizagem significativa tem sido fortemente negligenciado em sala de
aula, indica, ainda, que a formação matemática dos professores deixa muito a desejar.
E considerando-se que ninguém ensina o que não sabe ... ".
O professor deve sempre melhorar sua formação a fim de ter um conhecimento
mais amplo de sua disciplina e também conhecer outras ciências, como por exemplo
Psicologia, Antropologia, Filosofia, Sociologia e História da Matemática, as quais
pudessem auxiliá-lo na tentativa de escolher uma metodologia mais abrangente, que
melhor se adapte, conforme o estágio que ele queira alcançar com a sua turma, e
consequentemente consiga, que os alunos tenham um melhor aproveitamento do
conceito que está sendo trabalhado.
Tendo em "mente" a evolução que ocorreu na educação matemática, é que
ressaltamos a importância que devemos dar a construção significativa do conceito de
frações.

CAPÍTULO 2
2.1 CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÕES
A necessidade de medir, dividir e distribuir a riqueza da sociedade impulsionou
o nascimento do primeiro sistema de escrita, interligando o seu destino ao da
Matemática. Não se têm dados para fixar o período da história primitiva em que
foram criadas as primeiras notações de frações, embora os mais antigos documentos
escritos encontrados mostrem a presença desse conceito na China, Índia, Mesopotâmia
e Egito.
Há 3000 anos antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam
marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas,
no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas
marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-Ias novamente e, para
isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida,
denominada estiradores de cordas.
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes
aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida
dava certo, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Sendo
assim, os egípcios sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número: o número
fracionário, em que eles utilizavam as frações.
Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por
isso, utilizavam apenas frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1.
Com o surgimento (criação) dos números fracionários era possível medir
sempre uma grandeza, tomando a unidade e as frações dessa unidade. As frações
serviram a humanidade em épocas mais remotas como instrumento para medições.
Atualmente elas conquistaram o seu espaço em operações matemáticas mais
complexas. O que se observa, é que existe uma relação entre o modo de tratar o
assunto hoje com a própria história da fração.

l~
No ambiente escolar, as ·v. ianças começam a discutir sobre frações na 3a
série, e
a cada ano esse conteúdo é aprofundado teoricamente. Mas antes de iniciarmos o
conceito de fração com os alunos, devemos observar se eles possuem a noção de
conservação de quantidade contínua (área, comprimento etc.), pois o conceito de
fração exige que alguma coisa seja tomada como unidade, ou seja, exige a existência
de alguma coisa que seja divisível. Esse todo será dividido em um número determinado
de partes iguais, de modo que esgote completamente o total, uma vez que: " Uma
quantidade é dita contínua quando o todo é divisível em partes iguais sempre divisíveis
não resultando em elementos indivisíveis". (LIMA, 1995, p.82)
É fundamental que a divisão em partes iguais de algo tomado como unidade seja
percebida pela criança como uma operação que não altera a totalidade. Essa
conservação de quantidade é um elemento básico para a compreensão do conceito de
fração.
Uma pesquisa I realizada com alunos das séries truciais do ensino
fundamental, no que diz respeito ao estudo de frações, indica que um grande número
de crianças não tem a idéia de conservação de quantidade. Para a criança poder
compreender que uma quantidade permanece invariável através de modificações
(repartições de uma coleção, fragmentação de um todo, etc), ela deve ter compreendido
que essas modificações resultam de transformações mentalmente reversíveis. Por
exemplo: quando a criança !l?a tem adquirido o conceito de conservação de área
levanta-se um problema, pois ela não tem a compreensão de que a soma das frações
resultantes constituirá o todo.
Dessa forma são relevantes as contribuições de Piaget ao explicitar as
possibilidades mentais da criança. Segundo o teórico Piaget apud CARRAHER (1996,
p.83) "O conjunto de princípios de conservação, aquisição do período das operações
concretas, parece básico para organização de um sistema de noções, que resultará
mais tarde no conceito de fração. O conceito de fração é uma aquisição do estágio das
operações concretas".
1 LIMA José M. F. Iniciação ao conceito de fração e o desenvolvimento da conservação de quantidade.

trações o pnncrpro de conservação, onde o tudo (urudace) permanece mvanavet,
enquanto outros aspectos (forma, posição, etc.) se modificam. Para a criança poder
compreender que uma quantidade permanece invariante através de modificações
(repartição de urna coleção, fragmentação de um todo, transvazamento de um líquido,
etc. ) sobre a forma ou a disposição de um objeto, ou de urna coleção de elementos.
Desta forma o estudo das frações atingirá seu real significado quando uma teia de
relações e idéias forem estabelecidas durante o estudo, idéias corno:
1. Fração como Parte-Todo: A relação parte/todo se apresenta quando um todo
(unidade) se divide em panes equivalentes (iguais). A fração, por exemplo, indica a
relação que existe entre um número de partes e o total de partes; é o caso das
tradicionais divisões de uma figura geométrica em partes iguais. Deve-se considerar
que alguma propriedade do conjunto inicial deve permanecer inalterada para podermos
dizer que houve uma repartição do todo inicial em frações. A compreensão desse
significado deve abranger as quantidades contínuas e discretas.
1.1 Conceito de Fração em Quantidades Contínuas
Esse conceito envolve a idéia de repartição de um todo em partes de mesmo
comprimento, de mesma área, de mesmo volume, entre outros. Para o desenvolvimento
desse conceito podemos observar o seguinte exemplo:
a- Dobrar uma folha retangular em duas partes e pintar uma delas. Essa dobra poderá
ser feita de duas formas diferentes, corno mostra a figura:
A parte pintada representará (um meio) a metade da figura. O que pode ser dificil para
a criança é relacionar as duas figuras e verificar que elas possuem a mesma área.
Para que essas dúvidas sejam sanadas, devemos provocar discussões, com
atividades de recortes e colagens, nas quais as superfícies sejam sobrepostas,

16
confirmando a hipótese de possuírem a mesma área. Essa atividade poderá ser
realizada para que os alunos percebam que a fração é uma pane de algo que se
considera como o inteiro.
No exemplo citado, só poderemos dizer que a folha foi repartida ao meio, se
cada pedaço dessa repartição ocupar a mesma área, ou seja, se cada pedaço for
exatamente a metade da área total e se os dois pedaços juntos recobrirem a folha de
papel inicial.
Com esse exemplo, observarmos a área, isto é, um todo dividido em partes de
mesma área, que ocupam a mesma superfície plana. Dentro desse modelo ainda
podemos trabalhar com desenhos de pizza, banas de chocolate e desenhos de figuras
geométricas.
Se pretendermos trabalhar com a idéia de repartição de um todo em partes de
mesmo comprimento, de mesma distância, podemos, por exemplo, repartir um
barbante em pedaços iguais. Estaremos, dessa forma, fornecendo aos alunos o conceito
de fração no modelo linear: Se fizermos uma repartição de um todo em partes de
mesmo volume ou de mesma capacidade de líquido, diz-se que um todo foi repartido
em frações, se cada recipiente contiver a mesma quantidade de líquido.
1.2 Conceito de Fração em Quantidades Discretas
Para desenvolver este conceito, que vem a ser a idéia de repartição de um todo
(conjunto de vários elementos juntos) em partes de mesma quantidade numérica, os
alunos precisam ter bem fundamentadas as noções de conjuntos, multiplicação,
divisão, múltiplos e divisores.

17
"Uma quantidade é dita discreta quando possui urna identidade definida (ou
individualizada), constituindo uma entidade, isto é, consta de unidades separadas umas
das outras, como as árvores .le um parque, as pessoas de uma festa, os grãos de uma
espiga, as tampas de garrafa de uma coleção, etc ..." (LIMA, 1995, p.90)
Portanto, obteremos frações se cada parte de um todo contiver a mesma
quantidade de elementos. Para exemplificar esse conceito temos: Mariana comprou 20
adesivos pal·a enfeitar os seus cadernos. Já usou 1/5 deles. Quantos elas já usou?
Para os alunos compreenderem a idéia de fração como relação palie-todo, terão
que associar o exemplo mencionado à divisão do número de adesivos em partes iguais,
observando com isso que 1/5 de 20 é igual a 4.
2. Fração como Razão
Para construir esse conceito, deve-se iniciar com o desenvolvimento do
raciocínio proporcional dos alunos, fazendo-os observarem que os números envolvidos
nesse caso (fração) servem como comparação entre duas quantidades. Podemos
observar bem esse conceito de fração com o seguinte exemplo:
Se uma classe tem 40 alunos, a metade deles ficam sentados e a outra metade em pé,
quantos alunos ficarão sentados? E se a classe tem 48 alunos? E se forem 60 alunos?
Observa-se que a fração 1;2 estabelece a razão (relação) entre os alunos sentados
e o número total de alunos. A fração estabelece uma comparação entre o número de
alunos sentados e o total de alunos da classe.
Esse conceito de fração como razão é muito utilizado em situações do dia-a-dia,
como podemos ver em um jogo de futebol, quando é comparado o número de pontos
ganhos por uma equipe com o total de pontos do campeonato, em receitas, misturas de
tinta, em probabilidades, porcentagem, etc.
3. Fracão como Divisão
Esse conceito se diferencia da fração como relação palie todo, pois essa idéia
mostra ao aluno a fração como resultado do quociente de dois números inteiros (a:b =
a!b; b=O).

i8
Na relação parte todo, dividir U,TIaunidade em 3 partes iguais e pegar 2 dessas
partes é bem diferente que na relação como divisão ern que se quer dividir 2 unidades
em 3 partes iguais. No entanto, nos dois cases, o resultado é dado pela mesma fração
2/3.
Para cxemplificar melhor esse conceito, poderemos usar o seguinte exemplo:
Repartir uma garrafa de 2 litros de refrigerante igualmente entre 10 pessoas e descobrir
quanto do litro cada pessoa irá beber.
4. Fração como Operador
Esse conceito de fração desempenha um tipo de modificador de situações. Tal
idéia está presente, por exemplo, em situações concretas de medições e de
representação de objetos reais em escala.
Ex: Quando queremos reduzir uma figura em suas medidas, ampliar um mapa, em
problemas do tipo" que número devo multiplicar por 5 para obter 2", etc.
Pesquisas têm mostrado que os alunos sentem dificuldades em adquirir o
conceito de fração, pois só a identificam como partes de números, mas não percebem
que uma fração representa um novo número. O ensino desse assunto está
essencialmente centrado em memorizações de informações, utilização de regras e
reprodução de modelos apresentados pelos professores, impossibilitando o aluno de
construir seus conhecimentos.
É complicado para o aluno compreender que esse novo número é representado
por três símbolos para uma única quantidade (aIb, onde a e b são números naturais
isolados e o traço equivale a um sinal de divisão). Então aIb ou a:b é a fração, novo
símbolo que representa uma nova quantidade, um novo número.
Já no caso da relação parte-todo na fração aIb, ª é o numerador que nos indica
quantas partes do inteiro estão sendo consideradas e º é o denominador que nos
fornece o número de partes iguais em que o todo foi dividido (repartido - números de
cortes).
Os alunos podem não conseguir ajustar os conceitos que possuem de números
naturais e as operações desse conjunto, para esse novo conjunto dos números

]<)
racionais. Por exemplo, muitos alunos acham que a multiplicação de dois números é
sempre um número maior que os dois fatores dados; e que o resultado da divisão de
dois números é sempre u.n número menor que o dividendo e o divisor. Eles ficam
confusos ao perceber que com as frações algumas vezes isso não ocorre.
A maioria das crianças não sabe exatamente o que é uma fração não operam
com as frações e, quando o fazem, usam regras decoradas, sem entender o resultado
encontrado.
Para se construir o conceito de fração é necessano que alguma coisa seja
tomada como unidade e esta deverá ser dividida em um número de partes iguais, de
modo que se reparta completamente o todo considerado. A criança deve perceber que o
total não se altera, pois a conservação de quantidade é um elemento básico para que
ela compreenda o conceito de fração. Para as crianças é complicado pensar ao mesmo
tempo em se variar o número de partes em que se divide o todo e o tamanho dessas
partes, e não se alterar o total (tamanho do todo).
Uma forma comum de apresentar às crianças as frações é mostrar-lhes todos
divididos em partes iguais(aspecto extensivo das frações), alguns dos quais pintados,
onde o número total de partes é o denominador, e o número de partes pintadas é o
numerador. Esse modo de mostrar as frações às crianças, as levará a empregar um
procedimento de contagem dupla, no qual os alunos contarão o número total de partes
em que se dividiu o todo e as que estão pintadas, sem entender o significado do que
estão fazendo, conduzindo-as a cometer muitos erros.
É importante propor às crianças diversas atividades que não compreendam
somente contagem dupla, mas exercícios que façam elas raciocinarem sobre relação
parte-todo.
Ex:
Figura a Figura b Figura c

2U
Exercícios de contagem dupla Relação parte-todo
Fração 2/10 Fração 2/1O
Para a construção do conceito de fração nos exercícios de contagem dupla, e
preciso contar as partes "pintadas" e colocar no numerador, e o total de partes em que
foi dividido o todo (inteiro) no denominador. Alguns alunos sentirão dificuldades na
relação parte-todo, podem contar as partes pintadas e colocar no numerador, e o que
sobra (partes não pintadas) colocar no denominador.
No exemplo dafigura c , eles podem raciocinar que a fração correspondente é
1/9. Nesse caso, para formar o conceito corretamente, a criança terá que pensar no
tamanho do todo, no número de partes e no tamanho das partes que deverá ser igual,
pois quando elas vão repartir alguma coisa (todo) sempre procuram dar quantidades
(partes) iguais a cada um.
Para que a criança compreenda o conceito de fração e fundamental que ela
consiga:
1°) Observar a existência de uma totalidade divisível: se o todo a ser repartido
(dividido) for, por exemplo, uma(s) barra(s) de chocolate, a criança deverá dividir a(s)
barra(s) em partes iguais, conforme o número de pessoas a quem ela quer repartir o(s)
chocolate(s), e pensar quantas partes cada um vai ganhar.
"Para obter uma divisão do todo em partes iguais (aspecto extensivo das
frações), as crianças precisam antecipar qual será a relação entre as partes e o todo
(aspecto intensivo das frações) e que esta antecipação é intrinsecamente conectada à
conservação do todo independente das divisões que ele teve que passar". (PIAGET,
1960 apudNUNES e BRYANT, 1997, p.207).
Nesse caso, existe uma relação inversa entre o número de receptores e o
tamanho da parte (quota) que cada uma vai ganhar, bem como a relação direta entre o
todo a ser repartido e o tamanho da quota, que deve ser bem explicado para as crianças
para que elas compreendam os aspectos tratados.
"Thomas Kieren (1988; 1994) (sic), com base em uma análise matemática de
números racionais, sugeriu que as frações são números produzidos por divisões (em

21
vez de por união com números inteiros), elas são números no campo dos quocientes".
(NUNES e BRYANT, 1997, p.196)
Ex: Como dividir 3 chocolates entre 4 pessoas
la pessoa 2U
pessoa 3a
pessoa 4a
pessoa
Cada pessoa receberá 1;4 de cada bana; como são três banas, então cada pessoa
receberá 3/4 de um chocolate.
2°) Ter em mente o tamanho das partes, pois muitas crianças partem (dividem)
o todo em um número de partes menores ou maiores que o número de pessoas para as
quais se vão distribuir os pedaços. Elas dividem o todo de modo arbitrário,
desordenado, distribuem uma porção (pedaço) a cada pessoa, e as vezes deixam
resíduos (restos).
3°) Ver o esgotamento .lo todo, visto que é freqüente entre as crianças, como já
foi citado, a permanência de resíduos depois de partir o todo em determinado número
de partes. Para que o educando entenda que um pedaço cortado do todo seja visto
como uma fração desse todo, é necessário que seja feita uma divisão exata, ocorrendo
assim, o esgotamento do todo, não sobrando resto (pedaço com tamanho diferente dos
demais).
Este resto não é igual às outras partes retiradas, nem um todo, e essas duas
idéias interferem na mente da criança, na formação da noção da fração.
4°) Ter a noção da relação entre o número de partes e o número de cortes, pois a
criança acredita que o número de palies obtidas na divisão é igual ao número de cortes

22
feitos no todo. Exemplo: Num bolo retangular, quatro pedaços podem ser obtidos
através de 3 cortes.
Dependendo da forma do todo que se quer dividire cortar) , o número de cortes a
ser efetuado será diferente do total de partes que se quer obter.
Obs: Em quantidades discretas, o número de elementos da coleção deve er múltiplo
do número de partes iguais (frações), resultante da partição, caso contrário sobrará
resto.
5°) Visualizar a igualdade das partes: para que a criança tenha a noção exata do
que é fração, ela deve conseguir relacionar as partes iguais com o todo, e também as
partes uma com a outra.
Quando ela obtiver um número através da divisão, terá que considerar duas
relações; uma unidade que é tomada como o todo, e o tamanho das partes, pois quanto
maior for o tamanho das partes, menor será o número inteiro de vezes que cada parte
cabe no todo considerado, ou seja, a parte que se repetiu como uma unidade em
relação ao todo.
6°) Construir o conceito de fração como parte de um todo em SI,
compreendendo que esta parte pode sofrer novas divisões (frações equivalentes)
Quando se pensa em alguma coisa como uma fração, deve estar implícito o fato de constituir
uma parte do todo. Por outro lado, essa parte deve constituir, por si mesma, um todo
susceptível de novas divisões. A suposição de que cada fração possa ser tomada como um todo
que será submetido a nova divisão, evidencia o fato de que cada fração se integra numa
sucessão de divisões (sistema de encaixamento). (LIMA, 1995, p.88).
Algumas pesquisas mostram a grande resistência dos alunos em aceitar as
frações como números, pois grande parte deles acham que cada fração são dois
números independentes. Outra dificuldade está em aceitarem que frações como 12e 2/4
possam ser números iguais. Para a compreensão desse conceito, pode ser utilizado o
exemplo da dobradura de uma tira de papel.
/"
,.
.
1/2. 1/4 1/8 1/16 j/~

23
7°) Evidenciar que a soma das {rações é igual ao todo inicial (princípio da
invariància). Na maioria das vezes não se admite que um todo quando partido tenha a
mesma quantidade, quando somam-se novamente as frações desse todo.
A criança não tendo adquirido a conservação de área, por exemplo, levanta-se um problema: -
uma das condições essenciais do conceito de fração não está sendo observada, qual seja, a soma
das frações constituídas de um todo tem que ser percebida pela criança como igual a este todo.
(LIMA, 1995, p.83).
Diante de tais reflexões é inadequado tentar ensinar e aprender frações, partindo
de uma simples definição a/b onde b=O, sempre com a idéia da contagem dupla.
Também é inútil "apresentar" técnicas operatórias, com frações se o aluno não tem
domínio do conceito do assunto. É preciso redimensionar o ensino aprendizagem das
frações, pois como essas vem sendo trabalhadas, tem pouco significado para os alunos,
porque enfoca-se a técnica pela técnica, em detrimento das suas próprias idéias.

CAPÍTULO 3
3.1 SEQÜÊNCIAS DIDÁTICAS PARA O PROCESSO DE ENSINO
APRENDIZAGEM DAS FRAÇÕES.
As frações, como vêm sendo trabalhadas, têm pouco significado para os alunos,
pois enfoca-se a técnica pela técnica, em detrimento das suas próprias idéias.
A intenção de se montar atividades sobre o assunto frações é auxiliar o aluno a
descobrir as noções e idéias compreendidas no conceito enquanto for experimentando
novas situações e lidando com materiais concretos, para que ele possa fazer
descobertas que irão contribuir para seu próprio conhecimento.
Ao se desenvolver atividades bem estruturadas e elaboradas, o aluno poderá
observar e compreender as idéias envolvidas para a construção do conceito, que são:
- fração como parte de um todo de uma quantidade contínua (exemplo: barra( s) de
chocolate(s) que será dividida entre certo número de pessoas) e de quantidade discreta
(divisão de muitos objetos de um conjunto a várias pessoas);
- fração como razão (relação entre duas quantidades que se quer comparar);
- fração como divisão (como repartir certo volume de líquido para determinado número
de pessoas, dando o mesmo tanto para cada uma);
- fração como operador, desempenhando um papel de modificador de situações
(exemplo: redução ou ampliação de mapas).
As crianças conseguem facilmente observar e intuir as características essenciais
de um conceito a partir de imagem visual (concreta). Podem abstrair as propriedades
comuns de alguns conceitos, mas só depois de algum tempo poderão abstrair as
características essenciais e agrupá-las como pertencentes a um mesmo conceito.
Para organizar uma seqüência didática, temos que selecionar atividades de tal
maneira que as unidades de informação estejam ligadas para permitir ao aluno a
construção dos conceitos. Essa organização seqüencial deve obedecer a uma seqüência
lógica: ter coerência, ir dos exemplos mais simples para os complexos, obedecer etapas
contínuas e sistemáticas que levem o educando a um desenvolvimento tanto em

25
conhecimentos como em habilidades, proporcionando a integração dos concei tos de tal
maneira que se completem entre si.
Klausmeier (1977), baseado nos estágios de desenvolvimento propostos por
Piaget, definiu conceito como: "Conjunto de informações ordenadas a respeito das
propriedades de uma ou mais coisas, objetos, eventos ou processos que permite a
qualquer coisa ou classe de coisas particulares ser diferenciada e também relacionada a
outras coisas ou classe de coisas". (BRITO, ANPEPP, 1996, p.75).
Ao aprender um conceito, através de generalizações, discriminação e abstração
os estudantes vão ampliando o seu domínio sobre esse novo conceito, conseguindo ver
os aspectos essenciais, que deverão ser incorporados aos seus conhecimentos. Aqueles
que são menos importantes serão vistos só como auxiliares na construção de outros
conceitos. A generalização se verifica do particular (concreto)" para o que é geral e
desconhecido (abstrato):'.
Ao propormos uma seqüência didática para o ensmo de um determinado
conceito matemático, devemos:
a) Organizar atividades que visem à interação do sujeito com o objeto de
conhecimento. Esses problemas e questões devem permitir que o aluno supere os seus
obstáculos e tenha um progresso cognitivo.
b) Verificar as formas de organização dos educandos frente aos desafios
propostos.
c) Identificar quais são os obstáculos que estão impedindo que o aluno
compreenda (assimile) o conceito.
d) Apresentar questões que investiguem a capacidade do educando de sair de
um nível de conhecimento, observar se ele consegue organizar os conhecimentos de
modo que possa construir um conceito novo e avançar para novos conteúdos.
As atividades a seguir compreendem questões que são a base da construção do
conceito de frações. Os exercícios propostos para a compreensão desse assunto são
exemplos de frações como sendo relações parte-todo, que devem compreender
2 Concreto:- material manipulativo. (peças recortadas em plástico. madeira. etc.)
3 Abstrato: - o que não se tem base material: que não se pode manipular.

26
quantidades contínuas e descontinuas (discretas), pois a divisão de "n" objetos entre
números diferentes de receptores e as quantidades citadas altera o significado da
quantificação, Observamos também a coordenação de aspectos extensivos (divisão do
todo em partes iguais, distribuição e quota) e intensivos (relação parte-todo e
reconstrução do todo a partir das partes).
Incluímos questões que possibilitem às crianças refletirem sobre situações de
divisões e as relações entre dividendo, divisor e quociente, que em síntese envolvem
uma relação entre quantidade e número de receptores, e números de receptores e
tamanho da quota. Isso significa identificar se existem obstáculos em relação às
conseqüências do tamanho de "n" em um n-corte.
Somente com a proposta de atividades que geram as dissonâncias cognitivas
podemos identificar os obstáculos epistemológicos apresentados pela criança no ato de
conhecer o objeto matemático em questão.

..,~
LI
ATIVIDADES
P ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA
OBJETIVOS:
a) Manipular peças de cartolina divididas em várias partes e de várias cores diferentes
para diferenciar contagem dupla e relação parte todo.
b) Perceber as relações de tamanho entre elas.
c) Construir o conceito de fração como parte de um todo (aspecto extensivo das
frações: relação entre as partes.)
MATERlAL NECESSÁRIO:
Pedaços de cartolinas de mesmo tamanho e de cores diferentes.
DESENVOL VIMENTO.
Distribuir uma quantidade de cartolina branca, outra unidade de mesmo tamanho
dividida e cortada em duas partes iguais; outra dividida e cortada em três, outra
dividida e cortada em quatro, e outra dividida e cortada em seis, mas todas de cores
diferentes, como mostra o desenho:
<-----I 1__ 1 ITTI I----+---
Branca Verde Amarela Azul
Vermelha
Perguntas:
a) Quantas partes da cartolina verde são necessárias para formar uma cartolina
branca?
b) Quantas partes da cartolina vermelha são necessárias para formar uma das partes da,
cartolina amarela?
c) Quantas palies da cartolina azul formam uma parte da cartolina verde?
d) Quantas partes da cartolina vermelha são necessárias para formar uma cartolina
branca?

2 )
e) Faça uma correspondência (fração):
- a cartolina branca corresponde a _
- cada parte da cartolina verde corresponde a _
- cada parte da cartolina amarela corresponde a _
- cada parte da cartolina azul corresponde a _
- duas partes da cartolina vermelha correspondem a _
- duas partes da cartolina amarela correspondem a _
- duas partes da cartolina verde correspondem a _
Obs:. A nomenclatura (numerador e denominador) deverá ser introduzi da enquanto se
escrever a fração correspondente.
2a
ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA
OBJETIVOS:
a) Mostrar as primeiras noções de frações, conceituar fração.
b) Fazer o aluno observar a existência de um todo, que pode ser dividido em partes
iguais (totalidade divisível).
c) Identificar a compreensão dos alunos das noções de meio (metade), terça parte,
etc.).
MATERIAL NECESSÁRIO:
Desenhos em folha de papel sulfite.
DESENVOL VIMENTO
Considerando o retângulo, responda:

29
a) Quantos quadradinhos iguais a este D te TI o retângulo acima?
b) Quantos quadradinhos tem a metade do retângulo?
c) Pinte um terço do retângulo. Quantos quadradinhos foram pintados? Faça uma
relaçãotfração) de quantas partes foram pintadas no retângulo com quantas partes está
dividida a figura.
3a
ATIVIDADE - QUANTIDADES CONTÍNUAS
OBJETIVOS:
a) Verificar a compreensão dos alunos sobre "metade".
b) Avançar sobre o aspecto da contagem dupla.
c) Evidenciar a relação parte-todo e parte-parte(aspecto intensivo das frações) -
igualdade das partes.
Desenhos em folhas de papel sulfite.
DESENVOL VIMENTO:
A) Olhando as figuras abaixo, escreva a fração correspondente à parte pintada em cada
uma das figuras abaixo:
a) c)
d) e) 1)

30
4a
ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUAS
OBJETIVOS:
a) Fazer a criança observar a fração como sendo palie de um todo (aspecto intensivo
das frações).
b) Construir o conceito de que a união de frações iguais, levam à unidade (conservação
do todo).
c) Esgotar o todo.
Desenhos em folha de papel sulfite.
DESENVOL VIMENTO:
A) Observando as figuras abaixo, responda:
a)
b)
c)
d)
e)
a) Pegando a figura "c", pergunta-se:
-Quantas divisões tem o desenho?
- Quantas estão pintadas?
- Que fração representa essa relação?
- Qual a relação que existe entre a parte pintada e o total de divisões?
b) Pegando a figura "e", pergunta-se:
- Quantas divisões tem o desenho?
- Quantas estão pintadas?
- Montar a relação (fração) entre a parte pintada e o total de divisões.

31
c) Pegando a parte pintada da figura a, mais a palie pintada da figura d, em qual figura
chegamos?
d) Pegando a parte pintada da figura c, mais a palie pintada da figura a, quantas palies
faltam para completar a figura e(unidade divisível)?
sa ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA
OBJETIVOS:
a) Mostrar o todo divisível.
b) Verificar a capacidade da criança em conservar o todo.
Desenhos em folhas de papel sulfite.
DESENVOL VIMENTO:
A) Considere as figuras dadas como 1;; (metade) do inteiro
a) b) c)
a) Desenhe o inteiro (unidade) em cada figura:
6a
ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUAS
OBJETIVOS:
d)
'/
J
/
a) Verificar a capacidade da criança de coordenar o aspecto intensivo das frações.
b) Observar que existem frações menores e maiores que 1.
c) Fazer o aluno observar a relação que existe entre o número de partes, e o número de
receptores;
Barras de chocolate.

DESENVOL VIMENTO:
A) Dividir 1 bana de chocolate entre 2 crianças.
Pergunta-se:
a) De que maneira poderá ser feita essa divisão?
b) Se o chocolate for dividido em 4 partes iguais. quantas partes caberá a cada criança?
c) Se o chocolate for dividido em 8 partes iguais, quantas partes cada uma receberá?
Após a divisão podemos explicar às crianças que 1 barra corresponde a 2 partes de 1/2.
B) Dividir 2 banas de chocolate entre 3 crianças.
13
criança 3a
criança 23
criança
Pergunta-se:
a) Como dividir cada bana de chocolate?
b) Quanto(s ) pedaço(s) cada criança vai ganhar de cada barra?
c) Com quanto)s) pedaço(s) cada criança vai ficar no final da divisão? Escrever a
fração correspondente.
d) Então, 1/3 + 1/3 é igual a -----
e) Se o número de crianças aumentar para 4, o que vai acontecer com o tamanho das
partes que cada urna vai receber?
* Esses 2 exercícios darão à criança a idéia de frações menores que 1(unidade).

C) Dividir 3 chocolates entre 2 crianças:
1/2 I 1/2 I
~____ ~ A ~ ~ ~
Y y
1/2
13
criança 23
criança
Pergunta-se:
a) Como dividir cada barra de chocolate de modo que cada criança ganhe o mesmo
pedaço?
b) Se cada barra for dividida em 4 partes iguais, quantas partes cada criança ganhará de
cada barra?
c) Quantos pedaços cada criança receberá dos 3 chocolates?
d) Qual é a fração correspondente do total que cada criança receberá?
e) Então, 3 x Y2 é igual a -----
- Cada criança receberá 3 pedaços (3/2), pois ao dividir cada barra em 2 partes iguais
receberá 1/2. Então, como são 3 barras, receberá 3/2.
- Quando escrevemos 3/2, estamos dizendo que, ao dividirmos 3 chocolates entre 2
pessoas, cada pessoa recebe 3 metades desse chocolates ( 3 x Y2). Como 2 dessas
metades formam 1 inteiro, cada pessoa recebe 1 chocolate interiro e 1 metade ( 1 + Y2 )
O) Dividir 4 chocolates entre 2 crianças.
.... ./
la criYnça
I
1/2
I
1/2
I I
1/2 1/2
I....
-"-...y
2a
criança

Pergunta-se:
a) Como dividir os chocolates para que as :2 crianças ganhem a mesma quantidade de
chocolate?
b) Quanto (que fração) do todo cada criança receberá?
c) O que você entendem por ~ + Y2= _
OSSo Esses dois exercícios darão a idéia de fração maior que 1 (unidade).
7U
ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA
OBJETIVOS:
a) Verificar a capacidade da criança de coordenar o aspecto extensivo das frações
(esgotamento do todo).
b) Compreender a relação do "n" em um n-corte.
c) Identificar as relações inversas entre o n° de receptores e o tamanho da quota:
aumentando o n° de receptores, diminui a quota, mantendo-se o todo.
Desenho em cartolina e papel sulfite.
DESENVOL VIMENTO:
A) Em uma festa havia um bolo retangular. Estavam na festa 8 convidados, e o bolo foi
repartido igualmente. Olhando o desenho do bolo, reparti-lo de modo que cada
convidado receba o mesmo pedaço do bolo.
Pergunta-se:
a) Qual a fração do bolo que cada convidado ganhou?
b) Se o bolo for dividido em 16 partes, quanto cada convidado receberá do bolo?
c) Receberá mais ou menos?

35
B) Em uma festa havia 10 barras de chocolate e quatro convidados. Pergunta-se:
a) Quantos chocolates receberá cada convidado?
b) Se tivesse 8 convidados.elcs receberiam quanto de chocolate? Receberiam mais ou
menos?
c) Se tivesse um número maior de convidados, cada convidado iria receber mais ou
menos chocolate?
s- ATIVIDADE - QUANTIDADES DESCONTÍNUAS (DISCRETAS).
OBJETIVOS:
a) Verificar se os alunos percebem a relação parte-todo.
b) Compreender que o tamanho da palie é maior quando o todo é maior.
c) Compreender a relação do "n" em um n-corte.
Caixas de bombons e lápis de cor.
DESENVOL VIMENTO:
A) Flávia e João ganharam 2 caixas de bombons. Flávia comeu 18 bombons, que
correspondem à metade dos bombons de sua caixa. João também comeu à metade de
seus bombons e ficou todo feliz porque comeu 22 bombons.
a) Por que João comeu mais bombons do que Flávia, se os dois comeram a metade dos
bombons?
b) Quantos bombons tinha em cada caixa?
B) Dividir 36 doces entre 3 crianças.
a) Quantos doces receberá cada criança?
b) Se aumentar o número de crianças a serem distribuídos os doces, o que acontecerá
com a quantidade de doces que cada uma receberá?
Obs. Neste exercício o professor poderá observar se os alunos conseguem ter a idéia de
relações diretas e inversas existentes entre o todo, as partes em que foi dividido e o
tamanho da quota.
C) Dado o quadro abaixo:

36
DDDD O O
DDDD O O
DDDD O O
~~~~~
RESPONDA:
a) Quantas figuras compõem o quadro?
b) Pinte de azul um quinto do total dos triângulos do quadro. Quantos você pintou?
c) Que fração do total de triângulos ficou sem pintar?
d) Pinte de preto um terço do total de quadrados. Quantos quadrados você pintou?
e) Que fração os quadrados que ficaram sem pintar representam do total de quadrados?
E do total de figuras?
e) Pinte de vermelho dois terços do total de círculos. Quantos ficaram pintados?
Que fração estes círculos pintados representam do total de figuras do quadro?
9a
ATIVIDADE - QUANTIDADES DESCONTÍNUAS
OBJETIVOS:
a) Distinguir as idéias de "fração de um todo" (aspecto extensivo das frações) e "fração
de fração".
b) Compreender a relação entre o na de partes e o n° de receptores.
Desenhos em papel sulfite e lápis de cor.
DESENVOL VIMENTO:
A) O desenho abaixo representa uma caixa com 24 refrigerantes.

37
o O O O O O
O O O O O O
O O O O O O
O O O O O O
Dessa caixa, 2/4 vão ser distribuídas para 4 crianças e o restante para os adultos.
Metade dos que cabe às crianças é distribuída entre as meninas.
Pergunta-se:
a) Quantos refrigerantes caberão aos adultos?
b) Quantos refrigerantes caberão às meninas?
c) Quantos refrigerantes caberão às crianças?
d) Que fração da caixa é a paI1e dos adultos?
e) Que fração da caixa é a dos meninos?
f) Que fração da caixa é a parte das meninas?
g) Quantos refrigerantes correspondem à metade dos 2/4?
h) Que fração da caixa corresponde à metade dos 2/4?
B) Observe o desenho e responda:
a) Quantas bolas tem esse conjunto?
b) Pinte de verde a terça parte do total de bolas.
c) Quantas bolas você pintou?

38
d) Que fração as bolas pintadas representam do total?
Logo, de bolas = bolas-------- -------- --------
e) Quantas bolas você não pintou?
f) Que fração as bolas que não foram pintadas representam do total?
to- ATIVIDADE - QUANTIDADES CONTÍNUAS E DISCRETAS
OBJETIVOS:
a) Conservar o todo.
b)Identificar a conservação de quantidades contínuas e discretas.
Figuras em papel sulfite, copos descartáveis (branco, amarelo, verde e azul) e
tampinhas de garrafa.
DESENVOL VIMENTO:
A) Sejam as figuras tais como as descritas nas situações 1,2 ,3 e 4.
Situação 1 Situação 2
D D D D
D cs;J D 00
Maria Pedro Maria Pedro
D D LSJ DJ
cs;J DJ ~ OMaria Pedro Maria Pedro
Situação 3 Situação 4
a) Na situação 3 quem ganha mais: Maria, Pedro ou ambos ganham igual?
b) Na situação 4 quem ganha mais: Maria, Pedro ou ambos ganham igual?

39
B) Dividir o retângulo abaixo entre 2 pessoas, de modo que cada uma fique com a
mesma parte.
Exercício para observar a existência de urna totalidade que está sendo dividida.
C) Dividir a figura abaixo entre 4 pessoas, de modo que cada pessoa ganhe a mesma
parte.
Exercício para visualização da igualdade das partes.
D) Dividir o círculo abaixo entre 2 pessoas, de modo que cada uma fique com o
mesmo pedaço.
E) Dividir o retângulo abaixo em 3 partes iguais. Pegar uma das partes e reparta em 2
partes iguais. Quantas dessas partes precisa para formar o retângulo inteiro?
Exercício para visualizar a conservação do todo.
F) Dividir doze objetos (tampinhas de garrafa) e coloque em 2 copos.
000000000000

~o
- Pergunta-se:
- A quantidade no 2 copos é igual?
G) Dividir a quantidade de cada copo em 2 partes iguais e coloque em novos copos.
- Que fração do todo vai ficar em cada copo?
- Quantos copos vão ser necessários para suportar a coleção inicial das 12 tampas de
garrafas?
H) Colocar 12 bolas em um copo e doze bolas distribuídas em 4 copos amarelos.
Exercícios para observar a relação parte-parte e parte-todo e conservação do todo.
- Quem tem mais bolas: o que ficar com o 10
copo ou o que tem os 4 outros copos?
- Comparar a quantidade de bolas dos copos brancos e amarelos.
Brancos Amarelos
- Quem tem mais bolas: quem tem os copos amarelos ou quem tem os copos brancos?
- Quantos copos brancos são necessários para formar um azul com 12 bolas?
- Quantos copos amarelos são necessários para formar um branco com seis bolas?
- Quantos copos amarelos são necessários para formar um azul com 12 bolas?
- As quantidades de dois copos amarelos é a mesma coisa que a quantidade de um
copo branco?
- A quantidade de dois copos brancos é a mesma coisa que quatro copos amarelos e a
mesma coisa que um copo azul?
- Quem ganha mais: quem tem dois copos amarelos ou quem tem um copo branco?
- Quem ganha mais: quem tem três copos amarelos ou quem tem um copo azul?

4l
- Quem ganha mais: quem tem dois copos brancos ou quem tem três copos amarelos?
- Coloque as doze bolas amarelas em 6 copos verdes.
- Quem ganha mais: quem tem 3 copos verdes ou quem tem 1 copo branco?
- Quem ganha mais: quem tem 3 copos verdes ou quem tem 2 copos amarelos?
- Quem ganha mais: quem tem 6 copos verdes ou quem tem 1 copo azul?
- Quem ganha mais: quem tem 1 copo amarelo ou quem tem 1 copo branco?
- Quem ganha mais: quem tem 2 copos amarelos ou quem tem 1 copo branco?
- Calcular a metade de dois todos diferentes: um com 8 objetos e outro com 12 objetos.
- Por que as metades das duas coleções deram diferentes?
110
ATIVIDADE - ASPECTOS INTENSIVOS E EXTENSIVOS
OBJETIVO:
a) Verificar a capacidade de estabelecer o aspecto extensivo das frações.
Desenhos em papel sulfite.
DESENVOL VIMENTO:
A) Contexto de área
a) Em cada figura, represente o que se pede:
1/4 1/2 2/5
3/5 1/3 1/2

-+2
l2a
ATIVIDADE - ASPECTOS INTENSIVOS E EXTENSIVOS
OBJETIVOS:
a) Verificar se os alunos sabem determinar uma parte do inteiro( relação parte-todo).
b) Verificar se observam que Y4 e 3;4 juntas formam um inteiro, ou seja, se percebem a
possibilidade de efetuarem essa adição simples.
MATERlAL NECESSÁRIO:
Desenhos de 4 copos
DESENVOLVIMENTO:
B) Contexto de Volume.
a) Com o copo cheio podemos fazer cem bolhas. Quantas bolhas podemos fazer com
estes quatro copos? (desenvolva um pensamento sobre isso).
1/5
Quantas bolhas serão feitas com 1/2 (metade) do copo?
Quantas bolhas serão feitas com 1/4 (um quarto) do copo?
Quantas bolhas serão feitas com 1/5 (um quinto) do copo?
Quantas bolhas serão feitas com 3/4 (três quartos) do copo?
13a
ATIVIDADE
OBJETIVOS:
a) Verificar se os alunos têm a compreensão dos atributos de comprimento, e se eles
percebem e assimilam que a idéia de metade está associada à ação de manter os dois
comprimentos iguais.
b) Trabalhar a idéia de fração como parte-todo associada à idéia de medida.
c) Trabalhar a representação do número fracionário na reta numérica.

Barbantes - 3 pedaços de mesmo comprimento.
DESENVOLVIMENTO:
C) Contexto de medida - Idéia de fração como medida
Utilizando dois barbantes de mesmo comprimento, dobre um deles em 2 partes iguais.
- Compare cada parte e responda:
a) Cada parte do barbante é igual a do barbante inteiro.
b) Dobre o outro barbante inteiro em 2 partes diferentes.
Compare cada parte obtida. O que se observa?
c) Cada parte obtida será metade (112) do barbante? Por quê?
d) Você poderia dobrar o mesmo barbante, em duas partes, e cortá-lo de maneira que
uma parte caiba duas vezes dentro da outra?
e) Como dobrar o barbante para que cada parte seja I;í do barbante?
14° ATIVIDADE - FRAÇÃO COMO OPERADOR
OBJETIVOS:
a) Fazer o aluno identificar frações associadas à idéia de operador.
b) Explorar estratégias de cálculos e de raciocínio que devem ser utilizados.
MATERIAL NECESSÁRIO
Régua; desenhos
DESENVOLVIMENTO:
A) Um poster com 1,5 u de largura por 3u de comprimento, precisa ser ampliado. Qual
seria a melhor ampliação possível para o modelo dado:
a) Poster de 1,5u por 3 u
b) Poster de 3u por 3u
c) Poster de 3u por 6 u
d) Poster de 6u por 6u
B) Uma fotografia de 3x4 foi ampliada para 18x24. Qual foi a razão de ampliação?
15° ATIVIDADE - FRAÇÃO COMO RAZÃO

OBJETIVOS:
a) Construir o conceito de fração como relação pane-todo no contexto de fração como
razão.
b) Explorar situações não rotineiras em aula de matemática.
c) Explorar a relação parte-todo
Caderno, lápis.
DESENVOLVIMENTO:
A) Observe as palavras
OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO
a) Quantas letras tem a palavra NOVEMBRO?
b) Cada letra representa que parte do total de letras da palavra NOVEMBRO?
c) Quantas vogais há nessa palavra?
d) Como comparar a quantidade de vogais para a quantidade de letras da palavra
NOVEMBRO?
e) Quantas consoantes tem na palavra NOVEMBRO?
f) Como comparar a quantidade de consoantes com a quantidade de letras da palavra
novembro?
B) Em um campeonato de handebol, Luiz e Carlos estão disputando a posição de
melhor jogador do campeonato, Luiz marcou 9 dos 24 gols do seu time numa partida.
Carlos marcou 2/3 dos gols marcados por Luiz. Quantos gols Carlos marcou?
C) No mesmo campeonato, André marcou 12 dos 36 gols do seu time. Quantos gols
Felipe marcou nesse jogo, sabendo que ele marcou gols na mesma razão que André?
D) Para fazer um litro de suco de uva, usa-se V4 d suco concentrado, 2/3 de água e a
parte restante é completada com açúcar. Segundo essa receita, complete a tabela.
Litros de suco pronto 12 24 60 300 6
Litros de suco concentrado 3 6 15 75 1,5
Litros de água 8 16 40 200 4
..
Fonte: PARANA. Secretana de Estado da Educação. Ensinar e Aprenderl: Matemática. Curitiba,
1998, p.35

..)
16a
ATIVIDADE - FRAÇÃO COM:G DIVISÃO
OBJETIVOS:
a) Explorar a idéia de fração corno divisão.
b)Verificar a repartição fracionárias, quando o todo inicial não é formado por mais de
uma unidade.
c) Verificar se os alunos compreendem os atributos de volume( capacidade de líquido)
Garrafas descartáveis de 1 litro, 1,5litro e 2 litros, copos descartáveis e jarras do
mesmo tamanho.
DESENVOL VIMENTO:
A) Repartir uma garrafa de Coca-cola de 1,5 litros igualmente em 5 jarras de mesma
capacidade.
a) Após a divisão, quanto de refrigerante vai ficar em cada jarra?
b) Que fração do todo cada jarra vai comportar?
B) O conteúdo de uma garrafa de 1 litro de refrigerante e outra de 2 litros, serão
distribuídos igualmente entre 4 copos iguais.
lL
fJfJfJfJ
Pergunta-se:
a) Em todos os copos teremos a mesma quantidade de refrigerante? Explique.
b) Na divisão do conteúdo da garrafa de 1 litro, que fração do litro vai ficar em cada
copo?
c) Após a divisão dos 2 litros de refrigerante, quanto de refrigerante vai ficar em cada
copo? Qual é a fração que representa essa quantidade?

CONSIDERAÇÕES FL AIS
Em toda a trajetória histórica das frações, constatamos que na antiguidade eram
utilizadas para as medições, e hoje são de grande importância em vários campos das
ciências que têm como base a Matemática, como por exemplo no estudo de circuitos
elétricos; nas medidas de canos, parafusos, ferros para concreto armado, cujas bitolas
são expressos em polegadas ou frações de polegadas.
No mundo contemporâneo, todas as atividades compreendem a utilização da
matemática para ordenar, codificar e quantificar, o que exige de professores e alunos
um contínuo aperfeiçoamento para que tenham um aprendizado dos conhecimentos
matemáticos, e para que estes os auxiliem a abrir as portas do trabalho e,
conseqüentemente, da vida em sociedade.
Em se tratando de conhecimento matemático, principalmente das frações,
devemos destacar que as situações de ensino precisam estar centradas em metodologias
que visem à construção de significados e conceitos quanto aos números fracionários
que possam levar os alunos a criarem e resolverem problemas que exijam criatividade,
e a desenvolverem um raciocínio matemático para interpretar situações reais.
O conhecimento matemático deve compreender um conjunto de competências
como: mobilidade, raciocínio claro, compreensão de conceitos e princípios
matemáticos, que levem o educando a relacionar os conceitos aprendidos na escola,
com os seus problemas cotidianos e de outras áreas. É preciso que a aprendizagem
escolar esteja sempre conectada à realidade do aluno, a fim de poder extrair dela as
situações-problema para desenvolver os conteúdos, como para voltar a ela para aplicar
os conhecimentos construí dos.
Na maioria das vezes, o professor sabe que deve encaminhar seus alunos para
que construam conhecimentos a partir do que sabem, mas não o fazem por falta de
conhecer uma metodologia adequada, que faça o estudante assimilar com significado o
que está sendo ensinado e consiga interligar isso com novos conteúdos. Há ocasiões
em que o professor, num esforço para alcançar a compreensão do conteúdo pelos

repassados enquanto aluno.
Então devemos trabar..ar com questões que admitam diferentes respostas, que
levantem contradições para serem analisadas, discutidas e desafiem os alunos a obter
diferentes soluções para um problema. Por isso, acreditamos que o professor deva lutar
pela superação de suas limitações e ser ajudado a consegui-Ia através do empenho das
instituições educacionais em promover situações que propiciem a criação de novas
possibilidades de atuação do professor.
É estranhável que os mestres não tenham, até hoje , suspeitado que haja algo errado com o
ensino da Matemática. Pelo que qualquer observador pode constatar, chega-se à conclusão de
que, ou Matemática é disciplina que só W1S podem aprender, ou é ensinada de forma tão
inadequada que somente alguns a aprendem. Aliás, os bons alunos de Matemática, em geral,
não atribuem ao seus mestres o êxito que conseguiram: ou foi o esforço pessoal, acima das
obrigações escolares, ou a descoberta de um processo de estudar que lhes abriu a porta deste
"reino maravilhosos". (BRASIL, 1977, p. VII)
o professor necessita compreender que não pode mais reproduzir os modelos
educacionais pelos quais ele aprendeu enquanto estudante. É preciso que se encontre
novas maneiras de interagir com seus alunos, utilizando-se da grande flexibilidade e
vários métodos para se ensinar um mesmo conteúdo matemático.
No transcorrer deste trabalho, observamos que para a construção do conceito de
fração há muitos encaminhamentos metodológicos, os quais podem oferecer resultados
mais eficientes no processo ensino aprendizagem, fazendo com que o aluno passe a
compreender o conceito e aplicá-lo em outros conteúdos ou atividades do seu dia-a-
dia.
Em um primeiro momento, tínhamos em mente que o ensino e a descoberta de
soluções para os problemas sobre frações, ficariam mais fáceis se os alunos
manipulassem materiais recortados ou desenhados, esses divididos em partes iguais e
alguma(s) dessa(s) pintada(s), mas percebemos que nada adianta dar um desenho
dividido em partes iguais para uma criança, se ela não possuir a idéia de conservação
do todo, e alguns conhecimentos sobre áreas de figuras geométricas. Se o aluno não
tiver essa percepção, temos que usar esses materiais de maneira a sanar suas dúvidas,

evitando assim que eles trabalhem inutilmente, pois se não entendem o significado do
que estão fazendo vão construir conceitos errados.
Devemos explorar situações problemas (atividades) que levem o aluno a
construir com clareza e significado o conhecimento matemático (frações), pOIS
partindo de situações significativas e manipulando materiais concretos, possa agir,
refletir e estabelecer relações com a sua realidade, permitindo construir o conceito de
fração, observando a existência de uma totalidade divisível, que deve ser dividido em
partes iguais, que há uma relação entre o número de partes e o total de cortes feitos
neste todo, e sempre esgotando o todo.
Um trabalho com exercícios práticos é interessante, pOIS observa-se que os
alunos só sentem motivados quando vêem utilidade daquilo que estão aprendendo.
Nos exercicios propostos procuramos contemplar as principais idéias
conceituais de frações, a fim de contribuir para que a criança construa a idéia de
fração como parte de um todo, fração como razão, como divisão e operador, pois
acreditamos que se o aluno compreender o que vem a ser fração, ele vai conseguir
estabelecer relações que permitam observar a equivalência; realizar as operações com
frações, transformações e tantos outros assuntos que envolvam o conhecimento desse
assunto.
Cremos que os exercícios propostos poderão em um trabalho futuro, ser
aplicados, analisados e reformulados de acordo com as necessidades, parta atingir o
objetivo esperado, que é a compreensão significativa do conceito de fração.
Neste contexto percebemos que, o ensino da matemática constitui um grande
desafio para os educadores e para as pessoas que, de alguma maneira, estão
interessadas em Educação Matemática, pois professor não é apenas aquele que detém o
conhecimento e o transmite a seus alunos, mas sim aquele que aprende junto com eles.

BRASIL, Luiz Alberto. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da matemática. Rio
de Janeiro. RJ: Forense Universitária Ltda. 1997. p. 105.
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