Modulo matematica

Ilhéus . 2012
Irene Mauricio Cazorla (Org.)
Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3
METODOLOGIA DO
ENSINO DA MATEMÁTICA

Universidade Estadual de
Santa Cruz
Reitora
Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena Freire
Pró-reitor de Graduação
Prof. Elias Lins Guimarães
Diretora do Departamento de Ciências da Educação
Profª. Emilia Peixoto Vieira
Ministério da
Educação

Ficha Catalográfica
1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares
Copyright by EAD-UAB/UESC
Projeto Gráfico e Diagramação
Jamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké
João Luiz Cardeal Craveiro
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Capa
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Impressão e acabamento
JM Gráfica e Editora
Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC
Obra desenvolvida para os cursos de Educação a
Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz -
UESC (Ilhéus-BA)
Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Ilhéus-
Itabuna, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia.
www.nead.uesc.br | uabuesc@uesc.br | (73) 3680.5458
Pedagogia | Módulo 5 | Volume 3 - Metodologia do Ensino da Matemática
Metodologia do ensino da matemática / Elaboração de
conteúdo: Aida Carvalho Vita ... [et al.]. – Ilhéus,
BA: Editus, 2012.
175 p. : il. (Pedagogia – módulo 5 – volume 3 – EAD)
ISBN: 978-85-7455-295-8
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática –
Metodologia. I. Vita, Aida Carvalho. II. Série.
CDD 510.7
593

Coordenação UAB – UESC
Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profª. Dr.ª Marta Magda Dornelles
Coordenação do Curso de Pedagogia (EAD)
Profª. Drª. Maria Elizabete Souza Couto
Elaboração de Conteúdo
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana
Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla
Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto
Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Instrucional Design
Profª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira
Profª. Ma. Cibele Cristina Barbosa Costa
Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes
Revisão
Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho
Coordenação Fluxo Editorial
Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
EAD . UAB|UESC

DISCIPLINA
METODOLOGIA DO ENSINO
DA MATEMÁTICA
EMENTA
OBJETIVO
Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática. Estudo de
conteúdos matemáticos direcionados para a aquisição de competências básicas
necessárias à vivência no cotidiano: conteúdos, percursos metodológicos, uso das
tecnologias e avaliação. O raciocínio lógico-matemático e situações problemas
- geometria, cálculo mental e operações fundamentais. A Matemática: estudos,
pesquisas e diferentes usos sociais e o significado matemático.
Carga horária: 75 horas, sendo 60 h para estudos e discussão teórico-práticos,
e mais 15 h para elaboração e apresentação de oficinas. Em seguida, as refle-
xões e aprendizagens das oficinas serão socializadas entre os colegas.
A partir do estudo sobre os conteúdos deste módulo, você poderá ser capaz
de:
• explicar e utilizar conceitos e métodos matemáticos para propor e
resolver situações-problema junto com seus estudantes;
• planejar atividades de ensino favoráveis ao desenvolvimento de
competências do raciocínio lógico-matemático;
• aperfeiçoar sua habilidade de registro escrito e domínio de estratégias
de cálculo mental para resolução de problemas envolvendo aritmética;
• aperfeiçoar sua habilidade de registro e uso de estratégias para
modelagem e resolução de problemas geométricos;
• analisar e discutir de maneira crítica os diferentes usos sociais e
significados do conhecimento matemático;
• contribuir para a compreensão da Matemática como uma linguagem
que ajuda a compreender o mundo em que o estudante está inserido;
• criar condições para que seus estudantes compreendam a importância
da Matemática na formação para a cidadania.

OS AUTORES
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora
Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática
Inclusiva.
E-mail: aida2009vita@gmail.com
Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora
Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática.
E-mail: eurivalda@hotmail.com
Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Mestre em Educação pela UFBA. Professora Assistente da UESC.
Pesquisa na área de Educação Inclusiva.
E-mail: gshora@terra.com.br
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla
Doutora em Educação Matemática pela UNICAMP. Professora
Titular da UESC. Pesquisa na área de Educação Estatística.
E-mail: icazorla@uol.com.br
Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto
Doutoranda em Difusão do Conhecimento pela Universidade
Federal da Bahia (UFBA). Mestre em Matemática pela UFBA.
Professora Assistente da UESC. Realiza pesquisa na área de
Educação Inclusiva e Divulgação e Popularização da Ciência.
E-mail: jurema@uesc.br
Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Doutor em Educação Matemática pela UFSCar. Professor Adjunto
da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática.
E-mail: marcos_neves2001@yahoo.com.br

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos
anos iniciais do Ensino Fundamental, recorremos às recomendações dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).
Assim, estruturamos a disciplina em três blocos de conteúdos conceituais
e procedimentais da Matemática, a saber: Números e Operações, Espaço e
Forma (Geometria) e Tratamento da Informação (Estatística), apresentados
em quatro unidades, com atividades que integram os conteúdos na solução
de problemas situados no contexto escolar, nos quais os estudantes tenham
uma participação ativa na construção de seus conhecimentos.

NÚMERO
E OPERAÇÕES
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
• elaborar situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento
aritmético, bem como utilizar esquemas para a resolução de situa-
ções pertencentes aos campos conceituais das estruturas aditivas;
• explorar ideias sobre os campos conceituais das estruturas aditivas,
bem como os aspectos históricos sobre os números naturais e formas
de calcular para fins de planejamento de aulas;
• discutir sobre a importância pedagógica da análise dos erros dos
estudantes ao resolverem situações-problema;
• explorar a análise de erros como estratégia pedagógica para au-
xiliar o planejamento, ação e avaliação de aulas e atividades que
promovam o desenvolvimento do pensamento aritmético.
1ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS
Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é
Matemática e isso acontece, entre tantos motivos, por lembrarem-se de
certas aprendizagens escolares, em situações nas quais, via de regra, não
conseguiram perceber as aplicações possíveis desses conhecimentos
e sua utilidade para a vida, ligando tudo isso a uma percepção de
complexidade dessa ciência.
Esta primeira percepção da complexidade da Matemática muitas
vezes nos faz perder de vista o fato de que suas ideias e formas de
pensamento mais elementares surgiram da reflexão sobre as atividades
humanas comuns do dia a dia que envolvem contagem, medição e
cálculo.
Enquanto ciência, a Matemática acumulou conhecimentos
bastante sofisticados que são estudados por cientistas; mas, se
observamos o dia a dia das pessoas a nossa volta, perceberemos que este
está repleto de ideias e formas de raciocínio que compõem a base desta
ciência. O pedreiro, a cozinheira, o vendedor, a costureira e outros
profissionais necessitam interpretar e utilizar quantidades, valores
e medidas, mesmo sem dominar os registros escritos associados aos
números.
Nesse sentido, podemos observar que, quando crianças,
nascemos em um meio onde já se elaboraram ideias sobre números
e suas funções. As residências das pessoas costumam ser numeradas;
calçados e vestimentas também; telefones e correspondências utilizam
números; as coisas têm preço; os relógios e calendários controlam
o tempo; em brincadeiras infantis são feitas contagens; enfim, antes
mesmo de alcançarmos a idade escolar, vivemos em um mundo repleto
de números e o mesmo ocorre com as ideias matemáticas sobre espaço
e forma, que são a base da geometria.
A reflexão sobre estas experiências é fundamental para uma boa
aproximação do estudante com os conteúdos da matemática escolar, de
Módulo 5 I Volume 3 15UESC
Número e Operações
1Unidade

maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode
favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e consolidação
desses saberes cotidianos relacionados à Matemática. O ato de lidar
com a noção de quantidade exige do sujeito certas competências e
habilidades, formas de raciocínio lógico, as quais são interconectadas
com o desenvolvimento do conceito de número, das relações entre os
números e suas operações.
2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO
A aprendizagem do conceito de número natural começa a
ocorrer desde os primeiros anos de vida, quando nossa mente começa
a diferenciar os objetos no mundo. Uma das habilidades mais básicas
que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em
coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a
mesma cor ou mesmo formato.
Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão
se desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação,
classificação, entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e
se articulando de modo a constituir as condições necessárias para que
as habilidades de quantificação e operação numéricas se consolidem.
Assim, aquelas atividades de classificação e seriação que
realizamos com as crianças desde a educação infantil são fundamentais
para estimular as condições necessárias à construção do conceito de
número nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Vejamos alguns exemplos de atividades baseadas em imagens
do software livre Sistema Tutorial Inteligente (ITS), desenvolvido pela
equipe do Prof. Lorenzo Moreno Ruiz, da Universidad de La Laguna,
Espanha (PEIXOTO; CAZORLA; VITA, 2011).
a) Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos,
segundo uma determinada relação. Por exemplo, na Figura 1, a
criança deve analisar qual é a constituição da série e escolher
qual será o próximo elemento:
16 EADPedagogia
Metodologia do Ensino da Matemática

Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS.
b) Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade
que nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos
em classes. Nesse processo estão as relações de pertinência e de
inclusão de classes. Na Figura 2 solicita-se que as crianças formem
dois grupos, um composto por pássaros e outro por comida.
Figura 2 - Exemplo de atividade de classificação com o software ITS.
1Unidade

c) Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos,
identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos
e os representam com seus indicadores. Por exemplo, na Figura
3, solicitar à criança que assinale em qual dos dois conjuntos há
menos borboletas.
Figura 3 - Exemplo de atividade com quantificadores com o software ITS.
Outra forma de quantificação faz referência à aplicação de
quantificadores básicos de uma coleção de objetos (todos, nenhum,
alguns, nada, pouco, [...]), como no exemplo da Figura 4.
Figura 4 - Exemplo de atividade de quantificação com o software ITS
18 EADPedagogia

d) Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico
e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, como no
exemplo da Figura 5.
Figura 5 - Exemplo de atividade com contagem com o software ITS.
e) Correspondência termo a termo: é o processo no qual são
relacionados os objetos com o que lhes é correspondente, como
no exemplo da Figura 6.
Figura 6 - Exemplo de uma atividade de correspondência com o software ITS.
1Unidade

f) Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações
associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reconhecer a
escrita numérica e a escrita na língua materna, neste caso, em
português.
Figura 7 - Exemplo de atividade de reconhecimento com o software ITS.
g) Ordinalidade: é a capacidade de definir um conjunto de valores
no qual cada valor, exceto o primeiro, tem um único antecessor,
e cada valor, exceto o último, tem um único sucessor, conforme
Figura 8.
Figura 8 - Exemplo de atividade com ordenação com o software ITS.
20 EADPedagogia

h) Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que
compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade.
Figura 9 - Exemplo de atividade com cardinalidade com o software ITS.
Quando a criança, espontaneamente ou estimulada pelo professor,
brinca de contar, de agrupar objetos pelas semelhanças, elaborando um
sistema de classificação, de comparar tamanho, largura ou altura dos
objetos, ela está construindo o conceito de número, bem como de suas
representações.
Daí, o professor dos anos (séries) iniciais deve proporcionar
situações diversificadas com materiais variados para trabalhar as relações
matemáticas, fazendo com que os alunos progridam em seu conhecimento
matemático.
Assim, a criança interage com o meio ambiente através da sua
inteligência, da sua noção de quantidade e da sua representação dos
sistemas de numeração. Inicialmente explora o local, manipulando
objetos, materiais e brinquedos, depois passa a organizá-los e, finalmente,
consegue trabalhar mentalmente com as ideias numéricas, elaborando
seu conhecimento.
É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória
do número, mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio:
classificação e seriação. Essas capacidades colaboram para percepção
dos agrupamentos de base dez que estruturam o Sistema de Numeração
1Unidade

Decimal e constituição do conceito de número natural.
A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese
coordenada e reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam
a classificação (com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único
(PIAGET, 1978).
Figura 10 – Ordem e inclusão de classe.
Fonte: Elaborado pelos autores.
A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente
agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente
esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os
constituem.
A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos
dois sistemas de classes e de relações num único sistema - o chamado
sistema dos números naturais - o qual elimina as limitações próprias dos
procedentes. As investigações a respeito da construção do número pela
criança mostram que a gênese do número engendra ao mesmo tempo os
números cardinais e os números ordinais.
Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a
uma intuição inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as
22 EADPedagogia

coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a
partir de estruturas cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam
e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de
todos os anos iniciais. A Figura 11 organiza alguns elementos importantes
neste processo.
Figura 11 – Mapa conceitual da formação do conceito de número. Fonte: Elaborado pelos autores com base nas
ideias de Kamii (1995) e Zunino (1995).

Para a construção do conceito de número nos anos iniciais,
com toda sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de
1Unidade

dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação.
Quando a criança está diante de um conjunto de elementos de igual
forma, tamanho e cor, como, por exemplo, uma coleção de tampinhas
de garrafas plásticas, ela procede automaticamente para contagem,
agrupamento, separação entre outros. Através desses movimentos, ela
pode conferir a dualidade, cardinalidade e ordinalidade, correspondência
um a um etc. Contudo, o que acontece quando precisamos quantificar
grandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, área, volume,
tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a inclusão
hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente.
Portanto é importante explicitar as nuances da formação do
conceito de número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas
não enumeráveis. Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre
o discreto (aquilo que podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo
que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997).
A Figura 12 ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo
que resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que
resulta das medidas. No caso das grandezas como comprimento, área,
massa etc., é necessária a criação de unidades de referência, que permitem
ao homem tratar essas quantidades da mesma forma.
Figura 12 – Tensões entre quantidade/qualidade, contínuo/discreto. Fonte: Elaborado pelos autores.
24 EADPedagogia

Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
(BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento
de números é construído pelo aluno quando ele trabalha com situações
em que o número aparece como instrumento na resolução de problemas
e também como objeto de estudo em si mesmo, quando observam
suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número foi
historicamente construído.
Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações
de números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve
que enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números
racionais e irracionais. Também quando se deparar com situações–
problema, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá
ampliar seu conceito de número.
O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão
dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes
entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes
tipos: exato e aproximado, mental e escrito.
Napróximaseção,apresentaremosumavisãohistóricadainvenção
do número pelo homem e do surgimento dos sistemas de numeração, em
especial do sistema de numeração decimal e as operações fundamentais.
3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE
NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
A necessidade de contar, possivelmente, começou com o
desenvolvimento das atividades humanas. Quando o homem deixou
de ser nômade para se fixar na terra, desenvolvendo a agricultura e o
pastoreio, era necessário o conhecimento do tempo, das estações do ano
e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações
de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de
calendário etc.
No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que
nossa sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito
grandes, como o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00
1Unidade

0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton
(0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de
um sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o
sistema de numeração que usamos. Esse sistema de numeração é chamado
indo-arábico ou Sistema de Numeração Decimal. Ele foi criado no século
III a.C. e é utilizado até hoje.
Para falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um
deles é compreender sua formação, fazendo um breve histórico da
contagem, passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas
características e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo
mental.
3.1 O homem aprendeu a contar
Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a
correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos,
como pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos
de marcação.
Os livros didáticos sempre ilustram a correspondência
um a um com a história de pastores contando o seu
rebanho, associando uma pedrinha a cada ovelha a ser
contada. A palavra que usamos hoje, cálculo, é deriva-
da da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm
Mas como surgiram os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 0, usados hoje? Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do
atual sistema de numeração está na utilização dos dedos da mão (Figura
13), através do estabelecimento de uma relação de correspondência um
a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada (Figura
14).
26 EADPedagogia

Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC
Figura 14 – Correspondência um a um ou biunívoca
Fonte: Ideia elaborada pelos autores baseado em Imenes (1988) / UAB-UESC.
Além dos dedos, o homem também utilizou as falanges e
articulações para contar. Segundo Ifrah (2000), uma técnica comum
praticada na China, Índia e Indochina era contar usando cada falange
como uma unidade, começando numa das mãos pela falange inferior do
dedo mindinho e terminando na falange superior do polegar (pode-se
também começar pela falange superior do anular e terminar na falange
do polegar). É possível contar de 1 a 28 com as duas mãos (Figura 15).
1Unidade

Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando,
sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte e oito falanges
de suas mãos.
Figura 15 – Técnica de contagem utilizando as falanges das duas mãos.
Fonte: modelo Ifrah (2000) - UAB/UESC.
Uma prática também muito antiga (o mais antigo método para
memorizar quantidades) e utilizada em diversas partes do mundo foi a
do entalhe. Tratava-se de pegar pedaços de madeira ou ossos, e nesses
eram feitos riscos para representar quantidades.
Figura 16 – Modelos de entalhe utilizados para registrar quantidades.Fonte: Ifrah (2000).
28 EADPedagogia

Outras práticas de contagem e registro utilizavam
cordas.
A civilização Inca nasceu aproximadamente no
início do século XII e surpreendeu a muitos por seu alto
grau de conhecimento e prosperidade, pois embora não
tivesse conhecimento da roda, nem da tração animal e nem
mesmo da escrita como é conhecida hoje, desenvolveu um
método muito prático e eficiente para contar: o cordão com
nós, denominado quipu (palavra inca que significava nó).
Este dispositivo consistia numa corda principal onde eram
atados vários cordões de diferentes cores e mais finos do
que a corda e, dessa forma, eram feitos nós nesses cordões
de diferentes tipos e a intervalos regulares para representar
os números. Os homens que cuidavam desses registros eram
chamados de quipucamayocs, que quer dizer “guardiães de
nós” (Figura 17).
Figura 17 – Quipus e quipucamayocs da civilização Inca.Fonte: Ifrah (2000).
Por exemplo, para representar o número 3.643,
faziam-se três nós na parte superior do cordão, dava-se um
intervalo e faziam-se seis nós, dava-se então outro intervalo
e faziam-se quatro nós e, finalmente, três nós na parte
inferior da corda. Era dessa forma que os incas registravam
as quantidades.
1Unidade

Os quipus também serviam de representações de calendários,
fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagens. A cor de
uma cordinha podia significar uma ideia abstrata, por exemplo, o branco
expressava a pureza, a paz ou o dinheiro; o amarelo, o ouro, o sol ou
a eternidade; o vermelho, o sangue, o fogo e a guerra. Mas a utilidade
principal era a contagem e os incas usavam a base decimal nesse processo.
O uso de cordões com nós não foi exclusivo dos incas. Em
diferentes regiões, outros povos utilizavam sistemas análogos desde a
Antiguidade.
3.2 Aperfeiçoando a contagem e o
cálculo
À medida que os cálculos foram se tornando
cada vez mais complexos, ocupar a mão ou qualquer
outro recurso não era tarefa prática e possível, em
algumas regiões. A saída para este problema, ao que
tudo indica, foi a criação do ábaco (do grego abax,
tabuleiro de areia).
Sua forma variou durante o tempo e com os
povos. Os primeiros ábacos eram pequenas bandejas
cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou
desenhos de figura. Antes e durante o Império
Romano, usaram-se frequentemente estes tabuleiros.
Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas
por um painel de madeira, pedra ou metal contendo
sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras que
representavam números. As mais antigas tábuas de
contar foram perdidas devido aos materiais perecíveis
usados na sua construção. Assim, os antigos foram
observando a necessidade de se criar tábuas portáteis
e mais duráveis do que as mais antigas. A Figura 18
apresenta alguns exemplos de ábacos utilizados por
romanos, chineses e japoneses. Mais detalhes podem
Figura 18 - Ábaco de bolso romano,
ábaco chinês (suan-pan) e ábaco japonês
(soroban).
Fontes:
1: http://andria-unisc-abaco.blogspot.
com/2009_09_01_archive.html;
2: http://www.topolewski.de/pascal/
jufo2003/image/chinesischer-abakus.gif;
3: http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/
ComputerXHistory/EarlyHistory/1956-
Soroban1170.htm
30 EADPedagogia

ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em
Nunes, Soledade e Reis (1998).
3.3 Do ábaco aos algoritmos
O surgimento do ábaco constituiu uma etapa
intermediária antes do sistema de numeração decimal
utilizado hoje; pois, por muitos anos, o homem fez seus
cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam
apenas como forma de registro e não eram utilizados para
realização de cálculos.
Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano
ao final da Idade Média, a prática das operações aritméticas,
mesmo as mais elementares, não estava ao alcance de
qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de
especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio
do uso complicado dos velhos ábacos romanos. Uma
multiplicação que hoje uma criança faz com facilidade
podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho
delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o
montante de suas receitas e despesas era obrigado a recorrer
aos serviços de um destes especialistas do cálculo.
Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado
pelos hindus e difundido pelos árabes, não visava apenas
registrar quantidades como os sistemas dos romanos e
dos gregos, mas também suprir as necessidades do cálculo.
Além disso, uma característica fundamental deste sistema é
a noção de valor posicional, que já estava presente no ábaco,
pois apenas com dez algarismos podem-se representar
infinitas quantidades. Eles criaram também um símbolo
para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que
gerou o que hoje se conhece como zero.
Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos
algarismos, podemos escrever diferentes números com um
Em 1949, Joaquim Lima de
Moraes, deficiente visual,
adaptou o Soroban para
uso de cegos, após apren-
der a técnica ensinada
por imigrantes japoneses,
abrasileirando o termo para
Sorobã. O soroban adap-
tado é composto por uma
moldura dividida por uma
linha horizontal e vinte e
um eixos verticais. É re-
vestido internamente por
uma borracha compresso-
ra, cuja função é deixar as
contas fixas; além disso,
foram adicionados pontos e
traços com a função de se-
parar as ordens, classes e
facilitar a leitura tátil.
você sabia?
Figura 19 – Soroban adaptado
comercializado pela Bengala
Branca Importação e Comér-
cio Ltda.
Fonte: Peixoto, Santana e Ca-
zorla (2006).
1Unidade

algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos
algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387.
Este sistema proporcionou um grande avanço no
desenvolvimento dos cálculos, pois facilitou operar sem
o uso do ábaco. O sistema de numeração adotado hoje
descende dele.
Mas deixar de lado o ábaco e operar com os
algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o
dia. Foi um longo processo que encontrou forte resistência
na Europa onde os símbolos arábicos eram conhecidos
como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores
ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas)
e os “algoristas” (defensores do cálculo por algarismo de
origem hindu) durou vários séculos. Apesar da vitória dos
novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era ensinado
no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos
feitos por escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só
após a Revolução Francesa (1.789), final do século XVIII, os
algarismos indo-arábicos se estabeleceram, ficando evidente
o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental.
3.4 Consolidação do Sistema de Numeração
Decimal (SND)
O grande avanço dado com a criação do sistema
decimal com algarismos arábicos foi a transposição de um
contexto concreto, e necessariamente finito, representado
pelo ábaco, para uma representação com símbolos escritos.
Foi, sem dúvida, um passo importante que possibilitou
representar e operar com quantidades quaisquer, mas que
só foi possível depois de séculos de emprego difundido do
ábaco pelos homens (CARDOSO, 1992).
Assim, podemos observar que o sistema de
numeração que hoje utilizamos surgiu por meio de um
Al Khawarizmi, matemático
muçulmano do século IX,
foi um dos responsáveis
pela divulgação do sistema
de numeração indo-arábico
na Europa. Seus trabalhos
de aritmética, álgebra e
geometria influenciaram o
Ocidente e deles surgiram
termos como algoritmo e
algarismo. Leonardo de
Pisa, matemático italiano
conhecido como Fibonac-
ci, também exerceu forte
influência para a aceitação
destes novos métodos de
cálculo quando escreveu,
em 1202, um tratado cha-
mado Líber Abaci (Tratado
do ábaco), que contradito-
riamente ao título ensinava
métodos e processos de
cálculo através dos nume-
rais indo-arábicos.
Fonte: Ifrah (2000).
Maiores detalhes recomen-
damos a leitura de Ifrah
(2000) e Boyer (1996).
você sabia?
leitura recomendada
32 EADPedagogia

longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio
onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco constituiu uma etapa
intermediária antes de surgir o SND utilizado hoje, pois, por muitos anos,
o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos
serviam apenas como forma de registro, mas esses não eram utilizados
para a realização de cálculos.
4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL (SND)
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras
utilizado para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas
permitem operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados
consistentes. O SND usado atualmente tem características peculiares:
• é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições,
assume diferentes valores: 123 é diferente de 321;
• as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso
dizemos que a base é dez), dez unidades formam uma dezena,
dez dezenas formam uma centena e assim por diante;
• o símbolo zero representa a ausência de quantidade;
• é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em
564, recorremos a uma multiplicação 5 x 100, 6 x 10 e 4 x 1;
• é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4;
usa dez símbolos para representar qualquer quantidade.
4.1 O valor posicional, ordens e classes
No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
denominados de algarismos, para representar as quantidades. Também
agrupamos de 10 em 10 para fazer contagens. O princípio posicional
permite representar diversas quantidades, utilizando apenas 10 símbolos.
Para compreender melhor o conceito de número e facilitar
sua leitura, eles são separados em ordens e classes. A cada algarismo
1Unidade

corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7
ordens e 3 classes.
1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, quatrocentos e
cinquenta e seis unidades).
1 2 2 3 4 5 6
1ª ordem: 6 unidades
2ª ordem: 5 dezenas
3ª ordem: 4 centenas
4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades
5ª ordem: 2 dezenas de milhar = 20 000 unidades
6ª ordem: 2 centenas de milhar = 200 000 unidades
7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades
O quadro a seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456
e a organização das ordens e classes, até a 3ª classe.
3ª classe: milhões 2ª classe: milhares 1ª classe: unidades simples
9ª
ordem:
8ª
ordem:
7ª ordem:
6ª
ordem:
5ª
ordem
4ª
ordem:
3ª
ordem:
2ª
ordem:
1ª
ordem:
centena
de
milhão
dezena
de
milhão
unidade
de milhão
centena
de
milhar
dezena
de
milhar
unidade
de
milhar
centena
simples
dezena
simples
unidade
simples
1 2 2 3 4 5 6
1.000.000 200.000 20.000 3.000 400 50 6
4.2 Valor relativo e valor absoluto
A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração
está relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto
dos algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo
7 ocupa três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e
700.
34 EADPedagogia

Centena Dezena Unidade
Número 7 7 7
Valor relativo do 7 700 70 7
7 7 unidades 7 unidades
7 0 7 dezenas 70 unidades
7 0 0 7 centenas 700 unidades
7 7 7
O quadro a seguir é conheci-
do pelos professores das séries
iniciais do Ensino Fundamen-
tal como QVL (Quadro Valor de
Lugar). Geralmente, utilizam as
quatro primeiras ordens: unida-
de, dezena, centena e unidade
de milhar, o que possibilita ex-
plorar os agrupamentos e trocas
de uma ordem para outra.
4.3 Por que ensinar o sistema de numeração às crianças?
Para Nunes et al. (2005), a resposta está no fato de que sem
um sistema de numeração é impossível trabalhar com quantidades.
Os sistemas de numeração permitem registrar quantidades de maneira
mais exata do que a percepção, bem como permite lembrar quantidades
quando necessário. Os sistemas de numeração ampliam a capacidade de
raciocinar sobre quantidades, logo são necessários para que os alunos
venham desenvolver sua inteligência no âmbito da matemática, usando
instrumentos que a sociedade lhes oferece.
Entretanto as autoras enfatizam que ensinar os sistemas de
numeração tem apresentado vários obstáculos, principalmente na relação
entre o desenvolvimento da criança e a complexidade da representação
numérica usando um sistema de numeração, pois há uma ideia
Figura 20 – Quadro Valor de Lugar (QVL).
Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_7HGlxI3gfRk/SMUj1sdtysI/
AAAAAAAAAdk/-e1VfhoX_Ic/s1600-h/1.JPG
você sabia?
1Unidade

especialmente complexa, a da composição aditiva, que a
criança precisa compreender.
As atividades de contagem mais comuns entre
crianças consistem em contar objetos, estabelecendo uma
correspondência um a um entre um objeto e um rótulo
numérico que o designa. A compreensão do sistema
numérico decimal requer mais do que a simples contagem
de elementos; requer lidar simultaneamente com o valor
absoluto e o valor relativo dos números. Essa habilidade está
ausente na contagem de objetos (SPINILLO, 1994).
Ou seja, os números não são apenas uma sequência
de palavras, como uma lista de compras, na qual um item
não tem relação com o outro. Na sequência de números,
cada item é igual ao anterior mais 1; 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1,
4 = 3 + 1 etc. E cada número pode ser composto através
da soma de dois números que o precedem: 7 = 6 + 1 ou
5 + 2 ou 4 + 3. Portanto a sequência numérica supõe uma
organização, denominada composição aditiva.
Além disso, este sistema tem uma organização de
natureza multiplicativa: 20 indica 2 dezenas ou 2 x 10; 30 =
3 x 10; 40 = 4 x 10. Essa organização multiplicativa significa
que as unidades contadas podem ter valores diferentes:
podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades
de milhar etc. Assim, para que uma criança compreenda
o SND, ela precisa compreender a ideia de que existem
unidades de valores diferentes no sistema e que as unidades
podem ser somadas formando uma quantia única (NUNES
et al, 2005).
5 COMO OPERAMOS COM ALGORITMOS?
Algoritmo, segundo Pais (2006), é um dispositivo
utilizado para a resolução de situações-problema com
a intenção de simplificar o cálculo. Ou, simplesmente,
Embora crianças menores
sejam capazes de contar
objetos usando a sequên-
cia numérica, é a partir dos
6 anos que a maioria das
crianças resolve problemas
de contagem de dinheiro
no mercadinho; porém,
mesmo em crianças de 7
anos, podem-se observar
dificuldades na compreen-
são da composição aditiva
(NUNES et al, 2005).
Neste contexto, o papel
do professor é promover
a aprendizagem das ideias
matemáticas envolvidas
no SND, propondo ativida-
des diversas (com material
concreto, fichas, gudes,
com dinheiro em situações
de compras etc.)
Exemplo: a contagem de
dinheiro com notas de di-
ferentes valores promove a
compreensão da composi-
ção aditiva.
atenção
36 EADPedagogia

um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de
instruções, para obter uma solução para certo tipo de
problema.
Por exemplo, quando queremos fazer um bolo,
seguimos uma receita com uma série de etapas, tais como:
primeiro bata bem o açúcar, a manteiga e os ovos, em seguida
acrescente a farinha, o leite e o fermento e coloque no forno
por 30 minutos. Esta sequência de etapas, que faz parte de
uma instrução a ser seguida, é um algoritmo.
Na aritmética, você conhece os algoritmos (contas)
usuais das quatro operações fundamentais.
5.1 Cálculo mental e algoritmos
Muitas vezes nos deparamos com pessoas que fazem
conta de cabeça, sendo que algumas delas não foram sequer
escolarizadas. Essas pessoas aprenderam na vida prática,
como por exemplo, no comércio, nas transações bancárias
etc., propriedades e estratégias matemáticas, devido às
necessidades impostas pelas atividades que desempenham.
Assim, devem realizar cálculos rapidamente e tomar
decisões.
Estas experiências são importantes e devem ser
levadas em consideração na sala de aula; pois, quando isto
acontece, aproveita-se a oportunidade para fazer a interação
entre o conhecimento matemático informal e o formal
organizado, explicitar conhecimentos implícitos, desvelar
propriedades e relações.
Alguns alunos fazem cálculos de cabeça porque
foram estimulados de alguma forma para isso, outros têm
mais dificuldade. Mas o professor deve prover os meios
para que seu aluno utilize o cálculo mental, utilizando as
propriedades das operações.
Algoritmo
é o processo de cálculo, ou
de resolução de um grupo
de problemas semelhan-
tes, em que se estipulam,
com generalidades e sem
restrições, regras formais
para obtenção do resulta-
do ou da solução de um
problema (Novo dicionário
Aurélio, 1ª edição, Editora
Nova Fronteira).
1Unidade

Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental:
1) Comutativa:
Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma
3 + 9 = 9 + 3 = 12
Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto:
3 x 4 = 4 x 3 = 12
Genericamente: se a e b representam números naturais, então:
a + b = b + a e a x b = b x a
2) Associativa:
Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a
soma não se altera
(1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 10
1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10,
logo (1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6)
Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os
fatores, o produto não se altera
(3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60
3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60
Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números
naturais, então
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
3) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
e à subtração
3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 3
3 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3
Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale:
a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b – c) = a x b – a x c
4) Distributiva da adição em relação à divisão
(70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25
Genericamente: se a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale:
(a+b) : c = a:c + b:c
38 EADPedagogia

5.2 Algumas estratégias de cálculo mental
Na soma, podemos:
Resolver uma soma: 34 + 25:
a) Primeiro decompomos o 34 = 30 + 4
e o 25 = 20 + 5;
b) Depois comutamos;
c) Em seguida associamos;
d) Por fim somamos, obtendo o resultado 59.
34 + 25=
(30 + 4) + (20 + 5) =
(30 + 20) + (4 + 5) =
50 + 9 =
59
Na subtração, podemos:
a) Resolver uma subtração fazendo uma adição.
Por exemplo: 34 – 25
25 para 30 = 5
30 para 34 = 4
5 + 4 = 9
b) Arredondar e fazer a compensação. Por
exemplo: 62-38
62 – 38 =
(62 – 40) + 2 =
2 + 2 = 24
c) Decompor o subtraendo (valor que será
subtraído). Por exemplo: 23 – 18
23 – 18=
(23–10) – 8=
13 – 8 = 5
d) Alterar o minuendo para evitar o “empresta
um”. Por exemplo: 500 - 365
500 – 365
(499 – 365) + 1 =
134 + 1 = 135
e) Agrupar as parcelas em unidades, dezenas e
centenas. Por exemplo: 29 - 15
29 – 15 =
(20 – 10) + (9 – 5) =
10 + 4 = 14
1Unidade

Na multiplicação, podemos:
a) Decompor um dos fatores e usar a
propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15
7 x 15 =
(7 x 10) + (7 x 5) =
70 + 35 = 105
b) Utilizar a propriedade distributiva da
multiplicação em relação a soma. Por
exemplo: 32 x 5
(30 + 2) x 5 =
30 x 5 + 2 x 5 =
150 + 10 = 160
Na divisão, podemos:
a) Fazer simplificações sucessivas. Por exemplo:
512 : 32
512 : 32 =
256 : 16 =
128 : 8 =
64 : 4 =
32 : 2 =
16
b) Decompor e utilizar a propriedade distributiva.
Por exemplo: 75 : 5
75 : 5 = (70 + 5) : 5 =
70 : 5 + 5 : 5 =
24 + 1 = 25
As habilidades para fazer estimativas e cálculo mental dão
autoconfiança aos alunos e os tornam mais autônomos, permitindo que
avaliem as situações e tomem decisões quanto à importância do cálculo
exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em relação aos procedimentos sobre
números e operações no primeiro ciclo, enfatizam a necessidade da
[...] utilização da decomposição das escritas numéricas
para a realização do cálculo mental exato e aproxima-
do. Cálculos de adição e subtração por meio de estra-
tégias pessoais e algumas técnicas convencionais. Cál-
: 2
: 2
: 2
: 2
40 EADPedagogia

culos de multiplicação e divisão por meio
de estratégias pessoais. Utilização de es-
timativas para avaliar a adequação de um
resultado e uso de calculadora para desen-
volvimento de estratégias de verificação e
controle de cálculos (BRASIL, 2000, p. 72,
grifo nosso).
E, no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo
mental, acrescentando operações com racionais na forma
decimal.
5.3 Algoritmos e operações: um olhar
diferenciado
Nosso objetivo, nesta etapa, é o de mostrar maneiras
diferentes de realizar as operações, sempre que possível,
relacionando os algoritmos com o sistema de numeração
decimal.
a) Adição
A técnica operatória ou algoritmo da adição sugere
que se escrevam as parcelas uma abaixo da outra e que se
adicione da direita para a esquerda. Vocês já pensaram por
que se faz isto? Será que poderíamos começar da esquerda
para a direita?
A técnica do “vai um” (Adição com reserva)
Esta técnica é utilizada com o objetivo de facilitar a
Recomendamos ler
os livros de Carraher;
Carraher; Schliemann
(2003) e Kamii; Declark
(1995), constantes nas
referências.
Algoritmo Operações Realizadas
2 5 3 1 = 2000 + 500 + 30 + 1
+ 4 2 6 7 = 4000 + 200 + 60 + 7
6 7 9 8 2000 + 500 + 30 + 1
leitura recomendada
1Unidade

interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos
exemplificar esta técnica utilizando a soma das parcelas 3.456 e 1.795.
A compreensão desta técnica usual de fazer adição exige a
compreensão do sistema de numeração decimal. Sem compreender o que
significa os símbolos 3456 e 1795 é impossível entender o processo do “vai
um”. Ele se apoia na ideia de agrupamento.
É comum na adição com reserva (ou transporte) dizermos “vai
um”. Na verdade, o transporte é de uma dezena, uma centena etc. Para
compreender melhor a técnica do “vai um”, vamos efetuar a adição de 1.345
+ 1.487 (CENTURION, 1994, p. 157).
3 4 5 6
+ 7 9 5
1
5 2 5 1
6 + 5 = 11 = 10 + 1,fica uma unidade, vai uma dezena
1 + 5 + 9 = 15 dezenas = 1 centena e 5 dezenas, vai uma centena
1 + 4 + 7 = 12 centenas = 1 milhar e 2 centenas, vai um milhar
1 + 3 + 1 = 5 milhares
1 1
1 3 4 5
+ 1 4 8 7
8 2 3 2
Algoritmo Operações realizadas
2000 + 700 + 100 + 20 + 10 + 2
2000 + 800 + 30 + 2
2832
1000 + 300 + 40 + 5
1000 + 400 + 80 + 7
2000 + 700 + 120 + 12
10 + 2
100 + 20
800 30
Agrupamos uma dezena
e uma centena
Aplicamos a proprie-
dade associativa da
adição.
Escrevemos o número
no sistema posicional de
numeração, onde valem
os princípios aditivo e
multiplicativo.
42 EADPedagogia

b) Subtração
Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com
a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair. Vamos
compreender o processo da subtração utilizando o ábaco. Começamos por
um exemplo simples, subtraindo 142 de 563:
Representamos o número 563 no ábaco. A seguir, das três unidades
subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1. É
importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e
o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração.
A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso
sistema numérico. Agora vamos subtrair 431 de 725:
a) Representamos o 725 no ábaco: b) A seguir, das 5 unidades subtraímos 1:
c) Na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3 por
isso desagrupamos uma centena, convertendo-a em dez dezenas:
5 6 3 5 6 3
1 4 2
5 6 3
-1 4 2
4 2 1
No algoritmo
7 2 5
4 3 1
-
7 2 5
4 3 1
-
4
7 2 5
4 3 1
1
-
4
6
1Unidade

d) Agora, na casa das dezenas, temos
12 bolinhas e podemos retirar 3;
e) Finalmente, das 6 centenas
retiramos 4 e obtemos 294.
6 O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO
Geralmente, trabalhamos na escola com as operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão sem fazer maiores relações com os
problemas matemáticos que envolvem tais operações. O pesquisador
francês Gérard Vergnaud estudou essas operações de modo a trabalhar os
conceitos envolvidos nos problemas matemáticos e relacionados com tais
operações.
Esse pesquisador desenvolveu a Teoria dos Campos Conceituais
(TCC) que é uma “teoria cognitivista que [...] tem uma forte herança
da teoria de Piaget e, também, alguns pontos da teoria de Vygotsky”
(SANTANA, 2010, p. 24).
Para Vergnaud (1982, 1996), o Campo Conceitual das Estruturas
Aditivas, ou de maneira mais simples, o Campo Aditivo é, ao mesmo tempo,
o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou
subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permite analisar essas
situações como tarefas matemáticas. O Campo Conceitual das Estruturas
Multiplicativas ou o Campo Multiplicativo é definido no mesmo sentido do
aditivo sendo que as operações são as de multiplicação e divisão.
Antes de estudar sobre a classificação das situações-problema de aditivas, elabore seis situa-
ções-problema de adição e/ou subtração. Siga o estilo dos que geralmente você trabalha em
sua sala de aula. Essa atividade deverá ser postada.
A atividade tem por objetivo mapear as categorias que você utiliza na sua prática pedagógi-
ca. Ao final desta unidade, retome as situações-problema que você elaborou e verifique se
trabalha com todas as categorias.
sugestão de atividade
7 2 5
4 3 1
1
-
9 4
6
7 2 5
4 3 1
1
-
6
2 9 4
44 EADPedagogia

Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de
subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade, elas
fazem parte de um mesmo Campo Conceitual, o das Estruturas Aditivas,
ou seja, essas operações apresentam relações, propriedades, dificuldades
e contextos que as fazem pertencer a um mesmo universo de estudo.
Nós, enquanto pesquisadores, procuramos caracterizar esse
Campo Conceitual, tecendo considerações a respeito dos diferentes
tipos de situações-problema que envolvem, especificamente, a adição
e a subtração. Neste texto, adotamos os termos situação-problema e
situação como sinônimos. Usamos as duas formas para nos referirmos
aos problemas matemáticos em questão.
Como colocamos anteriormente, para a Teoria dos Campos
Conceituais (TCC), o Campo Aditivo é compreendido como o conjunto
das situações-problema cujo tratamento implica uma ou várias adições
ou subtrações, bem como o conjunto dos conceitos e teoremas que
permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. Além disso,
as situações são classificadas em seis categorias. De acordo com Magina
(2001), tal classificação foi feita baseada em relações matemáticas e
nas relações psicológicas que a criança precisa fazer para compreender
as situações. Colocamos a seguir seis categorias de situação-problema
aditiva, que foram inicialmente definidas por Vergnaud (1982), e que
foram redefinidas por Santana (2010). Tal classificação consiste nas
seguintes categorias:
a) composição;
b) transformação;
c) comparação;
d) composição de várias transformações;
e) transformação de uma relação; e
f) composição de relações.
Para que você possa entender a que estamos nos referindo,
na sequência apresentamos as definições e exemplos de cada uma das
categorias.
1Unidade

a) Composição: são situações que apresentam partes e um todo.
Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem bombons
de chocolate e na segunda tem bombons de morango. Veja, abaixo, um
desenho das caixas de bombons de Lia.
Quantos bombons Lia tem ao todo?
Segundo a TCC, podemos trabalhar com diagramas que facilitam
a compreensão da situação. Observe como fica o diagrama para o exemplo
1:
O diagrama indica as partes que se juntam para determinar o todo.
Neste exemplo, as partes são os seis bombons de chocolate e quatro de
morango, que vão compor ao todo dez bombons.
b) Transformação: nessa categoria são classificadas as situações que têm
um estado inicial, uma transformação e um estado final.
Primeira caixa
Bombons de chocolate
Segunda caixa
Bombons de morango
Composição
Parte 6
+ ? Todo
Parte 4
46 EADPedagogia

Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00.
Com quantos reais Maria ficou?
Para a categoria transformação, o diagrama tem o formato que
aparece a seguir, colocado no contexto do exemplo 2:
Observe que o diagrama evidencia um estado inicial que passa por
uma transformação para chegar a outro estado que chamamos de final. Na
categoria transformação, sempre ocorre uma mudança num determinado
tempo. No exemplo 2, o estado inicial é R$ 12,00, e a transformação
negativa é R$ 4,00, e o estado final (quantidade de reais que Maria ficou)
será R$ 8,00.
c) Comparação: nessa categoria, são classificadas as situações nas quais
é estabelecida uma relação entre duas quantidades, uma denominada
de referente e a outra de referido.
Exemplo 3: Observe o desenho abaixo e responda: Quantos anos tem
Carlos?
Transformação
Estado inicial
12
-4
?
Estado final
1Unidade

Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no
contexto do exemplo 3:
Observe que o diagrama da comparação indica uma relação entre
referente e referido. Na categoria comparação, sempre é feita uma relação
entre duas quantidades. Neste exemplo, a idade de Taís é de 5 anos
(referente), Carlos tem 7 anos a mais que Tais (relação), dessa forma,
Carlos tem 12 anos (referido).
d) Composição de várias transformações: são situações nas quais são
dadas transformações e se busca uma nova transformação a partir da
composição das transformações dadas.
Exemplo 4: Marta saiu de casa, gastou R$ 7,00 para almoçar e depois
gastou R$ 5,00 para jantar. Quanto Marta gastou ao todo?
Para a categoria composição de várias transformações, o diagrama
fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama, usamos o
exemplo 4:
Comparação
Referente 6
Relação+7
?Referido
Composição de várias transformações
Transformação -7
+
-5Transformação
? Transformação
48 EADPedagogia

Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para
dar lugar a uma única transformação, sendo que a transformação é o gasto
de R$ 7,00, a outra transformação é o gasto de R$ 5,00 e a transformação
resultante ou única é de R$ 12,00.
e) Transformação de uma relação: são situações nas quais é dada uma
relação, e se busca uma nova, que é gerada a partir da transformação
da relação dada.
Exemplo 5: Saulo devia R$ 8,00 a Glebson, pagou R$ 5,00. Quanto ele
deve agora?
Para a categoria transformação de uma relação, o diagrama fica no
formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama usamos o exemplo
5:
Neste exemplo, é dada uma relação e uma transformação que
ocorreu nessa relação gerando uma nova relação. A primeira relação
estabelecida entre Saulo e Glebson é um débito de R$ 8,00, ocorrendo
uma transformação com o pagamento de R$ 5,00, ficando a nova relação
de débito no valor de R$ 3,00.
f) Composição de relações: duas ou mais relações se compõem para dar
lugar a outra relação.
Exemplo 6: Observe a imagem a seguir e responda: Quantas figurinhas
Ana deve ao todo?
Transformação de uma relação
Relação
-8
+5
?
Relação
1Unidade

Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no
formato apresentado a seguir, para fazer esse diagrama usamos o exemplo
6:
Neste exemplo, são dadas três relações que se compõem para dar
lugar a uma outra relação. A primeira relação é um débito de 4 figurinhas,
a segunda relação é um débito de 3 figurinhas e a terceira, um débito de
6 figurinhas. Ao compor essas relações tem-se no total um débito de 12
figurinhas.
É possível observar que, nessas seis categorias, podem ser
trabalhadas as operações de adição e/ou subtração, bem como conceitos
Composição de relações
Relação -4
+
? Relação
+
-3Relação
-6Relação
50 EADPedagogia

inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles
em cada tipo de situação.
Quadro 1 - Alguns conceitos envolvidos nas categorias de situações-problema
Categorias de situações Conceitos
Composição Compor, juntar, parcela, total
Transformação
Transformação de medida,
transformação temporal
Comparação Comparar, relação entre medidas
Composição de várias
transformações
Composição de medidas,
transformação total
Transformação de uma relação Transformação de relação
Composição de relações Composição de relações
Fonte: construção dos autores.
Fique por dentro.
Análise da qualidade das aprendizagens relacionadas ao campo aditivo
No ano de 2009, realizamos, no estado da Bahia, um estudo diagnóstico com 5807
estudantes do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Pesquisamos sobre o Campo
Aditivo, com a finalidade de repensar as condições de ensino, de maneira que se
torne mais acessível à compreensão da criança. Assim, desenvolvemos uma pesquisa
que denominamos de PEA (Pesquisa das Estruturas Aditivas) e trabalhamos em oito
regiões distintas do Estado. Os resultados gerais revelam um quadro preocupante,
em relação ao domínio desse Campo Conceitual pelos estudantes. Vejam os gráficos
a seguir que indicam o desempenho geral dos estudantes de cada ano escolar em
cinco categorias.
Observe, na Figura 21, que os estudantes de todos os anos escolares apresentam
melhores desempenhos nas situações de composição (C) e transformação de uma
relação (TR), seguida pela transformação (T). Uma possível explicação para esse de-
sempenho pode ser encontrado em Santos (2006). Essa autora realizou uma análise
de livros didáticos utilizados nos anos iniciais do Ensino Fundamental de escolas pú-
blicas de municípios do Sul da Bahia. Dentre seus principais resultados concluiu que
as situações-problema mais abordadas pelos livros didáticos são as de composição,
sendo que a maior parte dos livros adotados nem chegam a abordar as situações
de transformação e de comparação. Acreditamos que o livro seja o maior apoio do
professor e dessa forma tem influência direta em seu trabalho, o que justificaria o
melhor desempenho dos estudantes na categoria composição. Contudo, outros es-
tudos podem ser realizados para se identificar os reais fatores que influenciam esse
desempenho dos estudantes.
1Unidade

Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos.
Legenda: C= composição; T= transformação; CP = comparação; TR = transformação de uma relação; CT
= composição de várias transformações.
Na Região Sul da Bahia, coletamos dados em nove municípios envolvendo 969 es-
tudantes, sendo 212 do 2º ano; 233 do 3º ano; 263 do 4º ano e 261 do 5º ano. A
Figura 22 mostra o desempenho geral por ano escolar. Observa-se que nenhum dos
anos escolares alcançou a média 50% de acerto.
52 EADPedagogia

Figura 22 - Desempenho geral por ano escolar dos estudantes do Sul da Bahia.
Esses resultados se referem às respostas dadas pelos estudantes num teste compos-
to por 18 situações-problemas de adição e de subtração que envolvem as categorias
apresentadas acima, e essas situações são similares às que colocamos como exemplo
para cada uma das categorias.
Diante desse contexto é possível afirmar que os resultados trazem indícios de que
se faz necessário planejar ações que visem sanar possíveis dificuldades que estejam
ocorrendo no ensino e também na aprendizagem do Campo Aditivo. Baseados nesses
e em outros estudos, bem como no trabalho que estamos desenvolvendo com profes-
sores dos anos iniciais da Região Sul da Bahia, colocamos a seguir algumas sugestões
para o trabalho com essas operações.
Fonte: Santana (2010).
7 OS ERROS COMO PONTO DE PARTIDA PARA A
APRENDIZAGEM
7.1 O papel do erro no processo de aprendizagem
Muitasvezes,abordamosoerrodoestudante,numacertaatividade,
como um fator de punição, ou seja, se o estudante erra, apontamos como
aquele que não aprende, não tem atenção, tem dificuldades, não tem
base. Contudo precisamos analisar os erros e usá-los como ferramenta de
aprendizagem. Cury (2007) defende a ideia de que a análise de erros pode
ser uma metodologia de ensino. Para a autora isso pode acontecer quando
essa análise leva os estudantes a questionarem as suas próprias soluções
1Unidade

e, mais do que isso, conduzi-los a uma aprendizagem. Defendemos a
mesma ideia da autora.
Santana (2010) aponta erros cometidos pelos estudantes dos anos
iniciais ao resolver situações-problema aditivas. A autora coloca que
dentre os possíveis erros cometidos por esses estudantes, podemos ter:
alguns ligados ao cálculo numérico que são os relacionados às operações
a serem realizadas; e os erros ligados ao cálculo relacional que são aqueles
atrelados às relações de pensamento que os estudantes precisam fazer
para a compreensão da situação-problema. Vejamos alguns exemplos.
7.2 Erro no cálculo numérico
A Figura 23 a seguir traz um exemplo de erro ao armar a operação.
Figura 23 - Exemplo de erro ao armar a operação. Fonte: acervo de pesquisa dos autores.
Observe que o estudante escolheu a operação correta, o que nos
leva a pensar que ele compreende as relações que compõem a estrutura
da situação apresentada. Contudo ele ainda não compreende as regras
do sistema de numeração decimal e as do algoritmo da subtração. O
professor, enquanto mediador, poderá conduzir o estudante a refletir
sobre a maneira como ele registrou a operação e sobre as impossibilidades
de retirar 13 de 9, ou seja, o valor maior (13) ser retirado do menor (9),
além de a unidade ter sido colocada como dezena.
A Figura 24 a seguir apresenta a resolução feita por outro estudante
para a mesma situação (mudança apenas nos nomes).
Problema 13. Roger tem R$ 9,00. Everton tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a
menos?
Ele tem 8 reais
RespostaResolução
- 9
13

8
54 EADPedagogia

Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação.
Observe que o estudante parece compreender as relações que
compõem o problema, mas ele erra ao efetuar a operação. O professor
pode trabalhar o erro com esse estudante, levando-o a refletir sobre o
resultado apresentado. Uma maneira de levar o estudante a uma reflexão
é pedir a ele que adicione R$5,00 a R$9,00. Fazendo isso, o estudante
poderá encontrar o valor que Cláudio possui. Contudo, se o estudante
faz tal operação, pode perceber que a sua subtração está incorreta.
7.3 Erro no cálculo relacional
A Figura 25 traz um exemplo de erro no cálculo relacional. O
estudante trocou a operação, isto é, ao invés de adicionar ele subtraiu.
Figura 25 – Exemplo de erro no cálculo relacional.
Observe que o estudante não compreende que Igor tem mais
Igor tem 4 balões a mais que ela. Quantos balões tem Igor?
Igor tem 5 baloes
RespostaResolução
9
-4
5
Problema 5. Bruna e Igor têm balões. Veja o desenho abaixo.
Os balões de Bruna.
Problema 13. Leila tem R$ 9,00. Cláudio tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a menos?
Leila tem menos
que Claudio 5 reais
RespostaResolução
13
- 9
05
1
3
1Unidade

balões que Bruna. Num exemplo como esse, o professor pode conduzir o
estudante à reflexão através da interpretação da situação-problema. Se o
estudante compreende que Igor tem mais balões, ele poderá compreender
que 5 balões são menos que 9, e assim poderá verificar que a operação
correta é a adição.
Outro procedimento com o uso da operação inversa, que ocorre
com frequência, é quando esse uso vem atrelado ao uso de palavras-dica
que fazem parte do enunciado da situação. Os estudantes costumam
fazer associações como: se tem “ganhar” é de mais; se tem “perder” é de
menos.
A Figura 26 a seguir apresenta um exemplo do possível uso da
palavra-dica. Observe que o estudante adicionou ao invés de subtrair.
Acreditamos que o estudante possa ter escolhido a operação inversa
influenciado pela presença da palavra “mais”. Essa nossa afirmativa é
decorrente das entrevistas realizadas com os estudantes.
Figura 26 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
A Figura 27, a seguir, apresenta outro procedimento com erro
no cálculo relacional. Observe que o estudante não registrou nenhuma
Mário tem 5 carrinhos a mais que Pedro.
Quantos carrinhos tem Pedro?
Pedro tem
13 carrinhos.
RespostaResolução
8
+5
13
3º) Mário e Pedro têm carrinhos de brinquedo.
Veja na ilustração os carrinhos de Mário.
Carrinhos de Mário
56 EADPedagogia

operação. Ele colocou o total de gudes de Artur como resposta. Esse tipo
de procedimento inviabiliza uma análise mais profunda das relações que
o estudante possa ter feito para colocar essa resposta. Diante desse tipo
de procedimento, o professor precisa questionar o estudante para que ele
possa expor a compreensão que teve da situação e só assim o professor
poderá intervir de maneira a alcançar a aprendizagem do estudante.
Figura 27 - Erro no cálculo relacional com repetição do enunciado.
Por fim, deixamos para o professor alguns pontos para a sua
reflexão:
• precisamos analisar o ensino dos conceitos aditivos, pois eles
ultrapassam o algoritmo da adição e da subtração e chegam
a conceitos como compor, transformar, comparar, dentre
outros;
• o ensino de resolução de situações-problema precisa ser
iniciado com a interpretação das mesmas. O papel do
professor tangencia a mediação entre a situação colocada e a
interpretação que o estudante deve fazer. Com a compreensão
da situação fica mais fácil escolher a operação a ser realizada;
• o uso de situações desafiadoras e que sejam ligadas ao cotidiano
do estudante o faz ter maior interesse em interpretar e resolver,
isto é, o estudante se envolve e se concentra mais quando a
situação desperta o seu interesse.
Sabendo que Artur tem 6 gudes a mais que Everton. Com quantas gudes ficou Everton?
14
RespostaResolução
Problema 8. Artur e Everton participaram de um jogo de gudes. No final do jogo, Artur ficou com as
gudes que estão desenhadas abaixo.
As gudes que ficaram com Artur
1Unidade

7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração
• Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação
a ser realizada. Evite responder ou incentivar a colocação de
perguntas como: “é de mais ou de menos?”; “é para somar ou para
diminuir?”. Ao fazer essa pergunta, o estudante busca apenas fazer
uma “conta” sem entender o contexto da situação apresentada.
• Incentive o estudante a responder a situação e compreender se a
resposta dada é coerente com o que foi solicitado na situação.
• Diversifique as situações apresentadas para os estudantes, usando
situações que tenham, por exemplo: opções de escolha; contextos
diferentes; figuras, e que as informações que essas figuras trazem
precisem ser utilizadas dentro da resolução; e que as situações
sejam próximas da realidade do estudante.
• Busque trabalhar com as seis categorias de situações-problema
aditivas. Esse tipo de trabalho favorece o desenvolvimento das
habilidades do estudante no que se refere às operações de adição
e subtração.
Finalmente, disponibilizamos os nossos endereços eletrônicos
para que o professor possa entrar em contato com nossa equipe, seja
para esclarecer suas dúvidas, nos apresentar sugestões, discutirmos sobre
pontos apresentados aqui, ou ainda para se integrar a equipe do PEA.
Também, nos colocamos à disposição para discutirmos pontos sobre o
ensino e a aprendizagem de outros conteúdos matemáticos.
58 EADPedagogia

ATIVIDADES
1) O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2
(quilômetros
quadrados).
a) Quantos algarismos tem esse número? ________________
b) Quantas classes tem esse número? ____________________
c) Qual o algarismo da centena simples? ____________________
d) Qual o algarismo da unidade de milhar? ___________________
e) Qual o algarismo da centena de milhar?___________________
f) Qual o valor posicional do algarismo da dezena de milhar?
_________________________
g) Qual o valor absoluto do algarismo de dezena simples?
_________________________
h) Escreva este número por extenso: ______________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
2) Pesquise os sistemas de numeração das civilizações egípcia, romana
e mesopotâmica. Depois, descreva suas características, comparando
suas semelhanças e diferenças.
3) Quais dos aspectos históricos abordados sobre os números naturais
vocêlevariaparaasaladeauladosanosiniciaisdoEnsinoFundamental?
Que abordagem metodológica você utilizaria para trabalhá-los com
os alunos?
4) Observe as figuras a seguir que corresponde a resposta dada por um
estudante do 3º ano do Ensino Fundamental ao resolver uma situação
aditiva que envolve conceitos de transformação.
ATIVIDADES
1Unidade

Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
a) Como você trabalharia esse erro com seu aluno?
b) Você diria que o estudante respondeu corretamente a situação
abaixo? Como você trabalharia com o estudante as diferenças
entre o algoritmo e a resposta dada?
Figura 29 - Exemplo de erro lógico.
5) Classifique as situações a seguir conforme a Teoria dos Campos
Conceituais e resolva-as, utilizando os diagramas de Vergnaud.
a) Geovana recebeu, na 1ª quinzena de janeiro, 478 mensagens no
Orkut e na 2ª quinzena, 699. Qual o total de mensagens recebidas
por Geovana durante todo o mês de janeiro?
b) Josivan tinha 118 cadernos. Ganhou alguns e agora tem 205.
Quantos cadernos ele ganhou?
Problema 10. No final do jogo de gude, Paulo ficou com 14 gudes. Sabendo que Paulo tem 6 gudes
a mais que Jonas. Com quantas gudes ficou Jonas?
8 gudes Jonas ficou.
RespostaResolução
3
+5
8
Problema 3. Carine tinha sorvetes em seu isopor. Sua prima tomou alguns dos sorvetes de Carine.
Veja o desenho.
Sorvetes que Carine tinha. Sorvetes que Carine tem agora.
Carine quer saber quantos sorvetes dela sua prima tomou.
Carine tinha
13 sorvetes
RespostaResolução
8
+5
13
60 EADPedagogia

c) Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela.
Quantos reais tem Cláudio?
d) Telma e Marilene arrecadaram uma quantia de dinheiro para
comprar bandeirolas para enfeitarem suas ruas. Cada quilo de
bandeirolas custa R$ 20,00. Veja os valores que elas já têm:
Telma: R$ 160,00 Marilene: R$ 80,00
i. Quem pode comprar mais bandeirolas?
ii. Quantos quilos de bandeirolas a mais ela pode comprar?
e) Ana e Bete têm dinheiro para comprar sorvete. Bete tem R$ 4,00
a menos que Ana. Sabendo-se que Bete tem R$ 8,00, quantos
reais tem Ana?
f) Bianca guardou uma certa quantia do seu salário na caderneta
de poupança. No mês seguinte, quando recebeu o salário de R$
510,00, ela ficou com R$ 830,00. Quantos reais ela conseguiu
guardar no mês anterior?
g) Silvana devia R$150,00 a Alda. Pagou R$ 70,00. Quanto Silvana
ficou devendo a Alda?
h) Vivian saiu de casa com certa quantia, gastou R$ 6,00 em lanches,
depois gastou R$ 3,00 em refrigerante. Quanto Vivian gastou ao
todo?
RESUMINDO
Nesta unidade, abordamos a construção do conceito de número
pela criança, alguns aspectos históricos relacionados com o surgimento
do nosso sistema de numeração decimal e suas operações. Entendendo
a Aritmética como a parte da Matemática que lida com números e suas
propriedades, encontramos nas situações-problema uma forma acessível
para a construção dos fatos básicos das operações, para a constituição
de um repertório a ser utilizado no cálculo como bem explicita os PCN
(BRASIL, 2000, p.72).
Vimos também que as situações-problema aditivas podem ser
classificadas segundo o seu grau de complexidade e os conceitos nelas
RESUMINDO
1Unidade

envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos
ter situações de: composição, transformação, comparação, composição
de várias transformações, transformação de uma relação e composição
de relações.
Em geral trabalhamos com as situações-problema aditivas sem
nos atentar que os conceitos e grau de complexidade nelas envolvidos
vão além da resolução do algoritmo da adição ou da subtração. Faz-se
necessário trabalhar os algoritmos, mas precisamos conduzir o aluno
para a compreensão da situação e depois de compreender é que será
definida qual operação será utilizada para a resolução. Além disso, o
professor precisar auxiliar no desenvolvimento do senso crítico do aluno
e, ao se tratar de resolução de situações-problema não é interessante
apenas resolver, mas refletir sobre os resultados encontrados: o valor
que estou colocando como resposta é coerente com o contexto e o que
foi solicitado na situação? Questões como esta devem fazer parte das
reflexões finais de resolução.
REFERÊNCIAS
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher,
1996.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1a
a 4a
série): Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação
Fundamental, 2. ed. Brasília, 2000.
BROLEZZI, A. C. A Tensão entre o Discreto e o Contínuo na História
da Matemática e no Ensino de Matemática. Tese de Doutorado. São
Paulo: FEUSP, 1997.
CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São
Paulo: CAEM-IME/USP, 1992.
CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na Vida
Dez, na Escola Zero. 13. ed. São Paulo: Cortez, 2003.
REFERÊNCIAS
62 EADPedagogia

CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com a resposta
dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
CENTURION, M. Número e operações. São Paulo: Cortez, 1994.
DUARTE, N. O ensino de matemática na educação de adultos. 8. ed.
São Paulo: Cortez, 2001.
IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo:
Globo, 2000.
IMENES, L. M. A numeração indo-arábica. Coleção Vivendo a
Matemática. São Paulo: Scipione, 1988.
KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a aritmética: implicações da
teoria de Piaget. São Paulo: Papirus, 1995.
KAMII,C.;LIVINGSTON,S.J.Desvendandoaaritmética:implicações
da teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 1995.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da
Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001.
NUNES et al. Educação Matemática: números e operações numéricas.
São Paulo: Cortez, 2005.
NUNES, A. F. V. B.; SOLEDADE C. B.; REIS, S. M. B. dos. Sorobã
para deficientes visuais, cálculo direto para operações matemáticas.
Salvador-BA: SUD/SEC, 1998.
PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica,
2006.
PEIXOTO, J. L. B.; SANTANA, E. R. dos S.; CAZORLA, I. M.
Soroban uma ferramenta para a compreensão das quatro operações.
Itabuna: Via Litterarum, 2006.
PEIXOTO, J. L. B.; CAZORLA, I. M.; VITA, A. C. Inclusão na
Escola: um bate-papo com os professores. Ilhéus: Editus; Itabuna: Via
Litterarum, 2011.
PIAGET, J. Introdução a la Epistemologia Genética. Volumen I: El
Pensamiento Matemático. Buenos Aires: Paidos, 1978.
SANTANA, E. R. S. Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia a
1Unidade

aprendizagem do estudante? Tese (doutorado em Educação Matemática).
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010.
SANTOS, M. S. Estruturas Aditivas: um olhar em livros didáticos do 2º
ciclo do ensino fundamental. Monografia na Universidade Estadual de
Santa Cruz. Ilhéus: UESC, 2006.
SPINILLO, A. G. “O conhecimento matemático antes do ensino da
matemática na escola”. In: A Educação Matemática em revista. Santa
Catarina: SBEM, V. II, n. 3, p. 41-50, 1994.
VERGNAUD, G. A Classification of Cognitive Tasks and Operations of
Thought Involved in Addition and Subtraction Problems. In. Addition
and Subtraction: a cognitive Perspective. New Jersey: Lawrense
Erlbaun, 1982. p. 39-59.
______. A Teoria dos Campos conceituais. In. BRUN, J. Didáctica das
matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996, p. 155-191.
ZUNINO, D. L. de. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1995.
64 EADPedagogia

Suas anotações
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1Unidade

ESPAÇO E
FORMA
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
yy analisar e discutir situações nas quais seus estudantes utilizem o
pensamento geométrico, explicando e resolvendo situações-
problema;
yy elaborar e reelaborar estratégias baseadas em aprendizagens
sobre a forma e a posição dos objetos no espaço (e no plano), bem
como suas transformações;
yy explorar os conceitos de intuição e representação, para fins de
desenhar caminhos metodológicos;
yy planejar, implementar e avaliar atividades e aulas que estimulem o
desenvolvimento do pensamento geométrico.
2ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE FORMAS
Examinando a maneira como o ser humano realiza suas tarefas
no dia a dia encontramos vários desafios que exigem raciocínios sobre
as formas dos objetos e coisas. Até mesmo tarefas simples como decidir
o melhor trajeto a ser percorrido com o carro, dispor os móveis em um
cômodo, dispor roupas ou objetos em uma gaveta, ou mesmo escolher
um recipiente adequado para acomodar um determinado volume, podem
exigir escolhas que definirão o melhor aproveitamento do espaço em
questão. Da mesma maneira, as atividades profissionais do pedreiro, da
confeiteira, da costureira e muitas profissões necessitam interpretação e
transformação das formas dos objetos para produzir formas novas, como
por exemplo: projetar e executar as ações necessárias sobre os materiais
disponíveis e construir uma casa, um bolo de aniversário decorado, um
vestido.
Cada campo da Matemática possui conhecimentos cujo estudo
pode contribuir para desenvolvermos ainda mais modalidades específicas
do nosso raciocínio que aprendemos com as tarefas do dia a dia. O
raciocínio sobre o espaço, a forma e a posição das coisas é necessário
para a maioria de nossas ações e na Matemática a organização desses
conhecimentos corresponde ao campo das Geometrias.
Quando falamos em pensamento geométrico (ou raciocínio
geométrico) nos referimos aos modos e estratégias de pensar que têm
como características essenciais as competências/capacidades de analisar
objetos no espaço (e no plano) de modo a:
• reconhecer e detalhar as características gerais (tipos) e
específicas das formas (composição), bem como descrever
os procedimentos/processos para construção/obtenção
destas;
• realizar e reconhecer os resultados de transformações na
forma e na posição de objetos, bem como descrever os
Espaço e forma
2Unidade

procedimentos/processos para efetuá-las e
revertê-las;
• comparar as formas e posições dos objetos,
a fim de estabelecer as relações necessárias
para compreensão/explicação de fenômenos
e resolução de problemas.
Outros aspectos do pensamento geométrico estão
relacionados ao bloco de conteúdos ‘Grandezas e Medidas’,
mas é necessário que o professor compreenda muito bem as
características essenciais deste tipo de pensamento para não
incorrer no erro comum de trabalhar apenas com números
e medidas e deixar de lado as dimensões mais importantes
do raciocínio sobre o espaço e a forma. Na prática, estas
habilidades são estimuladas com mais vigor quando o
professor constrói e analisa com seus estudantes situações-
problema sobre a forma e a posição dos objetos, sem recorrer
a medidas e cálculos numéricos.
A capacidade de transformar o espaço
intencionalmente começa a ser desenvolvida desde o
nascimento e se potencializa nas atividades culturais das
quais as crianças participam. Nas brincadeiras infantis como
amarelinha, pula-corda e jogos de roda, por exemplo, são
estimuladas percepções fundamentais sobre o espaço como
as noções de lateralidade, direção, sentido, distância, trajeto,
contorno, superfície, volume etc.
A maneira como a cultura contribui para o
desenvolvimento do raciocínio a partir das nossas
experiências de exploração do mundo nos leva a perceber
que a geometria da exploração do espaço é mais familiar
para as crianças no início da escolaridade do que a geometria
das formas geométricas planas. Desta maneira, mesmo não
sendo formas idealmente planas, a fôrma usada para assar
pizzas e a roda da bicicleta tornam-se modelos para a criança
compreender o círculo, desenhado com o compasso, porque
Atividades envolvendo
cálculos e medidas nem
sempre estimulam o
desenvolvimento das
habilidades essenciais do
pensamento geométrico!
atenção
70 EADPedagogia

são mais conhecidas, experimentadas.
Nos anos iniciais, todas estas experiências passam a ser
exploradas intencionalmente pelo professor, com auxílio de
várias formas de registro como desenhos, esquemas, mapas,
maquetes com o objetivo de ampliar a capacidade das crianças
identificarem as características dos objetos e do espaço que
estão relacionadas a situações-problema do dia a dia e projetar
as transformações na forma e na posição que forem necessárias
para encontrar soluções.
Assim, num primeiro momento, a cultura escolar pode
interagir com as culturas dos estudantes e contribuir para
prepará-los para suas atividades cotidianas. Num segundo
momento,oprofessorpodeapoiar-senasformasdopensamento
geométrico desenvolvidas para avançar nos estudos, rumo ao
estudo da geometria mais sistemática e dedutiva – formação
que se intensifica nos anos finais do Ensino Fundamental.
2 CONCEITOS BÁSICOS PARA CONSTRUÇÃO
METODOLÓGICA
Muitos pesquisadores conhecidos, como Jean Piaget,
criaram modelos para explicar como nosso raciocínio se
Nos Parâmetros Cur-
riculares Nacionais os
conteúdos essenciais
da aprendizagem
da Geometria estão
organizados no bloco
“Espaço e forma”. Vale
a pena conhecer!
Brasil (1997, 1998,
2002).
Figura 30 - Crianças em brincadeira de roda.
Fonte: http://0.tqn.com/d/houston/1/0/g/H/-/-/friendship-
circle-clip-art.jpg
Espaço e forma
2Unidade

desenvolve a ponto de nos permitir perceber as características das formas
que habitam o espaço e transformá-las de modo intencional. Estas
teorias organizam conhecimentos muito úteis para o professor, uma
vez que ajudam a compreender as características dos conhecimentos
matemáticos e a planejar atividades que potencializem as aprendizagens
mais significativas.
Neste curso, a título de introdução, estudaremos a forma, a
partir do pressuposto de que a mente lida com o espaço utilizando dois
conceitos centrais: representação e intuição. Estes conceitos constituem
uma síntese de ideias presentes nos modelos piagetiano, vygotskyano
e na Teoria dos Registros de Representação Semiótica e serão aqui
introduzidos para nos permitir uma primeira aproximação didática com
os fenômenos ligados a aprendizagem da geometria.
O objetivo de discutirmos esses conceitos é nos preparar para uma
ação mais imediata em nossas aulas, criando esquemas metodológicos
que nos auxiliem a problematizar situações de exploração do espaço e
da forma. A partir dos conceitos de intuição e representação também
podemos situar melhor algumas questões relativas ao significado e ao
sentido e às noções de concreto e abstrato em Matemática.
2.1 Representação e intuição
Definimos representação como a capacidade de produzir
registros sobre coisas que percebemos através de nossos sentidos. Esses
registros podem ser imagens formadas apenas nas nossas mentes ou
serem concretizadas em registros feitos de várias formas, utilizando
nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas
tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas
(desenhos, esquemas, mapas etc.).
Utilizamos as representações para nos referirmos aos conceitos
e ideias matemáticas, de modo a registrar as características que
consideramos importante para poder manipular o objeto ou lidar com
ele em nossa mente, raciocinar sobre ele, tirar conclusões. Por isso, é uma
aprendizagem escolar importante saber selecionar a representação mais
72 EADPedagogia

adequada para explorar/investigar uma situação. Por exemplo, para saber
quantas pirâmides podem ser construídas com uma folha de cartolina
pode ser mais interessante utilizar sua planificação do que a figura sólida.
Nossa intuição é uma mistura de percepção e entendimento,
formada por um conjunto de conhecimentos que ajuda a dar significado
às nossas percepções de modo mais ou menos imediato e consciente.
Exemplos:
• Quando cai um objeto no chão, longe da nossa vista,
ouvimosobarulhoe,àsvezes,identificamosimediatamente
o que caiu. O que ouvimos evoca em nossa mente algum
conhecimento que temos e que está ligado à audição.
• Quando tentamos adivinhar (sem olhar) qual objeto está
escondido dentro de uma sacola, nossas mãos tocam o
objeto e nossas mentes evocam imagens e conhecimentos
ligados ao nosso tato.
Nos dois casos é fácil perceber que nossa intuição mobiliza
rapidamente conhecimentos ligados às nossas experiências sensoriais e,
quando não encontra conhecimentos que ajudam a compreender o que
estamos percebendo, fica difícil até formar alguma imagem ou entender o
que está acontecendo. Então, num segundo momento, conscientemente,
nos esforçamos para procurar em nossas mentes algo que ajude na
compreensão.
Quanto mais ricas (em variedade e detalhes) são as nossas
experiências sensoriais e quanto mais as evocamos e utilizamos de modo
consciente, mais se desenvolve nossa intuição. Intuição e representação
são competências que devem ser estimuladas no trabalho com todos os
conteúdos de Matemática em qualquer nível de ensino.
No início deste capítulo, falamos em “pensamento geométrico”
e com estes novos conceitos que estamos abordando podemos falar em
“intuição geométrica” e em “representação do espaço”. Agora também
podemos destrinchar as competências gerais do pensamento geométrico
em habilidades (mais específicas). Desta forma, o pensamento é
caracterizado em vários níveis, pelas habilidades de intuir e representar
Espaço e forma
2Unidade

as formas e suas posições no espaço, bem como utilizá-las
de modo consciente para:
• posicionar e localizar objetos;
• analisar movimentos de pessoas e objetos;
• orientar-se, utilizando como referência as
posições dos objetos;
• planejar e realizar transformações na forma e
na posição dos objetos;
• para dimensionar (mensurar) o espaço e
objetos;
• perceber e utilizar com criatividade as
regularidades da forma e posição;
• criar modelos para interpretar fenômenos e
resolver situações-problema;
• comunicar suas ideias geométricas, utilizando
diversas linguagens.
Da mesma forma em que falamos em “intuição e
representação geométrica”, podemos falar em “intuição
e representação numérica” ou “intuição e representação
aritmética” como competências que caracterizam o
raciocínio numérico/aritmético. Discutiremos melhor a
extensão dos conceitos básicos de intuição e representação
para outras áreas da Matemática nos encontros presenciais.
Por ora, vamos nos concentrar em entender como os
conhecimentos matemáticos adquirem significado e sentido
para nós e porque temos dificuldades em aprender certas
coisas.
2.2 Significado e sentido
Quando mostramos o significado de uma operação
para a criança, fazemos como o dicionário faz com palavras.
Significado:
1) Expressão ou palavra
conhecida que é equiva-
lente ou substitui o ter-
mo; 2) Sinônimo conheci-
do; 3) Noção ou conceito.
74 EADPedagogia

Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde
está situado seu coração.
Exemplo 2: também dizemos que a corda dá a volta
em torno da criança.
Exemplo 3: Dizemos: Três vezes um é a mesma coisa
que somar um mais um, mais um.
Representamos: 3 x 1 = 1 + 1 + 1
Para um conhecimento fazer sentido, além do
indivíduo compreender seu significado é preciso que ele
aceite que sua lógica é válida (não é absurda) e reconheça
os contextos de validade e aplicação dos conhecimentos.
Inicialmente, tudo que contraria a intuição não faz muito
sentido. Isto é, tudo que nossa percepção capta, mas que não
conseguimos compreender, dificilmente vai fazer sentido
para nós. Para dar sentido as coisas, fazemos uso de nossas
capacidades de intuir e representar.
2.3 Concreto e abstrato
Essa definição de concreto nos indica que a
característica fundamental do que é concreto é apresentar-
se tal como na realidade, ou seja, para ser concreto não é
preciso ser palpável, mas sim evocar ou representar o objeto
Sentido
Valor pessoal que o indi-
víduo atribui a um conhe-
cimento. Se é pessoal, as
motivações e todas as vi-
vências e aprendizagens
influenciam esse processo
de valoração.
saiba mais
Quanto mais ricas (em va-
riedade e detalhes) são as
nossas experiências sen-
soriais e quanto mais as
evocamos e utilizamos de
modo consciente, mais se
desenvolve nossa intuição
e, a partir dela amplia-se
nossa capacidade de atri-
buir sentido ao que apren-
demos.
Concreto
Diz-se de coisa ou de re-
presentação que se apre-
senta de modo comple-
to, tal como lhe é próprio
apresentar-se na sua rea-
lidade existencial.
Figura 31 - Crianças em brincadeira de corda.
Fonte: http://blogs.elpais.com/.a/6a00d8341bfb1653ef0162f
e4b3314970d-800wi
Espaço e forma
2Unidade

sem perder sua totalidade. A imagem mental que fazemos
de um lugar que conhecemos bem na infância e que traz à
lembrança experiências positivas pode ser bastante concreta,
mesmo que este lugar já nem exista mais. Podemos lembrar
propriedades como cheiro, cor, temperatura, textura e até
sabores.
Estamos mais acostumados a traduzir a palavra
“concreto” como sendo sempre algo em sua forma material,
palpável, o que, aliás, não está errado porque é um dos
significados que a palavra possui e que está presente nos
dicionários. Contudo, para o ensino de Matemática, esta
definição é limitada porque não deixa clara a relação com o
processo de abstrair, que em muitos dicionários é descrito
como o processo de separar mentalmente para tomar em
consideração uma propriedade que não pode ter existência
fora do todo concreto ou intuitivo em que aparece (por
exemplo, abstrair a cor ou a forma de um objeto).
A operação de abstrair implica lidar mentalmente
com as propriedades do objeto sem a necessidade de que
ele esteja presente. A imagem do lugar da infância que
demos como exemplo pode ser examinada mentalmente e
podemos realizar várias tarefas cognitivas sobre ela, sem a
necessidade de ir até o lugar. Podemos nos concentrar, por
exemplo, em tentar comparar as dimensões daquele lugar
com as da nossa sala de aula ou podemos tentar focalizar a
forma como nos movíamos naquele espaço. Essas operações
constituem abstrações e estão muito ligadas às imagens que
somos capazes de formar e ao grau de concretude que elas
assumem para nós.
Estes conceitos nos ajudam a avançar em relação a
um mito muito comum na educação hoje em dia: o mito
de que no ensino de matemática sempre deve estar presente
o “concreto” material. A partir dos conceitos de intuição
e representação, podemos ampliar essa ideia do concreto
de modo a abranger as representações do espaço que são
Abstrato
Que designa ideias, quali-
dades, estados, ações, que
isolamos do que é concre-
to e utilizamos para operar
mentalmente ou através de
registros e linguagens.
76 EADPedagogia

intuitivas para nossos alunos. E a partir delas estimular a identificação
de propriedades do espaço e forma que permitem ao estudante construir
ideias matemáticas e conceitos mais abstratos.
Assim, na contextualização das ideias exploradas em sala de aula,
é fundamental o apelo às vivências dos alunos e ao uso de representações
que sejam intuitivas para eles. Podemos utilizar vários materiais
“concretos”, mas nosso objetivo é ampliar a capacidade de abstração do
aluno para que ele lide com o concreto como referência, dentro da sua
mente.
Lembrar de uma brincadeira como amarelinha e desenhá-la pode
ser tão concreto para a criança quanto estar pulando sobre o desenho
riscado no chão. Podemos perceber que algumas crianças em situações
espontâneas de resolução de problemas aritméticos representam as
operações da forma que é para elas mais intuitiva, porque faz mais sentido.
A mesma criança que fez o desenho anterior, mais tarde representa
a operação da seguinte forma:
Figura 32 - Criança e os montinhos de gude.
Figura 33 - Criança e os montinhos de gude.
Espaço e forma
2Unidade

Ainda não é uma representação convencional, mas sem dúvida ela
sabia o que estava fazendo ao escrever. Mais tarde, ele vai ser capaz de
usar o sinal “+” de modo significativo.
Em vários momentos da aprendizagem da Matemática, os
estudantes vão recorrer às representações que tornam o problema mais
fácil de compreender. Observando as representações mais intuitivas
para eles e o uso que fazem, podemos ter indícios da qualidade das
aprendizagens e oferecer meios para que eles avancem e sejam capazes
de construir e utilizar representações diversas com qualidade cada vez
maior.
2.4 A importância da experimentação e da
problematização
Com base nos conceitos que vimos, o professor pode perceber a
importância de promovermos na escola a reflexão sobre o espaço vivido/
experimentado pelo estudante. Quando estimulamos a exploração
consciente sobre o espaço e a experimentação de movimentos, disposição
de objetos e transformações da forma, favorecemos a ligação entre
experiência e os conhecimentos sistematizados, desenvolvendo melhor a
intuição e o pensamento geométrico.
Para dar suporte às reflexões, o professor pode questionar as
característicasdoespaçoedaforma.Aesseprocessodeelaborarperguntas
que motivem o estudante a explorar seus conhecimentos chamamos
de problematização. Ela pode ser feita mesmo antes de o estudante
experimentar o espaço, serve para atiçar sua intuição e verificar como
ela antecipa a experiência. Também pode ser feita após a exploração do
espaço, de modo a provocar a reflexão sobre aspectos tanto percebidos,
quanto os pouco evidentes.
Ainda como suporte ao processo de aprendizagem, o professor
pode recorrer às várias formas de representação possíveis em nossa língua
materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais
(esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos,
esquemas, mapas etc.).
78 EADPedagogia

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