Geometria

1. Grupo I
8 ± 64 − 4 × ( − 20 )
1. ( x − 3)( x − 5) = 35 ⇔ x 2 − 8 x − 20 = 0 ⇔ x = ⇔ x = 10 ∨ x = −1
2
.Como x −1 e x − 5 são medidas de comprimento x =10
2. A afirmação correcta é:
“Duas rectas concorrentes definem um plano.”
3. Sendo r a razão de semelhança entre os cilindros r 2 é a razão entre as suas áreas.
25 25
Então r =
2
e portanto r = . A razão entre os volumes dos cilindros será
49 49
3
 25 
r3 = 
 49  .
 
4. Efectuando a rotação do triângulo em torno do eixo BC são gerados dois cones
idênticos e cujo raio da base é metade do lado do quadrado e cuja altura é igual ao raio.
Sendo assim o volume do sólido obtido é a soma dos volumes dos dois cones.
1 2π
Vsólido = 2 ×Vcone = 2 × ×π ×12 ×1 =
3 3
5. O hexágono pode ser dividido em seis triângulos geometricamente iguais (e
equiláteros). Cada triângulo tem de área a sexta parte da área do hexágono e a parte
colorida da figura é formada por 4 triângulos.
Sendo assim :
Ahexágono 132
Acolorida = 4 × = 4× = 88 cm 2
6 6
Grupo II
1.
1.1 Por exemplo:
1.1.1 AB e BC.
1.1.2 AB e DC.
1.1.3 AB e HC .
1.1.4 GB e ABC.
1.1.5 AEB e BEC.
1.2 Para mostrar que o triângulo é rectângulo em A podíamos recorrer pelo menos a
dois processos diferentes:
a) Determinar as medidas dos comprimentos dos três lados do triângulo e verificar
que formavam um terno pitagórico (ou seja, que verificavam o Teorema de
Pitágoras).
b) Referir que, por se tratar de um cubo, a recta que contém a aresta [AB] é
perpendicular às rectas que contêm as arestas [AD] e [AF] logo é perpendicular
ao plano que contém a face [ADEF]. Uma vez que AB é perpendicular ao plano
referido, é perpendicular a todas as rectas contidos nesse plano logo é
perpendicular à recta que contém a aresta [AE].
Para mostrar que o triângulo é escaleno podíamos calcular as medidas dos
comprimentos dos lados do triângulo e verificar que são todas diferentes.
1.3 As arestas da pirâmide são: 5 arestas do cubo, duas diagonais faciais e uma
diagonal espacial.
Para determinar a medida de cada diagonal facial podemos aplicar o Teorema de
Pitágoras ao triângulo rectângulo [FAE] e determinar a hipotenusa AE .

2. 2
AE = 4 2 + 4 2 ⇔ AE = 32 ∨ AE = − 32
Como AE é a medida de um comprimento é um número positivo, logo
AE = 4 2 .
Para determinar a medida da diagonal espacial podemos aplicar o Teorema de
Pitágoras ao triângulo rectângulo [AEB] e determinar a hipotenusa EB .
2 2
EB = 32 + 4 2 ⇔ EB = 48 ∨ EB = − 48
Como EC é a medida de um comprimento é um número positivo, logo
EB = 4 3 .
Então c = 5 ×4 + 2 ×4 2 + 4 3 = 20 +8 2 + 4 3 dm
1.4 A área total da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces da pirâmide.
(Reparar que, à excepção da base, todas as faces são triângulos rectângulos.)
Então Atotal = A[ ABCD ] + 2 × A[ ADE ] + 2 × A[ AEB ] ⇔
Atotal = 4 × 4 + 2 ×
4 ×4
2
+2×
4 ×4 2
2
(
⇔ Atotal = 32 +16 2 dm 2 )
4 × 4 × 4 64
1.5 V pirâmide = 3 = 3 =
1
3
Vcubo 4 64 3
V
1.6 V ÁGUA A ACRESCENTAR = CUBO −V[VUTSE ] ⇔
2
64 1
V ÁGUA A ACRESCENTAR = − ×2 2 ×2 ⇔
2 3
8 88
V ÁGUA A ACRESCENTAR = 32 − ⇔ V ÁGUA A ACRESCENTAR = dm 3 ⇔
3 3
VCUBO 4 96 96
1.7 VESFERA = ⇔ π × r 3 = 32 ⇔ 4π × r 3 = 96 ⇔ r 3 = ⇔r =3 ⇔
2 3 4π 4π
⇔r ≈1,97 dm
2. 2.1 Atendendo ao esquema elaborado na figura há que aplicar o Teorema de Pitágoras
ao triângulo rectângulo.
( 4r ) 2 = h 2 + ( 2r ) 2 ⇔ h 2 = 16r 2 − 4r 2 ⇔ r
r
⇔ h = 12r 2 ∨ h = − 12r 2 r 4r
Como se trata de um comprimento h é um número h
r h
positivo, logo, simplificando,
⇔h = 12 r 2 ⇔h = 2 3r r
2r
A altura a que a mosca está é então r r r
(
2r + 2 3r )
u.c. (é r2, eu n consegui elevar o 2
na resolução)
FIM