O documento apresenta quatro atividades sobre prismas. A primeira atividade compara o volume de dois prismas (paralelepípedo reto e oblíquo) e conclui que o formato oblíquo economiza cerca de 2,7% de papelão. A segunda atividade calcula a diagonal de três prismas usando o Teorema de Pitágoras. A terceira atividade calcula o volume de três prismas e conclui que o prisma hexagonal regular maximiza o volume. A quarta atividade propõe uma expressão geral para calc
1) O documento apresenta resoluções de exercícios de matemática do ensino médio sobre volumes, áreas e geometria espacial.
2) É calculado o volume de um tanque cilíndrico e a quantidade de ladrilhos necessários para revesti-lo.
3) São resolvidos exercícios envolvendo cálculo de volumes de figuras geométricas como cubo, tetraedro e pirâmide.
Arquimedes foi um importante matemático grego que viveu entre os séculos III e II a.C. Ele fez contribuições fundamentais para a física, engenharia e matemática, incluindo o desenvolvimento do método da exaustão e cálculos importantes relacionados a áreas, volumes e o valor de π. Arquimedes foi morto durante a conquista romana de Siracusa, apesar das ordens para que não fosse ferido.
[1] O documento apresenta exemplos e atividades sobre áreas de figuras planas, teorema de Tales e proporcionalidade, e teorema de Pitágoras. [2] Inclui instruções para professores sobre como conduzir discussões com alunos e explorar conceitos-chave. [3] O foco é aplicar conceitos matemáticos de forma contextualizada para promover o raciocínio e a compreensão dos alunos.
O documento fornece informações sobre geometria espacial, especificamente sobre cilindros circulares retos. Ele define os elementos de um cilindro, como base, altura e eixo, e apresenta fórmulas para calcular a área da base, área lateral, área total e volume de um cilindro. Além disso, fornece exemplos de exercícios sobre cilindros com suas respectivas respostas.
1) O documento contém uma preparação para um teste de matemática do 6o ano com questões sobre áreas, perímetros, volumes, números racionais e fracções. 2) Inclui questões de escolha múltipla e questões abertas que requerem cálculos e raciocínio matemático. 3) Aborda tópicos como geometria plana e espacial, operações com números racionais e resolução de problemas.
Este documento resume os volumes de figuras geométricas como cubos e paralelepípedos. Explica que o volume de um cubo é igual ao cubo da aresta e de um paralelepípedo é igual ao produto do comprimento, largura e altura. Fornece exemplos numéricos para calcular cada volume.
O documento apresenta problemas relacionados a semelhança entre figuras planas e triângulos semelhantes. Inclui situações de aprendizagem sobre semelhança entre figuras planas, razão de semelhança, ampliações e reduções preservando a semelhança, e triângulos semelhantes como caso especial de semelhança. Fornece gabaritos detalhados para os problemas propostos.
1) O documento apresenta resoluções de exercícios de matemática do ensino médio sobre volumes, áreas e geometria espacial.
2) É calculado o volume de um tanque cilíndrico e a quantidade de ladrilhos necessários para revesti-lo.
3) São resolvidos exercícios envolvendo cálculo de volumes de figuras geométricas como cubo, tetraedro e pirâmide.
Arquimedes foi um importante matemático grego que viveu entre os séculos III e II a.C. Ele fez contribuições fundamentais para a física, engenharia e matemática, incluindo o desenvolvimento do método da exaustão e cálculos importantes relacionados a áreas, volumes e o valor de π. Arquimedes foi morto durante a conquista romana de Siracusa, apesar das ordens para que não fosse ferido.
[1] O documento apresenta exemplos e atividades sobre áreas de figuras planas, teorema de Tales e proporcionalidade, e teorema de Pitágoras. [2] Inclui instruções para professores sobre como conduzir discussões com alunos e explorar conceitos-chave. [3] O foco é aplicar conceitos matemáticos de forma contextualizada para promover o raciocínio e a compreensão dos alunos.
O documento fornece informações sobre geometria espacial, especificamente sobre cilindros circulares retos. Ele define os elementos de um cilindro, como base, altura e eixo, e apresenta fórmulas para calcular a área da base, área lateral, área total e volume de um cilindro. Além disso, fornece exemplos de exercícios sobre cilindros com suas respectivas respostas.
1) O documento contém uma preparação para um teste de matemática do 6o ano com questões sobre áreas, perímetros, volumes, números racionais e fracções. 2) Inclui questões de escolha múltipla e questões abertas que requerem cálculos e raciocínio matemático. 3) Aborda tópicos como geometria plana e espacial, operações com números racionais e resolução de problemas.
Este documento resume os volumes de figuras geométricas como cubos e paralelepípedos. Explica que o volume de um cubo é igual ao cubo da aresta e de um paralelepípedo é igual ao produto do comprimento, largura e altura. Fornece exemplos numéricos para calcular cada volume.
O documento apresenta problemas relacionados a semelhança entre figuras planas e triângulos semelhantes. Inclui situações de aprendizagem sobre semelhança entre figuras planas, razão de semelhança, ampliações e reduções preservando a semelhança, e triângulos semelhantes como caso especial de semelhança. Fornece gabaritos detalhados para os problemas propostos.
Uma pirâmide é um poliedro com uma base e vértice, onde as faces laterais são triângulos que se encontram no vértice. Existem vários tipos de pirâmides definidas pela forma da base, como triangular, quadrangular ou pentagonal. O documento explica conceitos como altura, apótema, área e volume de pirâmides regulares.
Aulas De Matemática - Apoio - Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. Saiba Mais F. 21 8170-6379 / 22677-3891 / 3496-9660 - Visite nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com
O documento discute geometria espacial e fornece exercícios sobre volumes de prisma e cilindro. Os exercícios incluem calcular volumes dados dimensões de bases e alturas, e relacionar elementos geométricos de figuras como cubos, prisma e cilindros.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria e cálculos envolvendo formas geométricas como esferas, cilindros, cubos e suas propriedades.
2) As questões abordam tópicos como volume de esferas, interseção de planos e esferas, construção de objetos com esferas encaixadas e cálculos envolvendo medidas dessas formas.
3) São apresentadas informações numéricas sobre diversos objetos para que sejam feitos os cálculos solicitados em cada questão.
O documento fornece informações sobre pirâmides, definindo-as como poliedros cuja base é um polígono e cujas faces são triangulares. Detalha os elementos de pirâmides regulares e suas relações, além de fornecer fórmulas para área total e volume. A seguir apresenta sete questões sobre pirâmides, envolvendo cálculos e relações geométricas.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria espacial, incluindo cálculos de volumes de sólidos geométricos como pirâmides, cubos e paralelepípedos.
2) A questão 2 pede para calcular o volume de uma pirâmide quadrangular regular, enquanto a questão 3 pergunta a razão entre volumes de dois sólidos divididos por um plano.
3) A questão 6 lista alguns sólidos e pede para identificar qual deles não fará um recipiente cúbico transbordar quando colocado nele.
1) O documento apresenta 8 exercícios de geometria espacial com soluções, incluindo cálculos de áreas e volumes de figuras como cilindros, pirâmides e cones.
2) Os exercícios envolvem cálculos para encontrar a área total da superfície de um cilindro, o volume de uma pirâmide como a Grande Pirâmide de Gizé no Egito, e o volume de uma casquinha de sorvete em forma cônica.
3) São também apresentados cálculos para a área
O documento resume os principais tipos de volumes geométricos (cilindro, cubo e paralelepípedo) e fornece suas fórmulas para calcular o volume. Também apresenta exemplos resolvidos de cálculos de volumes destas figuras e problemas envolvendo volumes em contextos reais.
1) Uma pirâmide é um sólido geométrico cuja base pode ser qualquer polígono e cujas faces laterais são triângulos com um vértice comum. 2) A mais famosa pirâmide é a Pirâmide de Quéops construída em 2.500 a.C no Egito. 3) O volume de qualquer pirâmide pode ser calculado pela fórmula V = (altura x área da base) / 3.
O documento fornece informações sobre pirâmides, incluindo sua definição, elementos, classificação, fórmulas para calcular área e volume. Exemplos ilustram como calcular essas grandezas para pirâmides regulares. Seções transversais são definidas e sua relação com a base e altura da pirâmide é explicada.
Este documento fornece informações sobre conceitos matemáticos como perímetro, área de figuras planas (triângulos, círculos, retângulos), equivalência e unidades de medida de área. Inclui definições, fórmulas e exercícios para aplicar os conceitos.
Apostila de Geometria Espacial - Prismasthieresaulas
Este documento fornece informações sobre geometria espacial, especificamente sobre prisma. Ele define prisma, lista os elementos de um prisma e classifica diferentes tipos de prismas. Também fornece fórmulas para calcular áreas, volumes e outras medidas de prisma.
O documento apresenta 4 exercícios sobre pirâmides regulares, com questões sobre cálculo de volume, área lateral e total. Nos exercícios são fornecidos valores de lados e alturas das pirâmides para que sejam calculadas as grandezas solicitadas, utilizando fórmulas e propriedades geométricas como o Teorema de Pitágoras e a Lei do Seno.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre geometria espacial que abordam temas como pirâmides, prisma, cilindros e suas propriedades.
2) Os exercícios envolvem cálculos de volumes de sólidos geométricos, identificação de elementos geométricos como planos e retas, e resolução de problemas espaciais.
3) As figuras fornecem esquemas dos objetos com medidas expressas em unidades como metros e centímetros para apoiar os cálculos requeridos nos exercícios.
O documento discute conceitos geométricos como ângulos, triângulos, retas e segmentos de reta. Inclui exercícios para identificar, medir e desenhar vários tipos de ângulos e configurações de retas.
3 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_3sDiogo Santos
Este documento fornece um caderno de exercícios de matemática para alunos do 3o ano do ensino médio. O caderno aborda tópicos como geometria analítica, método das coordenadas, equações de retas e círculos, e inclui exercícios para que os alunos possam aplicar esses conceitos matemáticos. As respostas são fornecidas no final para que os alunos possam checar seu próprio trabalho.
Este documento contém 10 exercícios de matemática sobre geometria espacial. Os exercícios envolvem cálculos de volumes de sólidos geométricos, áreas de figuras planas e quantidades de líquidos. A maioria requer o uso de fórmulas geométricas como o Teorema de Pitágoras.
www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Prismas e CilindrosAulasEnsinoMedio
O documento resume conceitos básicos de geometria plana e medidas, incluindo áreas de figuras planas e sólidas como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos, círculos, prisma e cubos. Também apresenta fórmulas para calcular áreas, volumes e diagonais destas figuras.
Este plano de trabalho apresenta o conteúdo de Esferas para o 4o bimestre, abordando cálculo de área e volume de esferas. Serão 8 aulas para exposição do conteúdo e 2 para avaliação. O objetivo é que os alunos sejam capazes de calcular área e volume de esferas e aplicar esses conceitos em problemas contextualizados.
O documento contém 10 questões de matemática sobre geometria espacial, incluindo cones, pirâmides, prismas e cálculo de volumes. As questões abordam tópicos como relações entre medidas de figuras geométricas inscritas umas nas outras, determinação de áreas e volumes de sólidos, e cálculo de sombras projetadas. O gabarito fornece as respostas para cada uma das questões.
Este documento contém um teste de matemática com 10 questões para alunos do 3o ano do ensino médio. As questões cobrem tópicos como polígonos, volumes de sólidos, áreas de figuras planas e geométricas. Há também uma questão bônus e fórmulas de geometria fornecidas.
Uma pirâmide é um poliedro com uma base e vértice, onde as faces laterais são triângulos que se encontram no vértice. Existem vários tipos de pirâmides definidas pela forma da base, como triangular, quadrangular ou pentagonal. O documento explica conceitos como altura, apótema, área e volume de pirâmides regulares.
Aulas De Matemática - Apoio - Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. Saiba Mais F. 21 8170-6379 / 22677-3891 / 3496-9660 - Visite nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com
O documento discute geometria espacial e fornece exercícios sobre volumes de prisma e cilindro. Os exercícios incluem calcular volumes dados dimensões de bases e alturas, e relacionar elementos geométricos de figuras como cubos, prisma e cilindros.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria e cálculos envolvendo formas geométricas como esferas, cilindros, cubos e suas propriedades.
2) As questões abordam tópicos como volume de esferas, interseção de planos e esferas, construção de objetos com esferas encaixadas e cálculos envolvendo medidas dessas formas.
3) São apresentadas informações numéricas sobre diversos objetos para que sejam feitos os cálculos solicitados em cada questão.
O documento fornece informações sobre pirâmides, definindo-as como poliedros cuja base é um polígono e cujas faces são triangulares. Detalha os elementos de pirâmides regulares e suas relações, além de fornecer fórmulas para área total e volume. A seguir apresenta sete questões sobre pirâmides, envolvendo cálculos e relações geométricas.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria espacial, incluindo cálculos de volumes de sólidos geométricos como pirâmides, cubos e paralelepípedos.
2) A questão 2 pede para calcular o volume de uma pirâmide quadrangular regular, enquanto a questão 3 pergunta a razão entre volumes de dois sólidos divididos por um plano.
3) A questão 6 lista alguns sólidos e pede para identificar qual deles não fará um recipiente cúbico transbordar quando colocado nele.
1) O documento apresenta 8 exercícios de geometria espacial com soluções, incluindo cálculos de áreas e volumes de figuras como cilindros, pirâmides e cones.
2) Os exercícios envolvem cálculos para encontrar a área total da superfície de um cilindro, o volume de uma pirâmide como a Grande Pirâmide de Gizé no Egito, e o volume de uma casquinha de sorvete em forma cônica.
3) São também apresentados cálculos para a área
O documento resume os principais tipos de volumes geométricos (cilindro, cubo e paralelepípedo) e fornece suas fórmulas para calcular o volume. Também apresenta exemplos resolvidos de cálculos de volumes destas figuras e problemas envolvendo volumes em contextos reais.
1) Uma pirâmide é um sólido geométrico cuja base pode ser qualquer polígono e cujas faces laterais são triângulos com um vértice comum. 2) A mais famosa pirâmide é a Pirâmide de Quéops construída em 2.500 a.C no Egito. 3) O volume de qualquer pirâmide pode ser calculado pela fórmula V = (altura x área da base) / 3.
O documento fornece informações sobre pirâmides, incluindo sua definição, elementos, classificação, fórmulas para calcular área e volume. Exemplos ilustram como calcular essas grandezas para pirâmides regulares. Seções transversais são definidas e sua relação com a base e altura da pirâmide é explicada.
Este documento fornece informações sobre conceitos matemáticos como perímetro, área de figuras planas (triângulos, círculos, retângulos), equivalência e unidades de medida de área. Inclui definições, fórmulas e exercícios para aplicar os conceitos.
Apostila de Geometria Espacial - Prismasthieresaulas
Este documento fornece informações sobre geometria espacial, especificamente sobre prisma. Ele define prisma, lista os elementos de um prisma e classifica diferentes tipos de prismas. Também fornece fórmulas para calcular áreas, volumes e outras medidas de prisma.
O documento apresenta 4 exercícios sobre pirâmides regulares, com questões sobre cálculo de volume, área lateral e total. Nos exercícios são fornecidos valores de lados e alturas das pirâmides para que sejam calculadas as grandezas solicitadas, utilizando fórmulas e propriedades geométricas como o Teorema de Pitágoras e a Lei do Seno.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre geometria espacial que abordam temas como pirâmides, prisma, cilindros e suas propriedades.
2) Os exercícios envolvem cálculos de volumes de sólidos geométricos, identificação de elementos geométricos como planos e retas, e resolução de problemas espaciais.
3) As figuras fornecem esquemas dos objetos com medidas expressas em unidades como metros e centímetros para apoiar os cálculos requeridos nos exercícios.
O documento discute conceitos geométricos como ângulos, triângulos, retas e segmentos de reta. Inclui exercícios para identificar, medir e desenhar vários tipos de ângulos e configurações de retas.
3 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_3sDiogo Santos
Este documento fornece um caderno de exercícios de matemática para alunos do 3o ano do ensino médio. O caderno aborda tópicos como geometria analítica, método das coordenadas, equações de retas e círculos, e inclui exercícios para que os alunos possam aplicar esses conceitos matemáticos. As respostas são fornecidas no final para que os alunos possam checar seu próprio trabalho.
Este documento contém 10 exercícios de matemática sobre geometria espacial. Os exercícios envolvem cálculos de volumes de sólidos geométricos, áreas de figuras planas e quantidades de líquidos. A maioria requer o uso de fórmulas geométricas como o Teorema de Pitágoras.
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O documento resume conceitos básicos de geometria plana e medidas, incluindo áreas de figuras planas e sólidas como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos, círculos, prisma e cubos. Também apresenta fórmulas para calcular áreas, volumes e diagonais destas figuras.
Este plano de trabalho apresenta o conteúdo de Esferas para o 4o bimestre, abordando cálculo de área e volume de esferas. Serão 8 aulas para exposição do conteúdo e 2 para avaliação. O objetivo é que os alunos sejam capazes de calcular área e volume de esferas e aplicar esses conceitos em problemas contextualizados.
O documento contém 10 questões de matemática sobre geometria espacial, incluindo cones, pirâmides, prismas e cálculo de volumes. As questões abordam tópicos como relações entre medidas de figuras geométricas inscritas umas nas outras, determinação de áreas e volumes de sólidos, e cálculo de sombras projetadas. O gabarito fornece as respostas para cada uma das questões.
Este documento contém um teste de matemática com 10 questões para alunos do 3o ano do ensino médio. As questões cobrem tópicos como polígonos, volumes de sólidos, áreas de figuras planas e geométricas. Há também uma questão bônus e fórmulas de geometria fornecidas.
Este documento contém um teste sobre geometria com 10 questões. As questões abordam tópicos como cálculo de número de vértices e arestas de poliedros, soma de ângulos internos de polígonos, área de superfícies geométricas como prisma triangular e cilindro, e volume de sólidos como cubos e paralelepípedos. O documento também fornece fórmulas úteis para a resolução das questões.
Este documento contém uma avaliação de matemática para alunos do 7o ano com 7 questões. A primeira parte contém 4 perguntas de múltipla escolha sobre semelhança de triângulos e ângulos. A segunda parte pede para calcular valores e ângulos em diagramas geométricos e justificar respostas. O documento fornece uma cotação detalhada para cada questão.
Este documento apresenta uma prova de matemática da segunda fase do vestibular da UNICAMP. Contém três questões sobre sistemas lineares, volumes e áreas de objetos tridimensionais, e recorte de retalhos. O documento discute exemplos acima e abaixo da média e fornece dicas para os candidatos melhorarem seu desempenho.
O documento contém 7 questões sobre geometria espacial. A primeira pergunta trata de formar um paralelepípedo com 6 cubos. A segunda calcula o volume de uma peça com cavidade central. A terceira calcula a altura mínima de saída de água em um reservatório.
Este documento fornece informações sobre um plano de aula de matemática do 7o ano. Contém sete temas: 1) Posições relativas de retas e planos, 2) Triângulos, 3) Critérios de igualdade de triângulos, 4) Ângulos, 5) Paralelogramos, 6) Paralelogramos particulares, 7) Áreas e volumes de sólidos. Fornece definições-chave, atividades e exercícios para cada tema.
1) O documento apresenta 5 problemas de geometria resolvidos. Os problemas envolvem cálculo de volumes de figuras geométricas como esferas, cilindros e suas combinações.
2) As respostas variam entre alternativas A a E e a lógica de cada resolução é explicada passo a passo.
3) Os problemas abordam conceitos como volume de esfera, cilindro, relação entre volumes em figuras compostas e cálculos envolvendo raio e diâmetro.
1. O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. As alterações nos cadernos foram sugeridas por professores e especialistas e atualizados com publicações recentes.
2. O documento instrui os professores a analisarem as diferenças na nova edição dos cadernos para estarem preparados para suas aulas.
3. A primeira parte do documento contém orientações sobre as atividades propostas nos cadernos, enquanto a segunda parte traz informações e ajustes para s
1. O documento descreve as características e propriedades de paralelepípedos e cubos. Um paralelepípedo é um poliedro de seis faces, com três pares de faces paralelas. Se as bases forem retangulares, é chamado de paralelepípedo retângulo.
2. Um cubo é um paralelepípedo especial onde todas as arestas são congruentes, formando seis faces quadradas iguais. Sua fórmula de volume é V=a3, onde a é o comprimento de uma aresta.
3
1) O documento descreve os conceitos, elementos e classificação de prismas e paralelepípedos.
2) Um prisma é um sólido cujas superfícies são polígonos contidos em planos paralelos, interceptados por retas paralelas. Um paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos.
3) São apresentadas fórmulas para calcular a área total, diagonal e volume de prismas e paralelepípedos.
1) O documento é um teste de avaliação de matemática do 11o ano com 7 questões sobre geometria, trigonometria e cálculo de áreas e volumes.
2) A primeira questão calcula a altura de um triângulo, o valor de um ângulo e a área e percentagem de uma região circular.
3) A segunda questão calcula arcos e comprimentos percorridos em uma pista circular dividida.
4) As outras questões identificam quadrantes trigonométricos, calculam seno, co-seno e tangente de â
Este documento fornece instruções sobre como calcular as áreas de várias figuras geométricas planas, incluindo retângulos, quadrados, triângulos, paralelogramos, losangos, trapézios, regiões circulares e polígonos regulares. Ele também fornece exercícios de exemplo e referências bibliográficas.
1) O documento discute os conceitos e fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos.
2) As fórmulas para calcular a área de um retângulo é base x altura, de um quadrado é lado ao quadrado e de um triângulo é base x altura dividido por 2.
3) O documento fornece exercícios de aplicação dessas fórmulas para o cálculo da área de objetos do mundo real.
Este documento apresenta uma proposta de prova modelo de Matemática A para o 12o ano de escolaridade. A prova é constituída por dois cadernos, com duração total de 150 minutos. O Caderno 1 contém 7 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos. O Caderno 2 contém 5 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos, não sendo permitido o uso de calculadora. Cada questão possui uma cotação específica e o total da prova é de 200 pontos
1) O documento contém 20 exercícios sobre prismas e suas propriedades geométricas como volume, área e relação entre medidas. 2) Os exercícios envolvem cálculos com cubos, paralelepípedos retos e outros tipos de prismas. 3) Há também exercícios sobre reservatórios d'água na forma de prismas e suas capacidades.
Semelhante a 2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito (20)
Este documento fornece instruções e conteúdo sobre física para alunos do ensino médio. Aborda tópicos como calor, temperatura e máquinas térmicas. Inclui atividades práticas para investigação e pesquisa sobre esses conceitos.
Este documento apresenta um caderno de estudos de Física para alunos do ensino médio. Ele inclui atividades sobre identificação e classificação de movimentos do cotidiano, identificação das variáveis relevantes de um movimento como velocidade e tempo, e explica como a velocidade é estimada em estradas e cidades usando placas de sinalização e lombadas eletrônicas.
Este documento é um caderno do professor de Física para o Ensino Médio. Ele fornece orientações sobre os conteúdos abordados em cinco temas principais: 1) Grandezas do movimento, 2) Quantidade de movimento linear, 3) Leis de Newton, 4) Trabalho e energia mecânica, e 5) Equilíbrio estático e dinâmico. O caderno propõe várias atividades experimentais e situações-problema para auxiliar os professores a ensinarem esses conceitos de uma forma envolvente e significativa para
[1] O documento apresenta exercícios e explicações sobre o número pi (π) e seu uso no cálculo do perímetro e área do círculo. [2] Aborda métodos históricos para calcular π, distribuição dos algarismos de π, relação entre π e medidas de pneus e hodômetro de carros. [3] Explica como aproximar a área do círculo usando polígonos inscritos e circunscritos e como a precisão aumenta com polígonos de mais lados.
Este documento fornece gabaritos para exercícios de matemática envolvendo sequências numéricas, fórmulas geométricas e equações. Ele contém respostas detalhadas para 13 situações de aprendizagem com exercícios e problemas sobre esses tópicos.
Este documento fornece gabaritos e soluções para exercícios de matemática envolvendo sequências, equações e fórmulas. Ele contém 13 situações de aprendizagem com vários exercícios cada uma, abordando tópicos como identificação de padrões em sequências numéricas e geométricas, cálculo de perímetros e áreas, e formulação e resolução de equações.
Este documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções e suas aplicações em diferentes situações. Na primeira situação de aprendizagem, discute-se sobre grandezas que dependem de outras variáveis e exemplos de funções, incluindo circunferência em função do raio, área em função do lado de um quadrado e massa em função do tempo de decomposição. A segunda situação trata da construção de gráficos funcionais. A terceira aborda as formas básicas de crescimento e decrescimento linear, exponencial e logarítmica.
O documento apresenta problemas de probabilidade e combinatória referentes a situações de aprendizagem em matemática para a 2a série do ensino fundamental. São abordados temas como probabilidade condicional, cálculo de chances, arranjos e permutações.
1) Os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos em 2009 para apoiar o trabalho dos professores. Eles foram usados e revisados para uma nova edição em 2010.
2) As alterações nos Cadernos foram apontadas por autores, leitores especializados e professores, que contribuíram para aperfeiçoá-los. Alguns dados também foram atualizados.
3) Quando receber a nova edição do Caderno, o professor deve analisar as mudanças para estar preparado para suas aulas.
Este documento fornece exemplos e exercícios sobre proporcionalidade e razão. Resume as seguintes ideias principais:
1) Apresenta situações que envolvem proporcionalidade direta e inversa entre grandezas como tempo, distância, número de pessoas e produção.
2) Discute o conceito matemático de razão e como ele difere do significado comum do termo. Uma razão representa a relação entre dois números.
3) Explica como escalas em mapas representam razões entre distâncias no mapa e
Este documento fornece exemplos e exercícios sobre proporcionalidade e razão. [1] Discute situações que envolvem proporcionalidade direta e inversa, e fornece exercícios para identificar esses tipos de relação. [2] Apresenta o conceito matemático de razão e proporção, e exemplos de como converter razões em porcentagens. [3] Explica o conceito de escala em mapas e como usar escalas para calcular distâncias reais.
Este documento fornece instruções para atividades de classificação e definição de figuras geométricas. As atividades pedem que os alunos caracterizem figuras com base em termos informais e depois as classifiquem usando a nomenclatura matemática correta. Exemplos de figuras são fornecidos para ilustrar cada conceito.
1) O documento apresenta uma situação de aprendizagem sobre equações de 3o grau e a introdução dos números complexos. 2) A seção aborda a resolução de equações de 3o grau usando a fórmula de Bhaskara e a introdução dos números complexos como raízes. 3) Exemplos ilustram a aplicação da fórmula para resolver equações do 3o grau.
1. O documento apresenta exemplos de problemas resolvidos envolvendo matrizes. Inclui situações sobre movimentos em plano cartesiano, preferências de modelos de veículos e codificação de imagens.
2. No primeiro problema, são mostradas operações com matrizes que representam movimentos em um plano, como adições e multiplicações de linhas e colunas.
3. Um problema sobre pesquisas de preferência por modelos calcula os porcentuais favoráveis a cada indústria e encontra a maior diferença entre os resultados.
1) Os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos em 2009 para apoiar o trabalho dos professores. Eles foram usados, testados e revisados para uma nova edição em 2010.
2) As alterações nos Cadernos foram apontadas pelos autores, leitores especializados e professores, que contribuíram com sugestões de aperfeiçoamento. Alguns dados também foram atualizados.
3) Quando receber a nova edição do Caderno, analise as mudanças para estar preparado para suas aulas. Utilize as orientações e
1) O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009 e as alterações feitas para a nova edição de 2010 com base em sugestões de professores e especialistas.
2) Os professores contribuíram para aperfeiçoar os Cadernos do Aluno de 2009, analisando o material e postando sugestões. Alguns dados também foram atualizados.
3) A nova edição dos Cadernos do Aluno de 2010 inclui orientações para as atividades propostas, com informações e
Este documento apresenta uma série de exercícios e atividades sobre geometria plana e espacial para alunos do 6o/7o ano. As atividades abordam tópicos como ângulos, simetria, polígonos regulares, classificação e propriedades de poliedros.
Este documento apresenta uma série de exercícios e atividades sobre geometria plana e espacial para alunos do 6o ou 7o ano. As atividades abordam tópicos como ângulos, simetria, polígonos regulares, classificação de poliedros e fórmula de Euler.
Este documento contém um gabarito de exercícios sobre números decimais e operações com números decimais para alunos do 5o ou 6o ano. O documento inclui 16 páginas de exercícios resolvidos sobre representação de números decimais, equivalências entre frações e números decimais, adição, subtração, multiplicação e divisão com números decimais.
O documento discute a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. Os professores contribuíram com sugestões para aperfeiçoar o material, que foi revisado para a edição de 2010. Quando receberem a nova edição, os professores devem analisar as alterações para estarem preparados para suas aulas.
1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇO
Páginas 3 - 5
Atividade 1
Ao observar os dados da atividade, uma primeira impressão pode sugerir que a área
total seja a mesma, pois o paralelepípedo oblíquo poderia ser obtido pela inclinação do
paralelepípedo reto. Contudo, na prática, isso não se verifica, pois a face frontal e a de
fundo da Figura B (quadrados), uma vez fechada a caixa, não permitem tal movimento
por fixarem o ângulo reto.
Após essa discussão, pode-se destacar que os dois prismas possuem bases iguais e
duas faces laterais iguais, sendo suas diferenças dadas pelas faces frontal e de fundo
(losango e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o menor consumo de papelão pode
recair somente sobre o cálculo da área do quadrado e do losango. Caso os alunos saibam
que entre os paralelogramos de mesmo perímetro, o quadrado é o que determina a maior
área, a solução fica possível sem a realização de cálculos.
Efetuando todos os cálculos, temos a seguinte resolução:
Para a área do losango, vamos interpretá-lo como um paralelogramo. A altura
H
correspondente à base será: sen 60 o H 3 3 5,2 cm .
6
Como o prisma oblíquo é formado por dois losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm e
quatro retângulos de dimensões 12 cm por 6 cm:
Atotal = 2 . 6 . 5,2 + 4 . 12 . 6 = 62,4 + 288, logo Atotal = 350,4 cm2.
1
2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Figura B
O prisma é formado por 4 retângulos de 6 cm por 12 cm e 2 quadrados de lado 6 cm.
Atotal = 2 . 6 . 6 + 4 . 12 . 6 = 72 + 288, logo Atotal = 360 cm2.
Segundo os dados do problema, o formato do paralelepípedo oblíquo representa uma
economia de, aproximadamente, 2,7% em relação ao paralelepípedo reto.
Vale ainda observar que nessa atividade não é discutida a capacidade de cada caixa.
Esse tema será abordado mais à frente, quando tratarmos de volume de prismas.
Atividade 2
A figura a seguir ilustra a situação e as possíveis triangulações.
Observamos que o cálculo do tamanho do lápis está associado ao cálculo das
diagonais da base e do prisma. Em ambos, aplicaremos o teorema de Pitágoras.
Diagonal da base: d 2 16 9 25 d 5 .
Diagonal do prisma: D 2 144 25 169 D 13 , portanto, o maior lápis deve ter
13 cm de comprimento.
O professor também pode discutir com os alunos uma solução prática para esse
problema: sobre o tampo de uma mesa, posicione a caixa, registrando, com lápis, a
superfície da base e a posição do vértice A. Faça uma translação da caixa, deslocando-a
em uma medida igual à aresta da base, como mostra a figura a seguir, e, com o auxílio
de uma régua, meça a distância AE.
2
3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Atividade 3
a) No caso do prisma regular triangular, o lápis terá o tamanho da diagonal da face
lateral. É interessante observar que esse prisma não tem diagonal.
L2 16 2 12 2 , L2 400 , logo L = 20. O maior lápis terá 20 cm.
b) O prisma regular hexagonal é particularmente interessante porque possui duas
medidas de diagonais, cada uma relativa às medidas das diagonais da base.
Cálculo de L1 (diagonal menor):
O lápis L1 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal
menor da base e a aresta lateral. A diagonal menor da base equivale a duas alturas de
3
4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
um triângulo equilátero de lado igual ao do hexágono regular. Portanto, d = 6 3
l 3
cm, uma vez que a altura de um triângulo equilátero pode ser calculada por: d
2
. Portanto, L1 2 (6 3 ) 2 8 2 .
L1 172 L1 13,11 cm.
2
Cálculo de L2 (diagonal maior):
O lápis L2 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal
maior da base e a aresta lateral. A diagonal maior da base equivale ao dobro da
medida do lado do hexágono regular. Portanto, D = 12.
Portanto, L2 2 12 2 8 2 , logo L2 14,42 cm.
O maior lápis terá, então, aproximadamente, 14,42 cm.
Atividade 4
Para as questões (a) e (b):
Basta considerar uma caixa de dimensões da base a e b e altura h e proceder como
propomos a seguir: d 2 a 2 b 2 .
Diagonal do prisma:
D2 d 2 h2
D2 a2 b2 h2 D a2 b2 h2 .
Diante dessa expressão, o professor pode ainda levar a turma a investigar o que
aconteceria se o formato da caixa de lápis fosse um cubo.
Nesse caso, teríamos:
a b h d 2 a2 a2 d a 2 .
D a 2 a 2 a 2 3a 2 D a 3 .
4
5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Página 6
Atividade 1
Para as questões (a) e (b)
A mosca, voando, percorre a diagonal do cubo. Assim, seu caminho medirá:
M 3 2 3 2 3 2 M 3 3 5,20 dm .
No caso da formiga, é necessário estudar algumas possibilidades. Uma delas é
imaginar que ela percorre uma diagonal da face e depois uma aresta do cubo.
Esquematicamente, temos:
Nesse itinerário, a formiga percorre: F 3 2 3 F 7,24 dm .
Contudo, planificando-se a figura, encontramos outra situação, melhor que a
primeira:
Calculando-se o comprimento d teremos:
5
6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Portanto, a formiga chegará depois da mosca. O menor caminho para ela chegar à
gota de mel é passando pelo ponto médio de uma aresta.
Atividade 2
Observe que quando pintarmos 5 das 6 faces do cubo, 8 das 12 arestas serão comuns
a pelo menos duas faces pintadas. O número de cubos menores que contêm essas arestas
é 24.
Páginas 8 - 9
Atividade 5
Como solução do problema, apresentamos abaixo uma discussão geral.
Caso o professor julgue interessante, pode explorar o mesmo problema de forma
algébrica, supondo para a base triangular a medida de aresta x, para a base quadrada y, e
para a base hexagonal z.
6
7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Como o perímetro das bases é o mesmo (que corresponde ao lado maior da folha de
papel sulfite), podemos escrever:
3x
4 y 3 x y 4
3x 4 y 6 z
x
6 z 3x z
2
3x x
Portanto, as arestas da base dos três prismas são, respectivamente, x, , .
4 2
Os três prismas têm a mesma altura h (lado menor da folha de sulfite), e sabendo que
o volume do prisma, já estudado anteriormente, é igual ao produto da área da base pela
altura, então, temos:
Desse modo, tomando o valor aproximado para 3 1,7320 , obtemos uma
comparação entre os seguintes valores de volumes:
Esses dados permitem concluir que, entre os três prismas, aquele que maximiza o
volume, com uma justaposição de lados, é o prisma hexagonal regular.
Atividade 6
Professor, essa atividade servirá para levantar hipóteses que depois serão verificadas
pelo Princípio de Cavalieri. No caso, podemos aproveitá-lo para observar os argumentos
dos alunos que comprovariam que ambos os vasos possuem o mesmo volume.
7
8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
CILINDROS: UMA MUDANÇA DE BASE
Páginas 12 - 13
Atividade 1
Alternativas (a), (c), (d) e (f).
Atividade 2
Alternativa d.
Páginas 14 - 17
Atividade 3
d
• O cilindro A tem raio da base igual a e altura igual a 2h.
2
Logo,
2
d d2 d 2 . h .
V A Ab . h . r . 2h . 2h .
2
. 2h V A
2 4 2
8
9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
• O cilindro B tem raio da base igual a d e altura igual a h.
Logo, VB . d 2 . h .
O volume da marca B tem o dobro do volume da marca A. Como o preço da marca A
é maior do que a metade do preço da marca B, é mais vantajoso comprar a marca B.
Atividade 4
Apoiados na figura, observamos que o volume do combustível no tanque é igual à
diferença entre o volume total e o volume do cilindro de altura d (volume de
combustível consumido) e que suas bases são iguais. Podemos chegar à seguinte
expressão:
V = π . R2 . H – π . R2 . d.
Substituindo os valores de R = 1 m, H = 2 m e d = 0,4 m, temos:
V = π . 12 . 2 – π . 12 . 0,4 , portanto V = 2 π – 0,4 π.
V = 1,6 π 5,024 m3, isto é, aproximadamente 5 024 litros.
Após a resolução, o professor pode continuar explorando outros fatos interessantes
do mesmo problema.
Atividade 5
a) V = π . R2 . H – π . R2 . d V = π . R2 (H – d)
Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2 π – d π, logo, V = π . (2 – d).
9
10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
b)
c) Sim, é possível. Observando o gráfico, a taxa de variação do volume em relação
à medida d é constante.
Tomando-se π = 3,14, essa taxa será de 314 litros a cada 10 cm. Portanto, a régua
poderá ser graduada aferindo a cada 10 cm da régua o volume de 314 litros.
Atividade 6
O professor pode, inicialmente, deixar os alunos buscarem seus próprios meios para
resolver essa atividade. Algum tempo depois, pode auxiliá-los na interpretação do
problema, discutindo semelhanças com relação à situação da atividade anterior. Uma
primeira ideia que deve surgir é que, como lá, o volume do combustível será igual à
diferença entre o volume total e o volume consumido. O cálculo do volume total é
simples. O problema recairá sobre o cálculo do volume de álcool consumido.
10
11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Como estamos acostumados a ver os sólidos com a base na horizontal, uma ideia é
mudarmos a direção do tanque de horizontal para vertical (figura a seguir).
Crie um debate na sala, de modo que os alunos concluam sobre a necessidade de
calcular o volume do sólido destacado, que representa o volume do álcool
consumido. Explorando a ideia relativa ao Princípio de Cavalieri, os alunos devem
chegar à conclusão de que o volume do sólido é igual ao produto da área de sua base
pela altura. A altura é igual ao comprimento do cilindro. O problema, portanto, está
na necessidade de determinar a área da base.
Essa região do círculo recebe o nome de segmento circular, que é uma região
limitada por uma corda e um arco do círculo.
A área do segmento circular pode ser calculada pela diferença entre a área do setor
circular e a área do triângulo isósceles AOB.
Vamos dividir a resolução em etapas:
a) Área do setor circular:
Setor circular é a porção do círculo limitada por dois raios e um arco do círculo. Para
determinar a área do setor circular, precisamos da medida do ângulo central a ele
correspondente, que indicaremos por θ.
11
12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
O valor desse ângulo θ pode ser determinado se dividirmos o triângulo isósceles
AOB a partir da altura relativa ao vértice O. Assim, o ângulo θ também será dividido
ao meio e o novo triângulo será retângulo. A medida do ângulo pode ser
2
0,7
encontrada aplicando-se o seu cosseno: cos 0,7 .
2 1
Desse modo, devemos determinar qual é o arco cujo cosseno seja igual a 0,7.
2
Consultando uma tabela trigonométrica ou por estimativa, admitindo que 0,7 ,
2
teremos que cos 0,7 , e, portanto, o valor de 45 o . O ângulo do setor circular
2 2
1
pode ser considerado, então, próximo de 90º, e sua área equivalerá a da área total
4
do círculo. Como a área do círculo é: Acírculo .12 , a área do setor será
3,14
Asetor m 2 . Adotando 3,14 , temos que: Asetor 0,785 m 2 .
4 4
b) Cálculo da área do triângulo:
Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o triângulo AOB é retângulo em O, e,
1.1 1
portanto, sua área será: Atriângulo 0,5 m 2 .
2 2
12
13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
c) Área do segmento circular (A):
A Asetor Atriângulo 0,785 0,5
A 0,285 m 2
Retomando o volume do combustível consumido (V1):
V1 = A.H = 0,285 . 4 V1 = 1,14 m3, isto é, V1 = 1 140 litros.
Então, a resposta do problema é que foram consumidos 1 140 litros de álcool.
Terminada essa atividade, o professor pode pedir que os alunos investiguem, em
postos de gasolina, como é medido o estoque de combustível nos tanques.
Atualmente, há processos sofisticados de medição desses volumes. Dispositivos são
instalados no interior dos tanques e fornecem em tempo real, em um painel, a
conversão da altura do volume do combustível disponível. Nos postos mais antigos,
o estoque é calculado pela combinação da “régua de medição” com uma tabela
específica de conversão.
O professor também pode, julgando o tempo suficiente, distribuir para grupos de
alunos valores diferentes de d e, agrupando-os em uma tabela, propor a construção
do gráfico do volume armazenado no tanque em função de d − V(d) e de θ − V(θ).
Nesse último, dado θ em radianos, a interseção com os eixos coordenados será em
(2π, 0), quando o ângulo θ assume seu maior valor e o volume do tanque é zero, e em
(0, 4π), situação que representa o tanque totalmente cheio.
13
14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Páginas 18 - 22
Atividade 1
Para o cálculo do volume aproximado do ar contido no pneu com as especificações
apresentadas, temos que encontrar o diâmetro total da roda do carro, para então
podermos calcular o seu volume. Esse diâmetro pode ser obtido somando-se o diâmetro
da roda interna com o dobro da altura do pneu.
Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 48,26 cm + 2 . 11,025 cm = 70,31 cm.
O raio do cilindro interior será de 24,13 cm e o do exterior 35,16 cm. O volume do
cilindro vazado, que corresponde ao valor aproximado do volume do ar será:
V . (35,16) 2 . 24,5 . (24,13) 2 . 24,5 .
Considerando π = 3,14
V 50 309,81 cm 3 .
Portanto, o volume de ar contido nesse pneu é de, aproximadamente, V = 50,31
litros.
Atividade 2
Os dados do pneu permitem-nos concluir que sua largura é de 205 mm, sua altura é
65% da largura, o que corresponde ao seguinte cálculo: 205 . 0,65 = 133,25 mm, isto é,
13,325 cm, e o diâmetro da roda interna mede 15 polegadas que, convertidas em
centímetros, correspondem a 15 . 2,54 = 38,1 cm.
Dessa forma, é possível determinar o diâmetro da roda do carro acrescentando à
medida do diâmetro interno da roda o dobro da altura do pneu:
14
15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm.
Tomando novamente o cilindro como modelo do pneu, o problema resume-se em
achar a área da sua superfície lateral, que é um retângulo, de altura 20,5 cm e medida da
base igual ao comprimento da circunferência do pneu. Lembrando que a relação entre o
comprimento da circunferência e seu diâmetro é dada pela fórmula C = . D, o
comprimento da circunferência do pneu é de, aproximadamente,
C pneu 3,14 . 64,75 203,32 cm .
Assim, a área da superfície do pneu, na qual vai ser inserida a nova camada de
borracha, será: A = 203,32 . 20,5 4 168,1 cm2, isto é, A 0,417 m2.
Atividade 3
A alternativa (b) está correta, uma vez que 10% de 6 m = 0,1 . 600 cm = 60 cm.
Atividade 4
15
16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
CH
Temos tg 60º 3 AH 2
AH
Concluímos que BC = AH, ou seja, AB é vertical.
No BOP temos que: BP 2
No BPA temos que: PA2 = BP2 + BA2, mas BA = CH
PA2 2 2 3
2 2
PA 14
Atividade 5
Alternativa
Para resolver esta atividade precisamos analisar uma secção desse reservatório,
perpendicular à vara graduada. Observamos, então, que, quanto maior a área da secção,
menor será a variação de altura necessária para se chegar à próxima marca nessa vara,
uma vez que elas devem demarcar o mesmo volume. Assim, as graduações consecutivas
devem estar mais próximas na região média da vara, que corresponde às maiores áreas
das seções, do que nas suas extremidades.
16
17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
O MOVIMENTO DE ASCENSÃO: PIRÂMIDES E CONES
Páginas 24 - 28
Atividade 1
A partir da visualização e da manipulação das pirâmides, podemos discutir alguns
fatos semelhantes aos prismas: suas faces também são polígonos, seus nomes dependem
do polígono que forma sua base e elas podem ser retas ou oblíquas, dependendo da
posição entre a altura e a base.
Quanto às diferenças, podemos destacar: a pirâmide é um sólido que “afunila” e as
faces laterais são triângulos, enquanto nos prismas são retângulos.
Atividade 2
Antes de resolver a atividade, pode-se propor aos alunos a confecção do octaedro
com bolinhas de isopor e palitos.
a) As faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros de lado 20 cm. Para
calcular a altura h (apótema da pirâmide regular) de uma das faces, podemos
observar que ela é o cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa 20 cm e com o
outro cateto de 10 cm.
h2 + 102 = 202
h2 = 300, logo h = 10 3 cm.
17
18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
b) Cada face do octaedro é um triângulo de medida de base 20 cm e altura h =
10 3 cm ; sua área será:
1
Aface = . 20 . 10 3 Aface = 100 3 173 cm2.
2
Logo, a área da superfície do octaedro será A = 8 . 173 = 1 384 cm2.
c) Observando somente uma das pirâmides que compõem o octaedro, percebemos
que a sua altura h’ é um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a altura
da face lateral e o outro cateto tem medida igual à metade do lado do quadrado da
base.
H’ 2 + 102 = h2
H’ 2 = 300 – 100 = 200
H’ = 10 2 14,1 cm .
A altura do octaedro é H = 2h’, logo
H = 20 2 cm H 28,2 cm.
d) Observamos que a aresta do cubo é igual à altura do octaedro, ou seja, 20 2
cm. Logo, a área de uma face do cubo é A f 20 2 2 2
800 cm e a área da
superfície total do cubo é: A = 4 800 cm2.
Atividade 3
Durante o debate, o professor pode registrar na lousa as hipóteses dos alunos para,
depois, compará-las com o fato de o volume dessa pirâmide ser um terço do volume do
prisma. A partir desse momento, o importante é encontrarmos um meio de significar o
1
fator que caracteriza o cálculo do volume dos sólidos com afunilamento, como as
3
pirâmides e os cones. Presente em vários livros didáticos, a demonstração do cálculo do
18
19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
volume da pirâmide apoia-se em figuras que consideramos de difícil visualização e
interpretação por parte dos alunos.
Atividade 4
Professor, você pode combinar a demonstração com as formas do sabão na lousa ou
em cartolina para melhor aproveitamento dos alunos.
Páginas 28 - 29
Atividade 1
a)
b) Como são quatro faces de mesma área (triângulos equiláteros), temos que a área
AT 8 3
de um triângulo equilátero é 2 3 cm 2 . A área de um triângulo
4 4
equilátero pode ser calculada por:
l2 3 l2 3
A 2 3 l 2 8 l 2 2 cm .
4 4
Para o cálculo do volume, precisamos da medida da altura da pirâmide. A partir do
desenho a seguir, observamos que ela é um dos catetos de um triângulo retângulo em
1
que a hipotenusa é a altura de uma das faces, e o outro cateto mede da medida da
3
altura da face, pois corresponde ao apótema do triângulo equilátero.
19
20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
A altura da face é encontrada aplicando-se a expressão:
l 3 2 2. 3
h h h 6 cm
2 2
Por Pitágoras, escrevemos que:
2
6 2 6
3 H
2
6 48
H2 6
9 9
48 4 3
H cm .
9 3
1 1 4 3 8
Portanto: V AB . h . 2 3 . 2,67 cm 3 .
3 3 3 3
Atividade 2
2 a 3
AB = AC = BC = a, 2 3 h e h
3 2
a 3
3 3h e 3 3 a 6
2
20
21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
A pirâmide VABC é tri-retângulo e regular.
Portanto, VA = VB = VC = x
62 = VA2 + VB2 = 2x2 x 3 2
O volume é:
x2
V 2
.x
V
3 2 3
V 9 2 cm 3
3 6
O volume da parte do cubo interna ao copo é: V 9 2 cm 3 .
Páginas 30 - 31
Atividade 5
Atividade 6
Aqui, professor, o aluno é levado a investigar as relações entre a geratriz, o raio da
base e o comprimento do setor circular. Todos os cálculos são obtidos com o uso de
proporcionalidade.
Vamos detalhar os cálculos para o setor de 120º:
21
22. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
A área do círculo original é: A = 100.π e seu comprimento é C = 20.π . Logo, a área
1 1 1
do setor será da área total, portanto, Asetor .100 cm 2 e seu comprimento será
3 3 3
1
do comprimento total: C setor . 20 cm .
3
Como o comprimento do arco representará o comprimento da base, podemos
1 1
concluir que C base C setor . 20 . Logo, se r é o raio da base, 2 r . 20 e,
3 3
10
portanto, r cm .
3
Observando a figura, vemos que a altura, o raio da base e a geratriz são lados de um
triângulo retângulo em que a geratriz é a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras,
2
10 20. 2
teremos 10 h , do que se conclui que: h
2 2
cm .
3 3
Professor, ao final da atividade, pode-se sugerir que os alunos generalizem essa
situação, como apresentada a seguir. Devemos destacar, contudo, que não há
necessidade de memorização das fórmulas. A atividade merece cuidado no sentido de
que os alunos construam as relações de forma visual e que as determine pelo uso da
proporcionalidade.
22
23. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
r 2 g 2 h 2
r g 2 h2
g h r
2 2 2
h 2 g 2 r 2
h g2 r2
Sendo α o ângulo central do setor circular, os alunos podem identificar a expressão:
g 360 o . r
2 r 2 g r
360 o 360 o g
Atividade 7
A base do campo de proteção é um círculo de raio R, que pode ser determinado por
R
tg 60 o , logo, R 80. 3 138,56 m . Dessa forma, a área de proteção será
80
determinada pela seguinte expressão A .R 2 3,14 . 19198,87 .
A 60 284,46 m2.
Páginas 31 - 32
Atividade 1
Inicialmente, devemos analisar os dados da atividade. O trabalho com troncos de
cone sugere completar o desenho, reconstruindo o cone que o gerou. Esse procedimento
permite aplicar a proporcionalidade nas semelhanças de triângulo observadas.
23
24. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Os triângulos VOA e VO’B são semelhantes pelo caso AA, com razão de
OA 6 1
semelhança k .
O´B 12 2
Assim, os cones VAA’ e VBB’, de volumes v e V, respectivamente, são
3
v v 1 1
semelhantes, com razão entre os volumes k 3 v .V
V V 2 8
1 1
Como V .12 2.20 960 cm 3 , temos v . 960 120 cm 3 .
3 8
Assim, o volume do tronco é 960 120 840 cm 3 .
Finalmente, o volume do chuveiro é igual ao volume do cilindro de raio da base 12
cm e altura 30 cm mais o volume do tronco, ou seja,
.12 2 . 30 840 5 160 cm 3
Adotando 3 , obtemos 5 160 . 3 = 15 480 cm3 = 15,48 litros.
Logo, o número de dias de gotejamento necessários para se desperdiçar o volume de
6 . 15,48
6 chuveiros é 2 dias .
46,44
Atividade 2
Alternativa b.. No caso, podemos comparar as áreas das seções e verificar que:
V1 < V3 < V2.
24
25. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Atividade 3
Alternativa d.
b 3 3
a 2 b 2 a
V
1
V . . r 2 . h
3
2
1 a
V . . . b
3 2
1 a2 3
V . . . a a3 8 a 2
3 4 2
3
b .2 b 3
2
2
a
g b2
2
2
2
2
g 2 3 2 g 2 10 g 10
2
25
26. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
ESFERA: CONHECENDO A FORMA DO MUNDO
Páginas 35 - 36
Atividade 1
1
30º representa da superfície total da esfera.
12
Atividade 2
a) 50%
b) 12,5%
Atividade 3
a) Dividindo-se 360º por 24, temos 15º.
1
b) Seis horas são seis fusos, que correspondem a 90º, o que equivale a da
4
superfície terrestre. Portanto, sua porcentagem é de 25%.
Páginas 36 - 38
A resposta depende da localidade. A cidade de São Paulo tem as seguintes
coordenadas:
23º 30’ Sul e 46º 33’ Oeste.
26
27. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
O volume da esfera
Páginas 38 - 39
Atividade 4
a) Vcilindro . R 3 .
1
b) Vcone . R 3 .
3
1
c) . R 3 Vsemiesfera . R 3 .
3
Páginas 43 - 45
Atividade 5
a) C 2 . RTerra 2 . 6 370 12 740 km , ou seja, aproximadamente 40 000 km.
b) Observando a figura e sendo a latitude igual a 60º, temos θ = 60o, logo
r 1 r 6 370
cos 60 0 r 3 185 km
R Terra 2 6 370 2
Assim, o comprimento do paralelo de raio r será:
C 2 . r 2 . 3 185 6 370 km .
Atividade 6
27
28. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
A medida do arco PV está, em relação ao comprimento da linha do Equador, na
mesma razão que o ângulo central L está em relação à circunferência terrestre, que
representa 360º, portanto:
41
PV . 2 . . r
360
41
PV . 2 . . 6 000
360
PV 4 292 km
Atividade 7
A distância PQ é igual ao arco de circunferência com ângulo central igual a θ. Para
sabermos o valor do arco, precisamos da medida do raio do círculo pequeno que
passa por PQ.
A partir da figura, observamos uma relação métrica entre a distância d, do paralelo
ao Equador, o raio R da Terra e o raio r do paralelo. Como se trata de um triângulo
retângulo, temos:
R2 = d2 + r2
Outra relação que podemos extrair é a seguinte: como a latitude L = 41º, o ângulo em
OPO’ é alterno interno a L, portanto, também mede 41º.
r r
Aplicando-se cos 41
o
.
R 6 000
r = 6 000 . 0,75, portanto r = 4 500 km.
28
29. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
74
Como a medida do arco PQ é partes do comprimento da circunferência de raio
360
4 500 e considerando π = 3,14, temos:
74
PQ . 2 . . 4 500
360
PQ 5 809 km
Páginas 46 - 47
Atividade 1
1 1
Uma milha marítima equivale a parte de um grau. Um grau equivale a parte
60 360
do comprimento da circunferência máxima, o Meridiano.
1 1
Portanto, 1’ = . . C, sendo C = 40 000 km.
60 360
Logo, 1’ equivale a 1,852 km ou 1 852 m.
Atividade 2
Cilindro: A superfície lateral do cilindro é um retângulo de dimensões:
Sua área lateral A será, portanto, A = 2.π.OB.AB.
Como AB = OB, A = 2.π.OB2.
1
A área da região S corresponde a da superfície lateral do cilindro, logo,
6
. OB 2
área S
3
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30. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 2a série – Volume 4
Esfera: Na esfera, a superfície total será: A´ = 4.π.(O´E´ )2 .
Como O’E’ = OB,
Temos: A´ = 4.π.(OB)2 .
1
A área da região S’ equivale a de A’, logo,
12
1
. 4. . OB
2
área S´
12
. OB 2
área S ´
3
área S
Logo, a razão 1 .
área S ´
O professor pode ainda explorar áreas de fusos e de superfícies de cunhas, sempre
privilegiando o uso de proporcionalidade.
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