O trabalho de conclusão de curso aborda a recursividade, suas aplicações e implicações históricas e conceituais. A pesquisa destaca a presença da recursão em várias áreas, como matemática, arte e ciência, e discute os equívocos comuns sobre sua definição. O estudo conclui que a recursão é fundamental para entender fenômenos dinâmicos e sistemas complexos, além de abrir espaço para novas pesquisas, especialmente em fractais.

1. Universidade Estadual de Campinas
Análise e Desenvolvimento de Sistemas
Trabalho de Conclusão de Curso - 2014
UM ESTUDO SOBRE RECURSIVIDADE E SUAS
APLICAÇÕES
BRUNO SILVA DE OLIVEIRA
Orientador JOSÉ CARLOS MAGOSSI

2. 2
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO
CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA
RECURSÃO
•FRACTAIS E A
EXPLORAÇÃO DA
RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO

3. Motivação
3

4. Objetivos
4
 Mostrar que a recursão está em todos os lugares
 Mostrar possíveis equívocos que podemos cometer
com a definição incompleta do tema
 Responder a questão: Pra que serve recursão?

5. INTRODUÇÃO
5

6. 6
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA
HISTÓRICO
CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA
RECURSÃO
•FRACTAIS E A
EXPLORAÇÃO DA
RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO

7. Surgimento
7
X
Ouroboros 3000 a.C. [Pike, 1872] Panini 500 a.C. [Chomsky, 1957]

8. Infinito: Dedekind e Cantor
“[Teorema 126] Seja θ uma função de Ω em Ω, onde Ω é um conjunto
qualquer, e seja w um elemento qualquer de Ω. Então, existe uma e só uma
função ψ de N em Ω, onde N é um conjunto simplesmente infinito
qualquer, tal que:
 [1] ψ{1} = w;
 [2] ψ{n’} = θψ;”
[Dedekind, 1969]
8

9. Decidibilidade: Skolem, Church, Turing
 {D} Δ(a,b) see (∃x)(a=bx).
 D(a,b,c), a qual expressa que a é igual ao
produto de b por um número entre 1 e c
(fornecendo assim um elemento decisório):
 Δ(a,b,1) see a=b;
 Δ(a,b,c+1) see Δ(a,b,c) ou a = b(c+1)
 {D’} Δ(a,b) see Δ(a,b,a),
[Biraben, 1994]
9

10. Complexidade: Kolmogorov e Ockham
10
 A complexidade de Kolmogorov pode ser definida
simplificadamente como o tamanho do menor
programa (ou descrição algorítmica) que computa na
Máquina de Turing uma determinada string binária.
 "Se em tudo o mais forem idênticas as várias
explicações de um fenômeno, a mais simples é a
melhor".

11. 11
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO
CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO
FORMAL
•APLICAÇÕES DA
RECURSÃO
•FRACTAIS E A
EXPLORAÇÃO DA
RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO

12. DEFINIÇÃO FORMAL
12
“Sometimes recursion seems to brush paradox very
closely. For example there are recursive definitions. Such
a definition may give the casual viewer the impression that
something is being defined in terms of itself. That would be
circular and lead to infinite regress, if not to paradox
proper. Actually a recursive definition never defines
something in terms of itself but always in terms of
simpler versions of itself.” – Hofstadter [1979]

13. Aritmética de Skolem (APR)
13
 R (f, x, 0) = x
 R(f, x, S(y)) = f(R(f, x, y), y)
 A função f(x,y) = x+y, ficaria, na APR, da seguinte
forma:
 f(x,0) = x
 f(x,y+1) = S(f(x,y))

14. Funções recursivas primitivas
14
 Função constante-0 ξ: é a função ξ, de vários
argumentos, dado por ξ:N->N, tal que ξ(2)=0; Há
variações constantes diferentes de zero da função,
como ξij(n1,...,ni)=j;
 Funções de projeção π: seja k>=1 e 1<=i<=k,
define-se a i-ésima função de projeção πjk, com k
argumentos, como sendo uma função de Nk em N,
tal que πjk (n1, n2, n3...nn)=nj, para qualquer nj
pertencente a N.
 Função sucessor σ: é a função σ:N->N tal que
σ(n)=n+1 para todo n ∈ N.

15. Funções recursivas primitivas
15
 Regra de Composição: Seja g uma função com L
argumentos e sejam h1, h2 ... hl, funções com k
argumentos, tais que, para todo n ∈ Nk. Nessas
condições, f(n) = g(h1n,....,hLn). Neste caso, f é dita
obtida a partir de g, h1,...,hl por composição
 Regra de Recursão Primitiva: Seja k>=0. Seja g
uma função com k argumentos, e h uma função com
k+2 argumentos, tal que, para todo n em Nk,
f(n,0)=g(n), e para todo n em Nk e m em N,
f(n,m+1)=h(n,m,f(n,m)).

16. Funções parciais
16
 div(x,y) = μ [f](x,y,m), onde
f(x,y,m) = σ(x) − (m * y + y)
 div(5,2) = μ[σ(5) – (t*2 + 2)]
  6 – (0*2 + 2) = 6 – 2 = 4
  6 – (1*2 + 2) = 6 – 4 = 2
  6 – (2*2 + 2) = 6 – 6 = 0
  div(5,2) = 2

17. Didática em sala de aula
17
 a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1
 b. Solução geral: Fib(x) = Fib(x-1) + Fib(x-2)
 c. Algoritmo de decisão:
 d. Garantir que a função termine

18. Didática em sala de aula
18
 a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1
 Ideia de complexidade e Teorema de Dedekind
 b. Solução geral: Fib(x) = Fib(x-1) + Fib(x-2)
 Funções recursivas de Godel e APR
 c. Algoritmo de decisão:
 Ideia de decidibilidade
 d. Garantir que a função termine
 Ideia de infinito e ideias de Skolem

19. 19
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO
CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA
RECURSÃO
•FRACTAIS E A
EXPLORAÇÃO DA
RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO

20. Johaan Sebastian Bach
20
Rei Frederico II Thema Regium [Gainer, 2007]
J. S. Bach – Musical Offering Part 1

21. Escher
21
Day and Night
Reptile House of Stairs

22. Torre de Hanói
22
Hanoi (n; posteInicial; posteAuxiliar; posteF inal)
Se n = 1 entao
MoveDisco(1; posteInicial; posteFinal)
senao
Hanoi(n - 1; posteInicial; posteFinal; posteAuxiliar)
MoveDisco(n; posteInicial; posteFinal)
Hanoi(n - 1; posteAuxiliar; posteInicial; posteFinal).

23. 23
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO
CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA
RECURSÃO
•FRACTAIS E A
EXPLORAÇÃO DA
RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO

24. Euclides
24

25. Mandelbrot
25

26. Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C
26

27. Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C
27

28. Auto-semelhança, escala e complexidade
28

29. Auto-semelhança, escala e complexidade
29

30. Dimensão
30
N =64; r =1/4, D = 3
N = 2; r =1/3; D = 1,59

31. Camada D Área Fractal (%)
A não-fractal 3.3
B 1.52 16.5
C 1.72 42.5
D 1.89 70.2
31

32. 32
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO
CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA
RECURSÃO
•FRACTAIS E A
EXPLORAÇÃO DA
RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO

33. CONCLUSÃO
33
MOS TRAR QUE A RECURSÃO ES TÁ EM TODOS OS
LUGARES
ESTÁ NA ARTE: MÚSICA, ARTES PLÁSTICAS,
LITOGRAVURA, CINEMA, POEMAS. . .
ESTÁ NA MATEMÁTICA: ALGORITMOS
RECURSIVOS, GEOMETRIA, ARITMÉTICA . . .
ESTÁ NA VIDA DO SER HUMANO, NA
NATUREZA, NAS CULTURAS, NA LINGUAGEM. . .

34. CONCLUSÃO
34
MOS TRAR EQUÍVOCOS QUE PODEM OCORRER COM
A CONCEI TUAÇÃO INCOMP LETA DO TEMA
AS AULAS PASSAM UM MÉTODO CORRETO,
MAS UMA DEFINIÇÃO INCOMPLETA
O ENSINO DE RECURSÃO PODERIA SER
MELHOR COMPREENDIDO SE POSTO EM UM
CONTEXTO HISTÓRICO

35. CONCLUSÃO
35
RES PONDER À QUES TÃO: PRA QUE SERVE
RECURSÃO?
SERVE PARA COMPREENDER OS FENÔMENOS
CAÓTICOS, SISTÊMICOS, DINÂMICOS,
COTIDIANOS E TECNOLÓGICOS
APESAR DE CLÁSSICO, O CAMPO DA
RECURSÃO AINDA POSSUI DIVERSAS PONTAS
SOLTAS E VÁRIAS OPORTUNIDADES DE
PESQUISA COMO O CASO DE FRACTAIS,
ILUSTRADO PELO TAYLOR E POLLOCK