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Sessão nº4

   Chaves espúrias e Distância de
             unicidade



    CCISEL 99                     Teoria Matemática da Comunicação   4-1
    Criptografia Computacional




Introdução


• Considere o sistema criptográfico (P,C,K,E,D)
  onde P=C=K=Z2={0,1}, as regras E e D
  correspondem à cifra de substituição e a
  mesma chave é usada na cifra de vários textos.

  – Como varia o equívoco da chave H(K|C) com o
    número de criptogramas observados?



    CCISEL 99                     Teoria Matemática da Comunicação   4-2
    Criptografia Computacional




                                                                           1
Análise do sistema Vernam usando a mesma
chave para dois textos
                                                         Seja
                        k1                               a ≡ 00 b ≡ 01 c ≡ 10 d ≡ 11
    a                                      1
             k2                                          1 ≡ 00 2 ≡ 01 3 ≡ 10 4 ≡ 11
                        k1
   b        k2                             2             Sabendo que
            k2                                                p(0) = 1/4, p(1) = 3/4
   c                                       3
             k2         k1                                 P(k1) = 1/2, p( k2 ) = 1/2
    d                                      4
                        k1                               Verifica-se que
                                                               H(K) = 1 [bit/chave]
 Depois de observarmos dois criptogramas, H(K|C) = ?
                                               H(K|C) ≈ 0,67
é ainda menor do que H(K|C) observando um só criptograma!


        CCISEL 99                                    Teoria Matemática da Comunicação        4-3
        Criptografia Computacional




Análise do sistema Vernam usando a mesma
chave para dois textos: expressões genéricas
Considere-se que a sequência de n textos em claro depois de cifrados têm b
zeros e n-b uns. Seja ainda p ≡ p(0) e q ≡ p(1), então genericamente
          p(c) = 1/2 pb qn-b + 1/2 pn-b qb
                                     1/2 pb qn-b     se K=k1
          p(k,c) =
                                     1/2 pn-b qb     se K=k2
                                     ( pb qn-b ) / ( pb qn-b + pn-b qb )   se K=k1
          p(k|c) =
                                     ( pn-b qb ) / ( pb qn-b + pn-b qb )   se K=k2


H(K|C) = ∑ nb=0 (nb) pb qn-b log2 [( pb qn-b + pn-b qb ) / ( pb qn-b )]
                                                                                        c.q.d.


        CCISEL 99                                    Teoria Matemática da Comunicação        4-4
        Criptografia Computacional




                                                                                                   2
Equívoco da chave na criptoanálise


                         1

            equivoco   0.8

                       0.6

                       0.4

                       0.2

                         0
                             0.5                                     0
                                                              10
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                                          0   30          n
                                     p

•   Equívoco na criptoanálise de uma cifra de substituição aplicada a um
    conjunto de 2 textos em claro (p é probabilidade dum dos textos e n é o
    número de criptogramas observados).

        CCISEL 99                        Teoria Matemática da Comunicação     4-5
        Criptografia Computacional




Chaves espúrias

• Exemplo: consideremos como linguagem o Inglês e
  ainda o criptograma WNAJW obtido pela cifra de
  substituição.

     – Existem apenas dois textos possíveis (com
       significado): river e arena. Por isso são apenas
       duas as chaves possíveis. Aquela que não é a
       verdadeira designa-se por chave espúria.



        CCISEL 99                        Teoria Matemática da Comunicação     4-6
        Criptografia Computacional




                                                                                    3
Número de chaves espúrias

• Seja o sistema criptográfico (P,C,K,E,D) onde
  |C| = |P| e as chaves são equiprováveis. Dado um
  conjunto de n símbolos do criptograma, com n
  grande, o número esperado de chaves espúrias
  satisfaz
                 E[sn] ≥ ( |K| / |P|n RL ) -1

   – RL representa a redundância da linguagem; toma valores entre 0 e 1
   – conforme o n aumenta E[sn] → 0
   – para n pequeno E[sn] é uma estimativa pouco precisa
     porque também o é a da probabilidade logo a de RL
     CCISEL 99                    Teoria Matemática da Comunicação        4-7
     Criptografia Computacional




Distância de unicidade dum sistema criptográfico

• Define-se Distância de Unicidade como sendo o
  valor de n (n0) para o qual o número esperado de
  chaves espúrias se torna 0.


                   n0 ≈ log2 |K| / ( RL × log2 |P| )

   – é a quantidade média de criptograma necessária para um
     adversário ser capaz de calcular a chave (única), dado o
     tempo de calculo suficiente.



     CCISEL 99                    Teoria Matemática da Comunicação        4-8
     Criptografia Computacional




                                                                                4
Distância unitária na cifra de substituição

• Exemplo: seja o sistema de cifra por substituição,
  tal que |P|=26 e |K|=26!. Admitindo que a
  linguagem dos textos é o Inglês e que RL=0,75 então
  uma estimativa da distância de unicidade é


                    n0 ≈ log2 |K| / ( RL × log2 |P| )
                       ≈ 88,4/(0,75×4,7) ≈ 25

   – em média depois de observados pelo menos 25 letras do
     criptograma é possível determinar a chave

     CCISEL 99                    Teoria Matemática da Comunicação   4-9
     Criptografia Computacional




                                                                           5

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Sessao 4 - Chaves espúrias e distância de unicidade

  • 1. Sessão nº4 Chaves espúrias e Distância de unicidade CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-1 Criptografia Computacional Introdução • Considere o sistema criptográfico (P,C,K,E,D) onde P=C=K=Z2={0,1}, as regras E e D correspondem à cifra de substituição e a mesma chave é usada na cifra de vários textos. – Como varia o equívoco da chave H(K|C) com o número de criptogramas observados? CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-2 Criptografia Computacional 1
  • 2. Análise do sistema Vernam usando a mesma chave para dois textos Seja k1 a ≡ 00 b ≡ 01 c ≡ 10 d ≡ 11 a 1 k2 1 ≡ 00 2 ≡ 01 3 ≡ 10 4 ≡ 11 k1 b k2 2 Sabendo que k2 p(0) = 1/4, p(1) = 3/4 c 3 k2 k1 P(k1) = 1/2, p( k2 ) = 1/2 d 4 k1 Verifica-se que H(K) = 1 [bit/chave] Depois de observarmos dois criptogramas, H(K|C) = ? H(K|C) ≈ 0,67 é ainda menor do que H(K|C) observando um só criptograma! CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-3 Criptografia Computacional Análise do sistema Vernam usando a mesma chave para dois textos: expressões genéricas Considere-se que a sequência de n textos em claro depois de cifrados têm b zeros e n-b uns. Seja ainda p ≡ p(0) e q ≡ p(1), então genericamente p(c) = 1/2 pb qn-b + 1/2 pn-b qb 1/2 pb qn-b se K=k1 p(k,c) = 1/2 pn-b qb se K=k2 ( pb qn-b ) / ( pb qn-b + pn-b qb ) se K=k1 p(k|c) = ( pn-b qb ) / ( pb qn-b + pn-b qb ) se K=k2 H(K|C) = ∑ nb=0 (nb) pb qn-b log2 [( pb qn-b + pn-b qb ) / ( pb qn-b )] c.q.d. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-4 Criptografia Computacional 2
  • 3. Equívoco da chave na criptoanálise 1 equivoco 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.5 0 10 20 0 30 n p • Equívoco na criptoanálise de uma cifra de substituição aplicada a um conjunto de 2 textos em claro (p é probabilidade dum dos textos e n é o número de criptogramas observados). CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-5 Criptografia Computacional Chaves espúrias • Exemplo: consideremos como linguagem o Inglês e ainda o criptograma WNAJW obtido pela cifra de substituição. – Existem apenas dois textos possíveis (com significado): river e arena. Por isso são apenas duas as chaves possíveis. Aquela que não é a verdadeira designa-se por chave espúria. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-6 Criptografia Computacional 3
  • 4. Número de chaves espúrias • Seja o sistema criptográfico (P,C,K,E,D) onde |C| = |P| e as chaves são equiprováveis. Dado um conjunto de n símbolos do criptograma, com n grande, o número esperado de chaves espúrias satisfaz E[sn] ≥ ( |K| / |P|n RL ) -1 – RL representa a redundância da linguagem; toma valores entre 0 e 1 – conforme o n aumenta E[sn] → 0 – para n pequeno E[sn] é uma estimativa pouco precisa porque também o é a da probabilidade logo a de RL CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-7 Criptografia Computacional Distância de unicidade dum sistema criptográfico • Define-se Distância de Unicidade como sendo o valor de n (n0) para o qual o número esperado de chaves espúrias se torna 0. n0 ≈ log2 |K| / ( RL × log2 |P| ) – é a quantidade média de criptograma necessária para um adversário ser capaz de calcular a chave (única), dado o tempo de calculo suficiente. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-8 Criptografia Computacional 4
  • 5. Distância unitária na cifra de substituição • Exemplo: seja o sistema de cifra por substituição, tal que |P|=26 e |K|=26!. Admitindo que a linguagem dos textos é o Inglês e que RL=0,75 então uma estimativa da distância de unicidade é n0 ≈ log2 |K| / ( RL × log2 |P| ) ≈ 88,4/(0,75×4,7) ≈ 25 – em média depois de observados pelo menos 25 letras do criptograma é possível determinar a chave CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 4-9 Criptografia Computacional 5