Este documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de cálculo, incluindo sucessões, séries, funções reais, derivadas, integrais e seus teoremas associados. O documento está organizado em seis capítulos principais que abordam esses tópicos.

1. Universidade da Beira Interior
Departamento de Matem´tica
a
C´lculo I
a
Folhas de Apoio e Exerc´
ıcios
2007/2008

2. ii

3. ´
Indice
1 Sucess˜es de N´ meros Reais
o u 1
1.0.1 Sucess˜es Limitadas. Sucess˜es Mon´tonas. Subsucess˜es. . .
o o o o 2
1.0.2 Sucess˜es Convergentes. Limites de Sucess˜es. Propriedades
o o
dos Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.0.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 S´ries
e 15
2.1 S´ries Num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
e e
2.1.1 Algumas S´ries Not´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
e a
2.1.2 Propriedades das S´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
e
2.1.3 S´ries de Termos N˜o Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
e a
2.1.4 S´ries Alternadas. Convergˆncia Absoluta. . . . . . . . . . . . 24
e e
2.1.5 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Preliminares 35
3.1 ınimo, Supremo e ´
Conjuntos Limitados. M´ximo, M´
a Infimo. . . . . . . 35
3.2 No¸oes Topol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
c˜ o
3.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Fun¸oes Reais de Vari´vel Real
c˜ a 41
4.0.1 Fun¸˜o Exponencial e Logar´
ca ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.0.2 Fun¸˜es Trigonom´tricas e Trigonom´tricas Inversas . . . . . . 46
co e e
iii

4. iv ´
INDICE
4.0.3 Fun¸˜es Hiperb´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
co o
4.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Limites Not´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
a
4.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 C´lculo Diferencial em R
a 65
5.1 Derivada de Fun¸˜es Reais de Vari´vel Real . . . . . . . . . . . . . . 65
co a
5.1.1 Regras de Deriva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ca
5.2 Teoremas Fundamentais do C´lculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . 73
a
5.3 Aplica¸oes dos Teoremas Fundamentais do C´lculo Diferencial . . . . 77
c˜ a
5.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.2 Extremos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.3 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3.4 Ass´
ımptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 C´lculo Integral em R
a 95
6.1 Primitiva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
ca
6.1.1 Primitivas Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.2 Primitiva¸ao de Fun¸oes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . 97
c˜ c˜
6.1.3 Primitiva¸ao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
c˜
6.1.4 Primitiva¸ao por Substitui¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
c˜ c˜
6.2 Integra¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
ca
6.2.1 Propriedades dos Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.2 Teoremas Fundamentais do C´lculo Integral . . . . . . . . . . 108
a
6.2.3 Aplica¸oes Geom´tricas do C´lculo Integral . . . . . . . . . . 110
c˜ e a
6.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5. ´
INDICE v
Bibliografia 126

6. Cap´
ıtulo 1
Sucess˜es de N´ meros Reais
o u
Defini¸˜o 1.1. Chama-se sucess˜o de n´meros reais a toda a aplica¸ao de N em
ca a u c˜
R, ou seja,
f :N → R
n → f (n) ≡ un
`
usualmente representada por (un )n∈N , ou simplesmente (un ). A express˜o que define
a
a sucess˜o, un , chamamos termo geral da sucess˜o e ao conjunto {un : n ∈ N} =
a a
{u1 , u2 , . . . , un , . . .} chamamos conjunto dos termos da sucess˜o.
a
Nota 1.1. Na Defini¸˜o de sucess˜o de n´meros reais consider´mos N, mas todos os
ca a u a
resultados apresentados podem ser adaptados para o caso de termos N0 , ou mesmo
um subconjunto infinito de N0 .
Exemplo 1.1. S˜o exemplo de sucess˜es de n´meros reais as sucess˜es de termo geral
a o u o
n
un = n, un = (−1)n e un = .
n+1
As sucess˜es podem ser definidas pelo seu termo geral, ou definidas por re-
o
corrˆncia. Ou seja, ´ dado a conhecer alguns dos primeiros termos da sucess˜o
e e a
1

7. 2 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
e o termo de ordem n ´ definido usando os anteriores. Por exemplo
e

  u =1
 1
 u =1 

1
un = , vn = u =5
 u  2

n+1 = 3 + 2un 
 u = 3 + 2u
n n−1 − un−2
Defini¸˜o 1.2. Dadas duas sucess˜es de n´meros reais (un ) e (vn ), definimos a soma
ca o u
de sucess˜es (u + v)n , a diferen¸a de sucess˜es (u − v)n e o produto de sucess˜es
o c o o
(u.v)n como sendo as sucess˜es cujo termo geral ´ dado por un + vn , un − vn e un vn ,
o e
respectivamente. No caso em que vn = 0 para todo o n ∈ N, podemos ainda definir
u un
o quociente de sucess˜es
o como sendo a sucess˜o cujo termo geral ´
a e .
v n vn
1.0.1 Sucess˜es Limitadas. Sucess˜es Mon´tonas. Subsu-
o o o
cess˜es.
o
Defini¸˜o 1.3. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Dizemos que (un ) ´ uma
ca a u e
sucess˜o limitada inferiormente se existe a ∈ R tal que a < un , para todo o n ∈ N.
a
Dizemos que (un ) ´ uma sucess˜o limitada superiormente se existe b ∈ R tal que
e a
un < b, para todo o n ∈ N.
Dizemos que (un ) ´ uma sucess˜o limitada se o for inferiormente e superiormente;
e a
o que ´ equivalente a dizer que exite c ∈ R tal que |un | < c, para todo o n ∈ N.
e
Exemplo 1.2. A sucess˜o de termo geral un = n2 − 4n + 3 ´ limitada inferiormente,
a e
mas n˜o superiormente, pois un
a −1, para todo o n ∈ N.
A sucess˜o de termo geral un = 1 − n ´ limitada superiormente, mas n˜o inferi-
a e a
ormente, pois un 0, para todo o n ∈ N.
(−1)n 1
A sucess˜o de termo geral un =
a ´ limitada, pois −1
e un , para todo
n 2
o n ∈ N.
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n n n˜o ´ limitada, nem inferiormente, nem
a a e
superiormente.

8. 3
Defini¸˜o 1.4. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Quanto ` monotonia,
ca a u a
podemos dizer que (un ) ´ uma:
e
– sucess˜o crescente se un
a un+1 , para todo o n ∈ N.
– sucess˜o estritamente crescente se un < un+1 , para todo o n ∈ N.
a
– sucess˜o decrescente se un
a un+1 , para todo o n ∈ N.
– sucess˜o estritamente decrescente se un > un+1 , para todo o n ∈ N.
a
Exemplo 1.3. A sucess˜o de termo geral un = 2n ´ estritamente crescente, j´ que
a e a
un+1 − un = 2n+1 − 2n = 2n (2 − 1) = 2n > 0.
A sucess˜o de termo geral un = 3 − n ´ estritamente decrescente, j´ que un+1 −
a e a
un = 3 − (n + 1) − (3 − n) = 3 − n − 1 − 3 + n = −1 < 0.
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n n˜o ´ mon´tona.
a a e o
Defini¸˜o 1.5. Dadas duas sucess˜es de n´meros reais (un ) e (vn ), dizemos que
ca o u
(vn ) ´ uma subsucess˜o de (un ) se existir uma sucess˜o estritamente crescente (wn )
e a a
tal que vn = uwn , para todo o n ∈ N.
Observa¸˜o 1.1. Para que a Defini¸˜o anterior fa¸a sentido, ´ ainda necess´rio que
ca ca c e a
wn ∈ N, para todo o n ∈ N; ou seja, (wn ) tem de ser aquilo a que podemos chamar
de sucess˜o de n´meros naturais.
a u
Exemplo 1.4. Consideremos a sucess˜o de termo geral un = 2n, e temos a sucess˜o
a a
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . .
Se tomarmos a sucess˜o crescente de termo geral wn = 2n e considerarmos vn = uwn
a
obtemos a sucess˜o
a
4, 8, 12, . . . ,
e a ´
que ´ uma subsucess˜o de (un ). E de notar que a sucess˜o
a
2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, . . .

9. 4 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
e a sucess˜o
a
2, 6, 10, 8, 4, 12, . . .
n˜o s˜o subsucess˜es de (un ).
a a o
1.0.2 Sucess˜es Convergentes. Limites de Sucess˜es. Pro-
o o
priedades dos Limites.
Defini¸˜o 1.6. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Dizemos que (un ) converge
ca a u
para a ∈ R, ou que (un ) tende para a ∈ R, e escrevemos lim un = a ou un → a, se
para cada δ > 0 existe uma ordem p ∈ N tal que |un − a| < δ, para todo o n > p.
Simbolicamente, pod´
ıamos escrever
∀δ>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ |un − a| < δ) .
(un ) ´ uma sucess˜o convergente se existe a ∈ R tal que lim un = a.
e a
Uma ideia intuitiva ´ dizer que a sucess˜o (un ) converge para a ∈ R se escolhido
e a
um n´mero real δ > 0 existe sempre uma ordem a partir da qual todos os termos
u
un s˜o valores aproximados de a.
a
Nota 1.2. Dizer que |un − a| < δ ´ equivalente a ter un ∈]a − δ, a + δ[.
e
Defini¸˜o 1.7. Uma sucess˜o n˜o convergente diz-se uma sucess˜o divergente.
ca a a a
an + 1
Exemplo 1.5. Consideremos a sucess˜o de termo geral un =
a , com a ∈ R,
n
vamos ver que un → a. Tomemos δ > 0, e temos que
an + 1 1 1 1
|un − a| = − a = a + − a = < < δ,
n n n p
1
basta para isso tomar p > . Assim a sucess˜o (un ) converge para a.
a
δ
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n ´ divergente.
a e

10. 5
Proposi¸˜o 1.8. Sejam (un ) e (vn ) duas sucess˜es de n´meros reais convergentes
ca o u
para a e b, respectivamente. Ent˜o:
a
1. a sucess˜o de termo geral un + vn converge para a + b.
a
2. a sucess˜o de termo geral un − vn converge para a − b.
a
3. a sucess˜o de termo geral Kun converge para Ka, onde K ∈ R.
a
4. a sucess˜o de termo geral un vn converge para ab.
a
un a
5. a sucess˜o de termo geral
a converge para , onde vn = 0 para todo o n ∈ N
vn b
e b = 0.
√ √
6. a sucess˜o de termo geral
a k un converge para k
a, onde k ∈ N.
7. a sucess˜o de termo geral |un | converge para |a|.
a
Prova: Vamos ver a primeira afirma¸ao, todas as outras saiem por processos an´logos.
c˜ a
Tomemos δ > 0 qualquer, fixo. Assim, existe p, q ∈ N tais que
δ
|un − a| < , para todo o n > p
2
e
δ
|vn − b| < , para todo o n > q.
2
Tomemos r = max{p, q} e temos
δ δ
|(un + vn ) − (a + b)| |un − a| + |vn − b| < + = δ, para todo o n > r.
2 2
Teorema 1.9. O limite de uma sucess˜o convergente ´ unico.
a e´
Prova: Vide [1].

11. 6 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
Teorema 1.10. O limite de uma sucess˜o constante ´ a pr´pria constante.
a e o
´
Prova: E imediato.
Teorema 1.11. Toda a sucess˜o convergente ´ limitada.
a e
Prova: Seja (un ) uma sucess˜o convergente para a ∈ R. Ent˜o, para δ = 1 existe
a a
p ∈ N tal que
|un − a| < 1, para todo o n > p.
Consideremos o conjunto finito U = {u1 , u2 , . . . , up , a − 1, a + 1} e sejam c e d o
m´
ınimo e m´ximo de U , respectivamente. Ent˜o, todos os termos de (un ) pertencem
a a
ao intervalo [c, d] e portanto, a sucess˜o ´ limitada.
a e
Nota 1.3. A rec´
ıproca do Teorema anterior n˜o ´ verdadeira, ´ exemplo disso a
a e e
sucess˜o de termo geral un = (−1)n , pois ´ limitada, mas n˜o convergente.
a e a
Teorema 1.12. Toda a sucess˜o mon´tona e limitada ´ convergente.
a o e
Prova: Consideremos que a sucess˜o (un ) ´ crescente e limitada. Seja U o conjunto
a e
dos termos da sucess˜o (un ), o qual ´ limitado, pelo que tem supremo, seja a ∈ R
a e
tal que un a.
Tomemos δ > 0, ent˜o existe p ∈ N tal que a − δ < up . Como a sucess˜o ´
a a e
crescente, para todo o n > p temos a − δ < up un .
Conclu´
ımos assim que a − δ < un < a + δ, ou seja a sucess˜o (un ) ´ convergente
a e
para a.

12. 7
Nota 1.4. A rec´ıproca do Teorema anterior n˜o ´ verdadeira, ´ exemplo disso a
a e e
1
sucess˜o de termo geral un = (−1)n , pois ´ convergente, mas n˜o mon´tona.
a e a o
n
Observa¸˜o 1.2. Na realidade, no Teorema anterior n˜o ´ preciso exigir tanto. Se
ca a e
a sucess˜o for crescente e limitada superiormente ent˜o ´ convergente. Se a sucess˜o
a a e a
for decrescente e limitada inferiormente ent˜o ´ convergente.
a e
Defini¸˜o 1.13. Dizemos que a sucess˜o de n´meros reais (un ) ´ um infinit´simo
ca a u e e
se un → 0.
Teorema 1.14. O produto de um infinit´simo por uma sucess˜o limitada ´ um
e a e
infinit´simo.
e
Prova: Consideremos que a sucess˜o (un ) ´ um infinit´simo e que a sucess˜o (vn )
a e e a
´ limitada. Assim, existe c ∈ R tal que |vn | < c, para todo o n ∈ N.
e
δ
Tomemos δ > 0 e temos que existe p ∈ N tal que |un | < . Assim,
c
δ
|un vn | = |un ||vn | < c = δ,
c
ou seja, a sucess˜o (u · v)n ´ um infinit´simo.
a e e
1
Exemplo 1.6. Consideremos as sucess˜es de termos gerais un = (−1)n e vn =
o . A
n
sucess˜o (vn ) ´ um infinit´simo, a sucess˜o (un ) n˜o ´ convergente, no entanto, ´
a e e a a e e
1
limitada. Assim, temos que a sucess˜o de termo geral un vn = (−1)n ´ convergente.
a e
n
Teorema 1.15. Qualquer subsucess˜o de uma sucess˜o convergente ´ ainda con-
a a e
vergente para o mesmo limite.
Prova: Vide [1].

13. 8 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
Exemplo 1.7. Pelo Teorema anterior ´ f´cil concluir que a sucess˜o de termo geral
e a a
un = (−1)n ´ divergente, visto que se fosse convergente todas as suas subsucess˜es
e o
teriam de ter o mesmo limite. De facto, se tomarmos a subsucess˜o dos termos pares
a
temos a subsucess˜o de termo geral vn = 1, enquanto que se tomarmos os termos
a
´
ımpares temos a subsucess˜o de termo geral wn = −1.
a
Teorema 1.16. (Crit´rio da Sucess˜o Enquadrada) Sejam (un ), (vn ) e (wn )
e a
sucess˜es de n´meros reais tais que existe uma ordem p tal que, para todo o n > p
o u
se tem un wn vn . Suponha-se ainda que (un ) e (vn ) convergem para o mesmo
a ∈ R. Ent˜o, (wn ) converge para a.
a
Prova: Tomemos δ > 0, fixo. Assim, existem p, q ∈ N tais que
|un − a| < δ, para todo o n > p
e
|vn − a| < δ, para todo o n > q.
Seja r = max{p, q}, ent˜o
a
a − δ < un wn vn < a + δ, para todo o n > r,
ou seja, a sucess˜o (wn ) ´ convergente.
a e
Exemplo 1.8. Consideremos a sucess˜o de termo geral wn = cn , com 0 < |c| < 1.
a
1
Seja d = > 1, logo d = 1 + h e temos
|c|
1 1 1
0 < |wn | = |cn | = |c|n = n
= ,
d (1 + h)n 1 + nh
onde utiliz´mos a chamadada desigualdade de Bernoulli, (1 + h)n
a 1 + nh para
1
h > 0. Assim, pelo Teorema anterior, com un = 0 e vn = , temos que un → 0
1 + nh

14. 9
e vn → 0 de onde conclu´
ımos que wn converge para 0.
Defini¸˜o 1.17. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Dizemos que (un ) ´ um:
ca a u e
– infinitamente grande positivo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal
que un > k, para todo o p > n. Simbolicamente
∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ un > k) .
Neste caso escrevemos lim un = +∞ ou un → +∞.
– infinitamente grande negativo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal
que un < −k, para todo o p > n. Simbolicamente
∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ un < −k) .
Neste caso escrevemos lim un = −∞ ou un → −∞.
– infinitamente grande em m´dulo se para todo o k > 0 existe uma ordem p ∈ N tal
o
que |un | > k, para todo o p > n. Simbolicamente
∀k>0 ∃p∈N ∀n∈N (n > p ⇒ |un | > k) .
Neste caso escrevemos lim |un | = +∞ ou |un | → +∞.
Exemplo 1.9. A sucess˜o de termo geral un = n2 + 1 ´ um infinitamente grande
a e
positivo. De facto, dado k > 0 temos un = n2 + 1 > p2 + 1 > k, basta para isso
√
tomar p > k − 1.
A sucess˜o de termo geral un = 1 − n ´ um infinitamente grande negativo. De
a e
facto, dado k > 0 temos un = 1 − n < 1 − p < −k, basta para isso tomar p > k + 1.
A sucess˜o de termo geral un = (−1)n n ´ um infinitamente grande em m´dulo.
a e o
De facto, dado k > 0 temos |un | = |(−1)n n| = |n| = n > p > k, basta para isso
tomar p > k.
Nota 1.5. Quando a sucess˜o de n´meros reias (un ) ´ um infinitamente grande
a u e

15. 10 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
(positivo/negativo/em m´dulo) n˜o se diz que (un ) converge para (±)∞, mas sim
o a
que (un ) tem limite (±)∞.
Proposi¸˜o 1.18. Sejam (un ) e (vn ) duas sucess˜es de n´meros reais, tais que
ca o u
lim un = +∞ e lim vn = +∞, ent˜o
a
lim(un + vn ) = lim un + lim vn = +∞.
ou seja, simbolicamente, temos (+∞) + (+∞) = +∞. Da mesma forma, quando
(wn ) ´ uma sucess˜o de n´meros reais tal que lim wn = a ∈ R, tamb´m temos os
e a u e
seguintes resultados:
(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞
(+∞) + a = +∞ , (−∞) + a = −∞
(+∞) × (+∞) = +∞ , (+∞) × (−∞) = −∞ , (−∞) × (−∞) = +∞
 
 +∞, se a > 0  −∞, se a > 0
a × (+∞) = a × (−∞) =
 −∞, se a < 0  +∞, se a < 0
 
a  +∞, se a > 0 a  −∞, se a > 0
= =
0+  −∞, se a < 0 0−  +∞, se a < 0
 
 +∞, se a > 1  0, se a > 1
a+∞ = a−∞ =
 0, se 0 < a < 1  +∞, se 0 < a < 1
 
 +∞, se a > 0 ou a = +∞  0, se a > 0 ou a = +∞
+∞a = 0a =
 0, se a < 0 ou a = −∞  +∞, se a < 0 ou a = −∞
Observa¸˜o 1.3. (Indetermina¸oes) Para al´m das situa¸oes referidas na Pro-
ca c˜ e c˜
posi¸ao anterior, existem ainda outras em que ` partida n˜o podemos determinar
c˜ a a
qual o resultado do limite, a essas situa¸˜es chamamos de indetermina¸˜es e s˜o
co co a

16. 11
elas:
0 ∞
0.∞ ∞−∞ 1∞ ∞0 00 .
0 ∞
Teorema 1.19. (Regra da Exponencial) Sejam a ∈ R e (un ) uma sucess˜o de
a
n´meros reais infinitamente grande positivo, temos que:
u
– se a > 1, a sucess˜o de termo geral aun ´ um infinitamente grande positivo.
a e
– se a = 1, a sucess˜o de termo geral aun = 1 converge para 1.
a
– se −1 < a < 1, a sucess˜o de termo geral aun ´ um infinit´simo.
a e e
– se a −1, a sucess˜o de termo geral aun n˜o tem limite.
a a
Teorema 1.20. (N´mero de Nepper) Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais
u a u
infinitamente grande em m´dulo e K ∈ R, ent˜o
o a
un
K
lim 1 + = eK .
un
Mais, se (vn ) ´ uma sucess˜o de n´meros reais convergente para a ∈ R, ent˜o
e a u a
un
vn
lim 1 + = ea .
un
1.0.3 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 1.1. Considere as sucess˜es de termo geral
o
2n + 1 nπ nπ
un = e vn = cos − sen .
n 4 4
Calcule os 5 primeiros termos de cada uma e represente-os geometricamente.
n + (−1)n
Exerc´
ıcio 1.2. Seja (un ) a sucess˜o de termo geral un =
a .
n+1
1. Determine os 4 primeiros termos de (un ).
2. Indique, justificando, o valor l´gico das seguintes afirma¸oes:
o c˜
24
(a) ∃p∈N : up = .
26

17. 12 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
(b) 0 un 1, ∀n∈N .
ıcio 1.3. Considere a sucess˜o de termo geral un = 4 + (−1)n . Determine os
Exerc´ a
4 primeiros termos e mostre que ´ limitada.
e
Exerc´ıcio 1.4. Estude a monotonia das sucess˜es de termo geral un = 3n + 5 e
o
1
vn = √ .
n2 + n

 u =2
1
Exerc´ıcio 1.5. Considere a sucess˜o (un ) dada por
a .
 u 2
n+1 = un − (un ) , ∀n>1
Estude a monotonia de (un ).
Exerc´
ıcio 1.6. Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais, tal que
a u
un+1 < un e un > 1, para todo o n ∈ N
A sucess˜o ´ convergente? Justifique.
a e
2n − 5
Exerc´
ıcio 1.7. Considere as sucess˜es (un ) e (vn ) de termo geral un =
o , com
n
n2
1
n 5 e vn = .
2
1. Mostre que as sucess˜es s˜o decrescentes.
o a
2. As sucess˜es s˜o limitadas? Justifique.
o a
3. Justifique que (un ) ´ convergente.
e
4. Estude a convergˆncia de (vn ).
e
n+1
Exerc´
ıcio 1.8. Considere a sucess˜o un =
a − 3.
n+2
1. Mostre que a sucess˜o ´ mon´tona.
a e o
7
2. Mostre que − un < −2 para todo o n ∈ N.
3
3. A sucess˜o ´ convergente? Justifique.
a e

18. 13
Exerc´
ıcio 1.9. Determine o limite das sucess˜es de termo geral:
o
1−n
1. an = 8. hn = e−n + en
2n + 2
n+2 nπ
2n2 + 3 9. in = sen
2. bn = n 2+1 2
3n + 1
2
sen (n + 1)
3n3 + n2 + 1 10. jn =
3. cn = 2n + 3
2n3 − n − 2
√ 3
n + 1 + cos n
n 11. kn =
4. dn = n2 + 1
4n + 1
√ √ (−1)n + n
3n2 + 1 + n 12. ln =
5. en = √ n+1
3
n+1
n
(−2)n + 3n
1 5 13. αn =
6. fn = + (−2)n+1 + 3n+1
n 4 √ √
√4
√ 14. βn = ln 2n2 + 1 − n2 − 1
n5 + 2 − 3 n2 + 1 √
7. gn = √ √ √
5
n4 + 2 − n3 + 1 15. γn = n n2 + 1 − n− 1
Exerc´
ıcio 1.10. Determine o limite das sucess˜es de termo geral:
o
n n2 +2
2 n2 + 2
1. an = 1+ 5. en =
n 2n2 − 3
n √
2 2
n
2. bn = 1− 2 6. fn = 1+
n n
n+3
n−5 n−1
2n+1
3. cn = 7. gn =
n+2 n+2
n+4
n+5 n2 + 2n − 3
n2 −3n+2
4. dn = 8. hn =
2n + 1 n2 − n + 2
Exerc´
ıcio 1.11. Estude a convegˆncia da sucess˜o de termo geral
e a
1 1 1
un = √ +√ + ... + √ .
n2 + 1 n2 + 2 n2 + n

19. 14 CAP´ ˜ ´
ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS

20. Cap´
ıtulo 2
S´ries
e
2.1 S´ries Num´ricas
e e
Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. O conceito de s´rie pretende extender a
a u e
opera¸ao de soma a uma infinidade de termos, precisamente os termos da sucess˜o.
c˜ a
Defini¸˜o 2.1. Dada uma sucess˜o de n´meros reais (un ) chamamos sucess˜o das
ca a u a
somas parciais de (un ) ` sucess˜o
a a
s1 = u1 , s2 = u1 + u2 , s3 = u1 + u2 + u3 , . . . ,
ou seja, a sucess˜o cujo termo geral ´ dado por
a e
n
sn = uk = u0 + u1 + u2 + . . . + un ,
k=1
a soma dos primeiros n termos da sucess˜o (un ).
a
Defini¸˜o 2.2. Dada uma sucess˜o de n´meros reais, (un ), definimos a s´rie de
ca a u e
termo geral (un ) como sendo
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . ,
15

21. 16 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
∞
a qual representamos por un ou por un .
k=1
Defini¸˜o 2.3. Dizemos que
ca un ´ uma s´rie convergente se a respectiva sucess˜o
e e a
das somas parciais for convergente. Neste caso, chamamos soma da s´rie ao limite
e
n
da sucess˜o das somas parciais, e escrevemos S = lim sn = lim
a sk .
n→∞ n→∞
k=1
Defini¸˜o 2.4. Dizemos que uma s´rie ´ divergente se a respectiva sucess˜o das
ca e e a
somas parciais for divergente.
Defini¸˜o 2.5. Dizemos que duas s´rie s˜o da mesma natureza se s˜o ambas con-
ca e a a
vergentes ou ambas divergentes. Entendemos por estudo da natureza de uma s´rie
e
o estudo da convergˆncia ou divergˆncia da s´rie.
e e e
∞
Nota 2.1. Em algumas situa¸˜es poder˜o susgir s´ries do tipo
co a e un , ou at´ mesmo
e
n=0
∞
un , onde p ´ um qualquer n´mero inteiro. Basta nas defini¸oes acima considerar
e u c˜
n=p
as mudan¸as de vari´vel k = n + 1 e k = n − p + 1, respectivamente.
c a
∞ ∞
1 1
Exemplo 2.1. A s´rie
e ´ igual ` s´rie
e a e .
n=4
n2 k=1
(k + 3)2
∞ ∞
´ a
Observa¸˜o 2.1. E f´cil concluir que dados p1 , p2 ∈ N, a s´rie
ca e un e un tˆm
e
n=p1 n=p2
a mesma natureza. Ou seja, a natureza de uma s´rie n˜o se altera se alterarmos um
e a
n´mero finito de termos.
u
Exemplo 2.2. Seja (un ) a sucess˜o de n´meros reais tal que un = 0 para todo o n ∈ N,
a u
ent˜o
a un ´ convergente e tem soma nula. Seja (vn ) a sucess˜o de n´meros reais
e a u
tal que vn = 0 para todo o n > p com p ∈ N, ent˜o
a un ´ convergente e tem soma
e
igual a sp = u1 + u2 + . . . + up .
2.1.1 Algumas S´ries Not´veis
e a
Vamos agora estudar algumas s´ries que pela sua simplicidade e por serem bem
e
conhecidas chamaremos de not´veis. Este estudo ter´ grande importˆncia, visto
a a a

22. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 17
que os resultados obtidos ser˜o aplicados no estudo da natureza de s´ries algo mais
a e
complexas.
∞
Exemplo 2.3. (S´rie Geom´trica) Seja R ∈ R e consideremos a s´rie
e e e Rn , a R
n=0
chamamos raz˜o da s´rie.
a e
Supondo que |R| = 1, temos que
n
k 2 3 1 − Rn+1
n
sn = R = 1 + R + R + R + ... + R = .
k =0
1−R
1
– Se |R| < 1, temos que lim Rn+1 = 0 e ent˜o lim sn =
a . Assim, neste caso
1−R
1
a s´rie ´ convergente e tem soma S =
e e .
1−R
– Se |R| > 1, temos que lim |sn | = +∞ e, neste caso a s´rie ´ divergente.
e e
Supondo que |R| = 1, temos tamb´m 2 casos.
e
– Se R = 1, temos sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1 e ent˜o lim sn = +∞. Logo a
a
s´rie ´ divergente.
e e 
 0, se n ´ ´
e ımpar
– Se R = −1, temos sn = e ent˜o lim sn n˜o existe. Logo a
a a
 1, se n ´ par
e
s´rie ´ divergente.
e e
∞
´ a
Nota 2.2. E f´cil ver que para a s´rie
e Rn , com p ∈ N as conclus˜es acerca da
o
n=p
Rp
natureza da s´rie s˜o as mesmas, e que para |R| < 1 a soma da s´rie ´
e a e e .
1−R
∞ n
1 1
A s´rie geom´trica de raz˜o , ou seja,
e e a ´ convergente e tem soma 1.
e
2 n=1
2
Exemplo 2.4. (S´rie de Mengoli ou S´rie Telesc´pica) Seja (un ) uma sucess˜o
e e o a
∞
de n´meros reais e consideremos uma s´rie da forma
u e (un − un+1 ). A sucess˜o
a
n=1
das somas parciais tem termo geral
Sn = (u1 − u2 ) + (u2 − u3 ) + . . . + (un − un+1 ) = u1 − un+1 .
Assim, lim Sn = lim u1 − un+1 = u1 − lim un+1 , pelo que a s´rie considerada converge
e

23. 18 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
se e s´ se a sucess˜o (un ) converge, e nesse caso, a soma da s´rie ´ S = u1 − lim un .
o a e e
Mais geralmente, designamos tamb´m por s´rie de Mengoli uma s´rie da forma
e e e
∞
(un − un+q ) que converge se e s´ se a sucess˜o (un ) converge e nesse caso tem
o a
n=p
soma up + up+1 + . . . + up+q−1 − q lim un .
∞
2n 2n + 4
Por exemplo, a s´rie
e − ´ convergente e tem soma igual a
e
n=3
n+1 n+3
6 8 9
u3 + u4 − 2 lim un = + − 2 × 2 = − .
4 5 10
∞
1
Exemplo 2.5. (A S´rie Harm´nica) Consideremos a s´rie
e o e a qual designamos
n=1
n
por s´rie harm´nica. Consideremos ainda a respectiva sucess˜o das somas parciais
e o a
ındice da forma 2n , ou seja, a
e tomemos a subsucess˜o dessa com termos com ´
a
subsucess˜o (S2n ):
a
1 1
S2 = 1 + >
2 2
1 1 1 1 1 1 1
S4 = 1 + + + = S2 + + > S 2 + 2 × > 2 ×
2 3 4 3 4 4 2
1 1 1 1 1 1
S8 = S4 + + + + > S4 + 4 × > 3 ×
5 6 7 8 8 2
...
k k
Em geral, temos S2n > , como lim = ∞, conclu´
ımos que lim Sn = ∞, ou seja, a
2 2
s´rie harm´nica diverge.
e o
∞
1
Exemplo 2.6. (S´rie de Dirichelet) Seja α ∈ R e consideremos a s´rie
e e .
n=1
nα
Temos que:
– se α > 1, a s´rie ´ convergente.
e e
– se α 1, a s´rie ´ divergente.
e e
∞
1
Quando α = 1, obtemos a s´rie harm´nica,
e o , que como j´ vimos ´ diver-
a e
n=1
n
gente.
∞ ∞
1 1
Por exemplo, a s´rie
e ´ convergente, ao passo que a s´rie
e e √ ´ diver-
e
n=1
n2 n=1
n
gente.

24. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 19
2.1.2 Propriedades das S´ries
e
Proposi¸˜o 2.6. Sejam
ca un e vn duas s´ries convergentes com somas U e
e
V , respectivamente. Ent˜o a s´rie
a e (un + vn ) ´ convergente e tem soma U + V .
e
Mais, se α ∈ R, ent˜o a s´rie
a e αun ´ tamb´m convergente e tem soma αU .
e e
Observa¸˜o 2.2. Se
ca un ´ uma s´rie convergente e
e e vn ´ uma s´rie divergente,
e e
ent˜o
a (un + vn ) ´ uma s´rie divergente.
e e
Observa¸˜o 2.3. Se
ca un e vn s˜o duas s´ries divergentes, ent˜o
a e a (un + vn )
e ´
pode ser uma s´rie divergente ou convergente. E exemplo disso a situa¸˜o seguinte.
ca
∞ ∞
1 −1
Exemplo 2.7. Consideremos as s´ries
e e , que como sabemos s˜o
a
n=1
n n=1
n+1
ambas divergentes.
∞
1 1 1
Mas a s´rie
e − ´ uma s´rie de Mengoli com an = e lim un = 0, pelo
e e
n=1
n n+1 n
que ´ convergente. Mais, at´ conhecemos a sua soma, S = u1 − lim un = 1.
e e
Proposi¸˜o 2.7. Se
ca un ´ uma s´rie convergente, ent˜o lim un = 0.
e e a
Observa¸˜o 2.4. A rec´
ca ıproca da Proposi¸ao anterior ´ falsa, ou seja, lim un = 0
c˜ e
1
un seja convergente. Por exemplo, a s´rie harm´nica, em que lim un = lim = 0
e o
n
e a s´rie ´ divergente.
e e
Observa¸˜o 2.5. Nalgumas situa¸˜es poder´ ser conveniente ter presente a contra-
ca co a
ıproca da Proposi¸˜o anterior, ou seja, se lim un = 0 ent˜o a s´rie
rec´ ca a e un ´
e
divergente.
n n
1 1
Exemplo 2.8. A s´rie
e 1+ ´ divergente, j´ que lim 1 +
e a = e = 0.
n n
2.1.3 S´ries de Termos N˜o Negativos
e a
Muitas vezes n˜o ´ poss´ estudar a natureza da s´rie fazendo um c´lculo directo
a e ıvel e a
no limite da sucess˜o das somas parciais. Mas existem alguns m´todos que permitem
a e
determinar a natureza de uma s´rie. Nesta sec¸ao vamos apresentar alguns desses
e c˜

25. 20 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
m´todos que se aplicam aquilo a que chamamos de s´ries de termos n˜o negativos,
e e a
ou seja,
∞
un , com un 0, para todo o n ∈ N0 .
n=0
´
E claro que estes m´todos tamb´m se aplicam a situa¸oes em que todos os ter-
e e c˜
a c˜ ´
mos s˜o negativos, fazendo uma pequena adapta¸ao. E de notar que os m´todos
e
(crit´rios) apresentados n˜o servem para calcular o valor da soma da s´rie, apenas
e a e
para determinar a natureza da mesma.
Numa s´rie de termos n˜o negativos,
e a un temos que a sucess˜o das somas
a
parciais ´ crescente, visto que sn+1 − sn = un
e 0. Assim, temos que a s´rie ´
e e
convergente se e s´ se (sn ) for uma sucess˜o limitada (j´ que ´ mon´tona).
o a a e o
Proposi¸˜o 2.8. (Crit´rio da Compara¸˜o) Sejam
ca e ca un e vn duas s´ries
e
de termos n˜o negativos tais que, a partir de certa ordem se tenha un
a vn . Ent˜o
a
1. se vn ´ convergente ent˜o
e a un ´ convergente.
e
2. se un ´ divergente ent˜o
e a vn ´ divergente.
e
Prova: Podemos supor que un vn para todo o n ∈ N, pois estamos apenas a
alterar um n´mero finito de termos, e portanto a natureza da s´rie n˜o se altera.
u e a
Sejam (su ) e (sv ) as respectivas sucess˜es das somas parciais, temos que
n n o
s u = u1 + u2 + . . . + un
n v1 + v2 + . . . + vn = sv .
n
Se a s´rie
e vn ´ convergente, (sv ) ´ uma sucess˜o tamb´m convergente e logo
e n e a e
limitada. Ent˜o a sucess˜o (su ) ´ tamb´m limitada e logo convergente (j´ que ´
a a n e e a e
mon´tona). Conclu´
o ımos assim que a s´rie
e un ´ convergente.
e
O outro caso ´ completamente an´logo.
e a

26. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 21
n
1 1
Exemplo 2.9. Consideremos as sucess˜es de termo geral un =
o e vn = .
(n + 1)! 2
1
Como vn ´ a s´rie geom´trica de raz˜o , logo ´ convergente. Al´m disso,
e e e a e e
2
1 1
(n + 1)! 2n ⇒ ⇒ un vn , para todo o n ∈ N, de onde conclu´ımos
(n + 1)! 2n
que un ´ uma s´rie convergente, usando o Crit´rio da Compara¸ao.
e e e c˜
1 1
Exemplo 2.10. Consideremos as sucess˜es de termo geral un =
o e vn = .
n n−1
Como un < vn para todo o n ∈ N e un ´ uma s´rie divergente, conclu´
e e ımos que
vn ´ uma s´rie divergente, pelo Crit´rio da Compara¸ao.
e e e c˜
Da Proposi¸ao anterior, ´ poss´ obter um resultado bastante mais abrangente,
c˜ e ıvel
o seguinte Corol´rio.
a
Corol´rio 2.9. (Crit´rio do Limite) Sejam
a e un e vn duas s´ries de termos
e
un
n˜o negativos, com vn = 0 para todo o n ∈ N. Se existir lim
a = L, temos que
vn
1. Se L for finito e n˜o nulo, as s´ries tˆm a mesma natureza.
a e e
2. Se L = 0 e vn ´ convergente ent˜o
e a un ´ convergente.
e
3. Se L = +∞ e vn ´ divergente ent˜o
e a un ´ divergente.
e
Prova: Consequˆncia quase imediata da Proposi¸˜o anterior. Vide [1].
e ca
2n2 + 1
Exemplo 2.11. Consideremos a s´rie
e e vamos usar o Crit´rio do
e
n5 + 3n2 − 1
1
Limite, comparando esta s´rie com a s´rie
e e ,
n3
2n2 + 1
5 2 2n5 + n3
lim n + 3n − 1 = lim 5 = 2 = 0,
1 n + 3n2 − 1
n3
de onde conclu´ ımos que a s´rie considerada tem a mesma natureza do que a s´rie
e e
1
, ou seja, ´ convergente.
e
n3

27. 22 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
2n2 + 1
Exemplo 2.12. Consideremos a s´rie
e e vamos usar o Crit´rio do
e
n5 + 3n2 − 1
1
Limite, comparando esta s´rie com a s´rie
e e ,
n2
2n2 + 1
5 2 2n4 + n2
lim n + 3n − 1 = lim 5 = 0,
1 n + 3n2 − 1
n2
1
de onde conclu´
ımos que como a s´rie
e ´ convergente e o limite ´ 0, ent˜o a
e e a
n3
s´rie considerada ´ convergente.
e e
2n2 + 1
Exemplo 2.13. Consideremos a s´rie
e e vamos usar o Crit´rio do
e
n5 + 3n2 − 1
1
Limite, comparando esta s´rie com a s´rie
e e ,
n
2n2 + 1
5 2 2n3 + n
lim n + 3n − 1 = lim 5 = 0,
1 n + 3n2 − 1
n
1
mas como a s´rie
e ´ divergente, nada podemos concluir acerca da s´rie consi-
e e
n
derada.
Proposi¸˜o 2.10. (Crit´rio de d’Alembert ou da Raz˜o) Seja
ca e a un uma
un+1
s´rie de termos positivos (un > 0) tal que lim
e = L. Temos que
un
1. Se L > 1 a s´rie ´ divergente.
e e
2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da s´rie.
e
3. Se L < 1 a s´rie ´ convergente.
e e
Prova: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certa
ordem se tem
un+1 Rn+1 un+1 un
<R= n
⇒ n+1 < n .
un R R R

28. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 23
un un
Assim, a sucess˜o de termo geral n ´ decrescente e como n
a e 0 para todo o
R R
un un
n ∈ N, a sucess˜o
a ´ limitada. Assim, conclu´
e ımos que ´ convergente,
e
Rn Rn
digamos para c. Como a s´rie
e Rn ´ convergente, quer seja c = 0 ou c > 0, pelo
e
Crit´rio do Limite conclu´
e ımos que un ´ convergente.
e
O outro caso ´ an´logo.
e a
cn n!
Exemplo 2.14. Consideremos a s´rie
e un , onde un = , com c > 0. Vamos
nn
aplicar o Crit´rio de d’Alembert para determinar a natureza da s´rie. Temos que
e e
n
un+1 (n + 1)! nn n 1
=c =c =c n,
un n! (n + 1)n+1 n+1 1
1+
n
un+1 c
de onde conclu´
ımos que lim = . Assim, se c > e a s´rie ´ divergente; se
e e
un e
0 < c < e a s´rie ´ convergente.
e e
Proposi¸˜o 2.11. (Crit´rio de Cauchy ou da Raiz) Seja
ca e un uma s´rie de
e
√
termos n˜o negativos tal que lim n un = L. Temos que
a
1. Se L > 1 a s´rie ´ divergente.
e e
2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da s´rie.
e
3. Se L < 1 a s´rie ´ convergente.
e e
Prova: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certa
ordem se tem
√
n
un < R ⇒ un < R n .
Como a s´rie
e Rn ´ convergente, pelo Crit´rio de Compara¸ao conclu´
e e c˜ ımos que
un ´ convergente.
e
O outro caso ´ an´logo.
e a

29. 24 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
n2
n+k
Exemplo 2.15. Consideremos a s´rie
e un com un = . Como
n
n n
√ n+k k
lim n
un = lim = lim 1 + = ek ,
n n
pelo Crit´rio de Cauchy, a s´rie diverge se ek > 1 ⇔ k > 0, a s´rie converge se
e e e
ek < 1 ⇔ k < 0.
Proposi¸˜o 2.12. Dada uma s´rie de termos n˜o negativos, qualquer uma outra
ca e a
que resulte desta por reordenamento dos seus termos tem a mesma natureza.
´
Nota 2.3. E necess´rio ter algum cuidado, pois o mesmo j´ n˜o acontece numa s´rie
a a a e
gen´rica, ou seja, numa s´rie que tamb´m tenha termos negativos, como veremos
e e e
mais adiante.
2.1.4 S´ries Alternadas. Convergˆncia Absoluta.
e e
Vamos agora estudar a natureza de algumas s´ries que apresentam termos negativos.
e
Come¸amos com um caso particular em que os termos s˜o alternadamente posi-
c a
tivos e negativos.
Defini¸˜o 2.13. Uma s´rie alternada ´ uma s´rie da forma
ca e e e
∞
(−1)n un = u0 − u1 + u2 − u3 + u4 − u5 + . . . ,
n=0
em que un > 0 para todo o n ∈ N0 .
Proposi¸˜o 2.14. (Crit´rio de Leibnitz) Seja (un ) uma sucess˜o decresente de
ca e a
∞
termos positivos. A s´rie
e (−1)n un ´ convergente se e s´ se un ´ um infinit´simo.
e o e e
n=0
Prova: Vide [1].

30. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 25
∞
1
Exemplo 2.16. Consideremos a s´rie
e (−1)n un , onde un =
com α ∈ R. Temos
n=0
nα
que un > 0 para todo o n ∈ N e a sucess˜o (un ) ´ decrescente. Para α > 0, un
a e
´ um infinit´simo de onde conclu´
e e ımos que a s´rie considerada ´ convergente, pelo
e e
Crit´rio de Leibnitz. Para α
e 0, un n˜o tende para 0 de onde conclu´
a ımos que a
s´rie diverge, pelo Crit´rio de Leibnitz.
e e
∞
1
Em particular, a chamada s´rie harm´nica alternada
e o (−1)n ´ convergente.
e
n=0
n
Nota 2.4. No Crit´rio de Leibnitz o facto de un tender para 0 n˜o assegura a con-
e a
vergˆncia da s´rie alternada, ´ mesmo necess´rio que un tamb´m seja decrescente.
e e e a e
1 (−1)n
Basta pensar na s´rie
e (−1)n un , com un = √ + , ´ f´cil ver que lim un = 0,
e a
n n
mas n˜o podemos concluir que a s´rie convirja, pelo Crit´rio de Leibnitz. De facto
a e e
1 1
a s´rie considerada diverge, uma vez que
e (−1)n un = (−1)n √ + , onde
n n
a primeira s´rie ´ convergente (aplicando o Crit´rio de Leibnitz) e a segunda s´rie ´
e e e e e
divergnte.
Defini¸˜o 2.15. Consideremos a s´rie
ca e un , ` s´rie
a e |un | chamamos s´rie dos
e
m´dulos de
o un . No caso em que |un | ´ uma s´rie convergente, dizemos que
e e
un ´ uma s´rie absolutamente convergente. Se a s´rie
e e e un converge, mas a
respectiva s´rie dos m´dulos diverge, dizemos que
e o un ´ uma s´rie simplesmente
e e
convergente.
1
Exemplo 2.17. A s´rie
e (−1)n ´ simplesmente convergente, pois j´ vimos que ´
e a e
n
1 1
convergente, mas (−1)n = ´ divergente.
e
n n
1
Exemplo 2.18. A s´rie
e (−1)n n ´ absolutamente convergente, uma vez que temos
e
2
1 1 1
(−1)n n = n
a s´rie geom´trica de raz˜o , e portanto, convergente.
e e a
2 2 2
Nota 2.5. Qualquer s´rie convergente de termos n˜o negativos ´ tamb´m absoluta-
e a e e
mente convergente.
Proposi¸˜o 2.16. Se a s´rie
ca e un ´ absolutamente convergente, ent˜o
e a un ´
e
convergente. Ou seja, se |un | ´ convergente, ent˜o
e a un ´ convergente; e temos
e

31. 26 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
que un |un |.
Prova: Vide [1].
Exemplo 2.19. Consideremos a s´rie
e nk n , com k ∈ R e vamos estudar a con-
e ´
vergˆncia simples e absoluta. E claro que para k = 0 temos a s´rie nula e portanto
e
absolutamente convergente. Para k = 0, tomemos a s´rie dos m´dulos
e o n|k|n e
pelo Crit´rio de d’Alembert temos
e
un+1 (n + 1)|k|n+1 n+1
lim = lim n
= |k| lim = |k|,
un n|k| n
de onde conclu´
ımos que: se |k| < 1, a s´rie
e n|k|n converge, ou seja, a s´rie
e
nk n converge absolutamente; se |k| > 1, a s´rie
e n|k|n diverge, mas a s´rie
e
nk n pode ser simplesmente convergente ou divergente.
No entanto, como para |k| 1 temos que o termo geral nk n n˜o ´ um infinit´simo,
a e e
pelo que a s´rie considerada ´ divergente.
e e
Proposi¸˜o 2.17. Dada uma s´rie absolutamente convergente, qualquer uma ou-
ca e
tra que resulte desta por reordenamento dos seus termos ´ tamb´m absolutamente
e e
convergente e tem a mesma soma.
Observa¸˜o 2.6. A Proposi¸˜o anterior n˜o ´ verdadeira para s´ries simplesmente
ca ca a e e
convergentes, como podemos ver no exemplo seguinte.
Exemplo 2.20. Vamos apresentar um exemplo em que a s´rie n˜o ´ absolutamente
e a e
convergente e que fazendo uma reordena¸ao dos termos temos uma s´rie com uma
c˜ e
soma diferente.
∞
1
Consideremos (−1)n a qual converge simplesmente pelo Crit´rio de
e
n=0
n+1

32. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 27
Leibnitz. Seja S a soma desta s´rie e ent˜o temos
e a
∞
1 1 1 1 1 1
S= (−1)n = 1 − + − + − + ...
n=0
n+1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1
= 1− + − + − + ...
2 3 4 5 6
∞
1 1
= −
n=0
2n + 1 2n + 2
1 1 1 1 1 1 1
= 1− + − + − + − + ...
2 3 4 5 6 7 8
∞
1 1 1 1
= − + −
n=0
4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4
e pod´
ıamos dizer que
∞ ∞
S 1 1 1 1 1 1 1
+S = − + − + − =
2 2 n=0
2n + 1 2n + 2 n=0
4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4
∞
1 1 1 1 1 1
= − + − + − =
n=0
4n + 2 4n + 4 4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4
∞
1 1 1
= − =
n=0
4n + 1 4n + 3 2n + 2
1 1 1 1 1
=1+ − + + − + ... = S
3 2 5 7 4
o que ´ absurdo, pelo que n˜o podemos trocar a ordem dos termos da referida s´rie,
e a e
j´ que a mesma n˜o ´ absolutamente convergente.
a a e
Proposi¸˜o 2.18. Sejam
ca un e vn duas s´ries absolutamente convergentes,
e
com somas U e V , respectivamente. Ent˜o o produto das s´ries,
a e un . vn
´ ainda uma s´rie absolutamente convergente com soma UV.
e e
Prova: Vide [1].
Nota 2.6. A Proposi¸˜o anterior refere-se ` s´rie que resulta de fazer o produto de
ca a e
outras duas s´ries, o que usualmente se chama de produto de Cauchy. N˜o confundir
e a

33. 28 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
com a s´rie cujo termo geral ´ o produto dos termos gerais de outras duas s´ries, ou
e e e
seja, com (un vn ), ` qual se refere a pr´xima Proposi¸ao.
a o c˜
Proposi¸˜o 2.19. Sejam
ca un e vn duas s´ries absolutamente convergentes.
e
Ent˜o a s´rie cujo termo geral ´ o produto dos termos gerais, ou seja,
a e e un v n , ´
e
ainda uma s´rie absolutamente convergente.
e
Prova: A sucess˜o (un ) converge para 0, logo ´ limitada, pelo que existe c ∈ R tal
a e
que |un | c ⇒ |un vn | c|vn |. Como vn ´ absolutamente convergente,
e |vn |
´ convergente o que implica que
e c|vn | ´ convergente. Pelo Crit´rio da Com-
e e
para¸˜o conclu´
ca ımos que |un vn | ´ convergente, ou seja,
e un vn ´ absolutamente
e
convergente.
Observa¸˜o 2.7. Na Proposi¸ao anterior ´ mesmo necess´rio que as s´ries
ca c˜ e a e un e
n
(−1)
vn sejam absolutamente convergentes. De facto, se tivermos un = 1 e vn =
n3
(−1)n
2 , as s´ries
e un e vn convergem simplesmente, uma vez que convergem
n3
pelo Crit´rio de Leibnitz, mas em m´dulo obtemos duas s´ries de Dirichelet, ambas
e o e
divergentes. Mas a s´rie
e un vn diverge, visto que temos a s´rie harm´nica, j´ que
e o a
1
un vn = .
n
2.1.5 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 2.1. Use a defini¸˜o de s´rie num´rica para estudar a natureza das se-
ca e e
guintes s´ries. Em caso de convergˆncia calcule a sua soma.
e e
∞ ∞
1
1. a, com a ∈ R 4. ln 1 +
n=1 n=1
n
∞ ∞
1
2. (−1)n 5. ln 1 −
n=1 n=2
n2
∞ ∞
1 2n + 3n
3. 6.
n=1
(2n − 1)(2n + 1) n=1
6n

34. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 29
Exerc´
ıcio 2.2. Use a condi¸ao necess´ria de convergˆncia para verificar que as
c˜ a e
seguintes s´ries s˜o divergentes.
e a
∞ ∞
n+1 √ 1
1. 3. n tg √
n=1
n+2 n=1
n
∞ ∞
n n+1
2. (−2) 4.
n=1 n=1
n
Exerc´
ıcio 2.3. Determine a natureza das seguintes s´ries, e em caso de convergˆncia
e e
determine a sua soma.
∞ ∞
−n 1
1. 2 7.
n=1 n=2
(n − 1)(n + 1)
∞ ∞
2 1
2. 8.
n=1
3n−1 n=1
4n2 − 1
∞ n−1 ∞
π2 2
3. 9.
n=1
7n+2 n=1
n(n + 1)(n + 3)
∞ n−1 ∞
2 π π
4. n
+ e−n 10. cos − cos
n=0
6 n=1
n n+3
∞ ∞ √ √
32n−1 n+1− n
5. 11. √
n=0
23n+1 n=1
n2 + n
∞ ∞
√ √
6. (−1)n 63n 47−2n 12. n
n− n+3
n+3
n=1 n=1
Exerc´
ıcio 2.4. Calcule os racionais correspondentes `s seguintes d´
a ızimas:
(a) 3, 6666 . . . (b) 2, 18181818 . . . (c) 0, 9999 . . . (d) 1, 57141414 . . .
Exerc´
ıcio 2.5. Determine a natureza das s´ries usando o Crit´rio de Compara¸ao
e e c˜
ou do Limite.

35. 30 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
∞ ∞
1 ln n
1. 2+1
7.
n=1
n n=1
n
∞ 2 ∞ √
5n + 2n + 3 n ln n
2. 8.
n=1
n3 + 4n n=1
n 2+1
∞ ∞
√
n n+1 π
3. 3 9. sen
n=1
n(n + 2) n=1
2n
∞ ∞
1 π
4. 10. tg
n=1
(2n − 1)22n−1 n=1
4n
∞ ∞
1 1 + cos n
5. 11.
n=1
ln(n + 1) n=1
2n
∞ ∞
1 2n
6. 2 + ln n
12.
n=1
n n=1
1 + 3n
∞
an
Exerc´
ıcio 2.6. Estude a natureza da s´rie
e no caso em que:
n=1
1 + bn
(a) 0 < a < b (b) 0 < b a < 1 (c) 1 b a
Exerc´
ıcio 2.7. Determine a natureza das s´ries usando o Crit´rio de d’Alembert.
e e
∞ ∞
2 × 5 × . . . × (3n − 1) (n + 1)!
1. 5.
n=1
1 × 5 × . . . × (4n − 3) n=1
e3n
∞ ∞
3 × 5 × 7 × . . . × (2n − 1) 10n × 2 × n!
2. 6.
n=1
n!7n n=1
(2n)!
∞ ∞
n2n ((2n)!)2
3. 7.
n=1
en n=1
n!(3n)!
∞ ∞
nn en (n + 1)2n+3
4. 8.
n=1
n!3n n=1
(n + 1)!3n
Exerc´
ıcio 2.8. Determine a natureza das s´ries usando o Crit´rio de Cauchy.
e e

36. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 31
∞ n ∞ n
1 n
1. 2+ 5.
n=1
n n=1
2n + 1
2 ∞
∞ n+1 n 2 n nn
2. n 6.
3n n=1
(3 + 9n)n
n=1
∞ ∞ 3n2
−n2 2n 3n − 2
3. e 7. 3
n=1
3n
n=1
∞ ∞
n 1
4. 8. n
2n n=1
ln (n + 1)
n=1
Exerc´
ıcio 2.9. Determine a natureza das seguintes s´ries.
e
∞ ∞
1 n+1
1. 11.
n=1
n2 + 4n + 3 n=1
n2n
∞ √ ∞
n+1 n
2. 12.
n=1
n3 n=1
3n+1
∞ n ∞
n+2 1
3. 13.
n=1
n+4 n=1
n!
∞ n ∞
n 2n (2n)!
4. 14.
n=1
2n + 1 n=1
3n (2n + 1)!
∞ n ∞
n+2 (n!)2
5. 15.
n=1
n n=1
3n (2n)!
∞ ∞
arctg(n3 ) (2n)!
6. √ 16.
n=1
n + n2 n=1
n2n + 2n
∞ ∞ 2n2
2n n n
7. 17. n5
n=1
3n + n n+2
n=1
∞ n ∞
3 4n
8. n + n3 18.
n=1
2 1 + arctg n
n=1
∞ ∞
ln n
9. 2n 31−2n 19.
n=1 n=1
n3
∞ n n ∞
3 −2 1
10. 20. n sen
n=1
4n + 3n n n
n=1
Exerc´
ıcio 2.10. Determine a natureza das s´ries usando o Crit´rio de Leibnitz.
e e

37. 32 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES
∞ ∞
(−1)n 1
1. √ 5. cos(nπ) sen
n=1
n n=1
n
∞ ∞
n+1 (−1)n n2 π
2. (−1)n 6. sen
n=1
n n=1
n+1 2n
∞ ∞
2n + 1 1
3. (−1)n 7. (−1)n tg √
n=2
n2 − n n=1
n
∞ ∞
cos(nπ) ln n
4. 8. (−1)n+1
n=1
3n + 1 n=1
n
Exerc´
ıcio 2.11. Determine se as s´ries s˜o absolutamente convergente, simples-
e a
mente convergentes ou divergentes.
∞ ∞
n n cos(nπ)
1. (−1) 8.
n=1
n+2 n=1
3n + 1
∞ ∞
1 n cos(nπ)
2. 9.
n=1
(n + 3)! n=1
3n + 2
∞ 3 ∞
n sen n (−1)n n2 π
3. (−1)n 10. sen n
n=1
1 + n! n=1
n+1 2
∞ ∞
sen nπ
4. e−n ln n 11. 4
n=1 n=1
3n2 + n
∞ ∞
1 sen π + nπ
4
5. 12.
n=1
(4 + (−1)n )2n n=1
3n + 1
∞ ∞
2n − 1 n3 sen n
6. (−1)n−1 13. (−1)n
n=1
n(n + 1) n=1
1 + n!
∞ ∞ √ 1
n! sen n + tg n
7. (−1)n 14.
n=1
(n + 2)! n=1
n2
Exerc´
ıcio 2.12. Considere as seguintes afirma¸oes. Justifique as verdadeiras e
c˜
apresente um contra-exemplo para as falsas.
1. Se as s´ries
e un e vn divergem, ent˜o a s´rie
a e un +vn tamb´m diverge.
e
2. Se as s´ries
e (un )2 e (vn )2 convergem, ent˜o a s´rie
a e un vn tamb´m
e
converge.

38. ´ ´
2.1. SERIES NUMERICAS 33
3. Se un → 0, ent˜o u1 − u1 + u2 − u2 + u3 − u3 + . . .converge.
a
4. Se |un | converge e vn → 1, ent˜o
a un vn converge.
5. Se un converge e vn → 1, ent˜o
a un vn converge.
un
6. Se un converge, ent˜o
a converge.
n2
7. Se un converge, ent˜o
a (un )2 converge.
8. Se |un | converge, ent˜o
a (un )2 converge.
9. Se un diverge, ent˜o un → 0.
a
10. Se un converge, ent˜o nun → 0.
a
n2 + 1
11. Se nun , com un 0, converge, ent˜o
a un tamb´m converge.
e
n
12. Se nun , com un 0, converge, ent˜o
a un tamb´m converge.
e
un
13. Se un → +∞, ent˜o
a diverge.
un + 1

39. 34 CAP´ ´
ITULO 2. SERIES

40. Cap´
ıtulo 3
Preliminares
3.1 Conjuntos Limitados. M´ximo, M´
a ınimo, Su-
premo e ´
Infimo.
Defini¸˜o 3.1. Sejam a, b ∈ R e A um subconjunto de R. Dizemos que a ´ majo-
ca e
rante de A se a x, para todo o x ∈ A. Dizemos que b ´ minorante de A se b
e x,
para todo o x ∈ A. Representamos o conjunto dos majorantes de A por M (A) e o
conjunto dos minorantes de A por m(A).
Defini¸˜o 3.2. Seja A um subconjunto de R. Dizemos que A ´ majorado (ou limi-
ca e
tado superiormente) se admitir majorantes. Dizemos que A ´ minorado (ou limitado
e
inferiormente) se admitir minorantes. Se A ´ majorado e minorado, dizemos que A
e
´ limitado.
e
Defini¸˜o 3.3. Seja A um subconjunto majorado de R. Dizemos que α ∈ R ´ o
ca e
supremo de A se α for o menor dos majorantes de A, ou seja, se α a para todo o
a ∈ M (A), e representamos por sup(A).
Se al´m disso α ∈ A, dizemos que α ´ o m´ximo de A e representamos por
e e a
max(A).
Defini¸˜o 3.4. Seja A um subconjunto minorado de R. Dizemos que β ∈ R ´ o
ca e
35

41. 36 CAP´
ITULO 3. PRELIMINARES
´
ınfimo de A se β for o maior dos minorantes de A, ou seja, se β b para todo o
b ∈ m(A), e representamos por inf(A).
Se al´m disso β ∈ A, dizemos que β ´ o m´
e e ınimo de A e representamos por
min(A).
Exemplo 3.1. Consideremos o conjunto A = [0, 1[. Temos que
M (A) = [1, +∞[ , m(A) =] − ∞, 0] , sup(A) = 1 , inf(A) = 0 ,
o m´ximo de A n˜o existe e min(A) = 0.
a a
Teorema 3.5. Em R, todo o conjunto majorado n˜o vazio tem supremo e todo o
a
conjunto minorado n˜o vazio tem ´
a ınfimo.
3.2 No¸˜es Topol´gicas
co o
Defini¸˜o 3.6. Sejam a ∈ R e ε ∈ R+ . Definimos a vizinhan¸a de centro a e raio ε
ca c
ou vizinhan¸a ε de a como sendo o intervalo ]a − ε, a + ε[ e representamos por Vε (a),
c
ou seja, temos
Vε (a) = {x ∈ R : |x − a| < ε} = {x ∈ R : a − ε < x < a + ε}.
Defini¸˜o 3.7. Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Dizemos que a ´ um ponto
ca e
interior a A se existir uma vizinhan¸a de a contida em A, ou seja,
c
∃ε>0 : Vε (a) ⊂ A.
Ao conjunto dos pontos interiores de A chamamos interior de A e representamos
por int(A). Dizemos que a ´ um ponto exterior a A se existir uma vizinhan¸a de a
e c
contida em AC (o complementar de A, R A), ou seja,
∃ε>0 : Vε (a) ⊂ AC .

42. ¸˜ ´
3.2. NOCOES TOPOLOGICAS 37
Ao conjunto dos pontos exteriores de A chamamos exterior de A e representamos
por ext(A). Dizemos que a ´ um ponto fronteiro a A se toda a vizinhan¸a de a
e c
intersecta A e AC , ou seja,
∀ε>0 : Vε (a) ∩ A = ∅ ∧ Vε (a) ∩ AC = ∅.
Ao conjunto dos pontos fronteiros de A chamamos fronteira de A e representamos
por fr(A).
Observa¸˜o 3.1. Para qualquer subconjunto A de R, temos as seguintes afirma¸˜es
ca co
int(A) ∩ ext(A) = ∅ int(A) ∩ fr(A) = ∅ ext(A) ∩ fr(A) = ∅
int(A) ∪ ext(A) ∪ fr(A) = R int(A) ⊂ A ext(A) ⊂ AC
int(A) = ext(AC ) ext(A) = int(AC ) fr(A) = fr(AC )
Nota 3.1. int(∅) = fr(∅) = ext(R) = fr(R) = ∅ ext(∅) = int(R) = R.
Exemplo 3.2. Seja A = [0, 1[, ent˜o int(A) =]0, 1[, ext(A) =] − ∞, 0[∪]1, +∞[ e
a
fr(A) = {0, 1}.
Exemplo 3.3. Seja A = Q, ent˜o int(A) = ∅, ext(A) = R Q e fr(A) = Q.
a
Defini¸˜o 3.8. Seja A um subconjunto de R, dizemos que a ´ um ponto aderente
ca e
a A se para todo o ε > 0 tivermos Vε (a) ∩ A = ∅. Ao conjunto dos pontos aderentes
a A chamamos aderˆncia de A ou fecho de A e representamos por A.
e
Observa¸˜o 3.2. Para qualquer subconjunto A de R, temos que A = int(A) ∪ fr(A)
ca
e portanto, int(A) ⊂ A ⊂ A.
Defini¸˜o 3.9. Seja A um subconjunto de R, dizemos que A ´ conjunto aberto se
ca e
int(A) = A e dizemos que A ´ conjunto fechado se A = A.
e
Observa¸˜o 3.3. Seja A um qualquer subconjunto de R, temos que
ca
1. A ´ fechado se e s´ se A = A ⇔ int(A) ∪ fr(A) = A ⇔ fr(A) ⊂ A
e o

43. 38 CAP´
ITULO 3. PRELIMINARES
2. A ´ aberto se e s´ se AC ´ fechado.
e o e
3. A ´ fechado se e s´ se AC ´ aberto.
e o e
Exemplo 3.4. Seja A = [0, 1], como int(A) ∪ fr(A) = A, temos que A ´ um conjunto
e
fechado.
Exemplo 3.5. Seja A = [0, 1[, A n˜o ´ um conjunto aberto, nem fechado.
a e
Exemplo 3.6. Os conjuntos R e ∅ s˜o simultaneamente abertos e fechados.
a
Defini¸˜o 3.10. Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Dizemos que a ´ um
ca e
ponto de acumula¸˜o de A se toda a vizinhan¸a de A intersecta A {a}, isto ´,
ca c e
Vε (a) ∩ (A {a}) = ∅ para todo o ε > 0, ou seja, em qualquer vizinhan¸a de a existe
c
pelo menos um elemento de A diferente de a. Ao conjunto de todos os pontos de
acumula¸˜o chamamos derivado de A, o qual representaremos por A .
ca
Dizemos que a ´ um ponto isolado de A se existe uma vizinhan¸a de A que n˜o
e c a
intersecta A {a}, isto ´, existe ε > 0 tal que Vε (a) ∩ (A {a}) = ∅.
e
Observa¸˜o 3.4. Para qualquer A subconjunto de R, temos que
ca
1. A = A ∪ A
2. Um ponto fronteiro a A pode ou n˜o pertencer a A; e o mesmo acontece com
a
um ponto aderente a A e com um ponto de aumula¸˜o de A.
ca
3. Se a ∈ int(A), ent˜o a ´ um ponto de acumula¸˜o de A.
a e ca
Exemplo 3.7. Seja A =]0, 1[∪{3}, ent˜o A = [0, 1] e 3 ´ um ponto isolado.
a e
3.3 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 3.1. Determine os majorantes, minorantes, supremo, ´
ınfimo, m´ximo e
a
m´
ınimo (caso existam) dos seguintes conjuntos
x2 − 3x + 2
1. x∈R: >0
x2 + x + 1

44. 3.3. EXERC´
ICIOS 39
√
2x + 1
2. x∈R: 0
x2 + 4x + 3
3. {x ∈ R : 2x > |x + 3|}
4. {x ∈ R : |2x + 1| > |x + 2|}
5. {x ∈ R : 3|x| − |x − 2| 9}.
(−1)n
6. x∈R:x= ∧ n ∈ N ∪ [2, 3].
n+4
Exerc´
ıcio 3.2. Determine o interior, exterior e fronteira dos seguintes conjuntos
1. [−1, 1] 4. {x ∈ R : x2 (x − 1) 0}
2. ] − 2, 3] ∪ {6} 5. {x ∈ R : 2x2 − 3x > 5}
1
3. {x ∈ R : |x2 − 1| 1} 6. x∈R:x= ∧n∈N
n
Exerc´
ıcio 3.3. Determine a aderˆncia e o derivado dos seguintes conjuntos, indi-
e
cando quais s˜o abertos ou fechados.
a
1. {x ∈ R : (x2 − 1) + x < 7} 5. {x ∈ R : |x − 3| − 2|x + 5| < 3}
√
2. {x ∈ R : x2 − 16 < 2 − x} 6. {x ∈ R : x + |x| < 1}
1
3. {x ∈ R : |x − 5| > 1} 7. x∈R:x= ∧n∈N
n
1 − 2x
4. x∈R: >2 8. {x ∈ R : x = cos(nπ) ∧ n ∈ N}
2x − 3
Exerc´ ıcio 3.4. Seja A o conjunto dos termos da sucess˜o de termo geral un =
a
nπ 1
sen e B = − , 1 . Determine o supremo, o ´ınfimo, a fronteira e o derivado de
4 2
A ∪ B.

45. 40 CAP´
ITULO 3. PRELIMINARES

46. Cap´
ıtulo 4
Fun¸oes Reais de Vari´vel Real
c˜ a
Defini¸˜o 4.1. Dados dois conjuntos A e B, chamamos a f fun¸˜o definida com
ca ca
valores de A para B a toda a correspondˆncia entre A e B que a cada elemento de A
e
faz corresponder um e um s´ elemento de B, e representamos f : A → B. Tamb´m
o e
escrevemos x → f (x) para indicar que ao elemento x ∈ A fazemos corresponder o
elemento f (x) ∈ B, ao elemento f (x) chamamos imagem de x.
Ao conjunto A chamamos dom´nio de f e ao conjunto B chamamos conjunto de
ı
chegada de f . Chamamos contradom´nio de f ao conjunto das imagens, ou seja, ao
ı
conjunto dos elementos que s˜o imagem pela fun¸˜o f dos elementos do dom´
a ca ınio, o
qual ´ naturalmente subconjunto de B e pode ser representado por
e
f (D) = {f (x) ∈ B : x ∈ D} ⊂ B.
Dizemos que f ´ uma fun¸˜o real de vari´vel real quando A e B s˜o subconjuntos
e ca a a
de R.
Defini¸˜o 4.2. Dada uma fun¸ao f : D ⊂ R → R, chamamos gr´fico da fun¸˜o f
ca c˜ a ca
ao conjunto {(x, y) ∈ R2 : x ∈ D , y = f (x)}.
Defini¸˜o 4.3. Dada uma fun¸ao f : D ⊂ R → R, dizemos que f ´ uma fun¸˜o
ca c˜ e ca
limitada se existe M ∈ R+ tal que |f (x)| M , para todo o x ∈ D. Por outras
41

47. 42 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
palavras, f ´ uma fun¸˜o limitada se f (D) ´ um conjunto limitado. Tamb´m dizemos
e ca e e
que f ´ uma fun¸˜o majorada/minorada se f (D) o for enquanto conjunto.
e ca
De modo an´logo, ao supremo/´
a ınfimo/m´ximo/m´
a ınimo do conjunto f (D) cha-
mamos supremo/´nfimo/m´ximo/m´nimo de f .
ı a ı
Defini¸˜o 4.4. Dada uma fun¸ao f : D ⊂ R → R, dizemos que
ca c˜
• f ´ crescente se sempre que x < y tivermos f (x)
e f (y).
• f ´ decrescente se sempre que x < y tivermos f (x)
e f (y).
• f ´ estritamente crescente se sempre que x < y tivermos f (x) < f (y).
e
• f ´ estritamente decrescente se sempre que x < y tivermos f (x) > f (y).
e
• f ´ mon´tona se ´ crescente ou decrescente.
e o e
• f ´ estritamente mon´tona se ´ estritamente crescente ou estritamente decres-
e o e
cente.
Defini¸˜o 4.5. Dada uma fun¸ao f : R → R, dizemos que
ca c˜
• f ´ par se f (−x) = f (x) para todo o x ∈ R.
e
• f ´´
e ımpar se f (−x) = −f (x) para todo o x ∈ R.
Nota 4.1. O gr´fico de uma fun¸ao par ´ sim´trico em rela¸˜o ao eixo das ordenadas,
a c˜ e e ca
enquanto que o gr´fico de uma fun¸ao ´
a c˜ ımpar ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem.
e e ca a
Defini¸˜o 4.6. Dada uma fun¸ao f : R → R, dizemos que f ´ uma fun¸˜o peri´dica
ca c˜ e ca o
de per´
ıodo T ∈ R se f (x + T ) = f (x) para todo o x ∈ R.
Nota 4.2. O gr´fico de uma fun¸ao peri´dica de per´
a c˜ o ıodo T repete-se de T em T
espa¸os.
c
Defini¸˜o 4.7. Seja f : D ⊂ R → R, aos elementos x ∈ D tais que f (x) = 0
ca
chamamos zeros de f .

48. 43
Defini¸˜o 4.8. Dada uma fun¸ao f : D ⊂ R → B ⊂ R, dizemos que
ca c˜
• f ´ injectiva se para todo o x, y ∈ D tais que x = y tivermos f (x) = f (y).
e
• f ´ sobrejectiva se para todo o y ∈ B existe x ∈ D tal que f (x) = y.
e
• f ´ bijectiva se for injectiva e sobrejectiva.
e
Defini¸˜o 4.9. Sejam f : A ⊂ R → B ⊂ R e g : C ⊂ R → D ⊂ R duas fun¸oes tais
ca c˜
que f (A) ∩ C = ∅. Definimos a fun¸˜o composta de g com f , a fun¸˜o designada por
ca ca
g◦f , cujo dom´ ´ U = {x ∈ A : f (x) ∈ C} e para cada x ∈ U , (g◦f )(x) = g(f (x)).
ınio e
x f (x) g(f (x))
f g
g◦f
Defini¸˜o 4.10. Dada uma fun¸ao injectiva f : D ⊂ R → R, definimos a fun¸˜o
ca c˜ ca
inversa de f , como sendo g : f (D) ⊂ R → R tal que (g ◦ f )(x) = x para todo o
x ∈ D; assim, f (x) = y ⇔ x = g(y). Representaremos a fun¸˜o inversa de f por
ca
f −1 .
Nota 4.3. O gr´fico de f −1 resulta do gr´fico de f fazendo uma simetria em rela¸˜o
a a ca
` recta y = x.
a
Defini¸˜o 4.11. Sejam f : D ⊂ R → R e S subconjunto de D. Definimos a restri¸˜o
ca ca
de f a S, a qual representamos por f|S , ` fun¸ao de S em R tal que f|S (x) = f (x)
a c˜
para cada x ∈ S.
4.0.1 Fun¸˜o Exponencial e Logar´
ca ıtmica
Defini¸˜o 4.12. Seja a ∈ R+ {1}, chamamos fun¸˜o exponencial de base a ` fun¸ao
ca ca a c˜
real de vari´vel real
a
f :R → R
x → ax

49. 44 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
O dom´ ´ R e o contradom´ ´ R+ . A fun¸ao ´ injectiva, e o seu gr´fico depende
ınio e ınio e c˜ e a
de a. Gr´ficos de algumas fun¸oes exponenciais com base maior que 1:
a c˜
y
h(x) = 4x
g(x) = 3x
f (x) = 2x
1
x
Gr´ficos de algumas fun¸oes exponenciais com base menor que 1:
a c˜
y
1 x
g(x) = 9
1 x
f (x) = 3
1–
x
Como qualquer fun¸ao exponencial de base a ∈ R+ {1} ´ injectiva, admite
c˜ e
fun¸˜o inversa.
ca
Exemplo 4.1. Gr´ficos das fun¸oes exponenciais de base e e e−1 :
a c˜
y
g(x) = e−x f (x) = ex
1–
x

50. 45
Defini¸˜o 4.13. Seja a ∈ R+ {1}, chamamos fun¸˜o logar´
ca ca ıtmica de base a ` fun¸ao
a c˜
real de vari´vel real
a
f : R+ → R
x → loga x
O dom´ ´ R+ e o contradom´ ´ R, sendo que tem um zero em x = 1. A fun¸˜o
ınio e ınio e ca
´ injectiva, e o seu gr´fico depende de a. Gr´fico da fun¸˜o logar´
e a a ca ıtmica com base
maior que 1
y
f (x) = loga (x), a>1
| x
1
Gr´fico da fun¸ao logar´
a c˜ ıtmica com base menor que 1
y
| x
1
f (x) = loga (x), a<1
Observa¸˜o 4.1. Temos que y = ax se e s´ se loga y = x, ou seja, a fun¸˜o
ca o ca
ıtmica de base a ´ a inversa da fun¸ao exponencial de base a.
logar´ e c˜
Nota 4.4. Em particular, quando a = e, chamamos logaritmo nepperiano ao loga-
ritmo de base e e temos y = ex se e s´ se ln y = x.
o

51. 46 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
Exemplo 4.2. Gr´fico de f (x) = log(x) e g(x) = ln(x).
a
y g(x) = ln(x)
f (x) = log(x)
|
1 x
Observa¸˜o 4.2. Sejam x, y ∈ R+ e a, b ∈ R+ {1}, temos as seguintes propriedades
ca
1. loga (xy) = loga x + loga y
x
2. loga = loga x − loga y
y
3. loga xk = k loga x para todo o k ∈ R
4. loga x = loga b · logb x
4.0.2 Fun¸oes Trigonom´tricas e Trigonom´tricas Inversas
c˜ e e
Consideremos a fun¸˜o
ca
f :R → R
x → sen x
a qual tem dom´ R e contradom´ [−1, 1] e ´ uma fun¸ao ´
ınio ınio e c˜ ımpar, j´ que sen(−x) =
a
− sen x, e o gr´fico vem
a
Claramente que a fun¸ao seno n˜o ´ injectiva e como tal, ` partida, n˜o admite
c˜ a e a a
inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restri¸˜es para as quais a fun¸˜o
co ca
seno admite inversa.

52. 47
π π
Seja A = − , e consideremos a restri¸˜o da fun¸ao seno a este intervalo,
ca c˜
2 2
f|A , a qual designamos por restri¸˜o principal. A fun¸ao f|A ´ injectiva, pelo que
ca c˜ e
podemos tomar a sua fun¸˜o inversa
ca
−1 π π
f|A : [−1, 1] →
− ,
2 2
x → arcsen x
fun¸˜o essa que a cada x faz corresponder o arco cujo seno ´ x, tem por dom´
ca e ınio
π π
[−1, 1] e contradom´ınio − , e o gr´fico vem
a
2 2
π π
Nota 4.5. Para cada x ∈ − , temos y = sen x ⇔ arcsen y = x.
2 2
π π
Nota 4.6. Restringindo a fun¸˜o seno a qualquer intervalo da forma kπ − , kπ + ,
ca
2 2
com k ∈ Z, obter´ ıamos uma fun¸ao injectiva e pod´
c˜ ıamos ent˜o falar da fun¸˜o que
a ca
a cada x ∈ [−1, 1] faz corresponder o arco cujo seno ´ x, nessa restri¸ao.
e c˜
Consideremos agora a fun¸ao
c˜
g:R → R
x → cos x
a qual tem dom´ R e contradom´ [−1, 1] e ´ uma pfun¸ao par, j´ que cos(−x) =
ınio ınio e c˜ a
cos x, e o gr´fico vem
a
Claramente que a fun¸ao cosseno n˜o ´ injectiva e como tal, ` partida, n˜o admite
c˜ a e a a
inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restri¸˜es para as quais a fun¸˜o
co ca
cosseno admite inversa.
Seja B = [0, π] e consideremos a restri¸˜o da fun¸˜o cosseno a este intervalo,
ca ca
g|B , a qual designamos por restri¸˜o principal. A fun¸ao g|B ´ injectiva, pelo que
ca c˜ e
podemos tomar a sua fun¸˜o inversa
ca
−1
g|B : [−1, 1] → [0, π]
x → arccos x

53. 48 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
fun¸˜o essa que a cada x faz corresponder o arco cujo cosseno ´ x, tem por dom´
ca e ınio
[−1, 1] e contradom´
ınio [0, π] e o gr´fico vem
a
Nota 4.7. Para cada x ∈ [0, π] temos y = cos x ⇔ arccos y = x.
Nota 4.8. Restringindo a fun¸˜o cosseno a qualquer intervalo da forma [kπ, kπ + π],
ca
com k ∈ Z, obter´
ıamos uma fun¸ao injectiva e pod´
c˜ ıamos ent˜o falar da fun¸˜o que
a ca
a cada x ∈ [−1, 1] faz corresponder o arco cujo cosseno ´ x, nessa restri¸ao.
e c˜
π
Consideremos o conjunto T = x ∈ R : x = + kπ, k ∈ Z e a fun¸˜o
ca
2
h:T → R
x → tg x
a qual tem dom´
ınio T e contradom´
ınio R e o gr´fico vem
a
Claramente que a fun¸ao tangente n˜o ´ injectiva e como tal, ` partida, n˜o
c˜ a e a a
admite inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restri¸oes para as quais a
c˜
fun¸˜o tangente admite inversa.
ca
π π
Seja C = − , e consideremos a restri¸ao da fun¸˜o tangente a este intervalo,
c˜ ca
2 2
h|C , a qual designamos por restri¸˜o principal. A fun¸˜o h|C ´ injectiva, pelo que
ca ca e
podemos tomar a sua fun¸˜o inversa
ca
−1 π π
h|C :R → − ,
2 2
x → arctg x
fun¸˜o essa que a cada x faz corresponder o arco cuja tangente ´ x, tem por dom´
ca e ınio
π π
R e contradom´ ınio − , e o gr´fico vem
a
2 2
π π
Nota 4.9. Para cada x ∈ − , temos y = tg x ⇔ arctg y = x.
2 2
π π
Nota 4.10. Restringindo a fun¸ao tangente a intervalos da forma kπ − , kπ + ,
c˜
2 2
com k ∈ Z, obter´ ıamos uma fun¸ao injectiva e pod´
c˜ ıamos ent˜o falar da fun¸˜o que
a ca
a cada x ∈ R faz corresponder o arco cuja tangente ´ x, nessa restri¸˜o.
e ca

54. 49
Consideremos o conjunto U = {x ∈ R : x = kπ, k ∈ Z} e a fun¸˜o
ca
i:U → R
x → cotg x
a qual tem dom´
ınio U e contradom´
ınio R e o gr´fico vem
a
Claramente que a fun¸˜o cotangente n˜o ´ injectiva e como tal, ` partida, n˜o
ca a e a a
admite inversa. No entanto, podemos considerar infinitas restri¸oes para as quais a
c˜
fun¸˜o cotangente admite inversa.
ca
Seja D =]0, π[ e consideremos a restri¸˜o da fun¸˜o cotangente a este intervalo,
ca ca
i|D , a qual designamos por restri¸˜o principal. A fun¸ao i|D ´ injectiva, pelo que
ca c˜ e
podemos tomar a sua fun¸˜o inversa
ca
−1
i|D : R → ]0, π[
x → arccotg x
fun¸˜o essa que a cada x faz corresponder o arco cuja cotangente ´ x, tem por
ca e
dom´ ınio ]0, π[ e o gr´fico vem
ınio R e contradom´ a
Nota 4.11. Para cada x ∈]0, π[ temos y = cotg x ⇔ arccotg y = x.
Nota 4.12. Restringindo a fun¸ao cotangente a intervalos da forma ]kπ, kπ + π[, com
c˜
k ∈ Z, obter´
ıamos uma fun¸ao injectiva e pod´
c˜ ıamos ent˜o falar da fun¸ao que a cada
a c˜
x ∈ R faz corresponder o arco cuja tangente ´ x, nessa restri¸˜o.
e ca
Observa¸˜o 4.3. Recordemos algumas f´rmulas trigonom´tricas que relacionam
ca o e
as fun¸˜es acima definidas. Comecemos pela chamada f´rmula fundamental da
co o
trigonometria cos2 x + sen2 x = 1. Temos ainda as seguintes f´rmulas:
o

55. 50 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
sen x cos x
• tg x = • cotg x =
cos x sen x
1 1
• 1 + tg2 x = • 1 + cotg2 x =
cos2 x sen2 x
• sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x • cos(x ± y) = cos x cos y sen x sen y
• sen(2x) = 2 sen x cos x • cos(2x) = cos2 x − sen2 x
x±y x±y x+y x−y
• sen x ± sen y = 2 sen cos • cos x + cos y = 2 cos cos
2 2 2 2
x+y x−y x 1 − cos x
• cos x − cos y = −2 sen sen • sen = ±
2 2 2 2
x 1 + cos x x 1 − cos x
• cos = ± • tg = ±
2 2 2 1 + cos x
4.0.3 Fun¸oes Hiperb´licas
c˜ o
Defini¸˜o 4.14. Definimos a fun¸˜o seno hiperb´lico da seguinte forma
ca ca o
f :R → R
ex − e−x
x → senh x =
2
O seu dom´ e contradom´ ´ R, trata-se de uma fun¸ao ´
ınio ınio e c˜ ımpar, pois senh(−x) =
− senh x e o seu gr´fico vem da seguinte forma
a
Defini¸˜o 4.15. Definimos a fun¸˜o cosseno hiperb´lico da seguinte forma
ca ca o
f :R → R
ex + e−x
x → cosh x =
2
O seu dom´
ınio ´ R e o contradom´
e ınio ´ [1, +∞[, trata-se de uma fun¸ao par, pois
e c˜
cosh(−x) = cosh x e o seu gr´fico vem da seguinte forma
a
Observa¸˜o 4.4. Podemos verificar que temos a igualdade cosh2 x − senh2 x = 1.
ca

56. 4.1. LIMITE 51
4.1 Limite
Defini¸˜o 4.16. Consideremos uma fun¸ao f : D ⊂ R → R e a ∈ D . Dizemos
ca c˜
que o limite da fun¸˜o f no ponto a ´ b se para cada δ > 0 existe ε > 0 tal que
ca e
|f (x) − b| < δ, sempre que x ∈ D e 0 < |x − a| < ε, ou seja,
∀δ>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ 0 < |x − a| < ε) ⇒ |f (x) − b| < δ,
e escrevemos lim f (x) = b. A express˜o acima pode ainda ser escrita na forma
a
x→a
∀δ>0 ∃ε>0 : x ∈ (D ∩ Vε (a) {a}) ⇒ f (x) ∈ Vδ (b).
Nota 4.13. Intuitivamente, a express˜o lim f (x) = b significa que se considerarmos
a
x→a
apenas valores de x pertencentes ao dom´
ınio e suficientemente pr´ximos de a, os
o
valores correspondentes f (x) estar˜o t˜o pr´ximos de b quanto se queira.
a a o
A Defini¸ao anterior pode ainda ser estentida aos casos em que a ou b, ou ambos
c˜
s˜o infinitos das seguintes formas.
a
Defini¸˜o 4.17. Consideremos uma fun¸ao f : D ⊂ R → R e suponhamos que D
ca c˜
n˜o ´ majorado (minorado). Dizemos que o limite da fun¸˜o f quando x tende para
a e ca
+∞ −∞ ´ b se para cada δ > 0 existe K > 0 tal que |f (x) − b| < δ, sempre que
e
x ∈ D∩]K, +∞[ x ∈ D∩] − ∞, −K[ , ou seja,
∀δ>0 ∃K>0 : (x ∈ D ∧ x > K) ⇒ |f (x) − b| < δ
∀δ>0 ∃K>0 : (x ∈ D ∧ x < −K) ⇒ |f (x) − b| < δ ,
e escrevemos lim f (x) = b.
x→+∞(x→−∞)
Defini¸˜o 4.18. Consideremos uma fun¸˜o f : D ⊂ R → R e a ∈ D . Dizemos que
ca ca
o limite da fun¸˜o f no ponto a ´ +∞ −∞ se para cada K > 0 existe ε > 0 tal
ca e

57. 52 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
que f (x) > K f (x) < −K , sempre que x ∈ D e 0 < |x − a| < ε, ou seja,
∀K>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ 0 < |x − a| < ε) ⇒ f (x) > K
∀K>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ 0 < |x − a| < ε) ⇒ f (x) < −K ,
e escrevemos lim f (x) = +∞ − ∞ .
x→a
Observa¸˜o 4.5. As defini¸˜es para as express˜es
ca co o
lim f (x) = +∞ , lim f (x) = +∞ , lim f (x) = −∞ e lim f (x) = −∞
x→+∞ x→−∞ x→+∞ x→−∞
obtˆm-se de forma completamente an´loga `s Defini¸oes anteriores.
e a a c˜
Teorema 4.19. O limite de uma fun¸˜o, quando existe, ´ unico.
ca e´
Teorema 4.20. Se lim f (x) = b e lim g(x) = c temos que
x→a x→a
1. lim (f (x) + g(x)) = b + c.
x→a
2. lim (Kf (x)) = Kb, para todo o K ∈ R.
x→a
3. lim (f (x) · g(x)) = bc.
x→a
f (x) b
4. lim = , se c = 0.
x→a g(x) c
Teorema 4.21. Se lim f (x) = 0 e g ´ uma fun¸˜o limitada numa vizinhan¸a de a,
e ca c
x→a
ent˜o lim (f (x) · g(x)) = 0.
a
x→a
Teorema 4.22. Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que f (D) ⊂ E. Se
lim f (x) = b e lim g(x) = c ent˜o lim (g ◦ f )(x) = c.
a
x→a x→b x→a
Teorema 4.23. Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D . Temos que lim f (x) = b se e s´
o
x→a
se para toda a sucess˜o (xn ) convergente para a, com xn ∈ D para todo o n ∈ N, a
a
sucess˜o (f (xn )) ´ convergente para b.
a e

58. 4.1. LIMITE 53
Defini¸˜o 4.24. Sejam f : D ⊂ R → R, S subconjunto de D e a ∈ S . Dizemos que
ca
o limite da fun¸˜o f relativo a S quando x tende para a ´ b se o limite da restri¸˜o
ca e ca
de f a S quando x tende para a ´ b, e escrevemos x→a f (x) = b ou
e lim lim f (x) = b.
x→a,x∈S
x∈S
Da Defini¸ao anterior decorrem ainda as seguintes defini¸˜es.
c˜ co
Defini¸˜o 4.25. Na Defini¸ao anterior, no caso em que S = {x ∈ D : x < a},
ca c˜
dizemos que o limite ` esquerda da fun¸˜o f quando x tende para a ´ b e escrevemos
a ca e
lim− f (x) = b ou f (a− ) = b.
x→a
Defini¸˜o 4.26. Na Defini¸ao anterior, no caso em que S = {x ∈ D : x > a},
ca c˜
dizemos que o limite ` direita da fun¸˜o f quando x tende para a ´ b e escrevemos
a ca e
lim f (x) = b ou f (a+ ) = b.
x→a+
Teorema 4.27. Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D . Temos que lim f (x) existe se e s´
o
x→a
se os limites laterais (o limite ` esquerda e ` direita) em a existirem e forem iguais.
a a
4.1.1 Limites Not´veis
a
Para as fun¸˜es estudadas anteriormente existem alguns limites que por surgirem
co
algumas vezes, por servirem para entender melhor o comportamento de tais fun¸oes,
c˜
ou porque se tratam de indetermina¸oes, adquirem o t´
c˜ ıtulo de ”not´veis”. Alguns
a
deles s˜o os que se seguem
a
• Se a > 1, temos lim ax = +∞ e lim ax = 0
x→+∞ x→−∞
• Se 0 < a < 1, temos lim ax = 0 e lim ax = +∞
x→+∞ x→−∞
• Se a > 1, temos lim loga x = +∞ e lim loga x = −∞
x→+∞ x→0
• Se 0 < a < 1, temos lim loga x = −∞ e lim loga x = +∞
x→+∞ x→0
ex − 1
• lim =1
x→0 x
ex
• lim = +∞, para todo o k ∈ R
x→+∞ xk

59. 54 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
sen x
• lim =1
x→0 x
4.2 Continuidade
Defini¸˜o 4.28. Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Dizemos que f ´ uma fun¸˜o
ca e ca
cont´nua no ponto a se lim f (x) = f (a), ou seja, se
ı
x→a
∀δ>0 ∃ε>0 : (x ∈ D ∧ |x − a| < ε) ⇒ |f (x) − f (a)| < δ.
Os pontos onde a fun¸ao n˜o ´ cont´
c˜ a e ınua dizem-se pontos de descontinuidade.
Dizemos ainda que f ´ uma fun¸˜o cont´nua ` esquerda do ponto a se lim− f (x) =
e ca ı a
x→a
f (a). Analogamente, dizemos que f ´ uma fun¸˜o cont´
e ca ınua ` direita do ponto a se
a
lim f (x) = f (a).
x→a+
Proposi¸˜o 4.29. Dada uma fun¸˜o f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Ent˜o, f ´ uma
ca ca a e
fun¸˜o cont´nua no ponto a se e s´ se f ´ uma fun¸˜o cont´
ca ı o e ca ınua ` esquerda e `
a a
direita do ponto a.
Defini¸˜o 4.30. Dada uma fun¸ao f : D ⊂ R → R, dizemos que f ´ uma fun¸˜o
ca c˜ e ca
cont´nua em D (ou apenas cont´nua) se for cont´
ı ı ınua em todos os pontos de D. Seja
A ⊂ D, dizemos que f ´ uma fun¸˜o cont´nua em A se f|A for uma fun¸ao cont´
e ca ı c˜ ınua.
Teorema 4.31. Toda a fun¸˜o constante ´ cont´
ca e ınua em todos os pontos do seu
dom´nio.
ı
Teorema 4.32. Sejam f e g duas fun¸˜es cont´nuas no ponto a, ent˜o f + g, K · f
co ı a
(com K ∈ R), f · g e |f | s˜o fun¸˜es cont´
a co ınuas no ponto a. Se al´m disso, g(a) = 0,
e
f
´ tamb´m cont´nua no ponto a.
e e ı
g
Teorema 4.33. Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que f (D) ⊂ E. Se f
´ uma fun¸˜o cont´nua no ponto a e g ´ uma fun¸˜o cont´
e ca ı e ca ınua no ponto b = f (a),
ent˜o g ◦ f ´ uma fun¸˜o cont´nua no ponto a.
a e ca ı

60. 4.2. CONTINUIDADE 55
Observa¸˜o 4.6. Todas as fun¸oes definidas nas sec¸˜es das Fun¸oes Exponenciais,
ca c˜ co c˜
Logar´
ıtmicas, Trigonom´tricas e Trigonom´tricas Inversas s˜o cont´
e e a ınuas em todo o
seu dom´
ınio. Tamb´m as fun¸˜es polinomiais de expoente real s˜o cont´
e co a ınuas em
todo o seu dom´
ınio.
Exemplo 4.3. Sejam m ∈ R {0} e b ∈ R e tomemos a fun¸ao f definida em R
c˜
dada por f (x) = mx + b. Vamos ver que f ´ cont´
e ınua em todo o seu dom´
ınio, R.
Tomemos δ > 0 qualquer, fixo, temos
|f (x) − f (a)| = |mx + b − ma − b| = |m||x − a| < |m|ε < δ,
δ
basta para isso escolher ε < . Assim, lim f (x) = f (a) para todo o a ∈ R, o que
|m| x→a
mostra que f ´ cont´
e ınua em R.
Exemplo 4.4. Consideremos a chamada fun¸˜o de Heaviside, a fun¸˜o definida em
ca ca
R dada por 
 0 se x < 0
H(x) =
 1 se x 0
Para a = 0, existe ε > 0 tal que H(x) ´ constante em Vε (a) e logo cont´
e ınua em a.
1
Para a = 0, tomando δ = , por muito pequeno que escolhamos ε > 0 nunca
2
1
vamos obter |H(x) − H(0)| = |H(x) − 1| < visto que qualquer vizinhan¸a de 0 c
2
possui x < 0, nos quais H(x) = 0. Pelo que a fun¸ao de Heaviside n˜o ´ cont´
c˜ a e ınua
em a = 0.
No entanto, podemos dizer que lim H(x) = 0 e lim H(x) = 1, e portanto, a
− +
x→0 x→0
fun¸˜o ´ cont´
ca e ınua ` direita de 0.
a
Exemplo 4.5. Consideremos a chamada fun¸˜o de Dirichelet, a fun¸˜o definida em
ca ca
R dada por 
 0 se x ∈ Q
d(x) =
 1 se x ∈ R Q
a qual n˜o ´ cont´
a e ınua em qualquer a ∈ R.

61. 56 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
De facto, dado a ∈ R e escolhendo qualquer ε > 0, no conjunto Vε (a) existem
sempre n´meros racionais e irracionais, pelo que |d(x) − d(a)|
u 1.
Al´m disso, nem sequer existem nenhum dos limites lim− d(x) ou lim+ d(x), para
e
x→a x→a
todo o a ∈ R.
4.2.1 Teoremas Fundamentais
Teorema 4.34. (Teorema de Bolzano ou dos Valores Interm´dios) Sejam
e
I um intervalo de R, f : I ⊂ R → R uma fun¸˜o cont´
ca ınua e a, b ∈ I tais que a < b
e f (a) = f (b). Ent˜o f assume todos os valores entre f (a) e f (b), isto ´, para cada
a e
k estritamente compreendido entre f (a) e f (b) existe c tal que a < c < b e f (c) = k.
Corol´rio 4.35. Sejam I um intervalo de R, f : I ⊂ R → R uma fun¸˜o cont´
a ca ınua
e a, b ∈ I tais que a < b e f (a) · f (b) < 0. Ent˜o existe c tal que a < c < b e
a
f (c) = 0.
Nota 4.14. Nos resultados anteriores ´ mesmo necess´rio que a fun¸˜o esteja definida
e a ca
num intervalo. De facto, se considerarmos a fun¸˜o f : [0, 1] ∪ [2, 3] → R definida
ca
por f (x) = x, apesar de ser uma fun¸ao cont´
c˜ ınua, n˜o toma todos os valores entre
a
f (0) = 0 e f (3) = 3.
Teorema 4.36. Sejam I um intervalo de R e f : I ⊂ R → R uma fun¸˜o cont´
ca ınua.
Ent˜o f (I) ´ tamb´m um intervalo.
a e e
Teorema 4.37. (Teorema de Weierstrass) Sejam I um intervalo fechado e
limitado de R e f : I ⊂ R → R uma fun¸˜o cont´
ca ınua. Ent˜o f (I) ´ tamb´m um
a e e
intervalo fechado e limitado.
Corol´rio 4.38. Sejam I um intervalo fechado e limitado de R e f : I ⊂ R → R
a
uma fun¸˜o cont´nua. Ent˜o f tem m´ximo e m´
ca ı a a ınimo em I.
Teorema 4.39. Sejam I um intervalo de R e f : I ⊂ R → R uma fun¸˜o injectiva.
ca
Ent˜o f ´ uma fun¸˜o cont´nua em I se e s´ se f −1 ´ uma fun¸˜o cont´
a e ca ı o e ca ınua em
f (I).

62. 4.3. EXERC´
ICIOS 57
4.3 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 4.1. Pretende-se construir uma piscina com 4, 5m de profundidade, a
qual deve ter um volume de 170m3 . Sejam x a largura e y o comprimento.
1. Exprima y em fun¸ao de x.
c˜
2. Determine a express˜o da ´rea de azulejos necess´rios para cobrir as paredes
a a a
da piscina eescreva essa express˜o em termos de x.
a
Exerc´
ıcio 4.2. Pretende-se construir um tanque em forma de cilindro circular com
3m de comprimento, o qual ´ fechado em cada um dos topos por um hemisf´rio.
e e
Seja r o raio desse mesmo cilindro.
1. Determine a ´rea da superf´ do tanque em fun¸˜o de r.
a ıcie ca
2. Determine a ´rea do cilindro de modo que o mesmo tenha 30m3 de volume.
a
Exerc´
ıcio 4.3. Esbo¸e o gr´fico das seguintes fun¸oes.
c a c˜
1. f (x) = 2x − 1 4. f (x) = |x|
2. f (x) = x2 − x + 2 5. f (x) = |x − 3|
3. f (x) = −x2 + 4 6. f (x) = |x| + 4
ıcio 4.4. Considere a fun¸ao f (x) = −x2 − 3x + 4 e esbo¸e os gr´ficos das
Exerc´ c˜ c a
seguintes fun¸oes.
c˜
1. f (x) 3. |f (x)|
2. f (|x|) 4. |f (|x|)|
Exerc´
ıcio 4.5. Determine o dom´
ınio e o contradom´
ınio das seguintes fun¸oes
c˜
√ 2
1. f (x) = x−1 3. f (x) =
1 + x4
1 |x|
2. f (x) = 4. f (x) =
|x − 2| − 1 x
Exerc´
ıcio 4.6. Usando as propriedades vistas anteriormente, calcule

63. 58 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
1. ln e
2. loga a onde a ∈ R+ {1}
3. log√2 32
Exerc´
ıcio 4.7. Resolva, em R, as equa¸oes:
c˜
1. loga 64 = −3
2. x2 5−x − 3.5−x = 0
Exerc´
ıcio 4.8. Resolva, em R, as inequa¸oes:
c˜
3x
1 1
1. x2
2 8
2. 1 + log 1 x > − log 1 (x − 5)
6 6
Exerc´
ıcio 4.9. Determine o dom´
ınio das seguintes fun¸oes
c˜
1
1. f (x) = 5. f (x) = ln(1 − ln(x2 − 5x + 16))
e−2x2 +x−3
1
2. f (x) = e −2x2 +x−3 6. f (x) = ln(|x| − x)
x−5 1+x
3. f (x) = ln 7. f (x) = 3 + ln
x2
− 10x + 24 1−x
1 √ ex + 1
4. f (x) = + x+2 8. f (x) = ln
ln(1 − x) ex − 1
Exerc´
ıcio 4.10. Determine o dom´
ınio e contradom´
ınio das seguintes fun¸oes
c˜
1. f (x) = 1 − 102x−1
2. f (x) = 2 + log 1 (4 − x2 )
2
ıcio 4.11. Considere a fun¸˜o f (x) = ex+3 − 1.
Exerc´ ca
1. Determine o dom´
ınio e o contradom´
ınio de f .
2. Defina a fun¸ao inversa de f .
c˜

64. 4.3. EXERC´
ICIOS 59
Exerc´
ıcio 4.12. Resolva as seguintes equa¸˜es e inequa¸˜es
co co
4e2x − 4ex − 3
1. =0 4. xex+1 − x < 0
ex + 5
2. lnx x2 = 3 5. 2 ln(x − 1) − ln(x + 1) 0
x2 x
x2 −5x
2 2 6. e x2 +1 >1
3.
3 3
Exerc´
ıcio 4.13. Determine o dom´
ınio das seguintes fun¸oes
c˜
√ π
1. f (x) = cos x 3. f (x) = ln + arcsen(x2 − 1)
2
1
2. f (x) = 2 sen x 4. f (x) = arccos(|x| − 2)
Exerc´
ıcio 4.14. Determine o dom´
ınio e o contradom´
ınio das seguintes fun¸˜es
co
π 1
1. f (x) = cos 2x + +3 4. f (x) = 1 − arccos(2x + 1)
3 2
π x π 1
2. f (x) = sen + 3 tg 5. f (x) = cos + 2 arcsen
3 2 3 x+2
3. f (x) = 3 arcsen(2x − 1)
Exerc´
ıcio 4.15. Determine o dom´
ınio, contradom´
ınio e os zeros da fun¸ao f (x) =
c˜
π
− + arccos(2x).
3
Exerc´
ıcio 4.16. Considere a fun¸˜o f (x) = 2 + arcsen(3x + 1).
ca
1. Determine o dom´
ınio, o contradom´
ınio e os zeros de f .
1
2. Calcule f (0) e f − .
6
π
3. Determine as solu¸oes da equa¸ao f (x) = 2 +
c˜ c˜ .
3
4. Caracterize a fun¸ao inversa de f .
c˜
2 sen(2x)
Exerc´
ıcio 4.17. Considere a fun¸˜o f (x) =
ca .
cotg x
1. Determine o dom´
ınio e os zeros de f .
2. Mostre que a fun¸˜o ´ par.
ca e
3. Resolva a equa¸˜o |f (x)| = |2 sen x|.
ca

65. 60 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
Exerc´
ıcio 4.18. Determine a express˜o da fun¸˜o inversa, da restri¸ao principal,
a ca c˜
das seguintes fun¸oes.
c˜
π x
1. f (x) = cos + 2 arcsen
3 2
π
2. f (x) = 3 − 4 sen x +
3
1
Exerc´
ıcio 4.19. Considere a fun¸˜o f (x) = arcsen
ca , na restri¸ao principal.
c˜
x+1
1. Determine o dom´
ınio e o contradom´
ınio de f .
2. Determine uma express˜o para a fun¸˜o f −1 .
a ca
1 x2 − 1
Exerc´
ıcio 4.20. Considere as fun¸˜es f (x) =
co e g(x) = .
cos x x2
1. Determine o dom´
ınio de g ◦ f .
2. Mostre que (g ◦ f )(x) = sen2 x, para todo o x pertencente ao dom´ de g ◦ f .
ınio
2π
3. Calcule (g ◦ f ) .
3
Exerc´ıcio 4.21. Calcule o valor de cada uma das seguintes express˜es
o
√
3 1
1. arcsen 3. sen arccos −
2 2
5 4. cos(arcsen x)
2. cos arctg
12
5. sen(π + arccos x)
Exerc´ıcio 4.22. Resolva as seguintes equa¸˜es e inequa¸˜es
co co
√
1 2
1. arcsen(3x − 2) = 0 4. cos(arctg x) =
2 2
2. e2 cos x+1 = 1 5. ecos(2x) > 1
√
3 cos x − 2
3. arcsen − =x 6. >0
2 log 1 x + 5
2
Exerc´
ıcio 4.23. Mostre, por defini¸ao, que lim (3x + 5) = −1.
c˜
x→−2

66. 4.3. EXERC´
ICIOS 61
Exerc´
ıcio 4.24. Calcule os seguintes limites
x2 + 3x tg x − sen x
1. lim 17. lim
x→+∞ 2x2 x→0+ x3
x3 π
2. lim 18. lim − x tg x
x→+∞ 1 + x
π
x→ 2 2
3. lim (x3 − 3x2 + 2) 1
x→+∞ 19. lim x2 − 4 sen
x→2 x−2
x2 − 2x 1
4. lim 3 20. lim x sen
x→0 3x + x2 + x
x→+∞ x
1 1 1
5. lim − x2 sen x
x→1+ 1 − x 1 − x3 21. lim
x→0 sen x
x−1 5(x − 1)3
6. lim 22. lim 2(x−1)−1
x→+∞ x+1 x→1 e
√
2− 4−x 1 − e3x
7. lim 23. lim
x→0 x x→0 sen(2x)
sen(7x) 24. lim (cosh x − senh x)
8. lim x→−∞
x→0 x
1 − cos(sen x) arcsen(3x)
9. lim 25. lim
x→0 x2 x→0 x
1 arcsen(3x)
10. lim x ln 1 + 26. lim
x→0 arcsen(2x)
x→+∞ x
ex − e2x 5(x − 1)3
11. lim 27. lim
x→1 e2(x−1) − 1
x→0 x
ex+1
−e cos x2
12. lim 28. lim
2 x→0 sen2 x
x→0 + x
1
1−x 29. lim 3 x−3
13. lim x→3
x→1 3 ln(2 − x)
1
cos x − 1 30. lim arctg
14. lim x→1 x−1
x→0 x tg(4x)
|x| 31. lim
15. lim , para a = −1, 0, +∞ x→0 sen(2x)
x→a x
x 1
16. lim 32. lim x2 1 − cos
x→0 sen(3x) x→+∞ x
Exerc´
ıcio 4.25. A velocidade de uma gota de chuva quando cai ´ dada pela fun¸˜o
e ca
gt
v(t) = a 1 − e− a ,
onde g ´ a acelera¸ao devido ` gravidade e a ´ a velocidade terminal da gota de
e c˜ a e

67. 62 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
chuva. Calcule lim v(t) e interprete o resultado obtido.
t→+∞
Exerc´
ıcio 4.26. A Lei de Charles para gases afirma que se a press˜o permanece
a
constante, ent˜o a rela¸ao entre o volume V que um g´s ocupa e a sua temperatura
a c˜ a
T (em o C) ´ dada por
e
T
V (T ) = V0 1 + ,
273
onde V0 ´ uma constante positiva. Calcule
e lim V (T ) e explique a raz˜o pela qual
a
T →273+
apenas faz sentido calcular o limite no ponto 273 ` direita.
a
Exerc´
ıcio 4.27. Estude a continuidade das seguintes fun¸oes.
c˜

 2xe2x se x < 0
1. f (x) = ex+1 7. f (x) =
 (x − 2) ln(x + 1) se x 0
x
2. f (x) = 
x2
−4  arcsen x
 se x 0
2 + cos x 
 x+1
3. f (x) = 8. f (x) = x
−1
2 − cos x  e se x < 0 e x = −1
x+1


4. f (x) = tg(2x)  −1 se x = −1
 
 |x| + x se x = 0  ex+2 − e2
x se x 0
5. f (x) = 9. f (x) =
  x + senh(2x)
2 se x = 0 se x < 0
 
 ln(ex + 1) se x 0  1 + ln(e − x)
 se x 0
6. f (x) = 10. f (x) = 2
 sen x se x < 0  − 3x
 se x > 0
1 − e2x
Exerc´
ıcio 4.28. Para cada uma das seguintes fun¸˜es, determine, caso exista, a
co
constante k que torna as fun¸oes cont´
c˜ ınuas.

68. 4.3. EXERC´
ICIOS 63
 2  2x
 x − x se x > 0  e −1
 se x ∈ − π , π {0}
6 6
1. f (x) = x 5. f (x) = sen(3x)
 
 k
k se x 0 se x = 0
 
 k + x ln x se x 1
  3x2 − x3
 se x = 0
2. f (x) = x−1 6. f (x) = x2 + kx2
 e

−1
se x < 1  1

2x − 2 se x = 0
 3
ex 
 se x k  sen 1 se x = 0
3. f (x) = k 2 + e−1 7. f (x) = x
 k+1  k
e se x < k se x = 0
 
 ex−1 − e1−x
 se x = 1  2 − (x − 2) sen 1 se x = 2
4. f (x) = 1−x 8. f (x) = x−2

 k 
se x = 1 k se x = 2
ıcio 4.29. Considere a fun¸˜o f (x) = x2 − 2x. Prove que existe c ∈]0, 6[ tal
Exerc´ ca
que f (c) = 15.
ıcio 4.30. Seja f (x) = x3 + x − 5. Prove que f tem um zero no intervalo
Exerc´
[0, 2].
ıcio 4.31. Considere a fun¸˜o f (x) = 2x3 − 5x + 4.
Exerc´ ca
1. Decida se a afirma¸˜o: existe c ∈ [0, 1] tal que f (x) = 2, ´ verdadeira ou falsa.
ca e
Justifique.
2. Prove que f admite pelo menos um zero no intervalo [−2, 0].
Exerc´
ıcio 4.32. Seja f uma fun¸ao cont´
c˜ ınua no intervalo [0, 2], com f (0) = 5 e
f (2) = −1. Qual o n´mero m´
u ınimo de zeros que f pode ter no intervalo [0, 2]?
Exerc´
ıcio 4.33. Seja f uma fun¸ao con´tinua no intervalo [−2, 3], com g(−2) = 2,
c˜
g(−1) = −1, g(0) = 2, g(1) = 1, g(2) = −2 e g(3) = 5. Qual o n´mero m´
u ınimo de
zeros que f pode ter no intervalo [−2, 3]?
ıcio 4.34. Mostre que a equa¸ao x3 + 4x2 + 2x + 5 = 0 tem pelo menos uma
Exerc´ c˜
solu¸˜o em R.
ca

69. 64 CAP´ ¸˜ ´
ITULO 4. FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL
Exerc´
ıcio 4.35. Em modelos de queda livre, ´ normal supor que a acelera¸ao gra-
e c˜
vitacional g ´ a constante 9, 8m/s2 . Na verdade, g varia com a latitude. Se t for a
e
latitude (em graus) ent˜o
a
g(t) = 9, 78049 1 + 0, 005264 sen2 t + 0, 000024 sen4 t
´ uma f´rmula que aproxima g. Mostre que, de facto, g coincide com 9,8 para
e o
alguma latitude entre as latitudes 35o e 40o .
ıcio 4.36. A temperatura T (em o C) para a qual a ´gua ferve ´ dada apro-
Exerc´ a e
ximadamente pela f´rmula
o
T (h) = 100, 862 − 0, 0415 h + 431, 03,
onde h ´ a altitude (em metros) acima do n´ do mar. Mostre que a ´gua ferve a
e ıvel a
98o C a uma altitude entre os 4000 e os 4500 metros.

70. Cap´
ıtulo 5
C´lculo Diferencial em R
a
5.1 Derivada de Fun¸˜es Reais de Vari´vel Real
co a
Defini¸˜o 5.1. Sejam f : D ⊂ R → R uma fun¸ao real de vari´vel real e a ∈ int(D).
ca c˜ a
Chamamos raz˜o incremental da fun¸˜o f no ponto a ` fun¸˜o ρ : D {a} → R
a ca a ca
definida por
f (x) − f (a)
ρ(x) = .
x−a
Se existir o limte da fun¸ao ρ no ponto a, a esse limite chamamos derivada da
c˜
fun¸˜o f no ponto a, o qual designamos por f (a), ou seja, temos
ca
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
f (a) = lim ρ(x) = lim = lim .
x→a x→a x−a h→0 h
df
A derivada de f no ponto a pode ainda ser representada por (a) ou D f (a).
dx
Nota 5.1. Repare-se que a derivada de f no ponto a ´ o limite em a ∈ int(D) por
e
valores diferentes, uma vez que a n˜o pertentce ao dom´
a ınio de ρ.
Exemplo 5.1. Consideremos a fun¸ao f (x) = sen x. Seja a ∈ R e vamos calcular a
c˜
65

71. 66 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
derivada de f no ponto a,
a+h−a a+h+a
sen(a + h) − sen a 2 sen cos
f (a) = lim = lim 2 2 =
h→0 h h→0 h
h
sen
= lim 2 cos a + h = cos a.
h→0 h 2
2
Exemplo 5.2. Consideremos a fun¸˜o f (x) = ex . Seja a ∈ R e vamos calcular a
ca
derivada de f no ponto a,
ea+h − ea ea (eh − 1) eh − 1
f (a) = lim = lim = ea lim = ea .
h→0 h h→0 h h→0 h
Intuitivamente ´ simples dar uma interpreta¸ao geom´trica do conceito de de-
e c˜ e
rivada. Designando por A o ponto (a, f (a)), e por X o ponto (x, f (x)), a fun¸ao
c˜
ρ definida anteriormente (a raz˜o incremental) ´ o declive da recta AX, a qual ´
a e e
secante ao gr´fico de f .
a
Defini¸˜o 5.2. Sejam f : D ⊂ R → R uma fun¸ao real de vari´vel real e a ∈ int(D).
ca c˜ a
Se existir o limte
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
lim− = lim ,
x→a x−a h→0 − h
a esse limite chamamos derivada ` esquerda de f no ponto a e representamos por
a
f (a− ).
Defini¸˜o 5.3. Sejam f : D ⊂ R → R uma fun¸ao real de vari´vel real e a ∈ int(D).
ca c˜ a
Se existir o limte
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
lim+ = lim+ ,
x→a x−a h→0 h
a esse limite chamamos derivada ` direita de f no ponto a e representamos por
a
f (a+ ).

72. ¸˜ ´
5.1. DERIVADA DE FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL 67
Como a defini¸ao de derivada resulta da defini¸ao de limite, temos a seguinte
c˜ c˜
proposi¸ao.
c˜
Proposi¸˜o 5.4. Sejam f : D ⊂ R → R uma fun¸˜o real de vari´vel real e a ∈
ca ca a
int(D). A derivada de f no ponto a existe se s´ se as derivadas laterais de f no
o
ponto a existirem e forem iguais.
Observa¸˜o 5.1. Podem existir derivadas ` esquerda ou ` direita de uma deter-
ca a a
minada fun¸ao num ponto, sem que no entanto exista a derivada da fun¸˜o nesse
c˜ ca
mesmo ponto.

 x se x 0
Exemplo 5.3. Consideremos a fun¸˜o f (x) = |x| =
ca . Vamos cal-
 −x se x < 0
cular as derivadas laterais de f (x) no ponto 0.
f (x) − f (0) −x
f (0− ) = lim = lim = −1
x→0 − x−0 x→0 − x
f (x) − f (0) x
f (0+ ) = lim = lim =1
x→0 + x−0 x→0+ x
De onde conclu´
ımos que f tem derivada ` esquerda e ` direita, mas n˜o tem derivada,
a a a
j´ que f (0− ) = f (0+ ).
a

 x sen 1 , x = 0
Exemplo 5.4. Consideremos a fun¸˜o f (x) =
ca x . Como n˜o existe
a
 0, x=0
nenhum dos limites
1
x sen x − 0 1
lim = lim sen
x→0 − x−0 x→0 − x
1
x sen x − 0 1
lim = lim sen
x→0 + x−0 x→0 + x
a fun¸˜o n˜o temnenhuma das derivadas laterais no ponto 0; e portanto, n˜o tem
ca a a
derivada no ponto 0.
Defini¸˜o 5.5. Sejam f : D → R e a ∈ int(D). Dizemos que f ´ diferenci´vel (ou
ca e a
deriv´vel) no ponto a, se existir a derivada de f no ponto a e for finita.
a

73. 68 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
Defini¸˜o 5.6. No caso em que f ´ diferenci´vel no ponto a, chamamos tangente
ca e a
ao gr´fico de f no ponto (a, f (a)) ` recta que passa em nesse ponto e tem declive
a a
f (a), ou seja, ` recta de equa¸˜o y = f (a) + (x − a)f (a).
a ca
Quando f (a) = ±∞, chamamos tangente ao gr´fico de f no ponto (a, f (a)) `
a a
recta vertical que passa em nesse ponto, ou seja, ` recta de equa¸˜o x = a.
a ca
Defini¸˜o 5.7. Seja f : D → R uma fun¸ao real de vari´vel real. Dizemos que
ca c˜ a
f ´ uma fun¸˜o diferenci´vel (ou deriv´vel) em D se for diferenci´vel em todos os
e ca a a a
pontos de D, e ` nova fun¸ao
a c˜
f :D → R
x → f (x)
df
chamamos fun¸˜o derivada de f , a qual indicamos por f , D f ou
ca .
dx
Teorema 5.8. Sejam f : D → R uma fun¸˜o real de vari´vel real e a ∈ int(D). Se
ca a
f ´ diferenci´vel no ponto a, ent˜o f ´ cont´
e a a e ınua no ponto a.
Observa¸˜o 5.2. Uma fun¸ao pode ser cont´
ca c˜ ınua sem que no entanto seja dife-
renci´vel.
a
Observa¸˜o 5.3. Se a fun¸˜o tiver derivada, mas esta n˜o for finita, a fun¸˜o pode
ca ca a ca
n˜o ser cont´
a ınua.
Exemplo 5.5. Consideremos a fun¸ao f (x) = |x|. J´ vimos que admite derivadas
c˜ a
laterais no ponto 0, mas n˜o derivada no ponto 0, pelo que n˜o ´ diferenci´vel no
a a e a
ponto 0. No entanto, f ´ uma fun¸˜o cont´
e ca ınua, tal situa¸ao n˜o contradiz o Teorema
c˜ a
anterior.

 x sen 1 , x = 0
Exemplo 5.6. Consideremos a fun¸˜o f (x) =
ca x . J´ vimos que f
a
 0, x=0
n˜o admite derivadas laterais no ponto 0, e portanto, n˜o ´ diferenci´vel no ponto
a a e a
´
0. E poss´ mostrar que se trata de uma fun¸ao cont´
ıvel c˜ ınua no ponto 0, tal situa¸˜o
ca
tamb´m n˜o contradiz o Teorema anterior.
e a

74. ¸˜ ´
5.1. DERIVADA DE FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL 69
Defini¸˜o 5.9. Seja f : D → R uma fun¸ao diferenci´vel em D. Se f for uma
ca c˜ a
fun¸˜o diferenci´vel em D, podemos definir a segunda derivada de f , f , como sendo
ca a
f = (f ) .
Se por sua vez, f for uma fun¸ao diferenci´vel em D, definimos a terceira
c˜ a
derivada de f , f , como sendo f = (f ) .
Se a derivada de ordem n−1, f (n−1) for uma fun¸˜o diferenci´vel em D, definimos
ca a
a derivada de ordem n de f , f (n) , como sendo f (n) = f (n−1) .
Defini¸˜o 5.10. Seja f : D → R uma fun¸ao diferenci´vel. Dizemos que f ´
ca c˜ a e
de classe C 1 em D se f for cont´
ınua em D, e escrevemos f ∈ C 1 (D). Dado
n ∈ N, dizemos que f ´ de classe C n em D se f (n) for cont´
e ınua em D, e escrevemos
f ∈ C n (D). Se f ∈ C n (D) para todo o n ∈ N, dizemos que f ´ de classe C ∞ em D
e
e escrevemos f ∈ C ∞ (D).
Exemplo 5.7. As fun¸oes f (x) = sen x, g(x) = cos x e h(x) = ex s˜o de classe C ∞
c˜ a
em R, j´ que as derivadas de f e g ou s˜o ± sen x ou ± cos x, logo fun¸˜es cont´
a a co ınuas;
e h(n) (x) = ex para todo o n ∈ N, logo uma fun¸˜o cont´
ca ınua.
Exemplo 5.8. A fun¸˜o f (x) = xn |x|, onde n ∈ N, ´ de classe C n em R, mas n˜o ´
ca e a e
de classe C n+1 em R.
Exemplo 5.9. A fun¸ao
c˜

 x2 sen 1 se x = 0
f (x) = x
 0 se x = 0
´ diferenci´vel, no entanto,
e a

 2x sen 1 − cos 1 se x = 0
f (x) = x x
 0 se x = 0
1 1
n˜o ´ cont´
a e ınua na origem, j´ que lim 2x sen
a − cos n˜o existe. Assim, f n˜o a
a a
x→0 x x
k
pertence a nenhuma classe C . em R.

75. 70 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
5.1.1 Regras de Deriva¸˜o
ca
Teorema 5.11. Sejam f, g : D → R fun¸˜es diferenci´veis no ponto a ∈ int(D).
co a
Ent˜o
a
• f + g ´ diferenci´vel no ponto a e (f + g) (a) = f (a) + g (a)
e a
• f · g ´ diferenci´vel no ponto a e (f · g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a)
e a
f f f (a)g(a) − f (a)g (a)
• se g(a) = 0, ´ diferenci´vel no ponto a e
e a (a) =
g g (g(a))2
Corol´rio 5.12. Sejam f1 , f2 , . . . , fn : D → R fun¸˜es diferenci´veis no ponto
a co a
a ∈ int(D). Ent˜o,
a
• a soma f1 + f2 + . . . + fn ´ uma fun¸˜o diferenci´vel no ponto a e
e ca a
(f1 + f2 + . . . + fn ) (a) = f1 (a) + f2 (a) + . . . + fn (a).
• o produto f1 · f2 · . . . · fn ´ uma fun¸˜o diferenci´vel no ponto a e
e ca a
(f1 · f2 · . . . · fn ) (a) =
= f1 (a)f2 (a) . . . fn (a) + f1 (a)f2 (a) . . . fn (a) + . . . + f1 (a)f2 (a) . . . fn (a).
Em particular, dado n ∈ N, f n ´ uma fun¸˜o diferenci´vel no ponto a e
e ca a
(f n ) (a) = nf n−1 (a)f (a).
Teorema 5.13. Sejam f : D → R uma fun¸˜o diferenci´vel no ponto a ∈ int(D) e
ca a
g : E → R uma fun¸˜o diferenci´vel no ponto b = f (a). Ent˜o g ◦ f ´ uma fun¸˜o
ca a a e ca
diferenci´vel no ponto a e
a
(g ◦ f ) (a) = g (b)f (a) = g (f (a))f (a).
π
Exemplo 5.10. Consideremos a fun¸ao h(x) = sen 2x +
c˜ , a qual ´ a composi¸ao
e c˜
2

76. ¸˜ ´
5.1. DERIVADA DE FUNCOES REAIS DE VARIAVEL REAL 71
π
de g(x) = sen x com f (x) = 2x + , assim
2
π
h (x) = g (f (x))f (x) = cos 2x + · 2.
2
Exemplo 5.11. Seja f : D → R uma fun¸˜o diferenci´vel e tomemos g(x) = ex , ent˜o
ca a a
(g ◦ f ) (x) = ef (x) = g (f (x))f (x) = ef (x) f (x).
Exemplo 5.12. Seja a ∈ R+ {1}, como ax = ex log a , temos que
(ax ) = ex log a = ex log a log a = ax log a.
E por isso, a exponencial de base e ´ a unica cuja derivada ´ igual a si pr´pria, da´
e ´ e o ı
ser a exponencial priveligiada.
Exemplo 5.13. Consideremos as fun¸oes f : D → R e g : E → R diferenci´veis
c˜ a
ınio, com f (x) > 0 para todo o x ∈ D. Seja h(x) a fun¸˜o potˆncia-
no seu dom´ ca e
exponencial dada por h(x) = f (x)g(x) , a qual ´ diferenci´vel em D ∩ E. Como
e a
h(x) = f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) temos que
h (x) = eg(x) ln f (x) = eg(x) ln f (x) (g(x) ln f (x)) =
f (x)
= f (x)g(x) g (x) ln f (x) + g(x) =
f (x)
= f (x)g(x) g (x) ln f (x) + f (x)g(x)−1 g(x)f (x)
Teorema 5.14. Sejam I um intervalo e f : I → R uma fun¸˜o diferenci´vel e
ca a
injectiva. Seja a ∈ I tal que f (a) = 0, ent˜o f −1 ´ diferenci´vel em b = f (a) e
a e a
1 1
f −1 (b) = = .
f (a) f (f −1 (b))
Exemplo 5.14. Consideremos f (x) = sen x, de modo a que seja injectiva, conside-

77. 72 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
π π
ramos que est´ definida na restri¸ao principal, ou seja, no intervalo − ,
a c˜ e a
2 2
respectiva fun¸˜o inversa f −1 (x) = arcsen x. Como a derivada f (x) = cos x se
ca
π
anula em x = ± , ent˜o podemos definir a derivada de f −1 para x ∈ [−1, 1] e
a
2
π
x=f ± = ±1, ou seja, para x ∈] − 1, 1[; e temos que
2
1 1 1
f −1 (x) = (arcsen x) = = = =
f (f −1 (x))
f (arcsen x)) cos (arcsen x))
1 1
= =√ .
1 − sen 2 (arcsen x) 1 − x2
Proposi¸˜o 5.15. Seja f uma fun¸˜o diferenci´vel no seu dom´
ca ca a ınio. Ent˜o, quando
a
existirem, temos as seguintes regras de deriva¸˜o
ca
f (x)
1. n
f (x) = , para todo o n ∈ N.
n n
f n−1 (x)
2. af (x) = f (x)af (x) ln a, para todo o a ∈ R+ {1}; em particular, quando
a = e temos ef (x) = f (x)ef (x) .
f (x)
3. (loga f (x)) = , para todo o a ∈ R+ {1}; em particular, quando a = e
f (x) ln a
f (x)
temos (ln f (x)) = .
f (x)
4. (sen f (x)) = f (x) cos f (x).
5. (cos f (x)) = −f (x) sen f (x).
f (x)
6. (tg f (x)) = = f (x) sec2 f (x).
cos2 f (x)
f (x)
7. (cotg f (x)) = − 2 f (x)
= −f (x) cosec2 f (x).
sen
f (x)
8. (arcsen f (x)) = .
1 − f 2 (x)
f (x)
9. (arccos f (x)) = − .
1 − f 2 (x)
f (x)
10. (arctg f (x)) = .
1 + f 2 (x)

78. ´
5.2. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL 73
f (x)
11. (arccotg f (x)) = − .
1 + f 2 (x)
12. (senh f (x)) = f (x) cosh f (x).
13. (cosh f (x)) = f (x) senh f (x).
5.2 Teoremas Fundamentais do C´lculo Diferen-
a
cial
Teorema 5.16. (Teorema de Rolle) Seja f uma fun¸˜o cont´
ca ınua num intervalo
[a, b] (com a < b) e diferenci´vel no intervalo ]a, b[. Se f (a) = f (b), ent˜o existe
a a
pelo menos um c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0.
Nas condi¸˜es do Teorema de Rolle, a existˆncia de c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0
co e
a e ´
significa que a tangente ao gr´fico de f no ponto de abcissa c ´ horizontal. E claro
que c pode n˜o ser unico, no sentido em que pode existir c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0.
a ´
Uma interpreta¸ao f´
c˜ ısica para o Teorema de Rolle, poder´ ser a seguinte: se um
a
ponto P se move sobre uma recta de acordo com a lei s = f (t), (onde s ´ a abcissa
e
do ponto num certo referencial, no instante t) e ocupa a mesma posi¸ao em dois
c˜
instantes distintos t0 e t1 , (t0 < t1 ), isto ´, se f (t0 ) = f (t1 ) (e se verifica as restantes
e
condi¸˜es do Teorema de Rolle), ent˜o a velocidade do ponto P anula-se pelo menos
co a
uma vez entre estes dois instantes.
Corol´rio 5.17. Entre dois zeros de uma fun¸˜o diferenci´vel num intervalo existe,
a ca a
pelo menos, um zero da sua derivada.
Corol´rio 5.18. Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma fun¸˜o dife-
a ca
renci´vel num intervalo existe, no m´ximo, um zero da fun¸˜o.
a a ca
Observa¸˜o 5.4. Seja f uma fun¸ao nas condi¸oes do Teorema de Rolle. Se f
ca c˜ c˜
possuir dois zeros consecutivos nos pontos a e b, e aplicando agora o Teorema de
Bolzano, podemos concluir que:

79. 74 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
1. se f (a) · f (b) < 0 ent˜o existe um unico c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
a ´
2. se f (a) · f (b) > 0 ent˜o a fun¸ao f n˜o se anula no intervalo [a, b].
a c˜ a
Teorema 5.19. (Teorema de Lagrange) Seja f uma fun¸˜o cont´
ca ınua num in-
tervalo [a, b] (com a < b) e diferenci´vel no intervalo ]a, b[. Ent˜o existe pelo menos
a a
um ponto c ∈]a, b[ tal que
f (b) − f (a)
f (c) = .
b−a
Nas condi¸oes do Teorema de Lagrange, a existˆncia de c ∈]a, b[ tal que f (c) =
c˜ e
f (b) − f (a)
significa que a tangente ao gr´fico de f no ponto de abcissa c ´ paralela
a e
b−a
` recta que passa nos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)).
a
Uma interpreta¸ao f´
c˜ ısica para o Teorema de Lagrange, poder´ ser a seguinte: se
a
um ponto P se move sobre uma recta de acordo com a lei s = f (t), (onde s ´ a abcissa
e
f (t1 ) − f (t0 )
do ponto num certo referencial, no instante t) a raz˜o a (e t0 < t1 ) ´ a
e
t1 − t0
velocidade m´dia do ponto P no intervalo [t0 , t1 ] (e se verifica as restantes condi¸oes
e c˜
do Teorema de Lagrange), ent˜o existe c ∈ [a, b] no qual a velocidade instantˆnea
a a
f (c) coincidiu com a velocidade m´dia. Assim, se num determinado percurso a
e
velocidade m´dia de um autom´vel foi de 100km/h, de certeza que em pelo menos
e o
um instante o indicador da velocidade marcou precisamente 100km/h.
Nota 5.2. O Teorema de Rolle ´ o caso particular do Teorema de Lagrange, em que
e
f (a) = f (b).
Corol´rio 5.20. Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo ]a, b[,
a
ent˜o f ´ uma fun¸˜o constante nesse intervalo.
a e ca
Observa¸˜o 5.5. No Corol´rio anterior ´ realmente necess´rio que I seja um in-
ca a e a
|x|
tervalo, pois se considerarmos a fun¸˜o f (x) =
ca definida em R {0} e que tem
x
derivada nula em todos os pontos do seu dom´ ınio, concluir´
ıamos que f seria cons-
tante em todo o seu dom´
ınio, o que n˜o ´ verdade.
a e
No entanto, podemos tirar essa conclus˜o se considerarmos cada um dos inter-
a
valos ] − ∞, 0[ e ]0, +∞[.

80. ´
5.2. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL 75
Corol´rio 5.21. Sejam f e g duas fun¸˜es diferenci´veis num intervalo I. Se
a co a
f (x) = g (x) para todo o x ∈ I, ent˜o a fun¸˜o f − g ´ constante em I.
a ca e
Corol´rio 5.22. Seja f : I → R uma fun¸˜o com derivada no intervalo I.
a ca
1. Se f (x) 0 para todo o x ∈ I, ent˜o f ´ uma fun¸˜o crescente em I.
a e ca
2. Se f (x) > 0 para todo o x ∈ I, ent˜o f ´ uma fun¸˜o estritamente crescente
a e ca
em I.
3. Se f (x) 0 para todo o x ∈ I, ent˜o f ´ uma fun¸˜o decrescente em I.
a e ca
4. Se f (x) < 0 para todo o x ∈ I, ent˜o f ´ uma fun¸˜o estritamente decrescente
a e ca
em I.
Observa¸˜o 5.6. No Corol´rio anterior ´ realmente necess´rio que I seja um in-
ca a e a
1
tervalo, pois se considerarmos a fun¸ao f (x) =
c˜ definida em R {0} e que tem
x
1
derivada f (x) = − 2 < 0, concluir´ ıamos que f seria decrescente em todo o seu
x
dom´ınio, o que n˜o ´ verdade.
a e
No entanto, podemos tirar essa conclus˜o se considerarmos cada um dos inter-
a
valos ] − ∞, 0[ e ]0, +∞[.
Uma extens˜o do Teorema de Lagrange, ´ o Teorema que se segue.
a e
Teorema 5.23. (Teorema de Cauchy) Sejam f e g duas fun¸˜es cont´
co ınuas no
intervalo [a, b] (com a < b) e diferenci´veis em ]a, b[ com g (x) = 0 para todo o
a
x ∈]a, b[. Ent˜o existe c ∈]a, b[ tal que
a
f (c) f (b) − f (a)
= .
g (c) g(b) − g(a)
Nota 5.3. Repare-se que o Teorema de Cauchy est´ bem definido, pois se g(b) −
a
g(a) = 0, ou seja, se g(a) = g(b), pelo Teorema de Rolle, concluir´
ıamos que existe
c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0, o que contraria a hip´tese do Teorema de Cauchy.
o

81. 76 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
Nota 5.4. O Teorema de Lagrange ´ o caso particular do Teorema de Cauchy, em
e
que g(x) = x.
Teorema 5.24. (F´rmula de Taylor) Seja f uma fun¸˜o n vezes diferenci´vel
o ca a
no ponto a ∈ I. Ent˜o ´ v´lida a F´rmula de Taylor
a e a o
f (a) 2 f n (a)
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + (x − a) + . . . + (x − a)n + Rn (x),
2! n!
Rn (x)
para todo o x ∈ I, onde Rx ´ uma fun¸˜o tal que lim
e ca = 0.
x→a (x − a)n
f (a) f n (a)
O polin´mio f (a) + f (a)(x − a) +
o (x − a)2 + . . . + (x − a)n ´ designado
e
2! n!
por Polin´mio de Taylor, enquanto que a fun¸˜o Rn ´ designada por resto de ordem
o ca e
n.
Defini¸˜o 5.25. Na F´rmula de Taylor, no caso em que a = 0, obtemos a chamada
ca o
F´rmula de MacLaurin
o
f (0) 2 f (n) (0) n
f (x) = f (0) + f (0)x + x + ... + x + Rn (x),
2! n!
Rn (x)
para todo o x ∈ I, onde Rx ´ uma fun¸ao tal que lim
e c˜ = 0.
x→0 xn
Teorema 5.26. (F´rmula do Resto de Lagrange) Seja f uma fun¸˜o n + 1
o ca
vezes diferenci´vel num intervalo aberto I. Ent˜o, para cada x ∈ I {a} existe c
a a
entre a e x (isto ´, temos a < c < x ou x < c < a) tal que
e
f (a) f (n) (a) f (n+1) (c)
f (x) = f (a)+f (a)(x−a)+ (x−a)2 +. . .+ (x−a)n + (x−a)n+1 .
2! n! (n + 1)!
Ao ultimo termo chamamos resto de Lagrange.
´
Nota 5.5. A F´rmula de Taylor e de MacLaurin, em muitos casos, ´ uma forma
o e
util de aproximar uma fun¸˜o por meio de polin´mios. Tem assim grande interesse
´ ca o
nalgumas aplica¸oes, sobretudo de car´cter num´rico.
c˜ a e

82. ¸˜ ´
5.3. APLICACOES DOS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL77
5.3 Aplica¸˜es dos Teoremas Fundamentais do C´l-
co a
culo Diferencial
5.3.1 Limites
Teorema 5.27. (Regra de Cauchy) Sejam f e g fun¸˜es diferenci´veis no in-
co a
tervalo aberto ]a, b[ (com a < b) tais que g (x) = 0 para todo o x ∈]a, b[. Se
lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim f (x) = ±∞ = lim g(x)
x→a x→a x→a x→a
f (x) f (x)
e existir lim , ent˜o tamb´m existe lim
a e e
x→a g (x) x→a g(x)
f (x) f (x)
lim = lim .
x→a g(x) x→a g (x)
Nota 5.6. Na Regra de Cauchy, o ponto a poder´ ser −∞, assim como b poder´ ser
a a
+∞.
Nota 5.7. Se as fun¸oes f e g ainda estiverem, elas pr´prias, nas condi¸˜es da Regra
c˜ o co
de Cauchy, ent˜o
a
f (x) f (x) f (x)
lim = lim = lim .
x→a g(x) x→a g (x) x→a g (x)
Observa¸˜o 5.7. As indetermina¸˜es do tipo 0×∞ ou ∞−∞ que podem surgir do
ca co
c´lculo do limite de um produto de fun¸oes f · g ou de uma soma de fun¸˜es f + g,
a c˜ co
0 ∞
podem reduzir-se a indetermina¸oes do tipo
c˜ ou usando as transforma¸oes
c˜
0 ∞
seguintes
1 1
f g f
+g
f ·g = 1 = 1 e f +g = 1 .
g f f ·g
Observa¸˜o 5.8. As indetermina¸˜es do tipo 1∞ , 00 ou ∞0 surgem do c´lculo do
ca co a
limite de fun¸oes do tipo f g e podem reduzir-se a indetermina¸oes do tipo 0 × ∞
c˜ c˜
g
da seguinte forma f g = eln f = eg ln f . Da continuidade da fun¸˜o exponencial
ca

83. 78 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
concluimos que
lim g(x) ln(f (x))
lim [f (x)]g(x) = ex→a .
x→a
f (x) f (x)
Nota 5.8. Pode existir lim e n˜o existir lim
a , ´ exemplo disso a seguinte
e
x→a g(x) x→a g (x)
1
situa¸˜o. Consideremos as fun¸oes f (x) = x2 sen e g(x) = x. Temos que
ca c˜
x
f (x) 1
lim = lim x sen = 0,
x→0 g(x) x→0 x
f (x) 1 1
enquanto que lim = lim 2x sen − cos n˜o existe.
a
x→0 g (x) x→0 x x
5.3.2 Extremos Locais
Defini¸˜o 5.28. Consideremos uma fun¸˜o f : D → R. Dizemos que f tem um
ca ca
m´nimo local (ou relativo) em a ∈ D se existir ε > 0 tal que f (x)
ı f (a) para todo
o x ∈ Vε (a) ∩ D. Dizemos que f tem um m´ximo local (ou relativo) em a ∈ D se
a
existir ε > 0 tal que f (x) f (a) para todo o x ∈ Vε (a) ∩ D.
Os m´ximos relativos ou m´
a ınimos relativos designam-se por extremos relativos
ou locais.
Teorema 5.29. Seja f : D → R uma fun¸˜o com um m´
ca ınimo relativo no ponto
a ∈ D. Se existirem as derivadas laterais de f no ponto a, ent˜o f (a− )
a 0 e
f (a+ ) 0. Al´m disso, se f for diferenci´vel no ponto a, ent˜o f (a) = 0.
e a a
Teorema 5.30. Seja f : D → R uma fun¸˜o com um m´ximo relativo no ponto
ca a
a ∈ D. Se existirem as derivadas laterais de f no ponto a, ent˜o f (a− )
a 0 e
f (a+ ) 0. Al´m disso, se f for diferenci´vel no ponto a, ent˜o f (a) = 0.
e a a
Defini¸˜o 5.31. Seja f : D → R uma fun¸ao diferenci´vel. Dizemos que f tem um
ca c˜ a
ponto cr´tico em a ∈ D se f (a) = 0.
ı
Observa¸˜o 5.9. Se f for uma fun¸˜o diferenci´vel e tiver um extremo local no
ca ca a
ponto a, ent˜o a ´ um ponto cr´
a e ıtico de f . O contr´rio n˜o ´ necessariamente verdade,
a a e
o que podemos constatar nos exemplos que se seguem.

84. ¸˜ ´
5.3. APLICACOES DOS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL79
Exemplo 5.15. Consideremos a fun¸˜o f (x) = x2 , a qual ´ diferenci´vel em R.
ca e a
Podemos determinar os pontos cr´
ıticos de f , resolvendo a equa¸ao f (x) = 0 ⇔
c˜
2x = 0 ⇔ x = 0, ou seja 0 ´ o unico ponto cr´
e ´ ıtico, al´m disso ´ tamb´m extremo
e e e
(m´
ınimo) local, e at´ absoluto.
e
Exemplo 5.16. Consideremos a fun¸˜o f (x) = x3 , a qual ´ diferenci´vel em R.
ca e a
Podemos determinar os pontos cr´
ıticos de f , resolvendo a equa¸ao f (x) = 0 ⇔
c˜
3x2 = 0 ⇔ x = 0, ou seja 0 ´ o unico ponto cr´
e ´ ıtico, mas n˜o ´ extremo local.
a e
Exemplo 5.17. Al´m dos exemplos anteriores, quando a fun¸˜o n˜o ´ diferenci´vel,
e ca a e a
pode no entanto ter extremos, ´ o que acontece com a fun¸ao f (x) = |x| que tem
e c˜
m´
ınimo local no ponto 0, mas n˜o ´ diferenci´vel no mesmo.
a e a
Como um ponto cr´
ıtico n˜o ´ necessariamente um extremo local, ´ necess´rio
a e e a
determinar condi¸oes em que se possa garantir a existˆncia de extremos locais, ´ o
c˜ e e
que vamos ver de seguida.
Teorema 5.32. Seja f uma fun¸˜o definida num intervalo I e n vezes diferenci´vel
ca a
no ponto a ∈ int(I), ponto cr´tico de f . Seja f (k) a primeira das derivadas sucessivas
ı
que n˜o se anula em a, onde k > 1, isto ´,
a e
f (a) = f (a) = . . . = f (k−1) (a) = 0 , f (n) (a) = 0.
Ent˜o
a
• se k ´ par e f (k) (a) > 0, o ponto a ´ m´
e e ınimo local.
• se k ´ par e f (k) (a) < 0, o ponto a ´ m´ximo local.
e e a
• se k ´ ´
e ımpar, o ponto a n˜o ´ extremo local.
a e
Corol´rio 5.33. Seja f uma fun¸˜o definida num intervalo I e duas vezes diferen-
a ca
ci´vel no ponto a ∈ int(I), ponto cr´tico de f . Ent˜o
a ı a
• se f (a) > 0, o ponto a ´ m´nimo local.
e ı
• se f (a) < 0, o ponto a ´ m´ximo local.
e a

85. 80 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
5.3.3 Concavidade
Defini¸˜o 5.34. Seja f : I → R uma fun¸ao diferenci´vel no ponto a ∈ I, temos
ca c˜ a
que a tangente ao gr´fico de f no ponto de abcissa a ´ a recta dada pela equa¸˜o
a e ca
y = f (a) + f (a)(x − a). Consideremos a fun¸ao g(x) = f (a) + f (a)(x − a).
c˜
Dizemos que f tem a concavidade voltada para baixo no ponto a se existir ε > 0
tal que f (x) < g(x) para todo o x ∈ Vε (a).
Dizemos que f tem a concavidade voltada para cima no ponto a se existir ε > 0
tal que f (x) > g(x) para todo o x ∈ Vε (a).
Dizemos que a ∈ int(I) ´ ponto de inflex˜o de f se existir ε > 0 tal que, num
e a
dos intervalos ]a − ε, a[ e ]a, a + ε[ se tenha f (x) < g(x) e no outro f (x) > g(x) para
todo o x ∈ Vε (a).
Teorema 5.35. Seja f : I → R uma fun¸˜o duas vezes diferenci´vel no ponto
ca a
a ∈ I. Ent˜o
a
• se f (a) > 0 o gr´fico de f tem a concavidade voltada para cima no ponto a.
a
• se f (a) < 0 o gr´fico de f tem a concavidade voltada para baixo no ponto a.
a
• se a ´ ponto de inflex˜o de f , ent˜o f (a) = 0.
e a a
Observa¸˜o 5.10. Quando f ´ cont´
ca e ınua no ponto a e tem derivada infinita nesse
mesmo ponto, ent˜o a ´ ponto de inflex˜o de f .
a e a
5.3.4 Ass´
ımptotas
Defini¸˜o 5.36. Sejam f uma fun¸˜o definida em D, a ∈ D e r a recta de equa¸ao
ca ca c˜
x = a. Dizemos que r ´ ass´mptota vertical do gr´fico de f se
e ı a
lim f (x) = ±∞ ou lim f (x) = ±∞.
x→a− x→a+
Defini¸˜o 5.37. Sejam f uma fun¸ao definida em D, o qual cont´m um intervalo
ca c˜ e
da forma ]a, +∞[ e r a recta de equa¸ao y = mx + p. Dizemos que r ´ ass´
c˜ e ımptota

86. ¸˜ ´
5.3. APLICACOES DOS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CALCULO DIFERENCIAL81
do gr´fico de f ` direita ou quando x → +∞ se
a a
lim [f (x) − (mx + p)] = 0.
x→+∞
Defini¸˜o 5.38. Sejam f uma fun¸ao definida em D, o qual cont´m um intervalo
ca c˜ e
da forma ] − ∞, b[ e r a recta de equa¸˜o y = mx + p. Dizemos que r ´ ass´
ca e ımptota
do gr´fico de f ` esquerda ou quando x → −∞ se
a a
lim [f (x) − (mx + p)] = 0.
x→−∞
Teorema 5.39. As ass´mptotas ` direita e ` esquerda do gr´fico de uma fun¸˜o f ,
ı a a a ca
se existirem, s˜o unicas.
a ´
Teorema 5.40. Sejam f uma fun¸˜o definida em D, o qual cont´m um intervalo da
ca e
forma ]a, +∞[. O gr´fico de f admite uma ass´
a ımptota ` direita se s´ se existirem e
a o
forem finitos os limites
f (x)
lim =m e lim [f (x) − mx] = p,
x→+∞ x x→+∞
e a equa¸ao da ass´mptota ´ dada por y = mx + p.
c˜ ı e
Teorema 5.41. Sejam f uma fun¸˜o definida em D, o qual cont´m um intervalo da
ca e
forma ] − ∞, b[. O gr´fico de f admite uma ass´mptota ` esquerda se s´ se existirem
a ı a o
e forem finitos os limites
f (x)
lim =m e lim [f (x) − mx] = p,
x→−∞ x x→−∞
e a equa¸ao da ass´mptota ´ dada por y = mx + p.
c˜ ı e

87. 82 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
5.4 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 5.1. Calcule, sempre que poss´
ıvel, as derivadas das seguintes fun¸oes nos
c˜
pontos indicados, utilizando a defini¸ao.
c˜
√
1. f (x) = x2 + 9, x=4
1
2. f (x) = , x=2
x
3. f (x) = e2x+5 , x=2
4. f (x) = x2 − 3x, x=3
5. f (x) = ln x, x = a ∈ Df
√
6. f (x) = x + 1 − 4, x = a ∈ Df

 x3 + 2x2 , x 0
7. f (x) = ,x = 0
 0, x<0

 x
 1 , x=0
8. f (x) = 1 + ex ,x = 0

 0, x=0
 π
 sen x,
 x ∈ 0,
2 π
9. f (x) = 2x
2
π ,x =

 , x∈ ,π 2
π 2

 ex−1 , x 1
Exerc´
ıcio 5.2. Considere a fun¸˜o f (x) =
ca .
 1 + ln x, x > 1
1. Mostre que f ´ diferenci´vel no ponto 1 e escreva a equa¸˜o da recta tangente
e a ca
ao gr´fico de f no ponto de abcissa 1.
a
2. A fun¸˜o f ´ cont´
ca e ınua no ponto 1? Justifique.
Exerc´
ıcio 5.3. Vereifique as afirma¸oes do Exemplo 5.7
c˜

88. 5.4. EXERC´
ICIOS 83
Exerc´
ıcio 5.4. Um bal˜o metereol´gico ´ solto e sobe verticalmente de modo que
a o e
a sua distˆncia s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vˆo ´ dada por
a o e
s(t) = 6 + 2t + t2
na qual s(t) ´ expressa em meteros e t em segundos. Determine a velocidade do
e
bal˜o quando
a
1. t = 1, t = 4 e t = 8.
2. no instante em que o bal˜o a 50m do solo.
a
Exerc´
ıcio 5.5. A posi¸ao de uma part´
c˜ ıcula ´ dada pela equa¸ao do movimento
e c˜
1
s = f (t) =
1+t
onde t ´ medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade da part´
e ıcula
ap´s 2 segundos.
o
Exerc´
ıcio 5.6. Mostre as igualdades referidas na Proposi¸ao 5.15.
c˜
Exerc´
ıcio 5.7. Determine a derivada de cada uma das seguintes fun¸oes.
c˜

89. 84 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
5 sen2 x
1. f (x) = (x + 3) 13. f (x) =
sen x2
1−x
√
2. f (x) = x3 +2
+ 2x 14. f (x) = x3 arccos x2 − 1
2
ax − 1 15. f (x) = log5 (arctg x)
3. f (x) = , a, b ∈ R
x−b
sen x + cos x
4. f (x) = sen4 (5x) − cos4 (5x) 16. f (x) =
sen x − cos x
5. f (x) = tg(3x2 − 1) 17. f (x) = ex cos x
x5 + 1
x
6. f (x) = e sen x + e
1
x 18. f (x) =
ex − 2
1 − 3x 19. f (x) = x cosh x
7. f (x) =
cos x
sen(arccos x2 )
1
8. f (x) = ln(cosh(2x)) 20. f (x) =
2 2
1 − x2
9. f (x) = arcsen(ln x) 21. f (x) = sen(tg )
ln x
√
10. f (x) = ecos x + x sen x 22. f (x) = (cos x) x
11. f (x) = cos2 (ln (tg x)) 23. f (x) = senh x cosh x
1
12. f (x) = arcsen 24. f (x) = (sen x)cos(2x)
x
Exerc´
ıcio 5.8. Analise a diferenciabilidade das seguintes fun¸˜es.
co
1. f (x) = |x2 − 2x|
2. f (x) = |x|3
3. f (x) = x|x − 1|
4. f (x) = e−|x|

 x2 , x 0
5. f (x) =
 x, x > 0


 x−2
, x>2
6. f (x) = ln(x2 )

 arctg(x − 2), x 2

90. 5.4. EXERC´
ICIOS 85

 (1 − x) ln(x − 1),
 x>1


 1−x 2
1
7. f (x) = , x 1, x = −

 2x + 1 2

 1
 1, x=−
2

 x2 sen 1 , x = 0
8. f (x) = x
 0, x=0

 arcsen x ,
 x 0

 x+1
x
9. f (x) =
 e
x+1 − 1, x < 0, x = −1


 −1, x = −1
x−1
Exerc´
ıcio 5.9. Determine a recta tangente ` fun¸ao f (x) = arcsen
a c˜ , no ponto
2
de intersec¸ao da fun¸ao com o eixo das abcissas.
c˜ c˜
√
Exerc´
ıcio 5.10. Determine as rectas tangente e normal ` fun¸˜o f (x) =
a ca x, no
ponto de abcissa 4.
ıcio 5.11. Considere a fun¸˜o f (x) = 1 + 3ex+3 definida em R.
Exerc´ ca
1. Calcule f (−3), usando a defini¸ao.
c˜
2. Escreva a equa¸˜o da recta tangente ao gr´fico de f cujo declive ´ 3e.
ca a e
3. Resolva, em R, a inequa¸˜o f (x) + f (x) > f (x).
ca
2π
Exerc´ ıcio 5.12. Mostre que a recta de equa¸ao y−3x+
c˜ = 0 ´ uma recta tangente
e
3
π 3x
ao gr´fico da fun¸ao f (x) = − 2 arccos
a c˜ e determine o ponto de tangˆncia.
e
3 2
√
x+3
Exerc´
ıcio 5.13. Considere a fun¸˜o definida, em R, por g(x) = e
ca + ln(arctg x).
1. Calcule o dom´
ınio de g.
2. Calcule a derivada de g no ponto x = 1.
3. Determine a equa¸ao da recta tangente ao gr´fico de g no ponto x = 1.
c˜ a

91. 86 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
Exerc´
ıcio 5.14. As fun¸oes f e g de dom´
c˜ ınio R, para quaisquer valores reais de x
e de y verificam as seguintes condi¸˜es:
co
1. f (x + y) = f (x)f (y)
2. f (x) = 1 + xg(x)
3. lim g(x) = 1
x→0
Mostre que f (x) = f (x).
f (x + h) − f (x)
Sugest˜o: utilize a defini¸ao de derivada f (x) = lim
a c˜ .
h→0 h
y
ıcio 5.15. Seja y = ln(1 + cos x)2 . Prove que y + 2 e− 2 = 0.
Exerc´
4
ıcio 5.16. Determine, para a fun¸ao f (x) = x 3 , a derivada f (4) (0).
Exerc´ c˜
Exerc´
ıcio 5.17. Calcule a derivada de ordem n, para o valor de n indicado, das
seguintes fun¸oes.
c˜
1. f (x) = cos x, n=4
2. f (x) = ln x, n=6
ıcio 5.18. Seja f : R → R a fun¸˜o definida por f (x) = x4 e−x e g : R → R
Exerc´ ca
uma fun¸ao diferenci´vel. Calcule (g ◦ f ) (x).
c˜ a
Exerc´
ıcio 5.19. Seja f : R → R a fun¸ao definida por f (x) = arccos(5x + 1) e
c˜
g : R → R uma fun¸ao diferenci´vel. Calcule (g ◦ f ) (x).
c˜ a
ıcio 5.20. Considere a fun¸ao f : [−2, 0] −→ − π , π definida por f (x) =
Exerc´ c˜ 2 2
arcsen(x + 1). Determine (f −1 (x)) dos seguintes modos:
1. Calcule a fun¸ao inversa e de seguida a respectiva derivada.
c˜
2. Directamente.
2 −1
ıcio 5.21. Considere a fun¸˜o f (x) = ex
Exerc´ ca + 1.

92. 5.4. EXERC´
ICIOS 87
1. Mostre que em [−1, 1] se verificam as condi¸˜es do Teorema de Rolle.
co
2. Calcule c ∈] − 1, 1[: f (c) = 0.
ıcio 5.22. Considere a fun¸˜o f (x) = e−x sen x.
Exerc´ ca
1. Verifique que a fun¸˜o cumpre as condi¸oes do Teorema de Rolle no intervalo
ca c˜
[0, π].
π
2. Mostre que no ponto de abcissa a recta tangente ao gr´fico da fun¸ao ´
a c˜ e
4
horizontal.
Exerc´
ıcio 5.23. Mostre que a equa¸ao x − cos x = 1 tem uma unica solu¸ao no
c˜ ´ c˜
intervalo [0, π ].
2
ıcio 5.24. Mostre que a equa¸ao 2x3 + 4x + 8 = 3 tem uma unica solu¸ao
Exerc´ c˜ ´ c˜
real.
Exerc´
ıcio 5.25. Considere a fun¸˜o f (x) = 3x − 3 + sen(x − 1).
ca
1. Calcule f (1).
2. Prove que f tem um unico zero em R.
´
ıcio 5.26. Prove que a fun¸˜o f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 2 tem um e um s´ zero
Exerc´ ca o
no intervalo ]1, 3[.
ıcio 5.27. Prove que a equa¸˜o 4x3 − 6x2 + 1 = 0 tem trˆs solu¸oes distintas.
Exerc´ ca e c˜
Exerc´
ıcio 5.28. Seja f uma fun¸˜o definida em R por f (x) = arcsen(x + 1). De-
ca
termine o valor interm´dio a que se refere o teorema de Lagrange em [−2, 0].
e
2 −4
ıcio 5.29. Considere a fun¸ao f (x) = ex
Exerc´ c˜ + x. Escreva as condi¸˜es que a
co
fun¸˜o deve satisfazer para que no intervalo [−1, 1] se possa aplicar o Teorema de
ca
Lagrange e confirme a sua veracidade.

93. 88 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
Exerc´
ıcio 5.30. Considere a fun¸˜o f : R → R definida por
ca

 3 − x2
 , x 1
f (x) = 2
 1,
 x>1
x
1. Mostre que ´ poss´ aplicar o Teorema de Lagrange ` fun¸ao f no intervalo
e ıvel a c˜
[0, 2].
2. Determine os n´meros reais c tais que f (2) − f (0) = 2f (c).
u
√
Exerc´
ıcio 5.31. Calcule o valor aproximado de 145, utilizando o Teorema de
Lagrange.
Exerc´
ıcio 5.32. Utilize o Teorema de Lagrange para provar as seguintes desigual-
dades.
1 x+1 1
1. < ln < , x>0
x+1 x x
2. arcsen x > x, x>0
3. 0 < x − ln(1 + x) < x2 , x>0
Exerc´
ıcio 5.33. Uma estrada rectil´
ınea de 50Km liga duas cidades A e B. Prove
que ´ imposs´ viajar de A a B de autom´vel, em exactamente uma hora, sem que
e ıvel o
o veloc´
ımetro registre 50Km/h pelo menos uma vez.
Exerc´
ıcio 5.34. Aplique o Teorema de Cauchy `s seguintes fun¸oes:
a c˜
1. f (x) = (x + 1)2 e g(x) = 3x2 em [1, 3];
2. f (x) = cos(2x) e g(x) = sen x em [− π , π ]
2 2
ıcio 5.35. Considere a fun¸˜o h(x) = ln |2x − 1| e q(x) = x2 − 3x.
Exerc´ ca
1. Calcule o dom´
ınio da fun¸ao h.
c˜

94. 5.4. EXERC´
ICIOS 89
2. Justifique que, embora seja cont´
ınua em [1, 2] e diferenci´vel em ]1, 2[ n˜o se
a a
pode aplicar o Teorema de Cauchy ` fun¸ao h e q.
a c˜
ıcio 5.36. Desenvolva o polin´mio p(x) = x3 − 2x2 + 3x + 5 em potˆncias de
Exerc´ o e
x − 2.
Exerc´
ıcio 5.37. Determine o polin´mio de Taylor de grau n em x = a das seguintes
o
fun¸˜es:
co
1. f (x) = ln x em a = 1 para n = 2.
2. f (x) = sen2 (x) em a = 0 para n = 4.
3. f (x) = cos x em a = 0 para n = 3.
1
4. f (x) = em a = 1 para n = 4.
x
2
5. f (x) = ex em a = 0 para n = 4.
6. f (x) = senh(ln x) em a = 1 para n = 2.
1
7. f (x) = xe− x em a = 1 para n = 3.
Exerc´
ıcio 5.38. Escreva a f´rmula de MacLaurin de ordem n das seguintes fun¸oes:
o c˜
1. f (x) = 4x5 + 5x4 − x3 − x + 1
2. f (x) = sen x para n = 10
1
3. f (x) = para n = 4
1+x
4. f (x) = ex sen x para n = 4
Exerc´
ıcio 5.39. Utilize a Regra de Cauchy para levantar as indetermina¸˜es dos
co
seguintes limites.

95. 90 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
sen 4x
1. lim 9. lim (tg x)cos x
x→0 2x π
x→ 2
sen x
e − ecos x
2. lim 10. lim xe1−x
x→ π sen x − cos x x→+∞
4
√
ln(sen x) 11. lim 2x 3 x
3. lim x→−∞
x→0+ ln(tg x)
12. lim xx
−x2 + x→0
4. lim xe
x→−∞ 2x
1 x+2
1 1 13. lim
5. lim − x→+∞ x2
x→0 sen x x
14. lim xtg( 2x )
π
1
x
6. lim (e + x) x x→1
x→+∞
tg x − 1
3 − 2x
x
15. lim 1
7. lim π
x→ 2 2 + cos x
x→0 x
ln(1 + x) 16. lim [x − ln(3ex − 1)]
x→+∞
8. lim
x→+∞ 1 + 3x
Exerc´
ıcio 5.40. A velocidade v de um impulso el´ctrico num cabo isolado ´ dada
e e
por
r 2 r
v = −k ln
R R
onde k ´ uma constante positiva, r ´ o raio do cabo e R ´ a distˆncia do centro do
e e e a
cabo ` parte externa do isolante. Determine
a
1. lim+ v
R→r
2. lim+ v
R→0
a x
Exerc´
ıcio 5.41. Prove, utilizando a Regra de Cauchy, que lim 1+ = ea .
x→+∞ x
Exerc´
ıcio 5.42. Considere a fun¸˜o f : R → R definida por
ca

 ln(ex + 1), x 0
f (x) =
 sen x, x<0
1. Mostre que a recta de equa¸ao y = x ´ uma ass´
c˜ e ımptota ao gr´fico de f .
a
2. Calcule f (x).

96. 5.4. EXERC´
ICIOS 91
3. Existe um intervalo fechado contido em [0, +∞[ onde seja poss´ aplicar o
ıvel
Teorema de Rolle? Justifique.

 xex+1 , x 0
Exerc´
ıcio 5.43. Considere a fun¸˜o f (x) =
ca
 x , x>0
x−2
1. Determine as ass´
ımptotas ao gr´fico de f .
a
2. Calcule a express˜o de f (x).
a
3. Mostre que ∃c∈]−1,0[ : f (c) = 1.
4. Determine os pontos de inflex˜o de f .
a
ıcio 5.44. Calcule as coordenadas do ponto do gr´fico f (x) = x3 + 2x + 1
Exerc´ a
onde ´ m´
e ınimo o declive da recta tangente ao gr´fico.
a
Exerc´
ıcio 5.45. Mostre que entre todos os rectˆngulos de per´
a ımetro dado, o de
´rea m´xima ´ o quadrado.
a a e
Exerc´
ıcio 5.46. Uma droga ´ injectada na corrente sangu´
e ınea e a sua concentra¸˜o
ca
ap´s t minutos ´ dada por
o e
k
C(t) = (e−bt − e−at )
a−b
para constantes positivas a,b e k.
1. Em que instante ocorre a concentra¸ao m´xima?
c˜ a
2. O que se pode dizer sobre a concentra¸ao ap´s um longo per´
c˜ o ıodo de tempo?
Exerc´
ıcio 5.47. Determine o volume m´ximo de um cil´
a ındro circular recto que
pode ser inscrito num cone de 12cm de altura e 4cm de raio da base, se os eixos do
cilindro e do cone coincidem.

97. 92 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R
Exerc´
ıcio 5.48. Uma bateria de voltagem fixa V e resistˆncia interna fixa r est´
e a
ligada a um circuito de resistˆncia vari´vel R. Pela lei de Ohm, a corrente I no
e a
V
circuito ´ I =
e . Se a for¸a resultante ´ dada por P = I 2 R, mostre que a for¸a
c e c
R+r
m´xima ocorre se R = r.
a
Exerc´
ıcio 5.49. Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B distantes 3Km um
do outro e situados em margens opostas de um rio de 1Km de largura. Parte do
oleoduto ficar´ submersa, de A a C estando C na margem oposta, e a restante parte
a
acima do solo ligando C a B. Se o custo de opera¸˜o do oleoduto sob ´gua ´ quatro
ca a e
vezes o custo da opera¸ao no solo, determine a localiza¸ao de C que minimize o
c˜ c˜
custo da opera¸˜o do oleoduto.(Desprezar a inclina¸˜o do leito do rio.)
ca ca
Exerc´
ıcio 5.50. Estude cada uma das seguintes fun¸˜es. Para tal determine
co
• O dom´
ınio • Os intervalos de monotonia
• Os zeros • As ass´
ımptotas
• A primeira derivada • Os pontos de inflex˜o
a
• A segunda derivada • O sentido da concavidade
• Os extremos
De seguida esboce o gr´fico.
a
1. f (x) = x3 − 3x2 8. f (x) = x − sen x, para x ∈ [0, 2π]
x2 − 4 √
2. f (x) = 9. f (x) = x − 1 − 2x + x2
x 
5  x ln x, x>0
3. f (x) = 10. f (x) =
1 + 4e−x √
 1 − x, x 0
4. f (x) = ln(x2 − 1) 
 e−1−x2 , x < 0
5. f (x) = ln | ln x| 11. f (x) =
 e|x−1|−2 , x 0
6. f (x) = arcsen(1 + x) 
 (π − x)e−x ,
 x 0
7. f (x) = (ex − 1)2 12. f (x) = π

 (2 − x) arctg , x<0
2−x

98. 5.4. EXERC´
ICIOS 93
Exerc´
ıcio 5.51. Esboce o gr´fico de uma fun¸˜o cont´
a ca ınua f que verifique todas as
condi¸˜es indicadas:
co
1. • f (0) = 1 e f (2) = 3
• f (0) = f (2) = 0
• f (x) < 0 se |x − 1| > 1
• f (x) > 0 se x − 1 > 1
• f (x) < 0 se x > 1
• f (x) > 0 se x < 1.
2. • f (0) = 4 e f (2) = f (−2) = 1
• f (0) = 0
• f (x) < 0 se x > 0
• f (x) > 0 se x < 0
• f (x) < 0 se |x| < 2
• f (x) > 0 se |x| < 2.

99. 94 CAP´ ´
ITULO 5. CALCULO DIFERENCIAL EM R

100. Cap´
ıtulo 6
C´lculo Integral em R
a
6.1 Primitiva¸˜o
ca
Defini¸˜o 6.1. Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o real de vari´vel real. Dizemos que
ca ca a
a fun¸ao F : [a, b] → R ´ uma primitiva de f se para toto o x ∈ [a, b] tivermos
c˜ e
F (x) = f (x), e escrevemos que F (x) = f (x)dx ou F (x) = P f (x). Dizemos
tamb´m que f ´ primitiv´vel se admitir uma primitiva.
e e a
Observa¸˜o 6.1. Da Defini¸ao anterior, decorre imediatamente que a fun¸˜o F
ca c˜ ca
tem de ser diferenci´vel no intervalo [a, b].
a
Observa¸˜o 6.2. Vimos no Cap´
ca ıtulo anterior que se a derivada de duas fun¸˜es
co
´ igual, elas diferem por uma constante. Assim, se F (x) ´ uma primitiva de f (x),
e e
ent˜o F (x) + K ´ tamb´m uma primitiva de f (x), para todo o K ∈ R, uma vez que
a e e
(F (x) + K) = F (x) = f (x).
`
A express˜o F (x) + K chamamos express˜o geral das primitivas de f (x) e `
a a a
constante K a constante de primitiva¸˜o.
ca
Nota 6.1. Dada uma fun¸˜o primitiv´vel, a Observa¸˜o anterior justifica o termo
ca a ca
uma primitiva e em detrimento de a primitiva, uma vez que existem infinitas primi-
tivas (tantas quantas os n´meros reais).
u
95

101. 96 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
Observa¸˜o 6.3. De certa maneira podemos dizer que a deriva¸ao e a primitiva¸˜o
ca c˜ ca
s˜o opera¸˜es inversas uma da outra.
a co
Teorema 6.2. Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o real de vari´vel real primitiv´vel.
ca a a
Se F e G s˜o duas primitivas de f em [a, b], ent˜o F (x) − G(x) = K para todo o
a a
x ∈ [a, b] e para algum K ∈ R.
Proposi¸˜o 6.3. Sejam f e g duas fun¸˜es primitiv´veis em [a, b]. Ent˜o
ca co a a
1. kf (x)dx = k f (x)dx para todo o k ∈ R {0}.
2. f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx.
x3
Exemplo 6.1. Temos que 5x2 dx = 5 x2 dx = 5 .
3
Exemplo 6.2. Temos que cos x + ex dx = cos xdx + ex dx = sen x + ex .
Teorema 6.4. Toda a fun¸˜o cont´nua num intervalo [a, b] ´ primitiv´vel nesse
ca ı e a
mesmo intervalo.
6.1.1 Primitivas Imediatas
Defini¸˜o 6.5. Chamamos primitivas imediatas `s primitivas que se deduzem di-
ca a
rectamente de uam regra de deriva¸ao.
c˜
Assim, podemos apresentar algumas primitivas imediatas
1. cdx = cx + K
f α+1 (x)
2. f (x)f α (x)dx = + K, para todo o α ∈ R {−1}
α+1
f (x)
3. dx = ln |f (x)| + K
f (x)
af (x)
4. f (x)af (x) dx = + K, para todo o a ∈ R+ {1}; em particular, quando
ln a
a = e temos f (x)ef (x) dx = ef (x) + K.

102. ¸˜
6.1. PRIMITIVACAO 97
5. f (x) cos f (x)dx = sen f (x) + K
6. f (x) sen f (x)dx = − cos f (x) + K
f (x)
7. dx = tg f (x) + K
cos2 f (x)
f (x)
8. dx = − cotg f (x) + K
sen2 f (x)
f (x)
9. dx = arcsen f (x) + K = − arccos f (x) + K
1 − f 2 (x)
f (x)
10. dx = arctg f (x) + K = − arccotg f (x) + K
1 + f 2 (x)
11. f (x) senh f (x)dx = cosh f (x) + K
12. f (x) cosh f (x)dx = senh f (x) + K
6.1.2 Primitiva¸˜o de Fun¸oes Racionais
ca c˜
Sejam P e Q dois polin´mios reais de grau n e m, respectivamente, ou seja, P (x) =
o
an xn + . . . + a1 x + a0 e Q(x) = bm xn + . . . + b1 x + b0 com aj , bj ∈ R, an = 0 e bm = 0.
Defini¸˜o 6.6. Seja P um polin´mio de grau maior do que 1. Dizemos que P
ca o
´ polin´mio redut´vel se existirem polin´mios P1 e P2 com graus inferiores aos de
e o ı o
P tais que P (x) = P1 (x)P2 (x). Dizemos que P ´ polin´mio irredut´
e o ıvel se n˜o for
a
redut´
ıvel.
Observa¸˜o 6.4. Todos os polin´mios de grau 1 s˜o irredut´
ca o a ıveis, P (x) = a1 x − a0 .
Observa¸˜o 6.5. Um polin´mio de grau 2, P (x) = ax2 + bx + c ´ irredut´ se
ca o e ıvel
o a ızes reais, ou seja, se b2 − 4ac < 0. Assim, os polin´mios de
e s´ se n˜o tem ra´ o
ıveis s˜o os polin´mios da forma P (x) = (x − α)2 + β 2 , com α ∈ R e
grau 2 irredut´ a o
β ∈ R {0}, os quais possuem duas ra´ complexas conjugadas, α ± iβ.
ızes

103. 98 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
Observa¸˜o 6.6. Todos os polin´mios n˜o considerados nas observa¸˜es anteriores
ca o a co
s˜o redut´
a ıveis e escrevem-se como o produto de polin´mios irredut´
o ıveis da seguinte
forma
m1 mq
P (x) = (x − a1 )n1 . . . (x − ap )np (x − α1 )2 + β1
2
. . . (x − αq )2 + βq
2
,
onde ai ´ ra´ real de P com multiplicidade ni e αj ± βj s˜o ra´ complexas de P
e ız a ızes
com multiplicidade mj .
Defini¸˜o 6.7. Seja f : D → R uma fun¸ao. Dizemos que f ´ uma fun¸ao racional
ca c˜ e c˜
P (x)
se existiram polin´mios P e Q tais que f (x) =
o e D = {x ∈ R : Q(x) = 0}.
Q(x)
P (x)
Defini¸˜o 6.8. Seja f (x) =
ca uma fun¸˜o racional. Dizemos que f ´ irredut´
ca e ıvel
Q(x)
se P e Q n˜o tiverem ra´ comuns.
a ızes
P (x)
Consideremos uma fun¸˜o racional irredut´ f (x) =
ca ıvel , podemos ter dois
Q(x)
casos:
1. O grau do polin´mio P ´ maior ou igual do que o grau do polin´mio Q.
o e o
2. O grau do polin´mio P ´ menor do que o grau do polin´mio Q.
o e o
No primeiro caso, fazendo a divis˜o de polin´mios vem P (x) = M (x)Q(x)+R(x),
a o
onde M e R s˜o polin´mios, sendo M o quociente da divis˜o e R o resto da divis˜o
a o a a
R(x)
(o qual tem grau menor do que o grau de Q). Assim, f (x) = M (x) + de onde
Q(x)
conclu´
ımos que
R(x)
f (x)dx = M (x)dx + dx
Q(x)
como M ´ um polin´mio, o mesmo tem primitiva imediata. Na segunda parcela
e o
temos o segundo dos dois casos que referimos acima.
Vamos agora ver alguns resultados que permitem transformar uma fun¸ao racio-
c˜
nal irredut´
ıvel, como referido no segundo caso, na soma de outras fun¸oes racionais,
c˜
as quais ser˜o mais f´ceis de primitivar.
a a

104. ¸˜
6.1. PRIMITIVACAO 99
P (x)
Teorema 6.9. Seja uma fun¸˜o racional irredut´ em que o grau do po-
ca ıvel
Q(x)
lin´mio P ´ menor do que o grau do polin´mio Q. Se
o e o
Q(x) = a0 (x − a)n ,
ou seja, Q tem uma ra´ real a de multiplicidade n, ent˜o ´ poss´ escrever
ız a e ıvel
P (x) An An−1 A1
= n
+ n−1
+ ... + ,
Q(x) (x − a) (x − a) x−a
onde Ai s˜o n´meros reais.
a u
Observa¸˜o 6.7. Qualquer uma das novas parecelas que surgem da aplica¸˜o do
ca ca
Teorema anterior tem primitiva imediata:
Ai (x − a)−i+1
• dx = Ai (x − a)−i dx = Ai + K se i = 1
(x − a)i −i + 1
Ai
• dx = Ai ln |x − a| + K
x−a
Observa¸˜o 6.8. Em geral, para cada ra´ real aj de multiplicidade nj do polin´mio
ca ız o
P (x)
Q, na decomposi¸˜o da fun¸˜o racional
ca ca surgem as parcelas
Q(x)
Anj Anj −1 A1
nj
+ nj −1
+ ... + .
(x − aj ) (x − aj ) x − aj
P (x)
Teorema 6.10. Seja uma fun¸˜o racional irredut´ em que o grau do po-
ca ıvel
Q(x)
lin´mio P ´ menor do que o grau do polin´mio Q. Se
o e o
r
Q(x) = a0 (x − α)2 + β 2 ,
ou seja, Q tem uma ra´z complexa conjugada α ± iβ de mutiplicidade r, ent˜o ´
ı a e
poss´ escrever
ıvel
P (x) Br x + Cr Br−1 x + Cr−1 B1 x + C1
= r + r−1 + . . . +
Q(x) [(x − α)2 + β 2 ] [(x − α)2 + β 2 ] (x − α)2 + β 2

105. 100 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
onde Bi e Ci s˜o n´meros reais.
a u
Observa¸˜o 6.9. Em geral, para cada ra´ complexa conjugada α ± iβ de multi-
ca ız
P (x)
plicidade rj do polin´mio Q, na decomposi¸ao da fun¸ao racional
o c˜ c˜ surgem as
Q(x)
parcelas como as referidas no Teorema anterior.
Exemplo 6.3. Quando o grau do polin´mio do numerador ´ maior ou igual ao grau
o e
do denominador, temos de fazer a divis˜o de polin´mios.
a o
x3 + x 2 x3 x2
dx = x2 + x + 2 + dx = + + 2x + 2 ln |x − 1| + K
x−1 x−1 3 2
Exemplo 6.4. Seja a uma constante real.
2a 2a 1 1
dx = dx = − dx =
x2 − a2 (x − a)(x + a) x−a x+a
x−a
= ln |x − a| − ln |x + a| + K = ln +K
x+a
Exemplo 6.5. Na primitiva que se segue surgem ra´
ızes reais simples e ra´
ızes reais
com multiplicidade no polin´mio do denominador.
o
5x + 1 2 1 1
dx = + − dx =
(x − 1)2 (x + 2) (x − 1) 2 x−1 x+2
1 1
= 2(x − 1)−2 + − dx =
x−1 x+2
(x − 1)−1
=2 + ln |x − 1| − ln |x + 2| + K =
−1
2 x−1
=− + ln +K
x−1 x+2
Exemplo 6.6. Na primitiva que se segue surgem ra´ complexas e reais no polin´mio
ıxes o

106. ¸˜
6.1. PRIMITIVACAO 101
do denominador.
10x2 − 25x − 15 10x2 − 25x − 15
dx = dx =
(x2 − 4x + 13)(x2 + x − 2) (x2 − 4x + 13)(x − 1)(x + 2)
2x + 1 1 1
= 2 − 4x + 13
− − dx =
x x−1 x+2
2x − 4 5
= 2 − 4x + 13
+ 2 dx−
x x − 4x + 13
1 1
− dx − dx =
x−1 x+2
2x − 4 5
= 2 − 4x + 13
dx + dx−
x (x − 2)2 + 9
− ln |x − 1| − ln |x + 2| =
5 1
= ln(x2 − 4x + 13) + dx−
9 x−2 2
1+ 3
x−1
− ln =
x+2
1
51 3
= ln(x2 − 4x + 13) + 1 dx−
93 x−2 2
1+ 3
x−1
− ln =
x+2
5 x−2 x−1
= ln(x2 − 4x + 13) + arctg − ln +K
3 3 x+2
6.1.3 Primitiva¸˜o por Partes
ca
Teorema 6.11. Sejam f, g : I → R duas fun¸˜es diferenci´veis no intervalo I. O
co a
produto f g ´ primitiv´vel em I se e s´ se o produto f g ´ primitiv´vel em I. E
e a o e a
numa destas hip´teses temos que
o
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g (x)dx.
Prova: Vamos apenas ver que a igualdade referida no Teorema ´ verdadeira. Pela
e

107. 102 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
regra de deriva¸ao do produto sabemos que
c˜
(f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ⇒ f (x)g(x) = (f (x)g(x)) − f (x)g (x)
de onde conclu´
ımos que f (x)g(x)dx = (f (x)g(x)) dx − f (x)g (x)dx ⇒
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g (x)dx.
` e
Nota 6.2. A t´cnica de primitiva¸˜o enunciada no Teorema anterior chamamos
ca
m´todo de Primitiva¸˜o por Partes.
e ca
Exemplo 6.7. Vamos calcular uma primitiva da fun¸ao h(x) = x ln x usando o
c˜
m´todo de primitiva¸˜o por partes. Consideremos f (x) = x e g(x) = ln x e te-
e ca
mos que
x2 x2 1 x2 ln x 1 x2 ln x x2
x ln xdx = ln x − dx = − xdx = − + K.
2 2 x 2 2 2 4
6.1.4 Primitiva¸˜o por Substitui¸˜o
ca ca
Teorema 6.12. Sejam f : I → R uma fun¸˜o primitiv´vel no intervalo I e φ :
ca a
J → I uma fun¸˜o diferenci´vel no intervalo J e bijectiva. Ent˜o f (φ(t))φ (t) ´
ca a a e
primitiv´vel e
a
f (x)dx = f (φ(t))φ (t)dt|t=φ−1 (x) .
Prova: Vamos apenas ver que a igualdade referida no Teorema ´ verdadeira. Seja
e
F uma primitiva de f , ent˜o para todo o x ∈ I, aplicando a regra da deriva¸ao
a c˜
composta, temos que
(F ◦ φ) (t) = F (φ(t)) φ (t) = f (φ(t)) φ (t),
de onde conclu´
ımos que F ◦ φ(t) = f (φ(t)) φ (t)dt. Fazendo φ(t) = x obtemos
F (x) = f (φ(t)) φ (t)dt|t=φ−1 (x) , ou seja, temos a igualdade do Teorema.

108. ¸˜
6.1. PRIMITIVACAO 103
` e
Nota 6.3. A t´cnica de primitiva¸˜o enunciada no Teorema anterior chamamos
ca
m´todo de Primitiva¸˜o por Substitui¸˜o.
e ca ca
x3
Exemplo 6.8. Vamos calcular uma primitiva da fun¸˜o h(x) = √
ca usando o
√ x−1
m´todo de primitiva¸ao por substitui¸˜o. Consideremos x − 1 = t, ou seja, x =
e c˜ ca
φ(t) = t2 + 1 e temos que
x3 (t2 + 1)3
√ dx = 2tdt = 2 t6 + 3t4 + 3t2 + 1dt =
x−1 t
t7 t5
=2 + 3 + t3 + t + K =
7 5
√ 7 √ 5
x−1 x−1 √ 3 √
=2 +3 + x−1 + x−1 + K.
7 5
Primitiva¸˜o de Fun¸oes Alg´bricas Irracionais
ca c˜ e
Vamos ver alguns casos de fun¸oes para as quais para determinarmos a sua primitiva
c˜
temos de efectuar uma substitui¸ao de modo a que surjam fun¸oes racionais.
c˜ c˜
Para isso, ser´ necess´rio introduzir algumas defini¸oes.
a a c˜
Defini¸˜o 6.13. Seja P : R × R → R uma aplica¸˜o. Dizemos que P ´ um po-
ca ca e
lin´mio em duas vari´veis se tivermos
o a
P (x, y) = an,m xn y m +an−1,m xn−1 y m +an,m−1 xn y m−1 +. . .+a1,1 xy+a0,1 y+a1,0 x+a0,0 ,
onde ai,j ∈ R e m, n ∈ N0 . O grau do polin´mio P ´ o m´ximo do conjunto
o e a
{i + j : ai,j = 0}.
Defini¸˜o 6.14. Seja P : R × . . . × R → R uma aplica¸˜o. Dizemos que P ´ um
ca ca e
p vezes
polin´mio em p vari´veis se tivermos
o a
P (x1 , . . . , xp ) = ai1 ,...,ip xi1 . . . xip ,
1 p
i1 ,...,ip

109. 104 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
onde ai1 ,...,ip ∈ R e i1 , . . . , ip ∈ N0 . O grau do polin´mio P ´ o m´ximo do conjunto
o e a
{i1 + . . . + ip : ai1 ,...,ip = 0}.
Defini¸˜o 6.15. Sejam P e Q dois polin´mios a p vari´veis. Chamamos fun¸˜o
ca o a ca
racional em p vari´veis a uma aplica¸ao do tipo
a c˜
P (x1 , . . . , xp )
R(x1 , . . . , xp ) = ,
Q(x1 , . . . , xp )
onde P (x1 , . . . , xp ) = 0.
Vamos ent˜o agora indicar as mudan¸as de vari´vel a efectuar para as diferentes
a c a
situa¸˜es.
co
Express˜o
a Substitui¸˜o
ca
m1 m2 mp
f (x) = R x n1
,x n2
,...,x np
x = tm.m.c.{n1 ,...,np }
m1 m2 mp
ax+b ax+b ax+b ax+b
f (x) = R x, cx+d
n1
, cx+d
n2
,..., cx+d
np
cx+d
= tm.m.c.{n1 ,...,np }
γ
f (x) = xα a + bxβ xβ = t
√ √ √
f (x) = R x, ax2 + bx + c , a > 0 ax2 + bx + c = ax + t
√ √ √
f (x) = R x, ax2 + bx + c , c > 0 ax2 + bx + c = tx + c
√ √
f (x) = R x, ax2 + bx + c , α ra´ de ax2 + bx + c
ız ax2 + bx + c = t(x − α)
√
f (x) = a2 − x2 x = a cos t ou x = a sen t
√
f (x) = x2 − a2 x = a sec t ou x = a cosec t
√
f (x) = x2 + a2 x = a tg t ou x = a cotg t
x
Exemplo 6.9. Para calcular a primitiva √ dx podemos fazer a substitui¸ao
c˜
x2 + 4
x = 2 tg t e obtemos
x 2 tg t 4 tg t sec2 t
√ dx = √ 2 sec2 tdt =
√ tdt = 2 tg t sec tdt =
x2 + 4 4 tg t + 4 2 sec2 t
−2 cos−3 t 2 cos−3 t
= −2 − sen t cos tdt = −2 +K = +K =
−3 3
2 x
= cos−3 arctg + K.
3 2

110. ¸˜
6.1. PRIMITIVACAO 105
x
Exemplo 6.10. Para calcular a primitiva √
dx podemos no entanto fazer
x2 + 4
uma substitui¸ao mais simples x2 + 4 = t e obtemos
c˜
√
x t−4 1 1 √ √
√ dx = √ √ dt = √ dt = t + K = x2 + 4 + K.
x 2+4 t 2 t−4 2 t
√
Exemplo 6.11. Para o c´lculo da primitiva
a x2 9 − x2 dx podemos fazer a substi-
tui¸˜o x = 3 sen t e obtemos
ca
√ √
x2 9 − x2 dx = 9 sen2 t 9 − 9 sen2 t · 3 cos tdt = 27 sen2 t cos2 tdt =
2
sen 2t 27 27 1 − cos 4t
= 27 sen2 2tdt =
dt = dt =
2 4 4 2
27 27 sen 4t
= 1 − cos 4tdt = t− =
8 8 4
27 x 27 x
= arcsen − sen 4 arcsen
8 3 32 3
x
Exemplo 6.12. Para o c´lculo da primitiva
a √ dx ser´ necess´rio efec-
a a
3 − 2x − x2
tuar duas substitui¸˜es. Come¸amos por fazer a subsitui¸˜o x = t − 1 e obtemos
co c ca
x t−1
√ dx = √ dt,
3 − 2x − x2 4 − t2
na qual fazemos a subsitui¸ao t = 2 sen u, ou seja,
c˜
x 2 sen u − 1 2 sen u − 1
√ dx = √ 2 cos udu = √ 2 cos udu =
3 − 2x − x2 4 − 4 sen2 u 2 1 − sen2 u
= 2 sen u − 1du = −2 cos u − u + K =
t t
= −2 cos arcsen − arcsen +K =
2 2
√ t
= − 4 − t2 − arcsen + K =
2
√ x+1
= − 3 − 2x − x2 − arcsen + K,
2

111. 106 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
2 t 2 t t2
onde us´mos a igualdade cos
a arcsen = 1 − sen arcsen =1− .
2 2 4
Primitivas de Fun¸˜es Transcendentes
co
Exsitem ainda outras situa¸˜es em que as fun¸˜es que pretendemos primitivar n˜o
co co a
s˜o polinomiais, no entanto se se enquadrarem nas seguintes situa¸˜es, podemos
a co
efectuar as substitui¸˜es indicadas.
co
Express˜o
a Substitui¸˜o
ca
f (x) = R (sen x, cos x) tg x = t
2
f (x) = R (sen x, cos x) = R (− sen x, − cos x) tg x = t
f (x) = R (ex ) ex = t
6.2 Integra¸˜o
ca
Dada f uma fun¸ao cont´
c˜ ınua num intervalo [a, b], o integral de f no intervalo [a, b]
representa o valor da ´rea limitada superiormente pelo gr´fico de f , inferiormente
a a
pelo eixo das abcissas e pelas rectas x = a e x = b ao qual subtra´
ımos o valor da
´rea limitada inferiormente pelo gr´fico de f , superiormente pelo eixo das abcissas
a a
e pelas rectas x = a e x = b. Na defini¸ao que se segue, ´ dada essa defini¸ao de um
c˜ e c˜
modo formal.
Defini¸˜o 6.16. Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o cont´
ca ca ınua e limitada. Dividimos o
intervalo [a, b] em n intervalos iguais [xi−1 , xi ], em que a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
Tomemos ci ∈ [xi−1 , xi ] e definimos o integral definido de f de a at´ b se existir o
e
limite
n
lim (xi − xi−1 ) f (ci ) ,
n→∞
i=1
b
o qual representamos por f (x)dx. Neste caso, dizemos ainda que a fun¸ao f ´
c˜ e
a
integr´vel em [a, b].
a
Na realidade, para podermos falar do integral definido de f de a at´ b n˜o ser´
e a a

112. ¸˜
6.2. INTEGRACAO 107
necess´rio que a fun¸ao seja cont´
a c˜ ınua em todo o intervalo, como refere o seguinte
teorema.
Teorema 6.17. Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o limitada e cont´
ca ınua excepto num
n´mero finito de pontos. Ent˜o f ´ integr´vel em [a, b] e podemos definir o integral
u a e a
definido de f de a at´ b como na Defini¸˜o anterior.
e ca
Assim, daqui em diante, quando exigirmos que a fun¸ao seja cont´
c˜ ınua num in-
tervalo [a, b], aplicando o Teorema anterior, estamos tamb´m na realidade a admitir
e
a situa¸ao a´ enunciada.
c˜ ı
Teorema 6.18. (Teorema do Valor M´dio) Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o
e ca
cont´nua. Ent˜o existe c ∈ [a, b] tal que
ı a
b
f (x)dx = f (c)(b − a).
a
Nota 6.4. O Teorema anterior garante que existe um rectˆngulo de base [a, b] e
a
altura f (c), o qual tem ´rea igual ao integral de f de a at´ b.
a e
6.2.1 Propriedades dos Integrais
Proposi¸˜o 6.19. Sejam f, g : [a, b] → R duas fun¸˜es cont´
ca co ınuas. Temos as se-
guintes propriedades
b
1. cdx = c(b − a), para todo o c ∈ R
a
b b
2. cf (x)dx = c f (x)dx, para todo o c ∈ R
a a
b b b
3. f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx
a a a
b a a
4. f (x)dx = − f (x)dx, de onde conclu´mos que
ı f (x)dx = 0
a b a
b c b
5. f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, onde c ∈ R.
a a c

113. 108 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
b b
6. se f (x) g(x) para todo o x ∈ [a, b], ent˜o
a f (x)dx g(x)dx
a a
b b
7. f (x)dx |f (x)|dx
a a
6.2.2 Teoremas Fundamentais do C´lculo Integral
a
O conceito de primitiva e o resultado que se segue permite calcular integrais de uma
forma muito mais r´pida, sem ter de passar pelo c´lculo de limites e de somat´rios.
a a o
Teorema 6.20. (Teorema Fundamental do C´lculo Integral) Seja f : [a, b] →
a
x
R uma fun¸ao cont´nua. Ent˜o a fun¸˜o F : [a, b] → R dada por F (x) =
c˜ ı a ca f (t)dt
a
´ diferenci´vel em [a, b] e F (x) = f (x) para todo o x ∈ [a, b], ou seja, F ´ uma
e a e
primitiva de f .
Mais geralmente, se tivermos ψ e φ fun¸˜es diferenci´veis no intervalo [a, b],
co a
ent˜o
a
φ(x)
d
f (t)dt = f (φ(x))φ (x) − f (ψ(x))ψ (x).
dx ψ(x)
x
Exemplo 6.13. Consideremos que a fun¸ao f ´ dada por f (x) =
c˜ e sen t2 dt, ent˜o
a
2
a sua derivada ´ dada por
e
x
d
f (x) = sen t2 dt = sen x2 · x − sen 9 · (3) = sen x2 .
dx 2
ex
Exemplo 6.14. Consideremos que a fun¸ao f ´ dada por f (x) =
c˜ e ln2 tdt, ent˜o
a
x3 −1
a sua derivada ´ dada por
e
ex
d
f (x) = ln2 tdt = ln2 (ex ) · (ex ) − ln2 x3 − 1 · x3 − 1 =
dx x3 −1
= x2 ex − 3x2 ln2 x3 − 1 .
Corol´rio 6.21. (Regra de Barrow) Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o cont´
a ca ınua e

114. ¸˜
6.2. INTEGRACAO 109
F : [a, b] → R uma primitiva de f . Ent˜o
a
b
f (x)dx = [F (x)]b = F (b) − F (a).
a
a
Exemplo 6.15. Aplicando a Regra de Barrow, temos
2 2
2 x3 23 13 7
x dx = = − = .
1 3 1 3 3 3
Exemplo 6.16. Aplicando a Regra de Barrow, temos
√ 3 e
2
4 − lnx 2
1 1 2 (4 − ln x) 2 √ 16
dx = (4 − lnx) dx = −
2 = −2 3 + .
1 x 1 x 3 3
1
Da primitiva¸ao por partes e da primitiva¸˜o por subsitui¸˜o, surgem natural-
c˜ ca ca
mente a integra¸ao por partes e a integra¸ao por substitui¸˜o.
c˜ c˜ ca
Teorema 6.22. (Integra¸˜o por Partes) Sejam g ∈ C 1 ([a, b]) e f : [a, b] → R
ca
cont´nua. Ent˜o
ı a
b b
f (x)g(x)dx = [f (x)g(x)]b −
a f (x)g (x)dx.
a a
3
Exemplo 6.17. Para calcular o integral xex dx podemos utilizar o m´todo de
e
0
integra¸˜o por partes, vamos escolher f (x) = ex e g(x) = x, assim temos que
ca
f (x) = ex e g (x) = 1 e vem que
3 3
ex xdx = [ex x]3 −
0 ex · 1dx = 3e3 − 0 − [ex ]3 = 3e3 − e3 + 1 = 2e3 + 1.
0
0 0
Teorema 6.23. (Integra¸˜o por Substitui¸˜o) Sejam f : [a, b] → R uma fun¸˜o
ca ca ca
cont´nua no intervalo [a, b] e φ : [α, β] → [a, b] uma fun¸˜o de classe C 1 em [α, β],
ı ca

115. 110 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
bijectiva, com φ(t) = x e tal que φ(α) = a e φ(β) = b. Ent˜o
a
b β
f (x)dx = f (φ(t))φ (t)dt.
a α
√
3 3 √
9 − x2 2
Exemplo 6.18. Para calcular o integral dx podemos utilizar o m´todo
e
3
2
x2
de integra¸ao por substitui¸˜o, fazendo a substitui¸˜o x = φ(t) = 3 sen t, assim
c˜ ca ca
√ √ √ π
temos que φ (x) = 3 cos t, φ(t) = 3 2 3 ⇒ 3 sen t = 3 2 3 ⇒ sen t = 23 ⇒ t = e
π 3
φ(t) = 3 ⇒ 3 sen t = 3 ⇒ sen t = 2 ⇒ t = e vem que
2 2
1
6
√
3 3 √ π √ π √
2 9 − x2 3 9 − 9 sen2 t 3 3 1 − sen2 t
dx = 3 cos tdt = cos tdt =
3
2
x2 π
6
9 sen2 t π
6
3 sen2 t
π π π
3 cos t 3
2
3
= cos tdt = cotg tdt = cosec2 t − 1dt =
π
6
sen2 t π
6
π
6
π π π π π
= [− cotg t − t] π = − cotg − + cotg + =
3
√ 3 3 6 6
6
√
3 π √ 2 3 π
=− − + 3= −
3 6 3 6
6.2.3 Aplica¸˜es Geom´tricas do C´lculo Integral
co e a
Nesta sec¸˜o vamos ver algumas aplica¸˜es geom´tricas do C´lculo Integral, nome-
ca co e a
adamente para determinar ´reas de regi˜es planas, comprimento de curvas, volumes
a o
de s´lidos de revolu¸ao e ´reas de s´lidos de revolu¸ao.
o c˜ a o c˜
´
Areas de Regi˜es Planas
o
Seja f uma fun¸˜o cont´
ca ınua no intervalo [a, b].
A ´rea da regi˜o plana limitada pelo gr´fico da fun¸˜o f , pelo eixo das abcissas
a a a ca
e pelas rectas x = a e x = b ´ dada pelo integral
e
b
|f (x)|dx.
a

116. ¸˜
6.2. INTEGRACAO 111
Mais geralmente, se tivermos duas fun¸˜es f e g cont´
co ınuas no intervalo [a, b], a
´rea da regi˜o plana limitada pelo gr´fico da fun¸ao f , pelo gr´fico da fun¸ao g e
a a a c˜ a c˜
pelas rectas x = a e x = b ´ dada pelo integral
e
b
|f (x) − g(x)|dx.
a
Exemplo 6.19. A ´rea da regi˜o plana limitada pela circunferˆncia x2 + y 2 = 4; ou
a a e
√
seja, y = ± 4 − x2 com −2 x 2 ´ dada pelo integral
e
2 √ √ 2 √ √
4 − x2 − − 4 − x2 dx = 4 − x2 + 4 − x2 dx =
−2 −2
2 √
=2 4 − x2 dx =
−2
π √
=2 4 − 4 cos2 t (−2 sen t) dt =
−π
π π
= −4 2| sen t| sen tdt = 4 2 sen2 tdt =
−π −π
π π
sen(2t)
=4 1 − cos(2t)dt = 4 t − =
−π 2 −π
sen(2π) sen(−2π)
=4 π− − 4 −π − = 4π
2 2
Comprimento de Curvas
Seja f uma fun¸˜o cont´
ca ınua no intervalo [a, b], tal que f (a) = A e f (b) = B.
O comprimento da curva dada por y = f (x) entre os pontos (a, A) e (b, B), ou
seja, o comprimento do curva dada pelo gr´fico de f entre as rectas x = a e x = b ´
a e
dado por
b
1 + [f (x)]2 dx.
a
Exemplo 6.20. O comprimento da curva dada pela equa¸˜o y = x2 com x ∈ [0, a] ´
ca e

117. 112 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
dado pelo integral
a a √
1 + (2x)2 dx = 1 + 4x2 dx =
0 0
arcsenh(2a)
cosh t
= 1 + senh2 t
dt =
0 2
2
1 arcsenh(2a) 1 arcsenh(2a) et + e−t
= cosh2 tdt = dt =
2 0 2 0 2
arcsenh(2a)
1
= e2t + 2 + e−2t dt =
8 0
arcsenh(2a)
1 e2t e−2t
= + 2t −
8 2 2 0
2 arcsenh(2a)
1 e e−2 arcsenh(2a) 1 1 1
= + 2 arcsenh(2a) − − − =
8 2 2 8 2 2
1 arcsenh(2a)
= senh (2 arcsenh(2a)) +
8 4
Volumes de S´lidos de Revolu¸˜o
o ca
Sejam f e g duas fun¸˜es cont´
co ınuas no intervalo [a, b], tais que 0 g(x) f (x) para
todo o x ∈ [a, b].
Consideremos a regi˜o plana A limitada pelo gr´fico da fun¸˜o f , pelo gr´fico
a a ca a
da fun¸ao g e pelas rectas x = a e x = b, ou seja,
c˜
A = (x, y) ∈ R2 : a x b, 0 g(x) y f (x) .
Consideremos agora que a regi˜o A faz uma rota¸˜o de 2π em torno do eixo das
a ca
abcissas, ou seja, d´ uma volta completa em torno do eixo das abcissas. Desta forma
a
´ criado um s´lido, ao qual chamamos s´lido de revolu¸˜o, cujo volume ´ dado por
e o o ca e
b
π f 2 (x) − g 2 (x)dx.
a

118. ¸˜
6.2. INTEGRACAO 113
De modo an´logo, consideremos a regi˜o plana
a a
B = (x, y) ∈ R2 : 0 g(y) x f (y) , c y d .
Consideremos agora que a regi˜o B faz uma rota¸ao de 2π em torno do eixo das
a c˜
ordenadas, ou seja, d´ uma volta completa em torno do eixo das ordenadas. Desta
a
forma ´ criado um s´lido, ao qual chamamos s´lido de revolu¸˜o, cujo volume ´ dado
e o o ca e
por
d
π f 2 (y) − g 2 (y)dy.
c
Exemplo 6.21. Consideremos a regi˜o
a
D = (x, y) ∈ R2 : 1 x 2, 1 y x2 .
O volume do s´lido de revolu¸ao quando fazemos uma rota¸ao em torno do eixo das
o c˜ c˜
abcissas ´ dado pelo integral
e
2 2 2
2 2 2 x5
4
π x − 1 dx = π x − 1dx = π −x =
1 1 5 1
32 1 26π
=π −2 −π −1 =
5 5 5
Exemplo 6.22. Consideremos a regi˜o
a
D = (x, y) ∈ R2 : 1 x 2, 1 y x2 .
Para calcular o volume do s´lido de revolu¸˜o quando fazemos uma rota¸ao em torno
o ca c˜
do eixo das ordenadas, temos de reescrever a regi˜o D na forma
a
√
D = (x, y) ∈ R2 : 1 y 4, y x 2 ,

119. 114 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
e ent˜o o volume ´ dado por
a e
4 4 4
√ y2
π 22 − ( y)2 dy = π 4 − ydy = π 4y − =
1 1 2 1
16 1 9π
= π 16 − −π 4− =
2 2 2
´
Areas de Superf´
ıcies de Revolu¸˜o
ca
Seja f uma fun¸˜o cont´
ca ınua e diferenci´vel no intervalo [a, b].
a
Consideremos a curva dada por y = f (x) entre os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)), ou
seja, a curva dada pelo gr´fico de f entre as rectas x = a e x = b.
a
Consideremos agora que a essa curva faz uma rota¸˜o de 2π em torno do eixo
ca
das abcissas, ou seja, d´ uma volta completa em torno do eixo das abcissas. Desta
a
forma ´ criada uma supref´ de revolu¸˜o, cuja ´rea ´ dada por
e ıcie ca a e
b
2π f (x) 1 + [f (x)]2 dx.
a
De modo an´logo, consideremos a curva dada por x = g(y) entre os pontos
a
(g(c), c) e (g(d), d), ou seja, a curva dada pelo gr´fico de g entre as rectas y = c e
a
y = d.
Consideremos agora que a essa curva faz uma rota¸˜o de 2π em torno do eixo
ca
das ordenadas, ou seja, d´ uma volta completa em torno do eixo das ordenadas.
a
Desta forma ´ criada uma supref´ de revolu¸ao, cuja ´rea ´ dada por
e ıcie c˜ a e
d
2π g(y) 1 + [g (y)]2 dy.
c
√
Exemplo 6.23. Consideremos a curva dada por y = x entre os pontos (4, 2) e (9, 3),
na qual fazemos uma rota¸ao de 2π em torno do eixo das abcissas, obtendo uma
c˜

120. 6.3. EXERC´
ICIOS 115
superf´ de revolu¸ao, a qual tem ´rea dada pelo integral
ıcie c˜ a
9 2 9 9
√ 1 √ 1 1
2π x 1+ √ dx = 2π x 1+ dx = 2π x + dx =
4 2 x 4 4x 4 4
 3
9
3 3
1
x+
 = 4π 37 17
2 2 2
= 2π  3
4
− =
2
3 4 4
4
π 3 3
= 37 2 − 17 2 .
6
Exemplo 6.24. Repare-se que se fosse pretendido a ´rea da superf´ de revolu¸ao
a ıcie c˜
√
gerada pela mesma curva do Exemplo anterior (y = x entre os pontos (4, 2) e
(9, 3)), mas na qual fazemos uma rota¸ao de 2π em torno do eixo das ordenadas, a
c˜
mesma vinha dada pelo integral
3 3
2 2
2π y 1 + (2y) dy = 2π y2 1 + 4y 2 dy,
2 2
senh t
no qual podemos fazer uma substitui¸ao do tipo y =
c˜ .
2
6.3 Exerc´
ıcios
Exerc´
ıcio 6.1. Calcule as seguintes primitivas imediatas.

121. 116 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
arctg x
1. x3 dx 13. dx
1 + x2
1 ln2 x
2. dx 14. dx
x x
3. − sen xdx cos(ln x)
15. dx
x
4. cos xdx ex
16. dx
1 + e2x
1 1
5. dx 17. √ dx
1 + x2 3
1+x
3
6. ex dx e2x + 2
18. dx
1 + 3x + e2x
2x
7. dx 4
x2 +1 19. − 2 dx
cos x
8. ex+3 dx cos x
20. dx
sen x
9. 3x2 + 5x + 1dx 4x3
21. dx
x4 + 1
√
10. 2x x2 + 3dx arcsen2 x
22. √ dx
1 − x2
11. (x2 + 1)3 dx 1
23. dx
1 + (2x)2
12. 10x cos 5x2 + 7 dx
Exerc´
ıcio 6.2. Calcule as seguintes primitivas quase imediatas.

122. 6.3. EXERC´
ICIOS 117
3x sen (arctan x)
1. √ dx 11. dx
5
1 + 5x2 1 + x2
ex
1
cos (ln x2 )
2. dx 12. dx
x2 x
√
π tg x
3. cos 2x − dx 13. √ dx
4 x
1
4. dx 14. sen3 x cos4 xdx
x ln x
2x
5. 2x−1 dx 15. dx
cos2 (x2 + 1)
1
6. senh(2x + 1) cosh(2x + 1)dx 16. 2 + 2x + 2
dx
x
2 2x + 1
7. xe−x dx 17. dx
x2 + 1
x+2 1
8. dx 18. √ dx
x2 + 4x 9 − x2
2 +2 sen x x
9. ex (x + cos x) dx 19. dx
7 − (x4 − 2x2 + 1)
√
cos x
10. √ dx 20. cos x cos(2x)dx
x
Exerc´
ıcio 6.3. Calcule as seguintes primitivas utilizando a f´rmula de primitiva¸˜o
o ca
por partes.
2
1. xex dx 9. ex x3 dx
2. ln xdx 10. x2 + 1 cos xdx
3. arctg xdx 11. ex cos xdx
ln (ln x)
4. arcsen xdx 12. dx
x
x
5. sen(ln x)dx 13. dx
sen2 x
6. x sen xdx 14. 3x cos xdx
7. x cos(3x)dx 15. x2−x dx
8. x sen x cos xdx 16. cos2 xdx

123. 118 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
Exerc´
ıcio 6.4. Calcule as seguintes primitivas utilizando a substitui¸˜o indicada.
ca
1 1
1. √ dx, x=
x x2 − 2 t
√
2. 9 − x2 dx, x = 3 sen t
ln x
3. dx, x = et
x2
sen x
4. dx, cos x = t
2 − sen2 x
x
5. √ dx, x = t2 − 1
x+1
x2
6. √ dx, x = 2 cosh t
x2 − 4
√
7. 9 + x2 dx, x = 3 senh t ou x = 3 tg t
1
8. dx, x = sen2 t
x(1 − x)
1+x √
9. √ dx, t= x
1+ x
sen(2x)
10. √ dx, t = sen x
1 + sen2 x
Exerc´
ıcio 6.5. Calcule as seguintes primitivas utilizando as substitui¸oes adequa-
c˜
das.
1
1. √ dx
ex −1
√
2. 1 − x2 dx
ln x
3. dx
x 1 − ln2 x
3
4. x2 ex dx
√
4
5. sen x − 1dx

124. 6.3. EXERC´
ICIOS 119
√
sen x
6. √ dx, em R+
x
1
7. dx
ex + e−x
Exerc´
ıcio 6.6. Calcule as primitivas das seguintes fun¸oes racionais.
c˜
x 3x + 1
1. dx 9. dx
(x − 1)(x + 2)(x + 3) (x3 − x)(x + 5)
x x2 + 1
2. dx 10. dx
(x − 1)(x + 1)2 x2 − 3x + 2
x3 + x + 1 4x2 + x + 1
3. dx 11. dx
x4 − 2x3 + x2 x3 − x
x5 + x4 − 8 2x3 + 5x2 + 6x + 2
4. dx 12. dx
x3 − 4x x(x + 1)3
x2 1
5. dx 13. dx
(x − 1)3 (x + 2)(x2 + 1)
1 x2 + 2
6. 2 + x − 2)(x + 5)
dx 14. dx
(x (x − 1)(x2 + x + 1)
3x2 − 4 2x3 + x + 3
7. dx 15. dx
(2 − x)2 (x2 + 4) (x2 + 1)2
x4
8. dx
x−1
Exerc´
ıcio 6.7. Calcule as seguintes primitivas.
x2
1. x2 − 2x + 3 ln xdx 6. dx
(x2 + 1)2
x3 − 1 sen x
2. dx 7. dx
4x3 − x sen x + cos x
sen x − cos x
3. dx 8. x sen x2 cos x2 dx
sen x + 2 cos x
7
4. x2 cos xdx 9. x 5x2 − 3 dx
√
arcsen x
5. √ dx
1−x
Exerc´
ıcio 6.8. Calcule f (x) sabendo que
1. f (x) = sen x e f (π) = π
√
2. f (x) = x x e f (1) = 2

125. 120 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
7
3. f (x) = (x2 − 2x + 3) ln x e f (1) =
18
x2
4. f (x) = e f (0) = 2
(x2 + 1)2
1
5. f (x) = √ e f (e) = 1
x ln x
Exerc´
ıcio 6.9. Calcule a primitiva das seguintes fun¸˜es alg´bricas irracionais e
co e
transcendentes.
1 1
1. √ √ dx 7. dx
x+ 3x
√ (x2 + a2 )3
2x + 3 √
2. √ dx x2 − a2
1 − 4 2x + 3 8. dx
√ x
3
3. x x2 + 2dx 1
9. dx
2 cos x + 1
1
4. √ dx 1
x x2 − x + 2 10. 2 x − sen2 x
dx
cos
1
5. √ dx 1
x −x2 + 4x − 3 11. x+1
dx
e
√
6. 1 − x2 dx
Exerc´
ıcio 6.10. Seja P (t) a popula¸ao de uma bact´ria numa col´nia no tempo t
c˜ e o
(em minutos). Supondo que P (0) = 100 e que P (t) aumenta a uma taxa (vari´vel)
a
de 20e3t , quantas bact´rias existem passados 50 dias?
e
Exerc´ 6.11. Uma part´
ıcio ıcula parte da origem e tem uma velocidade (em cent´
ımetros
por segundo)
v(t) = 7 + 4t3 + 6 sin(πt)
depois de t segundos. Encontre a distˆncia percorrida em 200 segundos.
a
Exerc´
ıcio 6.12. A acelera¸ao (no instante t) de um ponto em movimento sobre
c˜
uma recta coordenada ´ a(t) = sen2 t cos tm/s2 . Em t = 0 o ponto est´ na origem e
e a
a sua velocidade ´ 10m/s. Determine a sua posi¸˜o no instante t.
e ca

126. 6.3. EXERC´
ICIOS 121
Exerc´ıcio 6.13. A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo
t
de uma recta ´ v(t) = 2t m/s. Se o ponto est´ na origem quando t = 0, encontre a
e a
e
sua posi¸ao no instante t.
c˜
Exerc´
ıcio 6.14. Calcule os seguintes integrais.
2 0
ex (ex − 1)2
1. x2 − 2x + 3dx 13. dx (t = ex )
1 1 ex + 1
8 √ √ 1
y2
2. 2x + 3
xdx 14. dy
0 0 y6 + 4
1 3
2
3. √ x arcsen x dx 15. 3x + |x2 − 4x − 5|dx
2
2
−2
√
0
1 2 √
4. √ dx 16. 4 − x2 dx (x = 2 sen t)
−3 25 + 3x 1
π
1
x 4
5. 2 + 3x + 2
dx 17. tg xdx
0 x −π
4
1
x4 1
6. dx 18. cosh xdx
−1 x+2 0
1
1 −1 √
7. 2 + 4x + 5
dx 19. x2 4 − x2 dx (x = 2 sen t)
0 x 1
1 2
x 1
x2
1
8. 3+1
dx 20. dx (x = t2 )
0 x 1+x
1
2
4
π
4 1
9. sec2 tdt 2 et + 4
π 21. dt
6 1 e2t + 4
e e
10. 2
x ln xdx sen(ln x)
22. dx
1 1 x
π √
2 2
11. 3
sen ydy 2 1
0
23. √ dx x = sen t
0 1 − x2
−3
1 π
12. dx 2
−2 x2 − 1 24. x cos(2x)dx
0
x
2
Exerc´
ıcio 6.15. Calcule F (x), sendo F (x) = e−t dt.
2
3
Exerc´
ıcio 6.16. Calcule ϕ (x), sendo ϕ(x) = x2 esen t dt.
x
Exerc´
ıcio 6.17. Calcule a derivada em ordem a x, para x = 0, das seguintes
fun¸oes.
c

127. 122 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
x
1. f (x) = cos t2 dt
1
2
x2
sen t
2. f (x) = dt
arcsen x t
x2 +1
3. f (x) = sen tdt
ln x
x
1
Exerc´
ıcio 6.18. Calcule f (1) e f (0), sendo f (x) = (t + 1) − dt.
0 2
a ln x
2
Exerc´
ıcio 6.19. Determine o valor da constante a, sabendo que f (x) = et dt
x
e f (1) = 0.
x2 +x
ln t
Exerc´ 6.20. Considere a fun¸ao f : [1, +∞[→ R definida por f (x) =
ıcio c˜ √ dt.
2 t+2
2
Prove que 3
f (1) = ln 2.
x
Exerc´
ıcio 6.21. Determine os extremos da fun¸ao f (x) =
c˜ t2 ln tdt, quando
1
2
1
x 2
.
x
2
Exerc´
ıcio 6.22. Considere a fun¸˜o f : [0, 1] → R definida por f (x) =
ca et dt.
x2
1. Calcule f (x).
2. Mostre que f tem pelo menos um extremo.
Exerc´
ıcio 6.23. Calcule o valor m´dio da fun¸ao definida por g(x) = x arctg x em
e c˜
[−1, 1].
Exerc´
ıcio 6.24. Calcule os seguintes limites:
x
sen t3 dt
0
1. lim
x→0 x4
x
2
xe−t dt
0
2. lim .
x→0 1 − e−x2

128. 6.3. EXERC´
ICIOS 123
Exerc´
ıcio 6.25. Mostre que se f ´ uma fun¸ao par, ent˜o
e c˜ a
a a
f (x)dx = 2 f (x)dx.
−a 0
Exerc´
ıcio 6.26. Mostre que se f ´ uma fun¸ao ´
e c˜ ımpar, ent˜o
a
a
f (x)dx = 0.
−a
Exerc´
ıcio 6.27. O cosseno integral de Fresnel
x
C(x) = cos u2 du
0
´ usado na an´lise da difra¸ao da luz. Determine:
e a c˜
C(x)
1. lim
x→0 x
C(x) − x
2. lim
x→0 x5
Exerc´ ´
ıcio 6.28. Agua corre para dentro de um tanque a uma taxa de 2t + 3 litros
por minuto, onde t representa o tempo em horas depois do meio-dia. Se o tanque
est´ vazio `s 12h e tem a capacidade de 1000 litros, quando estar´ cheio?
a a a
Exerc´
ıcio 6.29. Calcule as ´reas das seguintes regi˜es do plano.
a o
1. Limitada pela curva y = x2 , o eixo das abcissas e as rectas x = 1 e x = 3.
2. Limitada pelo curva y = sen x e o eixo das abcissas quando 0 x 2π.
3. Limitada pela par´bola y = −x2 + 4x e o eixo das abcissas.
a
√
4. Limitada pelas curvas y = x e y = x2 .
5. Limitada pela curva y = ln x, pelo eixo das abcissas e pela recta x = e.
6. Limitada pelas curvas y = ex e y = e−x e pelas rectas x = 0 e x = 1.

129. 124 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
7. Limitada pela par´bola x = −y 2 + 2y + 8, o eixo das ordenadas e as rectas
a
y = −1 e y = 3.
8. Limitada pela circunferˆncia de raio r de centro no ponto (0, 0).
e
9. Limitada pelos gr´ficos das fun¸˜es f (x) = sen x e g(x) = cos x e pelas rectas
a co
x = 0 e x = π.
10. Limitada pelos gr´ficos das fun¸oes f (x) = arcsen x e g(x) = arccos x e pela
a c˜
recta x = 0.
11. Limitada pelo eixo das ordenadas e pela par´bola com v´rtice no ponto (1, 0)
a e
e que passa pelos pontos (0, 1) e (0, −1).
12. Limitada pelas circunferˆncias x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x e pelas rectas y = x
e
e y = 0.
13. Limitada pelas linhas de equa¸ao xy = 3 e y + x − 4 = 0.
c˜
14. Limitada pelo gr´fico da fun¸˜o y = arctg x e pelas rectas de equa¸ao x = 1 e
a ca c˜
y = 0.
Exerc´
ıcio 6.30. Calcule os comprimentos das seguintes curvas planas.
1. Circunferˆncia de raio r.
e
2. Elipse com eixos de comprimento 2 e 4.
3. Curva C determinada pelo gr´fico da fun¸ao f : [−1, 1] → R definida por
a c˜
f (x) = cosh x.
4. Curva C determinada pelo gr´fico da fun¸˜o f : 0, π
a ca 4
→ R definida por
f (x) = ln(cos x).
a x x
5. Arco da curva y = e a + e− a , quando a > 0 e 0 < x < a.
2
Exerc´
ıcio 6.31. Calcule o volume dos seguintes s´lidos de revolu¸˜o.
o ca

130. 6.3. EXERC´
ICIOS 125
1. Uma esfera de raio 2.
2. Um cilindro de raio da base 3 e altura 3.
3. Gerado pela rota¸ao de 2π em torno do eixo das abcissas da regi˜o
c˜ a
D = {(x, y) ∈ R2 : 1 x 3, 0 y 4x}.
4. Gerado pela rota¸ao de 2π da regi˜o do primeiro quadrante, limitada pela
c˜ a
par´bola y 2 = 8x e pela recta x = 2
a
(a) Em torno do eixo das abcissas.
(b) Em torno da recta x = 2.
(c) Em torno do eixo das ordenadas.
5. Gerado pela rota¸ao de 2π em torno do eixo das ordenadas da regi˜o
c˜ a
A = (x, y) ∈ R2 : 0 y ex − 1 , 0 x 1 .
6. Gerado pela rota¸ao de 2π em torno do eixo das abcissas da regi˜o do plano
c˜ a
definida por x2 + y 2 4e0 y x.
7. Gerado pela rota¸ao de 2π em torno do eixo das abcissas da regi˜o
c˜ a
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 4, y −x , 0 y 2, x 0 .
8. Gerado pela rota¸˜o de 2π em torno da recta y = 1 da regi˜o limitada pelo
ca a
gr´fico da fun¸ao f : [−1, 1] → R definida por f (x) = ex+1 , pela rectas x = −1,
a c˜
x = 1 e y = 1.
Exerc´
ıcio 6.32. Seja D a regi˜o do plano definida por
a
D = (x, y) ∈ R2 : y ex , y > −x2 − 1 , |x| < 1 .

131. 126 CAP´ ´
ITULO 6. CALCULO INTEGRAL EM R
1. Calcule a ´rea da regi˜o plana D.
a a
2. Seja D1 a parte da regi˜o D que est´ no 3o quadrante. Calcule o volume do
a a
s´lido de revolu¸ao que se obt´m girando D1 em torno do eixo dos yy.
o c˜ e
Exerc´
ıcio 6.33. Calcule a ´rea das seguintes superf´
a ıcies de revolu¸ao.
c˜
1. Gerada pela rota¸˜o de 2π em torno do eixo das ordenadas da curva y = x2
ca
entre x = 1 e x = 2.
2. Gerada pela rota¸ao em torno do eixo das ordenadas do arco x = y 3 entre
c˜
y = 0 e y = 1.
3. S´lido de revolu¸ao gerado pela rota¸˜o de 2π em torno do eixo das abcissas
o c˜ ca
da regi˜o
a
A = (x, y) ∈ R2 : 1 x 3, 0 y 4x .
4. Cone de altura 3 e raio da base 4.

132. Bibliografia
[1] J. Campos Ferreira, Introdu¸˜o ` An´lise Matem´tica, Funda¸ao Calouste Gul-
ca a a a c˜
benkian.
[2] M´rio Figueira, Fundamentos de An´lise Infinitesimal, Departamento de Ma-
a a
tem´tica da Faculdade de Ciˆncias da Universidade de Lisboa, 2001.
a e
127