1. O Teorema de Fubini estabelece que a ordem de integração em uma integral dupla não importa se a função for contínua na região. 2. Integrais duplas podem ser usadas para calcular volumes, áreas e centros de massa. 3. Exemplos mostram como calcular integrais duplas cartesianas para diferentes regiões planas.

1. 1
Teorema de Fubini:
Se f x, y for contínua na região R, a ordem de integração NÃO importa.
Se R é retangular: a  x  b e c  y  d , então:
             
d
c
b
R a
b
a
d
c
f x, y dA f x, y dydx f x, y dxdy
Cálculo Diferencial e Integral III
Prof.: Izabela Marques de Oliveira
Este material é um resumo da aula sobre Integrais Duplas Cartesianas, portanto, todos os exemplos só serão resolvidos
em aula!
Integração Dupla
Bibliografia básica: THOMAS, G. B. Cálculo. Vol 2. Capítulo 12. Itens 12.1 e 12.2.
A integral     R
dAy x f , é denominada integral dupla na região R, onde dxdy dA .
Interpretação geométrica / aplicação:
1. Se   1, y x f    AdA
R
Área de R (esta é a área de uma região plana R fechada e
limitada, no plano xy)
2. Se   0, y x f     R
dAy x f , VOLUME do sólido que está acima de R (em xy) e abaixo do
gráfico da função f x, y.
 Como CALCULAR     R
f x, y dA:
Devemos integrar a função   y x f , em relação a x e a y (na ordem que constar na integral).
Ao integrar em relação a x estamos considerando todo o intervalo de variáveis de x , mantendo y
constante.
Ao integrar em relação a y estamos considerando todo o intervalo de variáveis de y , mantendo x
constante.
Exemplo 1: Calcule o volume do sólido limitado pela superfície
2 2
16
1
9
1
f (x, y)  4  x  y , pelos planos x = 3, y = 2 e pelos três
planos coordenados.

2. 2
x
y
x
x
y
y
Centro de massa
Exemplo 2: Calcule as integrais   
2
1
3
0
2
1 I x ydydx e   
3
0
2
1
2
2 I x ydxdy .
Exemplo 3: Se  ,  / 0 2,1 2  2        y x y x D , calcule a integral dupla    
D
I x y dA 2 3 .
Exemplo 4: Calcule     
R
dAy x 2 , onde R é a região limitada pelas parábolas 2 2x y  e 2 1 x y  .
Dicas:
1. Encontre os pontos de interseção das duas curvas.
2. Faça um esboço da região no plano xy (curvas, ou retas, se for o caso).
3. Integrar PRIMEIRO sempre em relação à variável que estiver em função da outra!
Resposta: 32/15.
Cálculo de ÁREAS
Exemplo 5: Calcule a área da região limitada por 2 x y  e x y  no 1º quadrante.
1º passo: Fazer o esboço da região.
2º passo: determinar os limites de integração.
3º passo: montar a integral e resolvê-la.
Resposta: 1/6 unidades quadradas.
Exemplo 6: Calcule a área da região R limitada pela parábola 2 x y  e pela reta 2   x y .
Obs.: idem passos anteriores.
Resposta: 9/2 unidades quadradas.
 Uso de INTEGRAIS DUPLAS para calcular Momentos e Centros de Massa
Em muitas aplicações, precisamos determinar o centro de massa de placas finas e planas, como um disco
de alumínio, ou uma folha de aço triangular.
Centro de massa: ponto onde será considerado que toda a massa do corpo (placa) se concentra (em
termos de equilíbrio do sistema).

3. 3
O momento do corpo em relação ao eixo y será: M x M y   ;
o momento do corpo em relação ao eixo x será: M y M x   ;
onde M é a massa total do corpo. Assim, teremos:
1) Coordenadas do centro de massa:
M
M
x y  ;
M
M
y x 
2) Densidade (por unidade de área):   y x, 
3) Massa total M : temos que:      A M
A
M
    dAy x M, 
4) Momento em relação ao eixo x: M   y  x ydA x  ,
5) Momento em relação ao eixo y: M   x  x ydA y  ,
Exemplo 7: Uma placa fina cobre a região triangular limitada pelo eixo x e pelas retas 1x e x y 2  no
1º quadrante. A densidade da placa no ponto yx, é   6 6 6 ,    y x y x  . Determine a Massa da placa,
os primeiros momentos e o centro de massa em relação aos eixos coordenados.
Resposta: 14  M ; 11 x M ; 10  y M 7 / 5 x e 14/ 11y .