EQUAÇÃO DO 2º GRAU SEM COMPLICAÇÃO...       Afonso Carioca
IDENTIFICANDO OS COEFICIENTESSeja uma equação de 2º grau escrita na sua forma normal:  ax 2 bx c 0Identifiquemos os coefic...
CALCULANDO O DISCRIMINANTEO discriminante da equação de 2º grau é dado pela expressão:            2        b       4acNo n...
APLICANDO A FÓRMULA DE BHÁSKARAVamos, agora, aplicar a Fórmula de Bháskara:              b      x             2a      Subs...
EXEMPLO 01: 5x² - x - 6 = 0    5x 2 x 6 0    Coeficientes :    a 5 b       1 c              6    Discri min ante :        ...
EXEMPLO 02: 4x² - 4x + 1 = 0 4x 2 4x 1 0 Coeficientes : a 4 b        4 c 1 Discri min ante :                         2    ...
EXEMPLO 03: x² - 4x + 5 = 0x 2 4x 5 0Coeficientes :a 1 b       4 c 5Discri min ante :                      2    b 2 4ac   ...
RELAÇÕES DE GIRARDDada uma equação de 2º grau ax² + bx + c = 0, existe duas relações entre suas raízesreais ou complexas x...
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5.Solução:         ...
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 1 .                ...
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO D0 2º GRAU Poderíamos resolver os exemplos anteriores de uma outra forma, mas para isso precisam...
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 1 .                ...
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESAnalisando os dois exemplos, podemos observar que uma equação de 2º grau possuiraízes inteiras se o ...
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES2º) Caso: ∆≥0 e a≠1Resolva a equação de 2º grau 12x 2      5x 2 0 sem usar a Fórmula de Bháskara.Par...
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESOutras simplificações também são importantes na resolução de uma equação do 2º grausem que seja nece...
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESÉ importante notar que toda equação polinomial (de qualquer grau) cuja soma de seuscoeficientes seja...
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES3ª) Se c = 0Numa equação do 2º grau cujo termo independente de x esteja ausente, significa que c = 0...
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES4ª) Se b = 0Se a equação de 2º grau apresentar o termo de 1º grau nulo, então suas raízesserão simét...
CONSIDERAÇÕES FINAISO objetivo dessa aula é apresentar a Equação do 2º Grau de uma forma descomplicada eque incentive todo...
AULAS PARTICULARES EM GOIÂNIAAFONSO CARIOCA – AULAS PARTICULARESRUA 96 Nº 45 – SETOR SUL – GOIÂNIA – GOFONES: (62) 3092-22...
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Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013

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Matemática básica equação de 2º grau - resolução - aula 01 em 09 fev 2013

  1. 1. EQUAÇÃO DO 2º GRAU SEM COMPLICAÇÃO... Afonso Carioca
  2. 2. IDENTIFICANDO OS COEFICIENTESSeja uma equação de 2º grau escrita na sua forma normal: ax 2 bx c 0Identifiquemos os coeficientes numéricos “a”, “b” e “c”. Acompanhe no exemplo a seguir: 2 5x 3x 8 0 Onde : a 5 b 3 c 8
  3. 3. CALCULANDO O DISCRIMINANTEO discriminante da equação de 2º grau é dado pela expressão: 2 b 4acNo nosso exemplo, temos: b 2 4acSusbtituindo : 32 4 5 8 9 160 169 169
  4. 4. APLICANDO A FÓRMULA DE BHÁSKARAVamos, agora, aplicar a Fórmula de Bháskara: b x 2a Substituindo : 3 169 3 13 x 2 5 10 Assim : 2 3 13 16 8 8 3 13 10 x1 2 x1 e x2 1 x2 1 10 10 5 5 10 10 8 S ,1 5
  5. 5. EXEMPLO 01: 5x² - x - 6 = 0 5x 2 x 6 0 Coeficientes : a 5 b 1 c 6 Discri min ante : 2 b 2 4ac 1 4 5 6 1 120 121 121 Fórmula de Bháskara : b 1 121 1 11 x 2a 2 5 10 Assim : 1 11 10 x1 1 x1 1 10 10 e 2 1 11 12 6 6 x2 2 x2 10 10 5 5
  6. 6. EXEMPLO 02: 4x² - 4x + 1 = 0 4x 2 4x 1 0 Coeficientes : a 4 b 4 c 1 Discri min ante : 2 b 2 4ac 4 4 4 1 16 16 0 0 Fórmula de Bháskara : 4 b 4 0 4 0 4 1 x 4 2a 2 4 8 8 2 Assim : b 1 x1 x2 0 x1 x2 2a 2
  7. 7. EXEMPLO 03: x² - 4x + 5 = 0x 2 4x 5 0Coeficientes :a 1 b 4 c 5Discri min ante : 2 b 2 4ac 4 4 1 5 16 20 0 4Fórmula de Bháskara : b 0 x i, i 1 unidade imaginária 2a 2aAssim : b 4 4 4 4 2x i i i 2 i 2 i x 2 i 2a 2a 2 1 2 1 2 2 2Raízes Complexas Conjugadas :x1 2 i e x 2 2 i
  8. 8. RELAÇÕES DE GIRARDDada uma equação de 2º grau ax² + bx + c = 0, existe duas relações entre suas raízesreais ou complexas x1 e x 2 e seus coeficientes “a”, “b” e “c”. Assim, temos: b x1 x 2 a c x1 x 2 aCom essas relações podemos compor qualquer equação de 2º grau, uma vez conhecidassuas raízes e também podemos resolver equações de 2º grau sem o emprego da Fórmulade Bháskara. É o que veremos nos próximos slides.
  9. 9. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5.Solução: b b 2 5 3 b 3a a a c c 2 5 10 c 10a a a Fazendo : a 1 b 3 e c 10 Assim : x 2 3x 10 0 é a equação solicitada.
  10. 10. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 1 . 5Solução: 1 b 9 b 9a 2 b 5 a 5 a 5 1 c 2 c 2a 2 c 5 a 5 a 5 Fazendo : 9 2 a 1 b e c 5 5 Assim : 9 2 ELIMINANDO x2 x 0 OS DENOMINADORES 5x 2 9x 2 0 5 5 5x 2 9x 2 0 é a equação solicitada.
  11. 11. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO D0 2º GRAU Poderíamos resolver os exemplos anteriores de uma outra forma, mas para isso precisamos saber que toda equação de 2º grau que admite raízes racionais (fracionárias ou inteiras) x1 e x 2 pode ser decomposta em um produto de dois binômios de 1º grau. Assim: ax 2 bx c 0 a x x1 x x 2 0 Exemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5. Solução:Se x1 2 e x2 5 x x1 x x 2 0 x 2 x 5 0 x 2 5x 2x 10 0 x 2 3x 10 0 é a equação solicitada.
  12. 12. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 1 . 5Solução: 1Se x1 2 e x2 5 1 x 2 x x1 x x 2 0 x 2 x 0 x2 2x 0 5 5 5Assim :5x 2 x 10x 2 0 5x 2 9x 2 0 é a equação solicitada.Analisando os dois métodos de solução, verificamos que o método da decomposição émais rápido. Mas você deve se sentir à vontade para escolher o método mais adequadoao seu aprendizado.
  13. 13. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESAnalisando os dois exemplos, podemos observar que uma equação de 2º grau possuiraízes inteiras se o coeficiente numérico do termo x² for igual à unidade; se estecoeficiente for diferente de um, então, a equação de 2º grau apresenta pelo menos umaraiz fracionária. É claro que, nesses casos, também é satisfeita a condição de odiscriminante Δ ser maior ou igual a zero.Desta forma, podemos resolver TODA equação de 2º grau onde ∆≥0, usando a Relaçõesde Girad. Para isto devemos analisar os seguintes casos:1º) Caso: ∆≥0 e a = 1 2Resolva a equação de 2º grau x x 30 0 sem utilizar a Fórmula de Bháskara.Para resolvermos este exemplo precisamos encontrar dois números que somados sejamiguais a – b, ou seja, sua soma seja igual a 1; e que multiplicados sejam iguais a c, ou seja, oseu produto seja igual a – 30. Observe, se o produto é negativo esses números têm sinaiscontrários e se a soma é positiva, o número de módulo maior é positivo. Encontrando osdivisores de 30, facilmente encontramos + 6 e – 5, como as raízes desta equação.
  14. 14. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES2º) Caso: ∆≥0 e a≠1Resolva a equação de 2º grau 12x 2 5x 2 0 sem usar a Fórmula de Bháskara.Para resolvermos esta equação, primeiro devemos escrever a seguinte equação auxiliar:x 2 5x 24 0 que foi obtida ao multiplicarmos 12 e -2 cujo produto é o novo termoindependente; com isso recaímos no caso anterior.Precisamos encontrar dois números inteiros cuja soma seja igual a 5 e o produto seja igual a– 24 e, entre os divisores de 24, encontramos os 8 e -3 que satisfazem essas condições. Epara encontramos as raízes da equação original basta dividirmos esses números por 12 esimplificarmos as frações . Assim, obtemos: 4 3 8 2 3 1 1 2 x1 4 e x2 3 S ; 12 3 12 4 4 3
  15. 15. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESOutras simplificações também são importantes na resolução de uma equação do 2º grausem que seja necessária a aplicação da Fórmula de Bháskara.1ª) Se a + b + c = 0Se uma equação do 2º grau apresentar a soma de seus coeficientes igual azero, então, temos as seguintes raízes: cx1 1 e x 2 aVeja o exemplo a seguir (você pode conferir resolvendo através da Fórmula de Bháskara). 3x 2 5x 2 0 a 3 b 5 c 2 Mas : a b c 0 3 5 2 0 Logo : c 2 2 x1 1 e x 2 S ;1 a 3 3
  16. 16. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESÉ importante notar que toda equação polinomial (de qualquer grau) cuja soma de seuscoeficientes seja igual a zero, uma de suas raízes será igual à unidade. Com estapropriedade conseguimos abaixar o grau de uma equação polinomial.2ª) Se b = a + cSe uma equação do 2º grau apresentar a relação b = a+c, então, ela terá as seguintes raízes: cx1 1 e x2 aAcompanhe o exemplo a seguir: 3x 2 5x 2 0 a 3 b 5 c 2 Mas : b a c 5 3 2 Logo : c 2 2 x1 1 e x2 S 1; a 3 3
  17. 17. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES3ª) Se c = 0Numa equação do 2º grau cujo termo independente de x esteja ausente, significa que c = 0.Assim, suas raízes são: bx1 0 e x2 aO exemplo a seguir esclarece esta situação: 5x 2 16x 0 a 5 b 16 c 0 Assim : b 16 16 16 x1 0 e x2 S 0; a 5 5 5
  18. 18. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES4ª) Se b = 0Se a equação de 2º grau apresentar o termo de 1º grau nulo, então suas raízesserão simétricas.(i) Se a e c tiverem sinais diferentes, as raízes serão simétricas e reais. 24 6x 2 24 0 6x 2 24 x2 4 x2 4 x 4 x 2 6(ii) Se a e c tiverem sinais iguais, as raízes serão complexas conjugadas. 125 5x 2 125 0 5x 2 125 x2 25 x2 25 5 Assim : x 25 i 25i x 5i
  19. 19. CONSIDERAÇÕES FINAISO objetivo dessa aula é apresentar a Equação do 2º Grau de uma forma descomplicada eque incentive todos que tenham dificuldade em resolver este tipo de equação queprocure resolver o maior número possível de exercícios, seguindo os passosapresentados nesses slides.Espero que este material seja útil em seus estudos e toda comunicação de eventuaiserros ou dúvidas deverão ser dirigidas para os seguintes endereços eletrônicos:afonsocarioca@hotmail.comafonsocarioca@afonsocarioca.com.brMuito Obrigado!
  20. 20. AULAS PARTICULARES EM GOIÂNIAAFONSO CARIOCA – AULAS PARTICULARESRUA 96 Nº 45 – SETOR SUL – GOIÂNIA – GOFONES: (62) 3092-2268 / 9216-9668 / 8109-4036

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