Este documento discute a indução finita, um método para provar propriedades sobre números naturais. Ele explica que (1) verificações diretas para alguns números não são suficientes para provar propriedades sobre o conjunto infinito dos naturais e (2) o princípio da indução finita estabelece que basta provar que uma propriedade é válida para um número inicial n0 e que, se é válida para um número k, também é válida para k+1.

1. INDUÇÃO FINITA
1 Provas de propriedades sobre o conjunto
dos naturais
Muitas vezes precisamos provar a vali-
dade de propriedades sobre o conjunto
dos números naturais. Ou seja, propri-
edades que são aplicáveis a um número
natural n.
Por exemplo, provar que a seguinte
relação é verdadeira:
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
para n ∈ N∗

2. Observações:
• N = {0, 1, 2, 3, . . . } e
N∗ = {1, 2, 3, . . . }
• Consideremos a soma do lado esquerdo
da igualdade em relação ao n:
Para n = 1 a soma tem apenas 1
termo, pois 2.1−1 = 1, soma = 1
Para n = 2 a soma tem 2 termos
pois 2.2 − 1 = 3, soma = 1 + 3
Para n = 3 a soma tem 3 termos
pois 2.3−1 = 5, soma = 1+3+5
E assim por diante
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3. Então, verifiquemos a propriedade para
os números 1, 2, 3 e 10:
n = 1 ⇒ 1 = 12 ⇒ V
n = 2 ⇒ 1 + 3 = 22 ⇒ V
n = 3 ⇒ 1 + 3 + 5 = 32 ⇒ V
n = 10 ⇒ 1+3+5+· · ·+19 = 100 = 102 ⇒ V
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4. Outro exemplo seria provar a seguinte
propriedade:
2n ≥ n + 1
para n ∈ N∗
Verificando para os números 1, 2 e 3:
n = 1 ⇒ 2.1 ≥ 1 + 1 ⇒ V
n = 2 ⇒ 2.2 ≥ 2 + 1 ⇒ V
n = 3 ⇒ 2.3 ≥ 3 + 1 ⇒ V
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5. 2 Problema com esta verificação
Qual o problema com esta verificação?
Por que ela não é efetiva?
Porque o conjunto N é um conjunto
infinito e nunca terminarı́amos a veri-
ficação. A solução é usar o princı́pio que
chamamos de Princı́pio da Indução Fi-
nita.
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6. 3 Princı́pio da Indução Finita
Uma proposição P(n), aplicável aos nú-
meros naturais n, é verdadeira para todo
n ∈ N, n ≥ n0, quando:
1. P(n0) é verdadeiro, ou seja, a pro-
priedade vale para n = n0
2. Seja k ∈ N, k ≥ n0. Supomos
que P(k) é verdadeiro (hipótese da
indução). Então, devemos provar que
P(k + 1) também é verdadeiro.
Isso significa provar a seguinte im-
plicação (prova direta):
P(k) → P(k + 1)
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