OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011
201
1ª Fase - ível 3 (destinado aos 1os, 2os e 3os anos do Ensino Médio)
ome completo: ________________________________________________________ Ano: ________
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Atenção: caso seja necessário, considere ߨ ൌ 3,14.
1) Considere os números abaixo:
I.
II.
III.
IV.
V.
Podemos afirmar que:
(a) O menor dos números é IV.
(b) Apenas I, II e III são divisíveis por 3.
(c) Todos eles são ímpares.
(d) O algarismo das unidades de I, II, e III e IV é 1.
(e) Somente o algarismo das unidades de II é par.
2) Considere a taça de forma esférica mostrada abaixo.
Sabe-se que o raio dessa taça é de 8 cm e sua altura é de 6 cm. O volume dessa taça é, em mL,
se
aproximadamente igual a:
(a) 67,8 (b) 6790 (c) 6780 (d) 678 (e) 679

3) Considere x e y dois números naturais de modo que sua soma seja o menor número com 6
divisores. Qual é o maior valor possível para ‫?ݕ ∙ ݔ‬
(a) 27 (b) 35 (c) 36 (d) 21 (e) 12
4) Se 4௫ ൌ 3, o valor de 64ଶ௫ é:
(a) 64 (b) 512 (c) 729 (d) 784 (e) 1024
5) Considere a equação ‫ ݔ6 + ଺ ݔ4 + ଼ ݔ‬ସ + 4‫ ݔ‬ଶ + 1 ൌ 0. Podemos afirmar que
(a) ࢞ ∉ ℂ (b) ‫ ∈ ݔ‬ℝ (c) ‫ ∈ ݔ‬ℂ (d) ‫ ∈ ݔ‬ℕ (e) ‫ ∄ ݔ‬ℂ
6) Qual será o último ano bissexto do Século XXI?
(a) 2100 (b) 2092 (c) 2094 (d) 2098 (e) 2096
ଷ ଷ
7) A área de um pentágono é da área de um quadrilátero que é da área de um triângulo
ହ ହ
equilátero. Sabendo que a medida do lado do triângulo é 8 cm, podemos afirmar que a área do
pentágono é:
(a) 25√3 (b) 15√3 (c) 9√3 (d) 18√3 (e) 5,4√3
8) Um torneio de futebol foi disputado por 2011 competidores. Na 1ª fase, todas as equipes, com
exceção do atual campeão (que já estava diretamente classificado para a 2ª fase) foram
divididas em grupos com 6 integrantes. Em cada um desses grupos,cada equipe enfrentava as
outras em turno único, classificando-se para a 2ª fase os 4 melhores de cada grupo. A partir da
2ª fase, cada equipe passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for
possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização
do torneio decide quais rodadas determinadas equipes devem jogar. Quantos jogos foram
realizados nesse torneio?
(a) 6320 (b) 6365 (c) 6450 (d) 6500 (e) 6650
9) A figura abaixo é formada pela junção de um triângulo equilátero e um quadrado. Sua área é
49 + 8 √3 e o lado do quadrado mede 3 cm a mais que o lado do triângulo. O perímetro da figura
é, em cm
(a) 28 (b) 32 (c) 36 (d) 40 (e) 42

10) Se ܽଷ + ܾ ଷ + ܿ ଷ ൌ 3ܾܽܿ, então ܽ + ܾ + ܿ é:
(a) 6 (b) 4 (c) 2 (d) 0 (e) Não é possível definir.
11) Os habitantes do planeta OIM têm um curioso sistema de símbolos para se comunicarem.
Eles usam duas vogais (A e U), duas consoantes (G e D) e três números (5, 7 e 8). Suas
palavras são formadas de acordo com as seguintes regras:
1) todas as palavras começam com uma consoante e terminam com um número;
2) o 8 nunca aparece depois de vogal;
3) o 7 não se repete em uma palavra;
4) vogais, consoantes e números podem se repetir numa palavra, exceto no caso da 3) regra.
Quantas palavras com 3 símbolos e começadas com G existem para os habitantes do planeta
OIM?
(a) 6 (b) 10 (c) 12 (d) 15 (e) 18
12) Na figura abaixo, que fração indica a parte pintada de preto?
ଶ ସ ଷ ଼ ସ
(a) (b) (c) (d) (e)
ଷ ଷ ସ ସ ଼
2
13) No dia de seu aniversário em 2011, a avó de Joana disse a ela: “Eu nasci no ano x e
completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é:
(a) 64 (b) 67 (c) 70 (d) 72 (e) 75
14) A equação ‫ ݔ‬ହ + ‫ 1 + ݔ‬ൌ 0:
(a) Tem 5 raízes reais, que são inteiras.
(b) Tem 3 raízes reais irracionais.
(c) Tem exatamente 2 raízes, que são complexas.
(d) Tem apenas 1 raiz real, que é irracional .
(e) Não tem raízes reais.
෡
15) Num triângulo ABC, BD e CE são alturas, BD = CE e o ângulo A = 40°. O ângulo CBD vale:
(a) 10° (b) 15° (c) 20° (d) 25° (e) 30°

ଶ ଵ ଵ
16) Das flores no jardim de uma casa, são tulipas, são papoulas, são girassóis e 120 são
ହ ଷ ଵ଴
rosas. O número de papoulas desse jardim é:
(a) 72 (b) 144 (c) 200 (d) 240 (e) 288
17) Dados os conjuntos A, B e C não vazios, com A ⊂ B e A ⊂ C, então é sempre verdadeiro
que:
(a) B = C
(b) B ⊂ C
(c) A ⊂ (B ∪ C)
(d) B ⊃ C
(e) A ⊃ (B ∪ C)
18) Qual é o algarismo das unidades de 2ଶ଴ଵଵ ?
(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 2
ଵ ଵ ଵ
19) Seja um número natural ݊ tal que ݊ ≥ 848 ∀ ݊ ∈ ℕ. O valor aproximado de 1 + + + +
ଶ ସ ଼
ଵ
⋯+ é:
ଶ೙
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 8 (e) 10
20) O valor de
é igual a:
૜ ૝ ૞ ૟ ૠ
(a) (b) (c) (d) (e)
૝ ૞ ૟ ૠ ૡ